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2024/5/31

線性方程組與向量組的關(guān)系

西安電子科技大學(xué)張鵬鴿線性代數(shù)的研究對象是解線性方程組，高斯消元法的核心實質(zhì)上是對方程組的系數(shù)矩陣或增廣矩陣進行初等行變換來求解的.而矩陣分塊理論告訴我們矩陣可按行分、也可按列分，將其理解成行向量組或列向量組.那么線性方程組與向量組有何關(guān)系？進而與向量空間又有何聯(lián)系？線性方程組與向量組的關(guān)系齊次線性方程組非齊次線性方程組若記，，針對非齊次線性方程組則方程組可記為稱此形式為線性方程組的向量形式.顯然原方程為齊次線性方程組原方程為非齊次線性方程組相應(yīng)地，有關(guān)方程組的解可用向量組的形式敘述：線性方程組有解可由的列向量組

線性表示進一步有方程組解唯一

可由的列向量組

線性表示，且表示式唯一方程組解無窮

可由的列向量組

線性表示，且表示式不唯一于是我們可以將判斷向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)，及求向量組的秩和極大線性無關(guān)組理論應(yīng)用線性方程組及矩陣?yán)碚撉蠼庵?例如，求下列向量組的一個極大線性無關(guān)組與秩為求解此類問題，我們需掌握下面這一理論.證：對,按列分塊，分別記為定理：若矩陣經(jīng)過初等行變換化為矩陣，則

的列向量組與的列向量組有相同的線性相關(guān)性.設(shè)是階矩陣經(jīng)過初等行變換后化為，即存在可逆陣，使.則即設(shè)的某些列有關(guān)系式相應(yīng)地有即的列向量組與的列向量組有相同的線性關(guān)系.有了這一結(jié)論，上述問題便迎刃而解了.即將要求的向量組按列組成一矩陣，施行初等行變換，其列向量組的線性相關(guān)性不變.解上例，用列向量構(gòu)造矩陣并作初等行變換：易見，且為原向量組的一個極大線性無關(guān)組，亦是原

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