2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)課件新人教A版選擇性必修第一冊

第三章3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學習目標1.了解拋物線的簡單幾何性質(zhì).(數(shù)學抽象)2.能運用拋物線的幾何性質(zhì)解決相關問題.(直觀想象、數(shù)學運算)3.掌握直線與拋物線的位置關系,并會用方程思想解決此類問題.(邏輯推理、數(shù)學運算)基礎落實·必備知識一遍過知識點1

拋物線的簡單幾何性質(zhì)

標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

范圍x≥0,y∈Rx≤0,

y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對稱軸x軸

x軸

y軸

y軸

標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點

頂點

準線

離心率e=1通徑過焦點且與對稱軸垂直的焦點弦,長度等于2p開口方向向右向

向

向

原點(0,0)左

上下名師點睛1.拋物線沒有漸近線,在畫圖時不要把拋物線畫成雙曲線一支的形狀,因為雙曲線的開口越來越開闊,而拋物線的開口越來越扁平.2.拋物線的頂點只有一個,拋物線的焦點總在對稱軸上,拋物線的準線始終與對稱軸垂直.微思考拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的有何不同?提示

拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線的相比有較大差別,它的離心率為定值1,只有一個焦點,一個頂點、一條對稱軸、一條準線,沒有漸近線,沒有對稱中心,通常稱拋物線為無心圓錐曲線,而稱橢圓、雙曲線為有心圓錐曲線.知識點2

直線與拋物線的位置關系設直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個切點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若k=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.微思考若直線與拋物線有且僅有一個公共點,是否說明直線與拋物線相切?若把拋物線換成橢圓、雙曲線,是否有類似的性質(zhì)?提示

直線與拋物線只有一個公共點時,直線可以與拋物線相切,也可以相交.當直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合時,直線與拋物線相交,有一個交點.當直線與橢圓有一個公共點時,直線與橢圓相切.當直線與雙曲線有一個公共點時,有可能相切,也有可能相交.當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1由拋物線方程,可否知曉其幾何性質(zhì)?問題2處理幾何問題的基本思想、方法是什么?探究點一拋物線幾何性質(zhì)的應用問題3對于解析幾何,一方面要通過方程了解其幾何性質(zhì),另一方面也要能夠把幾何問題轉化為代數(shù)問題來解決.對于拋物線問題,在解決的過程中蘊含了什么思想?【例1】

已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點坐標、焦點坐標、準線、對稱軸、自變量x的范圍;(2)以坐標原點O為頂點,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦點F是△OAB的重心,求△OAB的周長.思路分析(1)利用拋物線的對應性質(zhì)求解;(2)利用拋物線的對稱性及重心的性質(zhì)求解.解

(1)拋物線y2=8x的頂點坐標、焦點坐標、準線、對稱軸、自變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),直線x=-2,x軸,[0,+∞).(2)如圖所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設垂足為點M.因為焦點F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.因為F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故設A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24,規(guī)律方法

拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關的問題時具有廣泛的應用,但是在解題的過程中又容易忽視這些隱含的條件.其中應用最廣泛的是范圍、對稱性、頂點坐標.在解題時,應先注意開口方向、焦點位置,選準標準方程形式,然后利用條件求解.要注意運用數(shù)形結合思想,根據(jù)拋物線的定義,將拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相互轉化.探究點二直線與拋物線的位置關系問題4直線與圓錐曲線的位置關系是幾何問題的重點.類比直線與雙曲線位置關系的判斷及相應的典型問題,如何判斷直線與拋物線的位置關系?又會有哪些與之相關的幾何問題?【例2】

已知拋物線y2=2x,過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A,B兩點,試求弦AB的中點的軌跡方程.規(guī)律方法

1.解決中點弦問題的基本方法是點差法,運算量相對較小.但點差法求軌跡方程時用到了斜率,必須驗證斜率不存在的情況.2.直線與拋物線相交于兩點,隱含著條件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是為利用中點坐標公式做準備.3.設直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,無交點.探究點三拋物線的焦點弦問題問題5在橢圓、雙曲線中,過焦點的弦往往都有一些特殊的幾何性質(zhì),對于拋物線來說,過焦點的弦有哪些重要的幾何性質(zhì)?如何研究?【例3】

設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求直線l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.規(guī)律方法

AB是拋物線y2=2px(p>0)過焦點F的一條弦,稱為焦點弦,解決焦點弦問題要善于利用幾何問題來優(yōu)化運算.設A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點為M(x0,y0),過A,M,B分別向拋物線的準線l作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,拋物線的焦點弦有以下結論:探究點四與拋物線有關的定點、定值問題問題6定點、定值問題體現(xiàn)了幾何問題變化過程中的不變性,必然是解析幾何研究的重點內(nèi)容.對于直線與拋物線來說,這些問題經(jīng)常以哪些形式呈現(xiàn)?又如何解決?【例4】

已知動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,設動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設過點P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點,直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補.證明:直線AB的斜率為定值.(1)解

∵動圓經(jīng)過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,∴E到點D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線.∴曲線C的方程為y2=4x.(2)證明

設直線l1的方程為y=k(x-1)+2.∵直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補,∴l(xiāng)2的方程為y=-k(x-1)+2.規(guī)律方法

定值與定點問題的求解策略(1)欲證某個量為定值,先將該量用某變量表示,通過變形化簡若能消掉此變量,即證得結論,所得結果即定值.(2)尋求一條直線經(jīng)過某個定點的常用方法:①通過含有一個參數(shù)的直線方程來判斷;②先通過特殊情況探求定點,再證明一般情況下此點在直線上;③轉化為三點共線的斜率相等或向量平行等.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)拋物線的幾何性質(zhì)及應用;(2)直線和拋物線的位置關系;(3)拋物線中點弦問題,軌跡問題.2.方法歸納:直接法、定義法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū):(1)求拋物線方程時焦點的位置易判斷失誤;(2)數(shù)學運算的失誤.學以致用·隨堂檢測促達標123451.(例1對點題)已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過點F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,坐標原點O為拋物線的頂點,若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.12345123452.(例2對點題)設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(

)B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]C解析

由題知Q(-2,0),若直線l的斜率不存在,顯然不合題意.故直線l的斜率存在,設為k,則l的方程為y=k(x+2).當k=0時顯然符合題意;當k≠0時,需Δ≥0,即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.故直線l的斜率的取值范圍是[-1,1].12345123453.(例2對點題)已知拋物線y2=6x,過點P(4,1)引拋物線的一條弦P1P2,使它恰好被點P平分,求這條弦所在的直線方程及|P1P2|.12345解

由題意知弦所在直線的斜率存在.設直線上任意一點坐標為(x,y),弦兩端點P1(x1,y1),P2(x2,y2).∵P1,P2在拋物線上,兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).∵y1+y2=2,∴弦所在的直線斜率∴直線的方程為y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.聯(lián)立y2=6x與3x-y-11=0,消去x,得y2-2y-22=0,∴y1+y2=2,y1y2=-22,123454.(例3對點題)過拋物線C:y2=4x的焦點F,且斜率為

的直線交C于點M(M在x軸的上方),l為C的準線,點N在l上,且MN⊥l,則點M到直線NF的距離為(

)C1234512345123455.(例4對點題)已知拋物線的方程是y2=4x,直線l交拋物線于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點為(3,3),求直線l的方程;(2)若y1y2