2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.1.1傾斜角與斜率課件新人教A版選擇性必修第一冊

第二章2.1.1傾斜角與斜率學(xué)習(xí)單元1

直線的傾斜角與斜率直線與圓是平面幾何中已經(jīng)研究過的圖形,在整章中用解析幾何的方法進(jìn)行再研究.解析幾何的基本內(nèi)涵和方法是:通過坐標(biāo)系,把幾何的基本元素—點(diǎn)和代數(shù)的基本對象—數(shù)對應(yīng)起來,在此基礎(chǔ)上建立曲線的方程,從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).本學(xué)習(xí)單元的主要內(nèi)容是直線的傾斜角與斜率的概念、關(guān)系;過兩點(diǎn)的斜率公式;以及運(yùn)用直線的斜率判斷直線平行、垂直的位置關(guān)系.這是本學(xué)習(xí)單元的知識明線.具體知識結(jié)構(gòu)如下圖所示:知識明線的學(xué)習(xí)過程,實(shí)質(zhì)上是解析幾何“四步曲”大觀念——素養(yǎng)暗線的初步體現(xiàn).一是識別幾何問題,如認(rèn)識刻畫直線傾斜程度的幾何量傾斜角;二是把幾何問題代數(shù)化,如把傾斜程度用斜率進(jìn)行代數(shù)刻畫,并與傾斜角建立聯(lián)系,如把直線平行、垂直的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間關(guān)系的代數(shù)問題;三是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,如斜率的代數(shù)運(yùn)算;四是將代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題,如兩直線的斜率之積等于-1,則說明兩直線垂直的幾何關(guān)系.在此過程中,提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.(直觀想象)2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握傾斜角和斜率之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

直線的傾斜角

定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),以x軸為基準(zhǔn),x軸

與直線l

之間所成的角α叫做直線l的傾斜角

規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定直線l的傾斜角為0°

注意區(qū)分直線傾斜角為0

°的情形和向量夾角為0

°的情形正向向上的方向記法α圖示

取值范圍0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度;(2)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素:直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角,二者缺一不可名師點(diǎn)睛傾斜角還可以這樣定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.并規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.微思考1.為什么直線的傾斜角不能是180°?

2.直線的傾斜角能否是-60°?提示

假設(shè)某直線的傾斜角為180°,即與x軸平行,則與傾斜角為0°的直線沒有區(qū)別.同一條直線若有兩個(gè)不同的傾斜角,顯然不妥,故與x軸平行的直線傾斜角為0°.提示

不能.由直線傾斜角的定義,直線的傾斜角范圍為0°≤α<180°,-60°的直線,其傾斜角是120°.知識點(diǎn)2

直線的斜率1.定義與表示.定義(α為直線的傾斜角)α≠90°一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率

α=90°直線斜率不存在記法常用小寫字母k表示,即k=tanα范圍

作用用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的傾斜程度正切值

R2.斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系.

任何一條直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率圖示

傾斜角α=0°0°<α<90°

90°<α<180°斜率

k>0不存在

α=90°0k<0斜率變化規(guī)律定值直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在0°至90°間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為正數(shù)不存在直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),傾斜角α在90°至180°間逐漸增大,斜率也逐漸增大,且恒為負(fù)數(shù)微思考1.是否所有直線都有斜率?傾斜角與斜率有什么關(guān)系?

2.直線的傾斜程度從幾何上如何度量?從代數(shù)上又如何度量?提示

傾斜角為90°的直線斜率不存在,因?yàn)閠an

90°不存在.當(dāng)傾斜角為銳角時(shí),斜率大于0,且傾斜角越大斜率越大;當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí),斜率小于0,且傾斜角越大斜率越大.提示

傾斜程度從幾何上用傾斜角度量,從代數(shù)上用斜率度量.知識點(diǎn)3

直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),則直線的斜率公式為名師點(diǎn)睛1.運(yùn)用公式的前提是x1≠x2,即直線不與x軸垂直.2.斜率公式與P1,P2在直線上的位置無關(guān),在直線上任取兩點(diǎn),得到的斜率是相同的.3.需注意公式中橫、縱坐標(biāo)之差的順序,也可以寫成

,即下標(biāo)的順序一致.微思考利用過兩點(diǎn)的直線的斜率公式能求任意一條直線的斜率嗎?為什么?重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1確定一條直線的幾何要素是什么?對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,如何利用坐標(biāo)系確定它的位置?問題2如何表示直線的方向或傾斜程度?什么幾何量可以表示?探究點(diǎn)一直線的傾斜角問題3如何定義直線的傾斜角?其范圍是多少?【例1】

已知直線l過原點(diǎn),l繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動角α(0°<α<180°)后,恰好與y軸重合,求直線l轉(zhuǎn)動前的傾斜角是多少.思路分析畫草圖→標(biāo)記α→找傾斜角與α的關(guān)系→求傾斜角解

由題意畫出如下草圖.由圖可知:如圖1,當(dāng)轉(zhuǎn)動角α為鈍角時(shí),傾斜角為α-90°,如圖2,當(dāng)轉(zhuǎn)動角α為銳角時(shí),傾斜角為α+90°,如圖3,當(dāng)轉(zhuǎn)動角α為直角時(shí),傾斜角為0°.規(guī)律方法

求直線傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)定義法:根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角.(2)關(guān)注點(diǎn):結(jié)合圖形求角時(shí),應(yīng)注意有多種可能.探究點(diǎn)二直線的斜率問題4如何用代數(shù)方法刻畫直線的傾斜程度?與傾斜角有什么關(guān)聯(lián)?【例2】

已知直線l過點(diǎn)M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的斜率是1?(2)當(dāng)m為何值時(shí),直線l的傾斜角為90°?(2)l的傾斜角為90°,即l平行于y軸,所以m+1=2m,得m=1.規(guī)律方法

直線斜率的計(jì)算方法

方法一判斷兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等,若相等,則直線的斜率不存在,傾斜角為90°方法二若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等,則可以用斜率公式

(其中x1≠x2)進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)k>0,則傾斜角為銳角;當(dāng)k<0,則傾斜角為鈍角方法三每條直線都有傾斜角,但并不一定都有斜率探究點(diǎn)三傾斜角和斜率的應(yīng)用問題5傾斜角與斜率都是刻畫直線傾斜程度的不同方式,它們之間有何聯(lián)系?【例3】

已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間.又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.規(guī)律方法

傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度,二者相互聯(lián)系.(2)本題第(1)小問容易錯(cuò)寫成[-1,1],應(yīng)深刻理解直線的傾斜角與斜率的關(guān)系.當(dāng)k>0時(shí),傾斜角越大,斜率越大;當(dāng)k<0時(shí),傾斜角越大,斜率越大.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)直線的傾斜角及其取值范圍;(2)直線斜率的定義和斜率公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):(1)容易忽視傾斜角取值范圍,圖形理解不清;(2)對于傾斜角的變化如何反映斜率的變化理解不到位;(3)容易忽視斜率公式的使用條件.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1231.(例1對點(diǎn)題)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),它的傾斜角為α,如果將直線l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l1,那么直線l1的傾斜角為(

)A.α+45° B.α-135°C.135°-α D.α+45°或α-135°D123解析

根據(jù)題意,畫出圖形,如圖所示:由條件可知0°≤α<180°,通過畫圖(如圖所示)可知:當(dāng)0°≤α<135°時(shí),直線l1的傾斜角為α+45°;當(dāng)135°≤α<180°時(shí),直線l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選D.1232.(例2對點(diǎn)題)若直線l經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,m),B