高考數(shù)學 特色題型匯編：多項選擇題-數(shù)列（基礎、中檔、壓軸）（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

多項選擇題——數(shù)列（基礎、中檔、壓軸）

1.無窮數(shù)列｛q｝的前〃項和S“=G?+加+C,其中。，b,C為實數(shù)，貝IJ（）

A.｛《,｝可能為等差數(shù)列B.｛4｝可能為等比數(shù)列

C.｛%｝中一定存在連續(xù)三項構成等差數(shù)列

D.｛4｝中一定存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列

2.下列說法錯誤的有（）

A.若a,b,c成等差數(shù)列，則”2,〃,c2成等差數(shù)列

B.若a,b,c成等差數(shù)列，則log2log2410g2c成等差數(shù)列

C.若a,b,c成等差數(shù)列，則a+2,6+2,c+2成等差數(shù)列

D.若a,b,c成等差數(shù)列,則2",2",2,成等差數(shù)列

3.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，則（）

A.Sh=2S4-S,B.56=3（S4-S2）

c.s2?,S4?-52?,臬“-54”成等差數(shù)列D.字成等差數(shù)列

4.“外觀數(shù)列”是一類有趣的數(shù)列，該數(shù)列由正整數(shù)構成，后一項是前一項的“外觀描

述”.例如：取第一項為1,將其外觀描述為“1個1”，則第二項為11；將11描述為“2個1”，

則第三項為21;將21描述為“1個2,1個1”,則第四項為1211；將1211描述為“1個1,

1個2,2個1”,則第五項為111221,…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起

來描述，給定首項即可依次推出數(shù)列后面的項.對于外觀數(shù)列｛q｝,下列說法正確的是

（）

A.若4=3,則4=131213B.若q=22,則40a=22

C.若q=6,則4。。的最后一個數(shù)字為6D.若q=123,則即）。中沒有數(shù)字4

5.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為

“三角垛”（下圖所示的是一個4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個

球，第三層有6個球，…，設第〃層有?！皞€球，從上往下〃層球的球的總數(shù)為5,,則

A.=H4-l(n>2)B.S7=84

98x9911114044

C.D.—I---1---1--1----=----

。20222023

6.已知等差數(shù)列｛6,｝的前”項和為S“，等比數(shù)列他,｝的前”項和為7；,則下列結論正

確的是（）

A.數(shù)列為等差數(shù)列B.對任意正整數(shù)“，片+%222%

C.數(shù)列區(qū)“+2-52,,｝一定是等差數(shù)列D.數(shù)列區(qū)“+2-（“｝一定是等比數(shù)列

7.已知數(shù)列｛叫滿足q=1，4+2=（-1嚴（4-〃）+〃，記｛%的前”項和為S“，則（）

A.見8+%。=10°B.%。一46=4

C.$48=600D.$49=601

8.若正整數(shù)〃八〃只有1為公約數(shù)，則稱機，〃互質，對于正整數(shù)上＜P（k）是不大于

%的正整數(shù)中與女互質的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)。（&）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函

數(shù)，例如：。（2）=1,奴3）=2,奴6）=2,9（8）=4.已知歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果

%,〃互質，那么夕（曲）=那㈤奴〃）,例如：0（6）=奴2）奴3）,則（）

A.奴5）=奴8）B.數(shù)列加（2"）｝是等比數(shù)列

C.數(shù)歹U｛夕（6"）｝不是遞增數(shù)列D.數(shù)列［木的前〃項和小于|

9.已知數(shù)列｛可｝滿足。?S〃為其前〃項和，則（）

A.a4-a2=7B.a｛Q=55C.S5=35D.as+a4=28

10.已知函數(shù)“X）=】gx,則（）

A./（2）,/（710）,“5）成等差數(shù)列B./（2）,“4）,“8）成等差數(shù)列

C./（2）,<（12）,“72）成等比數(shù)列D."2）,“4）,“16）成等比數(shù)列

11.設等比數(shù)列｛助｝的公比為q,其前〃項和為S〃，前〃項積為Th,并滿足條件田>1,

d—I

Cl2O19a2O2O>1,一［V0,下列結論正確的是（）

〃2020一］

A.S2019<S2020B.。201孤2021一1<°

C.r020是數(shù)列｛2｝中的最大值D.數(shù)列｛T〃｝無最大值

12.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則（）

A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列｛①“｝是等比數(shù)列

C.數(shù)歹（］｛4+為“｝是等比數(shù)列D.數(shù)列忖｝是等比數(shù)列

13.已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“,公差”工0.若S“4S6,則（）

A.a,<0B.d<0C.4=°D.S13<0

14.對任意的qe（0,l）,由關系式a.+i

15.“天干地支紀年法”（也叫農歷）源于中國，中國自古便有十天干與十三地支.十天

干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、

午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列

起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第

二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”……依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開

始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回至『子''重新開始，即“丙子”……依此類推.2021年為

“天干地支紀年法”的辛丑年，為了推算公元“年（〃為不小于2021的正整數(shù)）所在的農

歷年份,我們定義數(shù)列｛%｝：q=（〃-2021H60的余數(shù)若4=0,則公元第〃年為辛丑

年；若勺=1,則公元第"年為壬寅年，依次類推，則（）

A.出149=8B.V〃eN*,”“+60=%

C.D.an=k^>an+x=k+\

16.己知5,為數(shù)列｛q｝的前"項之和，且滿足45“=〃「+2%，則下列說法正確的是（）

A.｛??｝為等差數(shù)列B.若｛%｝為等差數(shù)列，則公差為2

C.｛%｝可能為等比數(shù)列D.S4的最小值為0,最大值為20

17.著名的“河內塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套

著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個

柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設將〃個圓盤全部從1號柱子

移動到3號柱子的最少操作數(shù)為句,則（）

23

A.B.%=8

C.??+i=2a?+nD.—

1-X,XG[0,1),

18.己知函數(shù)/（x）=,2J。對定義域內任意x,都有/(x)=/(x-2),若函

島一皿t[1,2）,

數(shù)g（x）=f（x）-Z在[0,+oo）上的零點從小到大恰好構成一個等差數(shù)列，則％的可能取

值為（）

A.0B.1C.72D.6-1

19.若數(shù)列｛4｝滿足：對ViJeN*,若i</,則稱數(shù)列｛叫為“鯉魚躍龍門數(shù)

列''.下列數(shù)列｛%｝是“鯉魚躍龍門數(shù)歹的有（）

。<〃+1_,n

A.a=n--4n+lB.a=------C.a=sinmtD.a=In-----

nnn+2nnn+]

20.已知無窮數(shù)列｛《,｝滿足：當”為奇數(shù)時，勺=2〃+1；當〃為偶數(shù)時，a?=n2,則

下列結論正確的為（）

A.2021和2023均為數(shù)列｛%-｝（〃eN*）中的項

B.數(shù)列eN*）為等差數(shù)列

C.僅有有限個整數(shù)々使得a”>%*成立

D.記數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，則1恒成立

21.已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,J-J=a"（"€N"）,前”項和為S"，則（）

]2

A.&”>1B.<?2O22—1Q|2C〈石D-S"4〃

22.對于正整數(shù)〃,研〃）是小于或等于〃的正整數(shù)中與”互質的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)以〃）以其

首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如研9）=6,則（）

7

A.Iog7^（7）=5+log76B.數(shù)列加（3"）｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列加⑺｝不單調D.數(shù)列荷1的前〃項和恒小于4

23.在數(shù)列｛4｝中，若（〃..2,"eN*,p為非零常數(shù)），則稱㈤｝為“等方差

數(shù)列”，〃稱為“公方差”，下列對”等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.｛（-1）"｝是等方差數(shù)列

B.若正項等方差數(shù)列｛4｝的首項4=1,且4,外，氏是等比數(shù)列，則片=2〃-1

C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列

D.存在數(shù)列｛4｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列

24.等差數(shù)列｛a,,｝的前項n和為5?,數(shù)列也,｝為等比數(shù)列，則下列說法正確的選項有()

A.數(shù)列｛2%｝一定是等比數(shù)列B.數(shù)列｛九｝一定是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛2｝一定是等差數(shù)列D.數(shù)列｛〃,+%”｝一定是等比數(shù)列

n

25.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為q,且“2022=1，記｛4｝的前"項和為S"，前〃項積為1，

則下列說法正確的是()

A.當0<4<1時，⑸｝遞減B.當夕>0時，sm3>4043

C.當4>1時，Tn>T1O22D.當-l<"0時，Tn>T2O22

26.已知等比數(shù)列圾｝,首項々>1且為遞減數(shù)列，公比為q,前〃項和為S“，函數(shù)g(x)

的導函數(shù)在x=0處的函數(shù)值為1,且g(x)=x(x+4)(x+H)…(x+與)，則()

A.O<^<1B.b3=1

c.陶，為單調遞增的等比數(shù)列D.｛lg〃｝為單調遞增的等差數(shù)列

27.將數(shù)列｛3〃-2｝與｛2〃｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列包｝,則下列說法正確的有()

A.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列

C.??=4-'

D.數(shù)列｛(3"-2)4｝的前〃項和為(〃-1)4向+4

28.給出構造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)

列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.現(xiàn)自1,1起進行構造，第1

次得到數(shù)列1,2,1,第2次得到數(shù)列1,3,2,3,1,第〃(〃eN.)次得到數(shù)列

l,x,,x2,記/=1+X1+/++/+1,數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镾〃，則()

A.4=81B.an=3an_x-1

iw+,3

C.勺=3"+1D.SZJ=^x3+/?-|

29.定義H“=%+2/++2-a”為數(shù)歹”｛4｝的"優(yōu)值已知某數(shù)列｛4｝的“優(yōu)值，，

n

H?=r,前〃項和為s“，下列關于數(shù)列｛%｝的描述正確的有（）

A.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛a,,｝為遞增數(shù)列

C.涯=等D.8，S4,$6成等差數(shù)列

30.數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個

名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷"或''纏卷".小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌

套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1

的正方形ABCD中，作它的內接正方形且使得NBE尸=春；再作正方形EFG”

的內接正方形MNPQ,且使得=與之類似，依次進行，就形成了陰影部分

的圖案，如圖所示.設第"個正方形的邊長為應（其中第1個正方形488的邊長為

4=48,第2個正方形EFGH的邊長為…），第個直角三角形（陰影部分）

的面積為S“（其中第1個直角三角形A￡”的面積為第2個直角三角形的面

積為邑，…），則（）

AEB

A.數(shù)列｛叫是公比為彳的等比數(shù)列B.￡=[

C.數(shù)列｛S,｝是公比為。的等比數(shù)列D.數(shù)列｛S“｝的前”項和北＜；

31.數(shù)列｛4｝滿足4=1,4用=/&）,"wN”，定義函數(shù)y=/（x）是數(shù)列｛叫的特征

函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.當/（x）vx時，數(shù)列｛%｝單調遞增B.當/(x)=2x+l時，a”=2"-1

C.當f（x）=y_4-1時，14<a?<2（/7>2）

D.當方程（x）-x=0有唯一解時，存在￡>0,對任意〃eN*,都有以「qj<￡

32.如圖，一只螞蟻從正方形43co的頂點A出發(fā)，每一次行動順時針或逆時針經過一

條邊到達另一頂點，其中順時針的概率為（1，逆時針的概率為o:，設螞蟻經過〃步到達

B,。兩點的概率分別為P“,%（〃eN+）.下列說法正確的有（）

B.外“+%“=1

2022

D.XA>505

k=\

若2?！?1+寸，*?=log^,數(shù)列也｝的

33.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”,2

前〃項和為7,則下列結論正確的是（）

A.｛S；｝是等差數(shù)列B.??<a?+1

C.S?<^-'D.滿足123的"的最小正整數(shù)解為10

34.已知數(shù)列｛q｝滿足，4=1,《向=卜"一;：："則下列說法正確的是（）

[an+2，〃為偶數(shù)

202

A.%=7B.?2021=2'

2+3

C.a2n+2=a2?D.3S2?+1=2"-6n-5

35.若數(shù)列｛4｝滿足4=1,4=1，q=a,i+4-2（〃N3,”eN*）,則稱數(shù)列｛4｝為斐波

那契數(shù)列，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列.則下列關于斐波那契數(shù)列結論正確的是

()

A.%+。2+%+…+%=?！?2-1B.4+4+〃5+…+白2“-1=。2〃-1

a

C.%=5D.4+。2+%+4+%+4=20

1

36.記表示與實數(shù)x最接近的整數(shù)，數(shù)列｛%｝通項公式為%=函(〃eN*),其

前〃項和為S“，設/=則下列結論正確的是()

A.=k-?-B.4n<k-\--

22

C.n^,lc—k+\D.S2022<9°

(n,n=2k-l,

37.已知數(shù)列｛叫的通項公式為%=:(丘N*),S,,是數(shù)列｛4｝的前〃項

〔2x32,n=2k

和，若加eN*,使S2M=a&T(rwN)則4=()

A.1B.2C.3D.4

38.已知各項都是正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前"項和為5“，且S”=會+小，則()

A.代｝是等差數(shù)列B.Sn+Sn+2<2Sn+[

C.??+|>a?D.5?--^->lnn

39.已知數(shù)列｛4｝的前甘項和為Sa,q=l,且=a“-3a,+1(n=l,2,...),則

()

A.3a?tl<anB.%=圭C.ln^J</i+lD.l<Sn<j^

40.已知數(shù)列｛4“｝,也｝,有4T=4一司,%=〃,-4,neN*，則()

A.若存在機>1,a?,=b,?,則at=b、

B.若%哂,則存在大于2的正整數(shù)〃，使得勺=0

C.若4=a,a2=h,且山b,則%22=-12他”

D.若q=-l,a2=-3,則關于x的方程2o5+(2o3+l)8sx+2cos2x+cos3x=0的所有

實數(shù)根可構成一個等差數(shù)列

41.已知紇G(〃=1,2,3,)是直角三角形，A,是直角，內角兒、B“、，所對的邊

222

分別為4、b八%,面積為S“，若4=4,q=3,%=制&。3=巧1組，則

()

A.⑸“｝是遞增數(shù)列B.應.）是遞減數(shù)列

C.｛2-1｝存在最大項D.他,-1｝存在最小項

42.已知數(shù)列｛q｝滿足4=28,%=嚴+“卜?。?22）,?6N*,數(shù)列也｝的前〃項

和為S“，且包=1082（%+2,42,1）-1暇（為「生"+1），則下列說法正確的是（）

A.—=21B,4"=16

a2'

C.數(shù)列］乎｝為單調遞增的等差數(shù)列

D.滿足不等式S“-5>0的正整數(shù)"的最小值為63

43.已知數(shù)列也｝的前"項和為S“，且S“+4=l對于v〃wN"恒成立，若定義貸>=5.，

S,*=￡s,g>（A22）,則以下說法正確的是（）

（=1

A.｛叫是等差數(shù)列B.sf）=士產1

A"12021

C.S1r）_毅=置D.存在”使得S產2）=品

44.我們常用的數(shù)是十進制數(shù)，$n1079=lxlO3+OxlO2+7x10'+9xio\表示十進制的

數(shù)要用10個數(shù)碼.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；而電子計算機用的數(shù)是二進制數(shù)，

只需兩個數(shù)碼0和1,如四位二進制的數(shù)1101⑵=1x23+1x22+0x3+1x2°,等于十進

制的數(shù)13.把機位〃進制中的最大數(shù)記為其中〃，?HeN,,n>2,加（利〃）為

十進制的數(shù)，則下列結論中正確的是（）

A./（5,2）=31B.M（4,2）=M（2,4）

C.D.M（〃+2,〃+l）>A/（〃+l,〃+2）

45.已知數(shù)列｛〃“｝滿足％=1,4川二%〃（1114+1）+1,則下列說法正確的有（）

-^-<5

A.

q+4

若幾22,則;4s—\<1D.￡ln（4+l）4（2"-l）ln2

C.

4普《+1/=1

參考答案:

1.ABC

【解析】由S“=GJ+加+C可求得見的表達式，利用定義判定得出答案.

【詳解】當〃=1時，?|=51=a+b+c.

2-

當“22時，an=Sn-Sn_]=an+Z>n+c-a(n-l)-Z?(n-l)-c=2an-a+b.

當”=1時，上式=a+b.

所以若｛4｝是等差數(shù)列,^a+b=a+b+c.-.c=O.

fQ=C=0

所以當c=0時，｛q,｝是等差數(shù)列，6.0時是等比數(shù)列；當CKO時，｛《,｝從第二項開

始是等差數(shù)列.

故選：ABC

【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前〃項和S.與通項公式?！钡年P系，利用5“求通項公式，屬

于基礎題.

2.ABD

【分析】根據等差數(shù)列的定義，結合特例法進行判斷即可.

【詳解】A：1,2,3顯然成等差數(shù)列，但是1,4,9顯然不成等差數(shù)列，因此本說法不正確；

B：0,0,0顯然成等差數(shù)列，但是log2aJog?"log2c這三個式子沒有意義，因此本說法不正

確；

C：因為。，匕，c成等差數(shù)列，所以28=a+c,因為2(b+2)-(a+2+c+2)=2匕-a-c=0,

所以《+2,0+2,c+2成等差數(shù)列，因此本說法正確；

D：1,2,3顯然成等差數(shù)列，但是2"=2,2〃=4,2,=8,顯然2",23,2。不成等差數(shù)列,因此本說

法不正確；

故選：ABD

3.BCD

【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.

【詳解】由已知得S〃=4〃+lJ-,

A選項，S6=6tZj+15J,84=44+6",S2=2a,+1/,所以2s4-S2=6%+11"w§6,A選項

錯誤；

B選項，3（54-52）=6^+15J=S6,B選項正確；

2

C選項，S2n=2w+〃（2〃-l”=2a]n+（2n-n^d,S4n=4w+2/?（4〃-l）d,

2

S6tl=6ci｝n+3n（6n-\）d,S4n-S2n=2q〃+（61—〃）d,56/J-S4n=2的+（1On-n^d,則

s2+s6n-s4n=4的+（⑵2-2〃）d=2[26〃+（6/-n）rfJ=2（S4?-S2/I）,C選項正確;

-3VS>2a+JdS.4a.+6d3.S&6a,+I5d5..

D選項，——=q+-,-￡=—j----=q+-d,-^=-^------=a.+-d則n

2212441266129

邑+邑=2q+3d=2x1,D選項正確；

264

故選：BCD.

4.BCD

【分析】根據題干中的遞推規(guī)律，依次分析各項的正誤.

【詳解】對于A項,4=3,即“1個3"，02=13,即“1個1,1個3"，4=1113,即“3個1,

1個3”,故4=3113,故A項錯；

對于B項,a,=22,即“2個2”，出=22,即“2個2”，以此類推，該數(shù)列的各項均為22,

則4ao=22,故B項正確；

對于C項，4=6,即力個6”,a2=16,即力個1,1個6ca3=H16,即“3個1,1

個6"，故4=3116,即“1個3,2個1,I個6"，以此類推可知，eN*）的最后一個數(shù)

字均為6,故C項正確；

對于D項，q=123,則生=111213,a3=31121113,4=1321123113,L,

若數(shù)列｛《,｝中，％僅25,%eN*）中為第一次出現(xiàn)數(shù)字4,則4T中必出現(xiàn)了4個連續(xù)的相同

數(shù)字,

如4.i=mi,則在a1的描述中必包含“1個1，1個1"，

即4一2=11,顯然的描述是不合乎要求的，

若4T=2222或QT=3333，同理可知均不合乎題意,

故4,(〃eN,)不包含數(shù)字4,故D項正確.

故選：BCD.

5.BCD

【分析】根據題意求得4、%、%，進而可得為利用累加法求出?！凹纯膳袛噙x項

A、C；計算前7項的和即可判斷B；利用裂項相消求和法即可判斷D.

【詳解】由題意得，

a,=l>a2-a,=2,a3-a2=3,,an-an_x=n,

以上〃個式子累加可得

a〃=l+2++〃=——~~-(n>2),

又4=1滿足上式，所以故A錯誤；

則〃2=3,“3=6，/=1°，%=15，4=21,%=28,

得67=4+02++%=1+3+6+10+15+21+28=84,故B正確;

士98x99田「丁冰

有"98=---，故C正確;

121、

由丁訴^(丁西),

,1111、c八1、4044

得一+一十+----------)=2(1------)=----,

4a22022202320232023

故D正確.

故選：BCD.

6.ABC

【分析】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,設等比數(shù)列也,｝的公比為q,求出s“，利用等差數(shù)列

的定義可判斷AC選項；利用基本不等式和等比中項的性質可判斷C選項；取q=T可判斷

D選項.

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則S“="q+也二所以，&=q+也也.

2n2

對于A選項，=q+㈣一弓一也也=4,所以，［A,為等差數(shù)列，A對；

對于B選項，對任意的〃eN*,…，由等比中項的性質可得力3=d?*2，

由基本不等式可得Y+%222b力.2=2b3，B對；

對于C選項‘令C”=S2n+2—S2?=O2n+2+”2"+l>

所以，C“M—C”=(?2,皿+。2”+3)-(4“+2+。2"+1)=4",

故數(shù)列區(qū)“+2-S2,,｝一定是等差數(shù)列，C對；

對于D選項，設等比數(shù)列也｝的公比為4，

當q=-l時，T2n+2-T2?=b2n+2+b2n+l=b2n+i(^r+l)=O,

此時，數(shù)歹式不是等比數(shù)列，D錯.

故選：ABC.

7.BCD

【分析】由條件可得當”為奇數(shù)時，??+2=??=?,=);當〃為偶數(shù)時，an+a,l+2=2n,然后

可逐一判斷.

【詳解】因為q=1,4+2=(-1嚴(4一〃)+”，

所以當”為奇數(shù)時，??+2=??=?i=1;當”為偶數(shù)時，a“+4”2=2〃.

所以(^+"50=96,選項A錯誤；又因為46+a48=92,所以。50-%6=4,選項B正確;

+

邑8=4+4+/++%7+[(4+4)+(%+%)++(?46?4)i)]

(2+46)x12

=24xl+2x(2+6++46)=24+2x=600

2

故C正確

549=548+a49=600+1=601,選項D正確.

故選：BCD

8.ABD

【分析】根據歐拉函數(shù)定義及運算性質，結合數(shù)列的性質與求和公式，依次判斷各選項即可

得出結果.

【詳解】°(5)=4,奴8)=4,.,.以5)=例8),A對；

為質數(shù)，...在不超過2"的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為2"T，

夕(2")=2"-2"T=2"T為等比數(shù)列，B對；

:與3"互質的數(shù)為1,2,4,5,7,8,10,11,,3"-2,3"-1.

共有(3-1)?3"~'=2-3"'個，二s(3")=2?,

又???9(6")=s(2")奴3")=2.6"T,，9(6")一定是單調增數(shù)列，C錯；

9(6")=26、1才的前〃項和為

九邛＜3D對.

5|_(6川5

故選：ABD.

9.ABC

2

【分析】根據條件依次可得卬=1。+卬=2?,〃3+〃2=3。4+”3=4?,a5+a4=5r

22

ae+a5=6,aw+a9=10,然后可得4-。2=7,a6-a4=11,a^-a6=15,6i10-a8=19,

然后可逐一判斷.

22

【詳解】因為q=1,4+%=2、a3+a2=3,a4+a3=4,

222

a5+tz4=5,a6+a5=6,a10+?9=10,

所以2=4?-32=7,%—4=62—52=11,

“8一〃6=8一一7~=IS,%?！?=I。?-9?=19,

累加得斯)一。2=7+11+15+19=52,

22

々+52=2?—q+52=3+52=55,S5=aA+a2+a3+a4+a5=14-3+5=35,

因為〃4—%=7,4—4=7+11+15=33,所以4+/=7+33+2叼=46,

故選：ABC.

10.ABD

【分析】根據函數(shù)解析式，求出選項對應的函數(shù)值，結合等差數(shù)列的等差中項和等比數(shù)列的

等比中項的應用依次判斷選項即可.

【詳解】A：/⑵+〃5)=lg2+lg5=l,2/(癡)=21gM=21glO：=l，

則〃2)+〃5)=2/(710),由等差中項的應用知，

/(2)、/(9)、”5)成等差數(shù)列，所以A正確；

B：,"2)=lg2,/(4)=lg4=21g2,/(8)=lg8=31g2,

則f(2)+/(8)=2/(4),由等差中項的應用知，

八2)、/(4)、〃8)成等差數(shù)列，所以B正確；

C：/(2)+/(72)=lgl44=21gl2=2/(12),2/(12)=21g12=1g144,

則42),/(12),“72)成等差數(shù)列，又"2)二"12),所以C錯誤;

D：/(2)=lg2,/(4)=lg4=21g2,/(16)=lgl6=41g2,

則"(4)f=/(2)/(16),由等比中項的應用知，

/(2)、/(4)、/(16)成等比數(shù)列，所以D正確.

故選：ABD.

11.AB

【分析】根據題意，由等比數(shù)列的通項公式可得(?？?。/8)(4口2。/9)=(小)2(產)>1,

分析可得q>o,可得數(shù)列｛?！ǎ黜椌鶠檎?，又由ey<0可得［“刈g［或［“劉

a2O2O-'［?2020>11?2020<1

由等比數(shù)列的性質分析可得口的范圍，據此分析4個選項，綜合即可得答案.

【詳解】根據題意，等比數(shù)列｛&〃｝的公比為q,若42。必202。>1,則洋I。*）=（卬）

2（產）>1,

又由內>1,必有4>0,則數(shù)列｛〃〃｝各項均為正值，

又由如三<0,即（。2。/9-1）（的2。-1）<0,則有卜刈9：或卜刈9>\

°20201[^2020>11^2020<1

仿刈。>1

又由切>1,必有OVqVl,則有《,

1^2020<1

對于A,有S2020-S20/9=a2020>0,即S2019Vs2020,則A正確；

對于B,有〃2020V1，貝〃20/如202/=（〃2020）^Vl,則B正確；

（凡①。>1

對于C,Q9,則乃0/9是數(shù)列｛772｝中的最大值，C錯誤，同理D錯誤；

1^2020<1

故選：AB

12.AD

【分析】設等比數(shù)列｛%｝的公比為4（4N0），利用等比數(shù)列的定義結合特例法可判斷各選項

的正誤.

【詳解】設等比數(shù)列｛%｝的公比為4（4W0）,

1

牛=2=1,則是以上為公比的等比數(shù)列，A對；

±%qq

a?

k=o時，他=0,則｛機,｝不是等比數(shù)列，B錯；

%+4,+1=4+4“=4,（1+4），4=-1時，%+4,+1=°，

此時｛。“+。,用｝不是等比數(shù)列，C錯;

2

攀=42,所以，｛4；｝是公比為才的等比數(shù)列，D對.

故選：AD.

13.BD

(分析】依題意可得S54s6且S74s6,即可得到620,%40,再根據d工0,即可得到d<0,

4>0,最后根據等差數(shù)列前〃項和公式及下標和性質判斷53；

【詳解】解：因為S,,VS6,所以s54s6且S7Vs6,B|J?6=S6-S5>0,a7=S7-S6<0,因

為d#0即。6、%不同時為零,所以d=%-4<0，因為42°，即4+5420,所以4>0,

6=13(%；。)=13%40,故D正確；出不一定為零，故C錯誤；

故選：BD

14.BCD

【分析】根據數(shù)列和函數(shù)關系，轉化為/(4)>%,即函數(shù)Ax)圖象上任意一點Q,y)都滿足

y>x,利用數(shù)形結合即可求解.

【詳解】解：由4”=/(%)且即/(%)>%,即函數(shù)人力圖象上任意一點(x,y)都

滿足V>x,結合選項可知函數(shù)y=f(x)的圖象不可能是BCD,

故選：BCD.

15.ABC

【分析】結合已知條件以及選項，逐項分析計算即可得出結論.

【詳解】為49=(2149—2021)+60的余數(shù)=128+60的余數(shù)=8,所以A對；由?！钡亩x得，

4+60=”“，所以B對：假設C的結論不成立，則〃=機，所以”“=4"，這與已知生尸耳,矛

盾，所以假設不成立，所以C對；若為=59,則。向=0,所以D錯.

故選：ABC.

16.CD

【分析】當”=1時，解出4,當〃*2時，由退位相減法求得2(q,+a,,.1)=(??+%)(%-%)，

討論勺+“,1=0和4,+%#0,求出數(shù)列伍“｝的通項，再依次判斷即可.

【詳解】當〃=1時，4S]=a；+2(?!=4?,,解得4=0或4=2,當時，4s—=a“_J+2a,,..,

22

4%=4s“-4S,i=a,,+2a?-a,,,,-2??,l,

整理得2(4,+a,i)=(q,+*)(%-a,-)，當4,+4-|=。時，若q=。，可得”“=。此時為等

差數(shù)列，若4=2,二=-1,

a?-i

可得數(shù)列他“｝為等比數(shù)列，%=2,(—I)”、當?！?4一戶0時，可得a,,-a,i=2,數(shù)列｛4｝為

等差數(shù)列，

若q=0,可得a,=2〃-2,若4=2,可得%=2〃；故A錯誤；B錯誤：C正確；當為=0

時，$4=0;

當q=2?(一1戶時，邑=2+(-2)+2+(-2)=0；當a“=2〃-2時，S&=等、4=12；當q=2〃

2IQ

時，s4=—^x4=20；故D正確.

故選：CD.

17.AD

【分析】由題可得4+1=2。,,+1,進而可得｛?！?1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，可

得a“=2T,即得.

【詳解】將圓盤從小到大編為1,2,3,號圓盤，則將第”+1號圓盤移動到3號柱時，需先將

第1〃號圓盤移動到2號柱，需次操作；

將第〃+1號圓盤移動到3號柱需1次操作；

再將1〃號圓需移動到3號柱需?！按尾僮?，

故4+i=2a”+1,%+l=2(a“+l),又4=1,

???｛4+1｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,

4+1=2x2"-'=2",即an=2"-1,

%=3,%=7.

故選：AD.

18.ABD

【分析】結合f(X)周期性和函數(shù)/(X)在［0,2］的解析式畫出fW的圖象，將g(x)=f(x)-k的

零點轉化為函數(shù)圖象交點問題，分情況討論g(x)=fM-k的零點即可.

【詳解】由已知，/(x+2)=/(x),則，(x)的周期為2.其大數(shù)圖象如圖所示，由圖可知,

①當％=0時,g(x)零點為1、3、5、7、…，滿足題意；

②當k=l時，g(x)零點為0、2、4、6、…，滿足題意；

③當&e(0,l)時，若零點從小到大構成等差數(shù)列｛怎｝,公差只能為1.

由1-%=在」="”，得與=2—0,止匕時&=1_與=應_1；

3-々3-(占+1)[r

④當女€(7,0)=(1,心)時，函數(shù)g(x)無零點，不符合題意.

故選：ABD.

19.BD

【分析】舉特例i=l</=3,4=-2=%可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意;

依據“鯉魚躍龍門數(shù)列''的定義，可說明B,D.

【詳解】對于A,不妨取i=l</=3,但q=-2=q,不滿足故A錯誤；

1

對于B,q,=碧=1-2，對V，?，%N*,若y?，則7g

7^2

則1-」--:~即4〈知，故B正確；

i+2y+2

對于C,不妨取，=2＜/=4,但%=0=4,不滿足《＜勺，故C錯誤;

對于D,an=ln-=ln(l---1),對ViJcN*,若，＜/,則」^＞三y,

n+ln+lz+1J+1

則1一」~7＜1一-,故ln(lOclnQ--；―-),即《＜。八故D正確;

z+1j+lz+1J+1

故選：BD

20.BD

【分析】分別令q=2021、區(qū),=2023,解出〃的值，可判斷A選項；利用等差數(shù)列的定義

可判斷B選項；解不等式。“>心可判斷C選項；利用等比數(shù)列的求和公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，分析可知當”為奇數(shù)時，%=2〃+1為奇數(shù)，

當"為偶數(shù)時，*="2為偶數(shù)，

令q=2"+1=2021可得〃=1010,不合乎題意，

令/=2/1+1=2023可得”=1011,合乎題意，

所以，2021不是數(shù)列他i}(〃eN.)中的項，2023是數(shù)歹U{%-}("eN")中的項，A錯；

對于B選項，因為《向—Ge=[2(2/7+1)+1]-[2(2?-1)+1]=4,

所以，數(shù)歹!){外,1}(”€^^*)是公差為4的等差數(shù)列，B對；

對于C選項，若攵為偶數(shù)，由42A>〃3人可得4公>9/，矛盾，

若改為奇數(shù)，由可得4%2>6%+1,即4產一6Z-1>0,解得%>土叵，

4

所有滿足條件k>小畫的奇數(shù)k都合乎題意，

4

所以，有無限個整數(shù)k使得成立，C錯；

a4"+i

對于D選項，2"為偶數(shù)，貝1旬=Q")2=4"，，上=/=4且4=4,

所以，數(shù)列{%,}是以4為首項，以4為公比的等比數(shù)列，

所以，5=也夕=竺a<竺.1，D對.

〃1-433

故選：BD.

21.BCD

【分析】根據首項判斷A,由遞推關系式可推出數(shù)列為遞減數(shù)列，據此放縮后可判斷D,再

由」一='+《,放縮可得據此可判斷BC.

【詳解】由4=1知，A錯;

1_1

+a.,a,=1>0,a?>0,""""也=a">0,a?>an+l,

anan+\

〃=1時，Sj=1;

〃22時，S〃=q+〃2+…+4<q+