上海市青浦區(qū)2024屆高三年級下冊4月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2024屆上海市青浦區(qū)第二學(xué)期高三年級學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

（時間120分鐘，滿分150分）

學(xué)生注意：

1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.

2.在試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.

3.可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題.

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.不等式次一2|>1的解集為.

2.已知向量"（T/），匕=（3,4）,則.

5i

z------

3.已知復(fù)數(shù)l-i,則Imz=.

（>6

G+~j9=

4.I的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

5.設(shè)隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（2，l）,若—3）=℃>1—2a）,則實(shí)數(shù)。=.

~r+y2=1（?！礽）

6.橢圓。的離心率為2,則。=.

7.已知直線乙的傾斜角比直線4：丁="an80°的傾斜角小20°,則4的斜率為.

8.已知A"二?一】，gG）TgA3,*（x）|+|g（x）|=|f（x）+g（x）|,則滿足條件的x的取值

范圍是.

（x-1）3,0<x<2,

/（x）=,2

9.對于函數(shù)y="x）,其中1/一，若關(guān)于x的方程/（%）=丘有兩個不同的根，則

實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

10.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字，設(shè)“取到的2個數(shù)字之和為偶數(shù)，，為事件A,“取到的2個數(shù)字均為

奇數(shù)”為事件B,則P（例A）=.

11.如圖，某酒杯上半部分形狀為倒立的圓錐，杯深8cm,上口寬6cm,若以30cm'/s的勻速往杯中注

水，當(dāng)水深為4cm時，酒杯中水升高的瞬時變化率□=cm/s

H—6-?

12.如圖，在棱長為1的正方體AB。?！?4Goi中，p、Q、R在棱A3、BC、8月上，且

PB=3'QB=3,RB=:

以-PQR為底面作一個三棱柱PQR-6Q禺，使點(diǎn)/%凡分別在平面

4A。。、RDCG、4與￡2上，則這個三棱柱的側(cè)棱長為

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且

只有一個正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

y=3x+—（x>0）

13.函數(shù)%最小值是（）

A.4B.5C.3亞D.273

14.己知點(diǎn)尸（2,2后）是拋物線C：y2=2px（p>0）上一點(diǎn)到拋拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d,M是x軸上一

點(diǎn)，則“點(diǎn)〃的坐標(biāo)為。,0）”是=的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件,

15.設(shè)S”是首項(xiàng)為為,公比為4的等比數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和，且$2023025Vs2024，則().

A%〉0B.q>QC.|5?|<|^|D.|"|<|同

16.如圖，已知直線、=履+m與函數(shù)y=/(x),xe(O,+8)的圖象相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)y=/(x)—尿有

y=kx+m

A.2個極大值點(diǎn)，1個極小值點(diǎn)B.3個極大值點(diǎn)，2個極小值點(diǎn)

C.2個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)D.3個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.對于函數(shù)y=/(x),其中/(九)=2sinxcosx+2j§cos2x-,尤eR.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)在銳角三角形ABC中，若/(A)=l,ABAC=①,求ABC的面積.

18.如圖，三棱柱ABC-A4G是所有棱長均為2的直三棱柱，D、E分別為棱A3和棱A4］的中點(diǎn).

(1)求證：面B[CD±面ABB^；

(2)求二面角4E的余弦值大小.

19.垃圾分類能減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，同時能提高資源循環(huán)利用的效率.目前上海社區(qū)的垃圾分類

基本采用四類分類法，即干垃圾，濕垃圾，可回收垃圾與有害垃圾.某校為調(diào)查學(xué)生對垃圾分類的了解程

度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，按照了解程度分為A等級和B等級，得到如下列聯(lián)表：

男生女生總計(jì)

A等級402060

B等級202040

總計(jì)6040100

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)(規(guī)定：顯著性水平

a=0.05)?

附：Z2=7——-jv-其中"=a+〃+c+d，P(z2^3,841)?0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)''

(2)為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽.每局比賽由二人參加，主

持人A和8輪流提問，先贏3局者獲得獎項(xiàng)并結(jié)束比賽.甲，乙兩人參加比賽，已知主持人A提問甲贏的

概率為|,主持人B提問甲贏的概率為每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏.現(xiàn)抽簽決定第一局由主

持人A提問.

(i)求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；

(ii)設(shè)X為結(jié)束比賽時甲贏的局?jǐn)?shù)，求X的分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

20.已知雙曲線「：土-匕=1,F,,后分別為其左、右焦點(diǎn).

(1)求《，工的坐標(biāo)和雙曲線「的漸近線方程;

(2)如圖，p是雙曲線r右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓。是△「耳工內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸耳，PF2,片工

分別切于點(diǎn)。，E，F(xiàn),當(dāng)圓C的面積為4兀時，求直線「工的斜率;

（3）是否存在過點(diǎn)工的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,3兩點(diǎn)，且使得/片45=/片84,

若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

21.若無窮數(shù)列｛4｝滿足：存在正整數(shù)T,使得a,.=%對一切正整數(shù)九成立，則稱｛qJ是周期為T的周

期數(shù)列.

im7i

（1）若?！?sin---1--（其中正整數(shù)機(jī)為常數(shù)，判斷數(shù)列｛4｝是否為周期數(shù)列，并說

明理由；

（2）若％+i=a.+sin45eN/21）,判斷數(shù)列｛4｝否為周期數(shù)列，并說明理由；

（3）設(shè)他』是無窮數(shù)列，已知a“+i=〃+sina〃5eN,"21）.求證：“存在為,使得｛4｝是周期數(shù)歹!J”的

充要條件是“｛"｝是周期數(shù)列”.

參考答案

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.不等式I%—2|>1的解集為.

【答案】（-8,1）U（3,E）；

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的定義分類討論解一元一次不等式組得出結(jié)果.

,?fx-2>0fx-2<0

【詳解】|x-Z>lo2>1或-晨-2）>1'

即%>3或％<1,所以不等式|X—2|〉1的解集為｛乂1<1或x>3｝,

故答案為：（一8,1）、（3,+8）.

2.已知向量Qb=（3,4）,則<〃,/?〉=.

【答案】arccos

【解析】

【分析】由向量的數(shù)量積公式求兩個向量的夾角即可.

,a-b-3+4后

【詳解】由向量的夾角公式得cos<a,6〉=麗又因?yàn)椋钾埃緀[0,?r],

一72x5—10

所以＜a,b＞=arccos^-

10

故答案為：arccos—?

10

3.已知復(fù)數(shù)2二—二，貝iJlm2二

1-1

【答案】-##2.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z,再寫出復(fù)數(shù)的虛部即可.

5i(l+i)_55.

【詳解】(l-i)(l+i)-221

15

Imz=—,

2

故答案為：一.

2

4.+的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】160

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式定理得展開式的通項(xiàng)公式，代入r=3可求出結(jié)果.

、6

【詳解】因?yàn)閥[xH—的展開式通項(xiàng)為(+1

7

展開式中常數(shù)項(xiàng)，必有3—廠=0,即廠=3,

所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為n=23或=8x20=160.

故答案為：160

5.設(shè)隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(2,l),若PC<a—3)=PC>1—2a),則實(shí)數(shù)a=

【答案】-6

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性列式計(jì)算即得.

【詳解】由正態(tài)分布的對稱性，得(a—3)+(1-2a)=4,所以a=-6.

故答案為：-6

6.橢圓=1(?！?)的離心率為立，則。=__________.

a22

【答案】2

【解析】

【分析】直接根據(jù)橢圓方程得出離心率公式，則a可求.

【詳解】由題意得橢圓離心率為之二1=1叵，

a2

解得a=2,

故答案為：2.

7.已知直線的傾斜角比直線4：V=xtan80°的傾斜角小20°,貝Ilx的斜率為.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)直線4方程求出直線4斜率為tan80?,由此確定直線6傾斜角80?,結(jié)合已知條件求得直線

傾斜角為60。，由此即可求得直線4的斜率.

【詳解】由直線6方程：y=xtan80?得4的傾斜角為80?,

所以4的傾斜角為60。，即乙的斜率為tan⑥0?「

故答案為：也.

8.己知/(x)=lgxT,g(x)=lgx-3,若/㈤+|g(x)|=|/(x)+g(x)|,則滿足條件的x的取值

范圍是.

【答案】(0,10][1000,y)；

【解析】

【分析】由絕對值等式可知〃x)g(x)20,代入函數(shù)后解不等式再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算和取值范圍求出結(jié)果即

可.

【詳解】因?yàn)?(無)|+|g(x)|=，(x)+g(x)|，

所以/(x)g(x)NO,即(Igx-3)?0,

解得IgxVl或lg%33,

所以x的取值范圍是(0,10][1000,f8),

故答案為：(0,10][1000,+?).

(x-1)3,0＜x＜2,

9.對于函數(shù)y=/(x),其中7?(*)=2，若關(guān)于x的方程/(勸=區(qū)有兩個不同的根，則

一,%22

實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】將方程有兩個不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.

【詳解】將函數(shù)y=d向右平移I個單位得到y(tǒng)=(尤-1)3,

作出函數(shù)y=/(尤)的圖象如下：

要關(guān)于x方程/(尤)=區(qū)有兩個不同的根,

則函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=kx有兩個不同的交點(diǎn),

當(dāng)y=6過點(diǎn)(2,1)時，k=三

所以當(dāng)函數(shù)＞=/(尤)和函數(shù)y=質(zhì)有兩個不同的交點(diǎn)時，。＜發(fā)＜，

10.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)字，設(shè)“取到的2個數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A,“取到的2個數(shù)字均為

奇數(shù)”為事件B,則P（例A）=.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率及排列組合計(jì)算公式求出事件A的概率，同樣利用排列組合計(jì)算公式求出事

件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解.

【詳解】P（A）=^^=-=-,P（AB）=4=--

V7C；105v7Cf10

3

由條件概率公式得P（即A）==與=；.

5

3

故答案為：一.

4

11.如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm,上口寬6cm,若以30cm3/s的勻速往杯中注

水，當(dāng)水深為4cm時，酒杯中水升高的瞬時變化率丫=cm/s.

【分析】計(jì)算出當(dāng)水深為4cm時，水的體積，然后除以流速可得出時刻與的值，設(shè)水的深度為/?cm,求出

關(guān)于才的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得當(dāng)水深為4cm時，水升高的瞬時變化率.

1QQ

【詳解】設(shè)/時刻水的深度為//cm,水面半徑為rem,則」=—,得廠=士〃，

r38

所以當(dāng)水深為4cm時，酒杯中水面的半徑為3cm,此時水的體積為V=！兀x4=3兀，

23⑵

設(shè)當(dāng)水深為4cm的時刻為辦，可得30。=3兀，可得。=^s；

1

又由題意可得30/=工兀廠2〃=J_兀x/2=—7i/z3,則//=(竺耳，

3318J6417r

1

所以叫X片產(chǎn)

1_2

所以當(dāng)時，v=^=lxf—Yxf—V=—(cm/s).

1037rJUOj3兀')

40

故答案為：—.

3兀

12.如圖，在棱長為1的正方體ABC?！狝AGA中，P、Q、R在棱AB.BC、BB,±,且

PB=LQB=L,RB=L以-PQR為底面作一個三棱柱PQR-《。國，使點(diǎn)片,孰,《分別在平面

234

A.ADD,.DjDCCp上，則這個三棱柱的側(cè)棱長為______

9__________C)

，“二二4

ApB

【答案】誓

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)三棱柱中向量相等得到A坐標(biāo)，進(jìn)而得到尸々的坐標(biāo)，從

而得到側(cè)棱尸a.

【詳解】1:

\\

A￡IA『

/PB

以。為原點(diǎn)，以所在直線為羽％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

小;'4。亙0]'《1''"片（%°e），Q（o,%，4），4（石,%1），

則PQ=H，；,O；PRJO[,￡|,微=（-4％，0），4N=（o，為，—4）

由三棱柱可知[0]=PQ,即（-九1，）；2，°）=[—]，]，°），所以1

P、R1=PR,即（°，％，-4）=（0,3，：],所以%=<，4=I，

所以根0,皆,所以旗m，

^^8T

故這個三棱柱的側(cè)棱長為p4=

12

故答案為：幽.

12

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且

只有一個正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.函數(shù)y=3x+L（x>0）的最小值是（）

X

A.4B.5C.3亞D.273

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式即可得解.

【詳解】因?yàn)閤>0,

所以丁=3%+422/3”1=26，

XX

當(dāng)且僅當(dāng)3%=4，即％=3時，等號成立.

x3

則y=3x+^（x>0）的最小值是.

故選：D.

14.已知點(diǎn)P(2,2&)是拋物線C：/=20X仙>0)上一點(diǎn)到拋拋物線c的準(zhǔn)線的距離為d,/是x軸上一

點(diǎn)，則“點(diǎn)M的坐標(biāo)為。,0)”是=的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件，

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知拋物線C的焦點(diǎn)b(1,0).易知充分條件成立，結(jié)合圖形，舉例說明必要條件不成立,

即可求解.

【詳解】由題意知，將點(diǎn)尸(2,20)代入方程V=2內(nèi)，即8=4p,得夕=2,則拋物線C的焦點(diǎn)F(l,0).

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)時，點(diǎn)M與拋物線的焦點(diǎn)重合，由拋物線的定義知必有d=|PM|；當(dāng)d=時，

點(diǎn)"的坐標(biāo)不一定為(1,0),理由如下：

如圖,連接PR^\PF\=\PM\^,d=\PF\=\PM\.

因此“點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)”是“d=|。閭”的充分不必要條件.

15.設(shè)色是首項(xiàng)為%,公比為4的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且$2023<S2025<S2)J24，則().

A.%〉0B.q>0C.⑶區(qū)同D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意算出。2024〉-。2025>°，可得-1<“<。且6<。，由此對各項(xiàng)的結(jié)論加以判斷，即可得

結(jié)論.

【詳解】$2023<^2025<^2024，

9

…$2025—邑023>0S2025—$2024<0,即"2024+"2025>°且“2025<°，

二生024>—。2025>0，且々2024>0，兩邊都除以。2024，得1>一夕>0,可得一1<夕<0.

對于A,由%025=〃心2°24<0,可得4<0,故A項(xiàng)不正確；

對于B,由于一1<9<。，所以鄉(xiāng)>。不成立，故B不正確；

\-an

對于C,因?yàn)橐籰vg<0,所以0<l—9〃<1—9,可得0<一^-<1.

、-q

結(jié)合=，可得6“=同?|三:目ql，故C正確；

對于D,根據(jù)一1<q<0且％<0,當(dāng)q=—l,q=—5時，|Sj=l).=5，

此時不成立，故D不正確.

故選：C.

16.如圖，已知直線>=履+m與函數(shù)y=/(%),xe(0,+oo)的圖象相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)y=/(%)—質(zhì)有

y=kx+m

A.2個極大值點(diǎn)，1個極小值點(diǎn)B.3個極大值點(diǎn)，2個極小值點(diǎn)

C.2個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)D.3個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

【答案】B

【解析】

【分析】作出與直線'=履+加平行的函數(shù)了(%)的所有的切線，即可觀察得到了'(%)與左的大小關(guān)系的不

同區(qū)間，進(jìn)而得出尸(X)=/'(%)—左的正負(fù)區(qū)間，得出產(chǎn)(龍)的單調(diào)性，進(jìn)而得到尸(九)的極值情況，從

而判定各個選項(xiàng)的正確與否.

F(x)=f(x)-kx=^>F'(x)=f(x)-k,

作出與直線廣質(zhì)+"平行的函數(shù)八％)的所有切線，各切線與函數(shù)/(%)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為

a,b,c,d,e,

了(%)在a,b,c,d,e,處的導(dǎo)數(shù)都等于左，

(0,a),(b,c),(d,e)上，(x)>女/(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,

在(a,Z?),(c,d),(e,+oo)上，/,(x)<0,尸(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，

因此函數(shù)E(x)=/(%)-Ax有三個極大值點(diǎn)，有兩個極小值點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決問題的關(guān)鍵所在是作出與直線、=履+加平行的函數(shù)了(%)的所有的切線，由此

觀察圖象即可順利得解.

三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.對于函數(shù)y=/(x),其中/(x)=2sinxcosx+2j5cos2%—石，尤eR.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在銳角三角形ABC中，若/(A)=l,ABAC=42>求ABC的面積.

3兀兀

【答案】(1)kit——,^7l+—，(左￡Z)

(2)叵.

2

【解析】

【分析】(1)由二倍角正弦、余弦公式及輔助角公式化簡了(無)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果;

(2)由(1)及條件求出角4根據(jù)數(shù)量積的定義及三角形面積公式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

/(x)=2sinxcosx+2^cos2%-6=2sinxcosx+^(2cos2%-1)

=sin2x+6cos2x=2sin[2x+

令〃=2%+g,則/(〃)=2sin〃，函數(shù)〃]為增函數(shù)，

兀71

當(dāng)2^71--,2^7i+—,左EZ時函數(shù)jf(〃)=2sin"為增函數(shù)，

即2也一P+W2E+工，左wZ,得E—2WiWE+4,左wZ,

2321212

5兀TC

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是hi-^,kn+—，(左eZ).

【小問2詳解】

(2)由已知/(A)=2sin〔2A+§1=1,所以sin[2A+]]=萬，

m、rci兀r-r-r、[兀-，7L47r□rtC4兀5兀LL.7C

因?yàn)?<A<一,ffrUs—<2A+—<——f即2AH—=—，所以A=—,

2333364

又45?40=,8/4。k054=血,所以,⑷-卜。，？，

所以一ABC的面積S=』A5|」AdsinA=，x2xYI=走.

21???222

18.如圖，三棱柱ABC-4與G是所有棱長均為2的直三棱柱，D、E分別為棱A5和棱AA的中點(diǎn).

（1）求證：面耳C。，面ABBX\；

（2）求二面角4-CD-E的余弦值大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、面面垂

直的判定定理進(jìn)行證明即可；

（2）方法一：根據(jù)二面角定義，結(jié)合（1）的結(jié)論、線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；方法二：

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

。為棱A5中點(diǎn)，一ABC為正三角形，.'ABLCD.

又三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，

.."，面ABC,又CDu面ABC,

而AB=A,AB,A4,u平面ABB^,

\CD八面AB4A，CDu面BQ,

.?.面面ABB]/；

【小問2詳解】

由（1）得?.CD，面ABB,At,用DEu面ABB^,

:.CDLBXD,CDLED,

，是二面角4—CD-E的平面角,

后+?后_M

在-ABC中,CD=y/2,B1D=BlE=y/5=>cos/B]DE=

b10

.??二面角B-CD-E的余弦值為叵

10

方法二：以。為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖:

則￡>(0,0,0),5(1,0,0),C(0,叢,0),四(1,0,2),￡(-1,0,1),

DC=(0,^3,0),DB[=(1,0,2),DE=(-1,0,1),

設(shè)平面耳CD、平面CDE的法向量分別為勺，%，

々-DC=y/3y1=0

.??4可以是(2,0,—1)

Y\?DB]=玉+2Z[=0

n-DC-—0

2二.的可以是a?！梗?，

n2?DE=-x2+z2=0

.??二面角4-CD-E的余弦值為?.

10

19.垃圾分類能減少有害垃圾對環(huán)境的破壞，同時能提高資源循環(huán)利用的效率.目前上海社區(qū)的垃圾分類

基本采用四類分類法，即干垃圾，濕垃圾，可回收垃圾與有害垃圾.某校為調(diào)查學(xué)生對垃圾分類的了解程

度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生作為樣本，按照了解程度分為A等級和B等級，得到如下列聯(lián)表：

男生女生總計(jì)

A等級402060

B等級202040

總計(jì)6040100

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答：學(xué)生對垃圾分類的了解程度是否與性別有關(guān)(規(guī)定：顯著性水平

a-0.05)?

附：z2=7——嗎/be)/__—,其中“=a+〃+c+d，P(Z23,841)?0.05.

(a+b)[c+d)^a+c)[b+d)'，

(2)為進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識問答比賽.每局比賽由二人參加，主

持人A和8輪流提問，先贏3局者獲得獎項(xiàng)并結(jié)束比賽.甲，乙兩人參加比賽，已知主持人A提問甲贏的

概率為3，主持人B提問甲贏的概率為:，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏.現(xiàn)抽簽決定第一局由主

持人A提問.

(i)求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束概率；

(ii)設(shè)X為結(jié)束比賽時甲贏的局?jǐn)?shù)，求X的分布和數(shù)學(xué)期望E(X).

【答案】(1)無關(guān)(2)(i)4；(ii)分布列見解析，敘

18108

【解析】

【分析】(1)計(jì)算%2的值，再與3.841進(jìn)行比較即可得結(jié)論；

(2)(i)由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可直接求出答案；

(ii)先由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式求出尸(X=0),尸(X=l),尸(X=2),則分布列可得，再由期望

公式求數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

提出原假設(shè)“0：學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，

確定顯著性水平a=0.05,由題意得，a=40,b=c=d=20

2

2_n[ad-bc^_100x(40x20-20x20)_25

待,(a+Z?)(c+iZ)(a+c)(Z?+(Z)60x40x60x409'

由尸(％223.841)^0.05,且得<3.841,

所以接受原假設(shè)，學(xué)生對垃圾分類的了解程度與性別無關(guān).

【小問2詳解】

2122

(i)比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為《=§乂5乂1=§

比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，乙贏得比賽的概率為。2='-|2)x|l-g)x,一2|1

3318

215

故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為Pi+02=-1--=-

91818

(ii)X的可能取值為0』,2,3,

故尸（X=0）=；x；x《=2

X=0,即進(jìn)行了3場比賽,且乙贏得比賽,

3ZJ1O

x=l，即進(jìn)行了4場比賽,且乙贏得比賽,前3場中，甲贏得1場比賽，乙第4場贏,

故P（X=l）=g111111111215

X——X—X—+—X—X—X—+—X—X—x——=

2323232323236

X=2,即進(jìn)行了5場比賽,且乙贏得比賽,前4場中,甲贏得2場比賽，乙第5場贏,

故P（X=2）=|11112121121111

X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+

23233232332323

11211111111121113

—x—x—x—x—+—x—x—x—x—+—x—x—x—x—=-----

323233232332323108

X=3,即最后甲贏得比賽，由概率性質(zhì)得

p（X=3）=1-P（X=O）-P（X=1）-P（X=2）=1----—

183610854

所以分布為

X0123

151337

P

183610854

故數(shù)學(xué)期望為E（X）=0x—+lx?+2x上+3義工=上

',183610854108

22

20.已知雙曲線「：3-g=l,4,工分別為其左、右焦點(diǎn).

(1)求《，心的坐標(biāo)和雙曲線r的漸近線方程；

(2)如圖，P是雙曲線「右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，圓。是的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸片，PF],FR

分別切于點(diǎn)。，E，F(xiàn),當(dāng)圓。的面積為4兀時，求直線尸工的斜率；

(3)是否存在過點(diǎn)工的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,3兩點(diǎn)，且使得/445=/月84,

若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴耳(—3,0),g(3,0),y=+^-X

2

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)題干給的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得答案；

(2)由雙曲線的定義以及切線的性質(zhì)可得圓的半徑r=2,再借助于點(diǎn)到直線的距離公式求直線P8的斜

率；

(3)假設(shè)存在直線/,由/片45=/耳氏4得閨聞=閨用，取A3的中點(diǎn)則即幽?左MF?=T，進(jìn)而

f22

五一為=1

得+=9；又利用|25,得4/=5焉-15%,于是聯(lián)立方程組可得M的坐標(biāo)，從而得到直線

x2yi_]

彳一！"—

/的斜率并得出直線/的方程.

【小問1詳解】

因?yàn)殡p曲線「：上—X=l,所以4=4/2=5,所以c=3,

即月(一3,0),馬(3,0),

所以雙曲線「的漸近線方程是y=土或x；

2

【小問2詳解】

由題意可知|P￡>I=|PE|,I耳。1=1耳尸I,|巴尸意葉E|,

所以|尸耳|-|「鳥|=(|尸。+|。耳|-(|尸?+|￡81)=|必|-|碼|工尸可|-|房|=24=4,

F(2,0),即尸是橢圓右頂點(diǎn)

設(shè)圓C的半徑為廠(廠>0),因?yàn)閳AC的面積為4兀，貝IJ無產(chǎn)=4兀，即r=2,

CF_L4居，

???設(shè)直線產(chǎn)區(qū)的斜率為左，則直線尸工的方程為y=k(x—3),即依-y-3左=0,

由圓心C到直線尸工的距離等于圓的半徑，

12%-2-34|

可侍G’

4

解得直線P區(qū)的斜率為左=§

【小問3詳解】

假設(shè)存在過點(diǎn)心的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，且使得/片43=/片氏4,

設(shè)4(占，%),B(X2,y2),AB中點(diǎn)為知(毛，％),又￡(一3,0),月(3,0),

由/片43=/耳84,可知△耳等腰三角形，|片A|=|耳31,且直線/不與x軸重合，

于是與MLA3,即片“，"與，

因此即幽/叫=T，Tr士=T，/；+/=9(1),點(diǎn)A,8在雙曲線「上，

X。~I-J*0n

王』=1①

45

所以

①一②化簡整理得：竺竺』=1,=

%+馬不一化24X。玉一/4

5yy5

則%?%=］，可得nn:黃4$9=5%9一15%（n）,

4x0x0-J4

+'°,9,=>3%一5%-12=0,得花=一與或%=3（舍），所以

聯(lián)立（I）（II）得

—5%o—15XQ