贛州市2024年高三年級摸底考試（一模）數(shù)學試卷（含標準答案）

贛州市2024年高三年級摸底考試

數(shù)學試卷2024年3月

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時長120分鐘

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合力={x|x2-4x>0},B={x|y=log2（2-x）},則（qz）n3=

A.[0,2)B.(-00,2)C.[0,4]D.S，4]

史上=2+6i(a,b

2.已知i為虛數(shù)單位，GR),則|a+bi|=

1-i

A.1B.y[ZC.2D.4

3.在A48C中，AB=41,AC=2,C=120°,則sin4=

cV21.5近35/21

A.--B.---c.----D.

14141414

4.在棱長為1的正方體4BCQ-44CQi中，E為棱4。的中點，過用且平行于平面4BE

的平面截正方體所得截面面積為

A.——B.-C.y[6D.2.y/6

24

5.在平行四邊形中，45=3,40=4,ABAD=-6,DC=3DM,則必?血=

A.16B.14C.12D.10

8

6.若一組樣本數(shù)據(jù)玉，工2,…，W的方差為2,>（—1）乜=一2,yt=xz+（-iy（/=1,2,

…，8）,則樣本數(shù)據(jù)％,y2,???,外的方差為

A.1B.2C.2.5D.2.75

-e.3

7.已知a=---,b=—，c=In3,貝1]

e-1e

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

高三年級操底考試數(shù)學試卷第1頁（共4頁）

8.在邊長為4的正方體力BCD-44GA中，點E是BC的中點,點尸是側面力344內(nèi)的

動點(含四條邊)，且tan乙IPQ=4tanNEP6,則尸的枕跡長度為

7tc27t-4冗871

A.-B.—C.—D.—

9999

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.，％=18,$3=26,則

A.a?n>0B.Sn>Q

C.數(shù)列｛|q,|｝為單調(diào)數(shù)列D.數(shù)列｛|Sj｝為單調(diào)數(shù)列

10.已知函數(shù)/(x)=sinx+；sin2x+；sin3x,則

A.2幾是/(x)的一個周期B./(x)的圖象關于原點對稱

C./(x)的圖象過點(凡0)D./(*)為R上的單調(diào)函數(shù)

11.曲線C是平面內(nèi)與兩個定點6(0,1),6(0,-1)的距離的積等于士的點P的軌跡，則

A.曲線。關于坐標軸對稱B.△/?；2用周長的最小值為2+痣

C.尸到J軸距離的最大值為孝D.P到原點距離的最小值為辛

第II卷(非選擇題共92分)

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.二入/無、

兀7.;

12.求值：sin—+sin—=________.夕i」

12__12-----------'

13.(V+y+1+,)7展開式中的常數(shù)項為________.

xy

14.已知尸是拋物線上異于頂點的點，E在尸處的切線/分別交X軸、y軸于點

S,T,過尸作/的垂線分別交x軸、＞軸于點〃，N,分別記△PMS與的面積

C2

為SE，則出的最小值為.

高三年級摸底考試數(shù)學試卷第2頁(共4頁)

四'解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.（13分）

如圖，在四棱錐尸一43。。中，底面/6CD為直角梯形，乙4BC=4BCD=90°,PA1.

平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,〃為側棱PC的中點.

（I）求點。到平面尸BC的距離；

（2）求二面角的正切值.

16.（15分）

某人準備應聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應聘程序都是：應聘者先進行三項

專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試.己知該應聘者應聘甲公司，每項專業(yè)技能測試

252

通過的概率均為一，該應聘者應聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為一，一，加，

363

其中0＜加＜1.技能測試是否通過相互獨立.

2

（1）若m=§，求該應聘者應聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率；

（2）已知甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應聘者只能應聘其中一家，應聘者以

專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù).若該應聘者更有可能通過乙公司的技能測試，

求加的取值范圍.

高三年級摸底考試數(shù)學成卷第3頁（共4頁）

17.(15分)

已知橢圓C:三+樂=1(。＞分＞0)過點(1,平)，橢圓C的右焦點與點0(2,-2)所在直

線的斜率為-2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)若過。的直線/與橢圓C交于4,B兩點，點P(3,0),直線尸4,分別交橢圓C于

兼M,N,直線.MTV的斜率是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

18.(17分)

已知函數(shù)/(x)=eZ-lnx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知m＞0,若函數(shù)g(x)=/(x)—加QT)有唯一的零點兀，證明：

19.(17分)

設數(shù)列弓，…，a/N22).如果對小于〃(2的每個正整數(shù)上都有4

＞凡，則稱〃是數(shù)列4的一個“。時刻”.記。(⑷是數(shù)列/的所有“。時刻”組成的集合，

D(A)的元素個數(shù)記為card(D,A).

(1)對數(shù)列4:-1,1,-2,2,-3,3,寫出。(/)的所有元素；

⑵數(shù)列a2,…，/滿足Si，出，…，=0，2,3,4,5,6},若cwdCD,/)=4,

求數(shù)列4的種數(shù).

(3)證明：若數(shù)列力滿足。“一見_[2-15=2,3,4,…,N),則card(O,力)Mq-%,?

高三年級摸底考試數(shù)學試卷第4頁供4頁)

贛州市2024年高三年級摸底考試

數(shù)學（理科）參考答案

12.—；13.630；14.1.

2

四、解答題（共77分）

15.解：（1）由R41平面NBC。，可得P三校飾.P幺

令點D到平面PBC的距離為d,則匕棱.=-S^-d分

_.fXP1DB!_■CC<~P/QBJC......................................................1

由嚏校他-尸=,三梭版-589可得三S&pBc，d=]S^CD，P”2分

則

d=S^CD.尸”3分

S△PBC

由/ABC=90°,BC=4,CD=3,可得：=6.....................................4分

由241平面Z3C￡>,ZABC=90。,可得BCLPB,則葭戶g=g0=8五……5分

則"=與=速，即點。到平面尸3C的距離為逆.............................6分

8V222

（2）設。為47的中點，過。作OH14D交力。于H,連結OM,HM.............................8分

:〃是尸。的中點，...QW〃尸4,...OMI平面力BCZ）......................................................9分

.?.0A/1Z。，...Z。！平面.?.4。1班，

二為二面角河一40-3的一個平面角.....................................10分

又SAAOD=；AD6H=：S3=；x^CD-BC=3,

6

且可得分

OHVnu

nI八ecOMV17..

貝!jtanZMHO=------=...........12分

OH3

1/5

即二面角A/—ZD—B的正切值為業(yè)............................................13分

3

說明：也可以利用向量法！

16.解：(1)記“該應聘者應聘乙公司三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項”為事件4

由題設尸(4)='義。；義衿+卜中(1)2=:

4分

(2)分別記“該應聘者應聘甲、乙公司三項專業(yè)技能測試中通過的項目數(shù)為

由題設知：J?3(3,§)..............................................................................................................6分

所以/=3xg=2....................................................................................................................8分

77的所有可能取值為0,1,2,3......................................................................................................9分

1-m

P（T]=0）=—X—X（l-W7）=

6318

P（Z7=1）UX1X（1.W）+1X2X（1.W）+LXLXW=LZ^

63636318

PS=2）=3-X（I一〃7）+2/x〃,+LM〃7=g

63636318

n,5210m5m

r（77=3）=-x-xw=-----=——12分

63189

故〃的分布列為

0123

1一〃71-6m10-3w5m

p

181818~9~

l-wi7—6加八1O-3T?7C5ni2m+3

從而E〃=0x------+lx---------+2x----------+3x——=--------14分

18181892

2加+3小

'助〉祥,>2

由＜得—*

0<〃7<1,

0<Z72<1,

解得—<m<\15分

2

17.解：(D由題意可設橢圓的半焦距為c,且橢圓。的右焦點為(c,0)1分

141

-—7—]9

a3b

由題意得：＜a2=b2+c2,3分

-2-0-

--------=-2

2-c

2/5

???當X￡(0』)時，，(X)vO,/(X)單調(diào)遞減；

當X￡(l,+oo)時，r(x)>0,/G)單調(diào)遞增.......................................5分

???/(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8)..........................................................................6分

(2)Vg(x)==ex-1-\nx-mx+m{ni>0)

/.g'(x)=ex-1------m(x>0,m>0)....................................................................................7分

由⑴可知g”)在(0,+oo)單調(diào)遞增，且g\l)=-w<0,

又g，(l+〃7)=e"-1-----m>ew-(777+l)>0....................................................................8分

,存在唯一的/G(l,l+加)Q(1,+8)使得g'?)=0.............................................................9分

???當xw(O,Z)時g'(z)V。，g(x)單調(diào)遞減；當XG(Z,+8)時g(x)單調(diào)遞增；

g(x)min=g(/)=e"T-InZ-〃7/+〃7.................................................................................10分

若方程8(%)二?1-出丫一〃猶+〃2=0有唯一的實數(shù)維)，則%=t>l..............................11分

g7/)=eM---m=0,

JV7t........................................................................................12分

g(/)=e'T-In/-mt+ni=0

消去a可得(2—/)e'T—ln/+l—；=0(Z>1)......................................................................13分

令〃(/)=(2—f)e"—In'+]_1(/>]),

則〃'(，)=0—，)e'T-；+*=(1—/)(e'T+<。.................................14分

二〃⑴在/€。,收)上為減函數(shù)..................................................15分

且〃⑴=1>0,〃(2)=；-ln2<0.....................................................................................16分

???當〃(/)=0時/c(l,2),即1</<2................................................................................17分

19.解：(1)由題設知當〃=3時，ax>a3,a2>a3,故〃=3是數(shù)列Z的一個“。時刻”……2分

同理當〃=5時，都有q>=1,2,3,4).即"=5也是數(shù)列A的一個“D時刻”.....3分

綜上，。(4)={3,5}..................................................................................................................4分

(2)由約70(。,4)=4,易知q=5或q=6................................................................................5分

①當q=5時，4,3,21必須從左往右排列，6可以是a,。=2,3,4,5,6)中任一個，共有5種情

況................................................................................6分

4/5

解得C=l,。2=3,及=24分

x2v2

所以。的方程為：—+2-=1........................................................................................5分

32

⑵設/的方程為x=〃7(_y+2)+2,設4(巧,歹]),B(^x2,y2),A/(X3,J?3),A^(x4,^4),

則直線以的方程為》=五二^y+3...............................................................................6分

乂

x,-3

x=-1----y+3,

由I必可得[2(毛-3)2+3M2口2+12(/-3)72+12必2=0....................7分

二+J1,

[32

22

結合工+紇=1,可得(2_毛)_/+(玉_3)%)+%2=0..............................................8分

可得必?必=￡■'解得％..............................................9分

代入x=五二2y+2,解得七=±^?二一+3=-^+2......................................10分

yX2—藥藥一2

同理可得居

=3^,x4=-------11分

2—x2x2-2

乃弘

故”上占二2：................................................................................12分

?-5_2_____L_

x2一2玉—2

=%(2一再)一必(2—Z).............................................................................................13分

以2-(niy+2m+2)]-九2-(〃/+2m+2)]

二...........}...................................................................147T

加仍一切)

=2用(M一8)=2,故直線北火的斜率是定值，且定值為2.........................................15分

加5一%)

18.解：(l)；/(x)=e、T_lnx,Af'(x)=ex-1--........................................................1分

X

,,x1

：./(x)=e-+-ir>0.................................................................................................2分

X

.?.當x>0時，為增函數(shù)............................................3分

X

又:/XI)=0.................................................................................................................4分

②當q=6時，若。(4)中的四個元素是由集合幺中的元素4,3,2,1或5,3,2,1或5,4,2,1或

5,4,3」引起的....................................................................7分

。若由4,3,2」引起，即4,3,2,1從左往右排列，則5必須排在4的后面，共4種；

?若由5,3,2」引起，即5,3,2」從左往右排列，則4必須排在3的后面，共3種........8分

?若由5,4,2」引起，即5,4,2,1從左往右排列，則3必須排在2的后面，共2種；

?若由5,4,3」