2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+練習(xí)：基本不等式二（解析版）

專題7基本不等式（2）

題型一條件等式求最值

12

1.已知OVaVl,O<Z?<1,且4次?一4a—4b+3=0,則一+7的最小值是

ab

【答案】4+述

3

【解析】已知0＜。＜1,0＜）＜1,

由4"-4a—4Z?+3=0得4ab—4〃一4/?+4=1,即（l-a）（l-b）=—,

4

令x=1￡（0,1）,y=1-Z?￡（0,1）,4xy=1,

所以y=[￡（o,i）,所以

12121218x

—I——-------1--------------------1---------------------1----------

故Qb1—xl—yl—x］__1_1—x4x—1

c42

=2c+--1+--2--=2+--------+--------=2+-二+二［（4-4x）+（4x-l）］

1-x4x-l4一4x4x-l314—4x4x-l

_2+46+4（41）+2（4-4砌2出41）2（…4?

—ZHOH---------------------1---------------------------------------4I-----------------------------------------4H-------------,

34-4x4x-l3V4—4%4x—l3

當(dāng)且僅當(dāng)陪?2（4-4%）即.午時(shí),

取等號(hào).

41

故答案為….

2.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足孫＜J,且4y之+4移+1=2，則3y的最小值為

4xx

【答案】20

【解析】解：正實(shí)數(shù)x,y滿足孫〈J,且4y2+4盯+1=）

4x

所以2+1-4y2-4孫=2,即二一4y（x+y）=2,也即（x+y）H-4y1=2

XXyxJ

貝Ij—+x-3y=——4y+x+y=-------F（X+y）>2A/2

xxx+y

25五一庖

x+y=------x+y=^2x=

x+y8

當(dāng)且僅當(dāng)則<時(shí)取等號(hào),

G+y）&4y3&+如

=2〔xy二

8

此時(shí)孫=『＜:'所以取得最小值2a

故答案為：2枝.

(〃+1-21+暗的最小值為

3.已知a>0,b>0,c>l且a+6=l,則

、ab

【答案】4+20

【解析】因?yàn)椤ǎ尽?，Z?＞0,a+b=l,

/+1〃2+(a+Z?)22Q2+b?+2ab〉2yflab+2ab

所以=2應(yīng)+2,

abababab

(/+1

又c〉1,則

、ab-c-1

C2(c-l)+—+2>V22./2(c-l)--+2=4+2夜,

c-1c-1

2a2=b1

其中等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a+b=l

解得u=A/2—1,>b=2,—yfl，c———,

(/+1-2)+色的最小值是4+2萬

所以

、ab

故答案為：4+26.

ab

4.若正實(shí)數(shù)。，匕滿足(2a+b)2=6必+1,則的最大值為

2a+Z?+1

【答案】7

O

ab2a+b—l

【解析】(2a+Z?)2—1=6ab^(2a+b+\)(2a+b—1)=6ab,即

2Q+Z?+16

2a+bj=1(2a+6)2,等號(hào)成立的條件為2a=6,原式整理為

又6ab=3-2tz-Z?<3

2

(2a+&)2<l+|(2a+Z?)2^(2a+/?)2<4,即0<2a+bW2,那么ab2。+b-12-l1由］

----:---^—―=7?所以

2a+b+l6o6

ab的最大值是9.

2a+Z?+16

5.求下列函數(shù)的最值

X2+2

(1)求函數(shù)y=(x〉l)的最小值.

x—1

(2)若正數(shù)無，＞滿足x+3y=5孫，求3元+4y的最小直

【答案】(1)2+2有；(2)5.

(%-1)2+2(%-1)+3

【解析】(1)y==(x-1)H----+2..2y/3+2,當(dāng)且僅當(dāng)(％—I)?=3即％=>/3+1時(shí)等號(hào)成

x-1x-1

立，

故函數(shù)y的最小值為2+2石.

131

(2)由％+3y=5^得二+二=1,

5y5x

mic/k/、/13、3%12y1313,[36,

貝Ij3x+4)；=(3x+4^)(—++2/—=5,

5yJX5y5x55V25

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?m，即>=:，x=i時(shí)等號(hào)成立，

5x5y2

故3x+4y的最小值為5.

題型二基本不等式的恒成立問題

1.已知“，b為正實(shí)數(shù)，^a+2b=3ab,若Q+Z?-c20對(duì)于滿足條件的a、b恒成立，則c的取值范圍

為.()

,2^/2

A.5cc<1H---->

3B.“卜|+應(yīng)>

C.{c|c<6}D.{c|cW3+2碼

【答案】A

21

【解析】將，+2人=3。人變形為一+7=3,

ab

所以…=*+嗯+力=鼠3+/+$小+20)=1+乎

當(dāng)且僅當(dāng)”=逐時(shí)，即。=6-30力=36-3時(shí)取等號(hào).

a+b-c20恒成立等價(jià)于cWa+6恒成立，^c<(a+b).,所以041+迪

\/nun3

故選：A.

14

2.已知1、》都為正數(shù)，且％+y=4,若不等式一+—>機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是.

%)

9

【答案】

4

【解析】X、)都為正數(shù)，且x+y=4,由基本不等式得4[：+:]="+曰[：++]

=^+—+5>2U—+5=9,即,+32?,當(dāng)且僅當(dāng)y=2無時(shí)，等號(hào)成立，

%y\xyxy4

14QQ

所以，一+一的最小值為了，，相.

xJ44

3.已知正實(shí)數(shù)%,y滿足2x+5y=20.

(1)求孫的最大值；

（2）若不等式W+’N療+4加恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

%y

91

【答案】（1）10；（2）

【解析】（1）20=2「+5yN2j2x2y,解得沖工1。,

當(dāng)且僅當(dāng)％=5,，=2取等號(hào)，

???孫最大值為10.

1011055yx、5c5yx9

(2)----1—二+1+=-+—+——>-+2-

%yxiU442xlOy42^Wy4

當(dāng)且僅當(dāng)％=半20，y=：4取等號(hào),

991

m9+4m<—,解得一$W].

4

i1m

4.設(shè)a>b>c,且一=+丁二2—乙恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

a—bb—ca—c

【答案】m<4

【解析]由a>>>c知。一匕>0,b-c>0,a-c>Q.

???原不等式等價(jià)于U+產(chǎn)Nm.

a—bb—c

要使原不等式恒成立，只需一+二的最小值不小于小即可.

a—bb-c

,a-c?"0=（"6）+僅一。）?"6）+（.一<?）=b-c?"b、jb-c"，=（

a-bb-ca-bb-ca-bb-c\a-bb-c

當(dāng)且僅當(dāng)”=譬，即a=a+c時(shí)，等號(hào)成立.

a-bb—c

:.m<4

5.已知%>，，若對(duì)任意正數(shù)x,y,不等式「左-!/+◎..歷恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】［碓…皆

【解析】Vx>o,y>0,...不等式13左-口無+狂.歷恒成立等價(jià)于+也恒成立.

又吟,；.卜—證+#.2樸k-m（當(dāng)且僅當(dāng),上一《］工=外時(shí)，等號(hào)成立），

2^k.s/2,解得鼠—§（舍去）或％…萬，

實(shí)數(shù)上的取值范圍為…

題型三對(duì)勾函數(shù)求最值

1.設(shè)X,y均為負(fù)數(shù)，且無+y=-l,那么孫+,有（）.

孫

A.最大值-117B.最小17值C.最大值"17D.最小值”17

4444

【答案】D

【解析】設(shè)"=-x,b=—y,貝!Ja＞。，＞＞。.由。+匕=122^^得

由函數(shù)y=x+；的圖像得，當(dāng)。時(shí)，浦+：在處取得最小值,

.?.沖+―=〃?+、■2：+4=］，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-1時(shí)取等號(hào)成立.

xyab442

117

綜上可得，孫+一有最小值U.

移4

故選D.

5丫2—4Y:5

2.已知x2—,貝ljy=^~世土巳有()

2-2x-4

A.最大嗎B.最小畤C.最大值1D.最小值1

【答案】D

22

X-4X+5(x-2)+11TzA1

【解析】解：由得,>1,

2x-42(x-2)297x-2

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=＜，即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

無一2

故選：D.

題型四基本不等式的應(yīng)用

1.某工廠第一年年產(chǎn)量為4第二年的增長(zhǎng)率為。，第三年的增長(zhǎng)率為乩這兩年的平均增長(zhǎng)率為無，則

()

a+b?/a+b?a+b「、a+b

1.x=------B.xW------C.x>------D.無N----

2222

【答案】B

【解析】解：由題意得，A(l+?)(l+&)=A(l+x)2,則(1+a)(1+切=(1+以，

2

1+a+1+b

因?yàn)?l+a)(l+6)W

2

,2+a+b,a+b

所以1+xV—-—=1+——

22

所以xwge,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),

故選：B

2.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依

據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示

的圖形，在A3上取一點(diǎn)C,使得AC=a,BC=b,過點(diǎn)C作CD，AB交圓周于。，連接0D.作

CE工0D交0D于E.由CD.QE可以證明的不等式為（）

A.y/ab...2""(a>0,Z?>0)B.“；」..(a>0,b>0)

a+b

22

/lei+ba+b22

C.V———..；———(a〉0/〉0)D.a+b..2ab(a>0,Z?>0)

【答案】A

八「DC2ab2ab

］）卜—______—_________—________

-

【解析】解：由射影定理可知C￡）2=￡>E.OD,即OD~a+b~a+b>

2

由DC..DE得疝..義之,

a+b

故選：A.

3.工廠需要建造一個(gè)倉(cāng)庫，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫之間的距離成正比，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)與工廠和

倉(cāng)庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉(cāng)庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬元.則工廠

和倉(cāng)庫之間的距離為千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小.

【答案】2

【解析】設(shè)工廠和倉(cāng)庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為％萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為％萬元,

設(shè)％=—;

x

當(dāng)工廠和倉(cāng)庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬元,

所以20=4《，5=殳，則勺=5&=20；

4

所以運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和為5尤+2上0，

X

S^j5x+—>2J5xx—=20,當(dāng)且僅當(dāng)5%=一，即兀=2時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小為20萬元.

XVXX

故答案為：2

4.已知實(shí)數(shù)〃，b滿足4/一5次?+4/=9,則Q+力最大值為.

【答案】2月.

【解析】由4/一5々〃+4"=9,

4B,4（4+-）2-9

置ab=---------，

13

由基本不等式得［審:，當(dāng)且僅當(dāng)。=匕取等號(hào)，

所以4（/：?29《（貨J,

所以+<12,

解得a+b<2^3，

所以最大值為2g.

故答案為：26

5.已知一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為36cm,矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，旋轉(zhuǎn)

形成的圓柱的側(cè)面積最大？

【答案】矩形的長(zhǎng)、寬均為9cm時(shí)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為“，寬為6,

???矩形的周長(zhǎng)為36,，2（a+》）=36,.?.6=18—

而旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為萬。6=不。（18-a）4"x"~—=81萬，

當(dāng)且僅當(dāng)a=18-a,即“=人=9時(shí)等號(hào)成立.

.??當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬均為9時(shí)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

答：矩形的長(zhǎng)、寬均為9cm時(shí)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.

6.某廠家擬定在2020年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）無萬件與年促銷

費(fèi)用機(jī)（，叱0）萬元滿足x=3——/為常數(shù)）.如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬

件.已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件

產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.

（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？

【答案】（1）y=—￡-（根+1）+29（加加）；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利

m+1

潤(rùn)最大為21萬元..

【解析】⑴由題意知，當(dāng)根=0時(shí)，x=l（萬件）,

2

所以1=3一上川:=2,所以x=3-.........（m>0）,

m+1

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為L(zhǎng)5x型如（元），

X

所以2020年的利潤(rùn)y=1.5xx任&-8-16x-m

X

=——（m+l）+29（m>0）.

m+1

⑵因?yàn)?位0時(shí)，*-+（優(yōu)+1巨2&?=8,

m+1

1A

所以產(chǎn)一8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)----=機(jī)+1=>機(jī)=3（萬元）時(shí)，ymax=21（萬元）.

m+1

故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為21萬元.

7.如圖，徐州某居民小區(qū)要建一座八邊形的展館區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABC。

和EFG”構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域，計(jì)劃在正方形MNP。上建一座花壇，造價(jià)為4200元/m?；

在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/rtf；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）鋪

草坪，造價(jià)為80元/nR

（D設(shè)總造價(jià)為5（單位：元），長(zhǎng)為尤（單位：m）,求出S關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式；.

（2）當(dāng)長(zhǎng)取何值時(shí)，總造