2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附參考答案與解析

2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附參考答案與解析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：100分）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）

1,某班期末考試數(shù)學(xué)的平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分

小英的成績記作-3分，表示得了（）分.

A.86B.83C.87D.80

2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

3.2023年“亞運(yùn)十雙節(jié)”讓杭州火出圈,相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約13000000人次

將數(shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.3xl06B.1.3xl07C.0.13x10sD.13xl06

4.為落實(shí)“雙減”政策，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的睡眠時間，統(tǒng)計結(jié)果如圖

則在這組數(shù)據(jù)中這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

D.16,14

2x-l,

---->-1__

5.不等式組3的解集在數(shù)軸上可表示為（）

l-3x>-5

已知直線力〃刀，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置(NZ6C=30°)

并且頂點(diǎn)4。分別落在直線處〃上，若Nl=38°,則N2的度數(shù)是()

A

A.20°B.22°C.28°D.38°

大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)

并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”.如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中

若物距為12cm,像距為16cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm,則蠟燭火焰的高度是()

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

8.點(diǎn)(LyJ,(2,%)和(3,%)，(4,%)在反比例函數(shù)y=:圖象上，則%,%和%,”中最小的是

()

A.?B.%C.%D.%

9.四個邊長為5的大正方形按如圖方式擺放，在中間形成一個邊長為3的小正方形

則正方形ABCD的面積為()

A.16B.29C.34D.39

己知銳角NAOB如圖

(1)在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)0為圓心，0C長為半徑作尸Q,交射線0B于點(diǎn)D,連接CD；

(2)分別以點(diǎn)C,D為圓心，CD長為半徑作弧，交尸Q于點(diǎn)出N；

(3)連接OM,MN.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是()

P

//I\A

—

O?口B

<?

A.ZCOM=ZCODB.若OM=MN,則/A0B=20°

C.MN/7CDD.MN=3CD

二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)

11.因式分解：3/-12=.

12.一只不透明的袋中裝有2個白球和〃個黑球，這些球除顏色外都相同

攪勻后從中任意摸出1個球，摸到白球的概率為：，那么黑球的個數(shù)是

4

13.如圖，在A5C中AC的垂直平分線交于點(diǎn)￡),交AC于點(diǎn)E和=

若A5=4,則。C的長是

如圖，正六邊形/灰婀的邊長為2,以頂點(diǎn)/為圓心，4?的長為半徑畫圓

則圖中陰影部分的面積為.

如圖，在矩形Q4BC和正方形CDEF中點(diǎn)/在y軸正半軸上，點(diǎn)G戶均在x軸正半軸上

點(diǎn)2在邊上3c=2CD,AB=3若點(diǎn)6,￡在同一個反比例函數(shù)的圖象上

則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是

16.如圖，分別以"力,根,“為邊長作正方形，已知機(jī)〉”且滿足。加一行/=2和a〃+Zw?=4.

a

ab

圖1

(1)若a=3,b=4,則圖1陰影部分的面積是

（2）若圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形A6CD的面積為5,則圖2陰影部分的面積是

解答題（本題有8小題，第17?19題每題6分，第20,21

題每題8分，第22,23題每題10分

第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）

17.計算：（兀—2023）。+卜一啰|—2cos30°+1萬］.

18.先化簡，再求值：｛1------—j---------＞其中x=—

（xJx-x.

19.如圖，圖1是一盞臺燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）

其中燈臂AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座構(gòu)成的NC4B=60。.

CO可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)8與水平線所成的角為30。時

臺燈光線最佳，求此時點(diǎn)。與桌面的距離.（結(jié)果精確到1cm,不取1.732）

圖1圖2

20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：

4籃球，B：足球，C：排球，D-.羽毛球，E-.乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門

學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)則該班的總?cè)藬?shù)為人，其中學(xué)生選，“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是度；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)該班班委4人中2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球

李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法

求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率.

21.第19屆杭州亞運(yùn)會，吉祥物為“宸宸"、“琮琮"、“蓮蓮”

如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運(yùn)會”知識競賽活動

擬購買30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”)作為競賽獎品.某商店有甲，乙兩種規(guī)格

其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元.

(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價

格；

(2)在(1)的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費(fèi)用最少？

22..某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究:

(1)問題發(fā)現(xiàn):

如圖1,在等邊ABC中點(diǎn)尸是邊3C上任意一點(diǎn)，連接AP,以AP為邊作等邊△APQ

連接8,第與S的數(shù)量關(guān)系是;

(2)變式探究：

如圖2,在等腰；ASC中AB=3C,點(diǎn)P是邊BC上任意一點(diǎn)，以AP為腰作等腰△AP。

使AP=PQ,NAPQ=NA5C連接CQ,判斷/ABC和ZAC。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)解決問題:

如圖3,在正方形A33c中P是邊上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APEF,。是正方形APEF的中

心，連接CQ.若正方形APEF的邊長為5,CQ=］，求正方形AD3C的邊長.

23.已知點(diǎn)(一加,0)和(3私0)在二次函數(shù)y=g2+法+3(。力是常數(shù)，awO)的圖像上.

(1)當(dāng)％=-1時，求。和力的值；

(2)若二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)4(”,3)且點(diǎn)/不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)-2<m<-1時，求〃的取值范圍;

(3)求證：廿+4。=0.

如圖，在ABC中—C為直角，點(diǎn)。在AC上，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)￡

與AC相交于點(diǎn)〃已知3c=6,AB=10點(diǎn)只0分別在。G上(不與端點(diǎn)重合)

DP3

且滿足訴=￡.設(shè)4尸=》和8。=>.

BB

(1)求圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

(3)如圖2,過點(diǎn)0作然，3c于點(diǎn)尼連結(jié)尸Q,PR.

①當(dāng)“尸QR為直角三角形時，求x的值.

AR'

②把線段0R繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。R,當(dāng)。'落在圓。上時，直接寫出絳的值.

參考答案與解析

一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)

1.某班期末考試數(shù)學(xué)的平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分

小英的成績記作-3分，表示得了()分.

A.86B.83C.87D.80

【答案】D

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的概念，關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)表示的實(shí)際意義.由正負(fù)數(shù)的概念可計算.

【詳解】解：平均成績是83分，小亮得了90分，記作+7分，小英的成績記作-3分

則83—3=80

表示得了80分

故選：D.

2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

【答案】A

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形

能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

故選A.

3.2023年“亞運(yùn)+雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約13000000人次

將數(shù)據(jù)13000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.3xlO6B.1.3xl07C.0.13xl08D.13xl06

【答案】B

【分析】

本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

將一個數(shù)表示成。x10”的形式，其中1W時＜10,“為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法

據(jù)此即可得到答案.

【詳解】13000000=1.3x107

故選：B.

4.為落實(shí)“雙減”政策，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的睡眠時間，統(tǒng)計結(jié)果如圖

則在這組數(shù)據(jù)中這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.8,9B.8,8.5C.16,8.5D.16,14

【答案】A

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)）和中位數(shù)的定義

（將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)

則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)

則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）分別求出眾數(shù)和中位數(shù)即可得.

【詳解】解：：睡眠8小時出現(xiàn)的次數(shù)最多，為16次

???眾數(shù)是8

:被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為3+16+14+7=40（人）

???總共有40個數(shù)據(jù)

將這些數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排序后

第20個數(shù)和第21個數(shù)據(jù)分別為9,9

則中位數(shù)是9

故選：A.

2x—l1

---->—I

5.不等式組3的解集在數(shù)軸上可表示為（）

l-3x>-5

【答案】A

【分析】分別解不等式進(jìn)而得出不等式組的解集，進(jìn)而在數(shù)軸上表示即可.

2x-l

>-l①

【詳解】解：3

1-3x2-5②

解①得：x>-1

解②得：xW2

故不等式組的解集為：-1<XW2

在數(shù)軸上表示解集為:

故選：A.

已知直線小〃A,將一塊含30。角的直角三角板按如圖所示方式放置（//8C=30°）

并且頂點(diǎn)4C分別落在直線如〃上，若/1=38°,則/2的度數(shù)是（）

A.20°B.22°C.28°D.38°

【答案】B

【分析】過C作切〃直線處根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出/2的度數(shù).

【詳解】解：過C作切〃直線加

9：ZABC=30°，ZBAC=90°

：.ZACB=QO°

直線m//n

：.①〃直線力〃直線〃

???N1=N4為，/2=/BCD

VZ1=38°

：.ZACD=38°

???N2=N6G9=60°-38°=22

故選：B.

大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)

并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”.如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中

若物距為12cm,像距為16cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm,則蠟燭火焰的高度是（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】A

【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：依題意ABOsDCO,根據(jù)物距為12cm,像距為16cm,得

AOABBO12_3

即可作答.

~OD~~CD~~CO~16~4

【詳解】解：如圖:

依題意，ABOsDCO

物距為12cm,像距為16cm

.AOABBO12_3

-OD-CD_CO_16-4

??,蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm

AB3

???一_

84

AB=6cm

故選：A

.點(diǎn)（，）（）和（），（）在反比例函數(shù)二;圖象上，則%,

81X,2,%3,%4%%和％，為中最小的是

（）

A.xB.y2C.%D.

【答案】D

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)心0時，在每一個向西安內(nèi)，y隨，的增大而減少，可直接進(jìn)行求

解.

4

【詳解】解：由反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=—可知：4>0

x

...在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

?.?點(diǎn)（1,%）,（2,%）和（3,%）,（4,%）在反比例函數(shù)y=g圖象上

%>%>%>%

故選D.

9.四個邊長為5的大正方形按如圖方式擺放，在中間形成一個邊長為3的小正方形

則正方形ABCD的面積為（）

A.16B.29C.34D.39

【答案】B

【分析】由正方形的性質(zhì)得出AF=BE=DG=5,EF=GF=EH=3,ZAFD=90°,得出DF=DG-GF=2,由

勾股定理得出AD2=AF2+DF2=52+22=29,即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示：

由正方形的性質(zhì)得：AF=BE=DG=5,EF=GF=EH=3,NAFD=90°

.\DF=DG-GF=5-3=2

AD2=AF2+DF2=52+2?=29

正方形ABCD的面積=AD?=29；

故選B.

已知銳角NAOB如圖，(1)在射線OA上取一點(diǎn)C

以點(diǎn)。為圓心，0C長為半徑作PQ,交射線0B于點(diǎn)D,連接CD；

(2)分別以點(diǎn)C,D為圓心，CD長為半徑作弧，交尸Q于點(diǎn)M,N；

(3)連接OM,MN.

根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是()

1X.

■V

A.ZCOM=ZCODB.若OM=MN,貝l]NA0B=20°

C.MN〃CDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】由作圖知CM=CD=DN,再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得.

【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN

,,.ZCOM=ZCOD,故A選項(xiàng)正確；

,.,OM=ON=MN

.,.△OMN是等邊三角形

/.ZM0N=60°

???CM=CD=DN

ZM0A=ZA0B=ZB0N=1ZM0N=20°,故B選項(xiàng)正確;

,/ZM0A=ZA0B=ZB0N

,,180°-ZCOD

I.Z0CD=Z0CM=------------------

2

???ZMCD=180°-ZCOD

又NCMN」NAON=NCOD

2

ZMCD+ZCMN=180°

???MN〃CD,故C選項(xiàng)正確；

VMC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN

A3CD>MN,故D選項(xiàng)錯誤；

故選D.

二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）

11.因式分解：3/-12=.

【答案】3（x+2）（x-2）

【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵.首先提取

公因式3,再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解:原式=3（必一4）

=3(x+2)(x-2).

故答案為：3（%+2）（%—2）.

12.一只不透明的袋中裝有2個白球和〃個黑球，這些球除顏色外都相同

攪勻后從中任意摸出1個球，摸到白球的概率為《，那么黑球的個數(shù)是

4

【答案】6

【分析】根據(jù)概率公式建立分式方程求解即可

【詳解】???袋子中裝有2個白球和〃個黑球，摸出白球的概率為:

4

...2」

〃+24

解得72=6,

經(jīng)檢驗(yàn)h6是原方程的根

故答案為：6

14.如圖，在.ABC中AC的垂直平分線交5C于點(diǎn)￡),交AC于點(diǎn)EZB=ZADB.

若A3=4,則。C的長是.

【答案】4

【解析】

【分析】由NB=NADB可得AZ)=AB=4,由OE是AC的垂直平分線可得40=。。

從而可得。C=AB=4.

【詳解】解：=

/.AD=AB=4

???。石是AC的垂直平分線

AD=DC

DC=AB=4.

故答案為：4.

如圖，正六邊形2呼的邊長為2,以頂點(diǎn)/為圓心，的長為半徑畫圓

則圖中陰影部分的面積為.

【答案】芋47r/京4

【分析】延長用交。力于G,如圖所示：根據(jù)六邊形46CW是正六邊形，AB=2,利用外角和求得/勿廬

獨(dú)=60。,

再求出正六邊形內(nèi)角/川戶180°-ZGAB=180°-60°=120°,利用扇形面積公式代入數(shù)值計

6

算即可.

【詳解】解：延長為交。/于。如圖所示:

???六邊形/比郎是正六邊形，/廬2

360°

：.ZGAB=——=60。

6

ZFAB=180°-ZGAB=180°-60°=120°,

.c_產(chǎn)_120x〃x4_44

??扇形E4B-360——360—-V

故答案為X三rr.

如圖，在矩形Q4BC和正方形CDE/中點(diǎn)/在y軸正半軸上，點(diǎn)G尸均在x軸正半軸上

點(diǎn)〃在邊BC上BC=2CD,AB=3若點(diǎn)6,￡在同一個反比例函數(shù)的圖象上

則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是.

―上，18

【答案】y=一

X

【分析】設(shè)正方形CDE尸的邊長為加，根據(jù)3c=2CD和AB=3,得到3（3,2加）

根據(jù)矩形對邊相等得到OC=3,推出E（3+m,m）,根據(jù)點(diǎn)8,￡在同一個反比例函數(shù)的圖象上

1Q

得到3x2根=（3+根）%，得到機(jī)=3,推出y=一.

【詳解】解：???四邊形Q4BC是矩形

：.OC=AB=3

設(shè)正方形CDEF的邊長為m

：.CD=CF=EF=m

,:BC=2CD

BC=2m

B（3,2m）E（3+m,m）

k

設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一

X

3x2m=（3+m）m

解得m=3或m=。（不合題意，舍去）

/.3(3,6)

k=3x6=18

1Q

???這個反比例函數(shù)的表達(dá)式是y="

故答案為：y=—.

X

16.如圖，分別以。力，加,〃為邊長作正方形，已知用〉〃且滿足〃加一切1=2和。〃+Zw?=4.

(1)若，=31=4,則圖1陰影部分的面積是—

(2)若圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形A5CD的面積為5,則圖2陰影部分的面積是—

【答案】①.25②.-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計算即可求解;

2a+4b9畫_廊

m=-----a=

320

(2)根據(jù)題意，解方程組得出《，根據(jù)題意得出加+〃=回，進(jìn)而得出＜

4a-2b3AM+3廊

n二----------------b-

320

根據(jù)圖2陰影部分的面積為小〃，代入進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】解：（1）。=3/=4,圖1陰影部分的面積是々2+82=32+42=25

故答案為：25.

（2）?..圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形ABCD的面積為5

a1+b2=3,^(m+n)(m+n)=5即(根+"7=IQ

m+n—V10(負(fù)值舍去)

am—bn=2an+bm=4.

2a+4Z;

m=-----彳

a+b

解得：，

4a-2b

n=---......—

a+b

1?,a2+b2=3@

2〃+46

m二----------------

3

4a-2b

n=---------

3

6a+2bc27

J.m+n----------=2a+—b

33

2a+-b=JlQ?

3

730+97109回_屈

a=--------------a=--------------

2020

聯(lián)立①②解得：二口（匕為負(fù)數(shù)舍去）或

73V10-3V30匹亞+巫

b=-------

2020

?。3而+3而.-730+3710

??2〃+4〃=--------------4a-2b=----------------

22

圖2陰影部分的面積是,=

2

(2a+46)(4"26)

mn=---------------------

9

A^0+3A/10_而+3而

-----------------x--------------------

:22

9

_5

故答案為：—.

3

解答題（本題有8小題，第17?19題每題6分，第20,21題每題8分，第22,23題每題10分

第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）

17.計算：（?！?023）。+卜一2cos30°+（：].

【答案】（1）2.

【分析】分別計算零次累，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，再合并即可.

-1

（【詳解】解：（兀-2023）°+卜一詞一2cos300+I

=l+(6-l)—2xg+2

=1+且1-百+2

=2.

18.先化簡，再求值：（1—土擔(dān)]+與4，其中％=應(yīng)—L

[XJX-X

【答案】一一——走

x+12

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后再將》=夜-1代入計算即可解答.

【詳解】解：1―5]++工

1-￡±1x2-x

2

Xx-l

x-(x+l)x(x-l)

=-----------------------

x(x+l)(x-l)

當(dāng)元=夜—1時

原式=_也

V2-1+12

19.如圖，圖1是一盞臺燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）

其中燈臂AC=40cm,燈罩CD=30cm,燈臂與底座構(gòu)成的NCAB=60。.

8可以繞點(diǎn)C上下調(diào)節(jié)一定的角度.使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)8與水平線所成的角為30。時

臺燈光線最佳，求此時點(diǎn)。與桌面的距離.（結(jié)果精確到1cm,右取1.732）

圖1圖2

【答案】50cm

【分析】過點(diǎn)。作交延長線于點(diǎn)過點(diǎn)C作于凡過點(diǎn)C作?！阓1_?！庇凇?/p>

分別在RtACF和RtACDE中利用銳角三角函數(shù)的知識求出CP和DE的長，再由矩形的判定和性質(zhì)得到

CF=EH,最后根據(jù)線段的和差計算出所的長，問題得解.

【詳解】過點(diǎn)。作DHLAfi,交AB延長線于點(diǎn)以，過點(diǎn)C作Cf^J.A〃于凡過點(diǎn)C作CE_L。"于￡

D

二

AFBH

在WACF中ZA=60。AC=40cm

CF

VsinA=——

AC

：.CF=ACsin60°=20石(cm)

在RtACZ)E中ZDCE=30°CD=30cm

DF

VsinZDCE=—

CD

：.DE=CDsin3O0=15(cm)

VDH1ABCF±AHCELDH

四邊形CFHE是矩形

：.CF=EH

"：DH=DE+EH

：.DH=DE+EH=20A/3+15土50(cm).

答：點(diǎn)。與桌面的距離約為50cm.

20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中開設(shè)的體育社團(tuán)活動課有：

A：籃球，B：足球，a排球，D,羽毛球，E-.乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門

學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

⑴則該班的總?cè)藬?shù)為人，其中學(xué)生選〃“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是度；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)該班班委4人中2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球

李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法

求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率.

【答案】(1)50,72

(2)見解析

(3)1

【分析】(1)利用“選4籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)

生選，“羽毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以360。，即可求得結(jié)果；

(2)利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得

選兵乓球的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)畫出樹狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況

有4種，再利用概率公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解:由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：15-30%=50(人)

學(xué)生選。“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：1^x360o=72°

故答案為：50；72；

(2)解：由題意可得：

選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：12%x50=6(人)

選“E：兵乓球”的學(xué)生人數(shù)為：50-15-9-6-10=10(人)

(3)解：畫樹狀圖如下:

開始

AABC

小/N小不

ABCABCAACAAB

共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；

41

選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為「=丘=§.

21.第19屆杭州亞運(yùn)會，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”

如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運(yùn)會”知識競賽活動

擬購買30套吉祥物(“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”)作為競賽獎品.某商店有甲，乙兩種規(guī)格

其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元.

(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價

格;

(2)在(1)的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費(fèi)用最少？

(1)解：設(shè)甲規(guī)格吉祥物每套價格X元，則乙規(guī)格每套價格為(x+20)元

根據(jù)題意，得獨(dú)=900

Xx+20

解得了=70.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是所列方程的根，且符合實(shí)際意義.

/.x+20=70+20=90.

答：甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元.

(2)解：設(shè)乙規(guī)格購買。套，甲規(guī)格購買(30-。)套，總費(fèi)用為W元

根據(jù)題意，得

3O—a<2a

解得a210

W=90。+70(30-a)=20a+2100

,20>0

W隨。的增大而增大.

.,.當(dāng)a=10時，W最小值.

故乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費(fèi)用最少.

22..某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究:

(4)問題發(fā)現(xiàn):

如圖1,在等邊ABC中點(diǎn)尸是邊BC上任意一點(diǎn)，連接AP,以轉(zhuǎn)為邊作等邊△APQ

連接G0,在與必的數(shù)量關(guān)系是；

(5)變式探究：

如圖2,在等腰.ABC中AB=BC,點(diǎn)尸是邊3c上任意一點(diǎn)，以AP為腰作等腰△人尸。

使AP=PQ,ZAPQ=ZABC連接CQ,判斷/ABC和/ACQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(6)解決問題:

如圖3,在正方形AD3C中點(diǎn)尸是邊BC上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APEF,。是正方形APEF的中心,

連接CQ.若正方形AP砂的邊長為5,。。二孝求正方形ADBC的邊長.

【答案】⑴BP=CQ.(2)ZABC=ZACQ；理由見解析；⑶4.

【分析】(1)利用&4s定理證明△54尸四△CA。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

A5AP

(2)先證明△BACS^PA。，得到=再證明△BAP也△C4Q,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即

AC

可；

(3)連接42、AQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出3尸，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【詳解】解：(1)問題發(fā)現(xiàn)：和AAP。都是等邊三角形

：.AB=AC,AP=AQZBAC=/PAQ=60。

ZBAP=ZCAQ

在△BAP和ACMQ中

AB=AC

<ZBAP=ZCAQ

AP=AQ

：./\BAP^/\CAQ(SAS')

：.BP=CQ

故答案為：BP=CQ.

(2)變式探究：ZABC=ZACQ

理由如下：9：AB=BC

.“Ci”。

2

?.?AP=PQ

...如。=18。。；這

?.?ZAPQ=ZABC

：.ZBAC=ZPAQ

：.ABAC^APAQ

.ABAP

??就一而

?.?ZBAP+APAC=NPAC+ZCAQ

：.ZBAP=ZCAQ

：.4Ps△CA。

??.ZABC=ZACQ；

(3)解決問題：連接AB、AQ,如圖所示:

???四邊形AD5C是正方形

AR[―

：.——=V2ABAC=45°

AC

,/Q是正方形APEF的中心

APrr

——=12ZPAQ=45°

AQ?

??./BAP+ZPAC=ZPAC+ZCAQ,即NBAP=ZCAQ

??_A_B___A__P

,AC~AQ

：.AABP^AACQ

.CQAC_1

BP~AB~y/2

：CQ=^

：.BP=1

設(shè)尸C=x

則8C=AC=l+x

在RtA4PC中AP?=AC2+PC2,即5?=（1+X/+/

解得，％=-4（舍去）無2=3

正方形ADBC的邊長為：3+1=4.

23.已知點(diǎn)（一機(jī)0）和（3瓶,0）在二次函數(shù)y=af+法+3（。/是常數(shù)，a#。）的圖像上.

（1）當(dāng)機(jī)=-1時，求〃和Z?的值；

（2）若二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)4（八,3）且點(diǎn)/不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)-2（加<-1時，求九的取值范圍;

（3）求證：/+4a=0.

【答案】（1）a=—Lb=-2

（2）-4<n<-2

（3）見解析

【解析】

【分析】(1)由，〃=-1可得圖像過點(diǎn)(1,0)和(—3,0),然后代入解析式解方程組即可解答；

(2)先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線尤=心，則拋物線過點(diǎn)(",3),(0,3),即〃=2加，然后再結(jié)合

—2(加＜—1即可解答；

(3)根據(jù)圖像的對稱性得=加，即/?=-2am,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,am2+bm+3^；將點(diǎn)(-m,0)和(3機(jī),0)

分別代入表達(dá)式并進(jìn)行運(yùn)算可得am2=—1；則am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4,進(jìn)而得到

12a-b-=4＞然后化簡變形即可證明結(jié)論.

4〃

【小問1詳解】

解：當(dāng)根=-1時，圖像過點(diǎn)(1,0)和(一3,0)

0=〃+/7+3a——1

\,解得＜

[Q=9a-3b+3[b=-2

**?y——x^—2尤+3

ci=—1,Z?=—2.

【小問2詳解】

解：：函數(shù)圖像過點(diǎn)(一加,0)和(3機(jī),0)

函數(shù)圖像的對稱軸為直線X=7”.

..?圖像過點(diǎn)5,3),(0,3)

根據(jù)圖像的對稱性得〃=2/n.

,**—2VHZV—1

—4v〃v—2.

【小問3詳解】

解：：圖像過點(diǎn)（一加,0）和（3m,0）

b

根據(jù)圖像的對稱性得——=m.

2a

：.b=-2am,頂點(diǎn)坐標(biāo)為+/wi+3）.

將點(diǎn)（-m,0）和（3機(jī),0）分別代人表達(dá)式可得\Q=am2-bm+3?

'）'）0=9atTT+3bm+3?

①x3+②得+12=0

am2=-1.

am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4-

?12。—/

..--------二4.

4〃

12a-b2=l6a.

b1+4a=0.

24.如圖，在ABC中NC為直角，點(diǎn)。在AC上，以O(shè)C為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)幺與AC相交于點(diǎn)

DP3

D,已知BC=6,AB=10點(diǎn)R0分別在0GAB±（不與端點(diǎn)重合），且滿足力;=￡.設(shè)心=%和

J

BQ=y.

BB

(1)求圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

⑶如圖2,過點(diǎn)。作。K，8c于點(diǎn)花連結(jié)P。，PR.

①當(dāng)PQR為直角三角形時，求x的值.

AT?'

②把線段。R繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段Q'R,當(dāng)。'落在圓。上時，直接寫出英的值.

【答案】(1)3

小510

(2)y=-x-----

33

32?28_13

(3)①x=-y或工-；②五

npAn

【分析】(1)如圖：連接OE,由勾股定理可得AC=8,再證"EO:"8可得斐=黑進(jìn)而得到關(guān)