福建省2024屆高三年級(jí)下冊(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

福建省龍巖二中2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）

M-2—XM——2----M

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2夜eS,且26史S

B.2亞任S,且2百eS

C.2A/2G5,且2百任S

D.2/wS,且2石eS

2.設(shè)全集U=K,集合4={》|/_3%-4>0},則第A=()

A.{x|-l<x<4)B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4Sc<l}

3.如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直

角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲50（）顆米粒（米粒大小忽略不

計(jì)，取6^1.732）,則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

A.134B.67C.182D.108

4.下列說(shuō)法正確的是()

A.命題“ax。V0,2%<sin/”的否定形式是"Vx>(),2x>sinx”

B.若平面a,力，y,滿足則a〃/?

C.隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N（l,b2）（cr>0）,若P（0<《<l）=0.4,則尸?>0）=0.8

D.設(shè)x是實(shí)數(shù)，“x<0”是“，<1”的充分不必要條件

X

5.已知直線廠做x+l）（A>0）與拋物線C：y2=4x相交于A,8兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，若照|=2尸8|,則照|=（）

A.1B.2C.3D.4

6.正方體A8CO-45GA，月（i=l,2,,12）是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面AGB平行的直線

有幾條（）

A.36B.21C.12D.6

V

7.已知正四面體的內(nèi)切球體積為打外接球的體積為匕則一=（）

v

A.4B.8C.9D.27

/、[X2+10x+Lx<0/、/、/、

8.設(shè)函數(shù)/（力=|刎丫>0若關(guān)于》的方程/（力=。（。€夫）有四個(gè)實(shí)數(shù)解%?=1，2,3,4）,其中

玉<工3<%4，貝!1（玉+%2）（%3一%4）的取值范圍是（）

A.（0,101]B.（0,99]C.（0,100]D.（0,+8）

9.已知。，，是空間中兩個(gè)不同的平面，加，〃是空間中兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若mua,nu0，且a_L￡,則加_L〃

B.若加ua,凡ua,且加〃⑸〃//月，則。//4

C.若根_La,〃///7,且aJ■尸，則加

D.若m上a,nl/。，且。///?,則加_L“

（號(hào)，

10.已知函數(shù)/（X）=.""2x+s加2則/（X）的最小值為（）

￡]_V2

B.旦D.

24~T2

11.已知正方體ABCD-%BCR的體積為V,點(diǎn)M,N分別在棱BB,,CC,±,滿足AM+MN+最小，則四

面體AMNA的體積為（）

12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：c加3）為（)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐尸一ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，PA=BC=5,PB=AC=A,PC=AB=2E則球。

的表面積為.

14.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

3

15.已知｛4｝為等比數(shù)列，S,是它的前〃項(xiàng)和.若生生=24,且％與2%的等差中項(xiàng)為1,則,5=.

16.正方體ABC。-AgC〃的棱長(zhǎng)為2,MN是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的

弦），P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，PA1.PN的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，湖中有一個(gè)半徑為1千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)A與小島圓心C相距3千米，為方便游人到小島觀光,

從點(diǎn)A向小島建三段棧道AB，BD，BE,湖面上的點(diǎn)8在線段AC上，且BO,BE均與圓C相切，切點(diǎn)分別為O,

E，其中棧道AB，BD，BE和小島在同一個(gè)平面上.沿圓C的優(yōu)?。▓AC上實(shí)線部分）上再修建棧道OE?記NC8。

為仇

（1）用。表示棧道的總長(zhǎng)度/（。），并確定sin。的取值范圍；

（2）求當(dāng)。為何值時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

18.（12分）如圖，空間幾何體ABCDE中，ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，EB=EC=娓,BC=2K，

ZACB=90°,平面ACDJ_平面ABC,且平面E8C_L平面ABC,H為AB中點(diǎn).

D

(1)證明：平面BCE；

(2)求二面角七一AB—C平面角的余弦值.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線/的參數(shù)方程

x-l何

2

為,C為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cos。；

V2

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與曲線。交點(diǎn)分別為A，B,點(diǎn)P(/LO、),求兩1+兩1的值?

20.(12分)在AABC角中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,若asinB=WcosA.

(1)求角Ai

(2)若AABC的面積為26，a=5,求A4BC的周長(zhǎng).

21.（12分）已知多面體中，AE、8均垂直于平面ABC,NABC=120,AE-=2CD,AB=BC=CD,

產(chǎn)是BE的中點(diǎn).

(1)求證：。/=7/平面ABC；

(2)求直線BO與平面/WE所成角的正弦值.

22.(10分)已知六面體ABCDEE如圖所示，BE1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=亞,

FM1

AB=AF=AD=2,"是棱ED上的點(diǎn)，且滿足——=一.

MD2

(1)求證：直線8E〃平面M4C；

(2)求二面角A-MC-。的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4G2中，四棱錐G-ABC。滿足條件，故5={2,2&,2石},得到答

案.

【詳解】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABCR中，四棱錐G-ABCD滿足條件.

故A8=8C=CO=AO=CC[=2,BC]=DCt=272.AC、=2瓜

故5={2,2&,2百},故2立eS,273￡S.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

2、C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得a/

【詳解】

由x2-3x-4=(x-4)(x+1)>0,解得x<-1或x>4.

因?yàn)锳={x|x<-1或x>4},所以aA={x|-lKx44}.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為工,立，

22

則小正方形的邊長(zhǎng)為正-4，小正方形的面積S=j"-工］=1--,

22122)2

則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為

-^-x500=l—,jx500a(l—0.866)x500=0.134x500=67'

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；2,4可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；

，<1=>尤<0或x>l,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.

x

【詳解】

命題，臼/<0,2/Wsin/”的否定形式是“VxWO,2x>sinx”，故A錯(cuò)誤；aly,

pLy,則a,尸可能相交，故B錯(cuò)誤；若P(0<J<l)=0.4,則P(1<J<2)=0.4,所以

P/<0)=]」閂u&=0],故「6>0)=0.9,所以C錯(cuò)誤；由上<1,得x<()或x>l,

2x

故“X<0”是“」<1”的充分不必要條件，D正確.

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容

易題.

5、C

【解析】

方法一：設(shè)R-LO),利用拋物線的定義判斷出8是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得8點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得IFBI，進(jìn)而求得|E4|.

方法二：設(shè)出A8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)乙,與，由拋物線的定義，結(jié)合I必1=2|尸8|求得乙,4的關(guān)系式，聯(lián)立直線

y=Z(x+l)的方程和拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得乙，進(jìn)而求得|E4|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線/=4x的準(zhǔn)線方程為/:x=T,直線y=左。+1)恒過(guò)定點(diǎn)P(-l,0)，過(guò)A,8分別作AM±/

于M,BNAJ于N,連接OB,由|E4|=2|EB|,貝!]|AV|=21BN],所以點(diǎn)8為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是Pb的

中點(diǎn)，

貝！所以|。例=|B或，又|0臼=1

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為!，

2

方法二：拋物線：/=4%的準(zhǔn)線方程為=直線y=A(x+l)

由題意設(shè)A,8兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為乙,乙(乙，4>°)，

則由拋物線定義得

IFA|=xA+\,\FB\=XB+1

又|

fX|=21FB|,xA+l=2(XB+\)^>XA=2XB+1①

V2222

<—4"=>kx+(2k-4)x+k=0=>xAxB=1②

y=-x+l)

由①②得x；-4-2=0,%=2,1必|=乙+1=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

6、B

【解析】

先找到與平面4GB平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.

【詳解】

考慮與平面平行的平面片與1，平面幾片山，平面與4￡6舄片2,

共有C；+C；+C；=21,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題，是一中檔題.

7、D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,取8。的中點(diǎn)為。，連接A。，作正四面體的高為首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RtAAMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,取8C的中點(diǎn)為。，連接力。，

作正四面體的高為尸M,

PM=yJPA2-AM2=—，

3

,_1A/3V6_V2

P-ABC34312

設(shè)內(nèi)切球的半徑為＞內(nèi)切球的球心為。,

1h

則％.ABC=4%_板=4X§X丁r，

解得：r=s

12

設(shè)外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

則|M?V|=|PM-R|或出一AN=R,

在RrA/WN中，由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.」+[邁-R]=R2,解得R=在,

334

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：%+々=-10,x3x4=l,<x3<1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

.、fx2+10x+Lx<0

"X）={..八，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：

'|lgx|,x>0

根據(jù)圖像知：%|+工2=-1。，愴工3=-他*4，故石*4=1且

（1A、

故（X]+工2）（工3-七）=-10q---6（0,99].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.

9、D

【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.

【詳解】

解：對(duì)于A,當(dāng)mua,nu/3,且C月，則加與“的位置關(guān)系不定，故錯(cuò);

對(duì)于3,當(dāng)加〃“時(shí)，不能判定a//￡,故錯(cuò)；

對(duì)于C,若加_La,〃///?,且。_L￡,則加與〃的位置關(guān)系不定，故錯(cuò);

對(duì)于。，由，”_1。,。///?可得機(jī)_1_，，又〃//，，則〃?故正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體

模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.

10、A

【解析】

先通過(guò)降黑公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/(x)=1-；cos(2x+?),再求最值.

【詳解】

77

已知函數(shù)/(x)=S〃，x+s加2(X4-—),

?'J乃

1-cos2x+—

=l-cos2xI3

---------+

22

I1(cos2cx

=1-----------------

222J2I3j

因?yàn)閏os[2x+y1€

所以/(x)的最小值為;.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

由題意畫(huà)出圖形,將MN,ND,所在的面延它們的交線展開(kāi)到與AM所在的面共面,可得當(dāng)BM=；BBiCN=gqC時(shí)

,V

AM+MV+NR最小，設(shè)正方體AG的棱長(zhǎng)為3。，得/=一，進(jìn)一步求出四面體的體積即可.

【詳解】

解：如圖,

?點(diǎn)M,N分別在棱BBpCG上，要AM+VN+NR最小，將MN,所在的面延它們的交線展開(kāi)到與AM所在的面

共面，三線共線時(shí)，AM+MN+ND、最小,

設(shè)正方體AC,的棱長(zhǎng)為3a,則27/=y,

^BG^-BC,連接NG,貝11AGNR共面,

3

在AANR中，設(shè)N到AD1的距離為％,

22

ADt=7(3a)+(3a)=3缶，

D[N=J(3a)2+/=VlOa,

AN=J(3&a)2+(2a)2=叵la,

10。2+22合一]8"2_7

：.cosND]NA

2-y/Wa-y/22a~2455,

3M

：.sinZD,NA

2屈，

I13、府

；?s皿NA=fDM?AN?sinND'NAnfADi也

設(shè)M到平面AGND］的距離為h2,

V*-AGN~VA-MGN

?'?^AMND,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問(wèn)題，考查計(jì)算能力，是中檔題.

12、D

【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.

【詳解】

如圖，該幾何體為正方體去掉三棱錐4-AG￡,

AB

1122

所以該幾何體的體積為：V=V4SCD.W|M-VB|_ACi￡=2x2x2--x-x2x2xl=—,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、30%

【解析】

球。為長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為計(jì)算得到/?=我

如圖所示，將三棱錐尸-4BC補(bǔ)成長(zhǎng)方體,

2

得到答案.

【詳解】

如圖所示，將三棱錐ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體,球。為長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)、寬、高分別為Ac,

a2+b2=25,

則＜/+。2=15,,所以/+62+。2=30,所以球。的半徑尺=畫(huà),

b2+c2=2O,2

則球。的表面積為S=4兀R2=4萬(wàn)=307.

故答案為：30乃.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐尸-ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解題的

關(guān)鍵.

1

14、-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張,

基本事件總數(shù)〃=4x4=16，

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為P=，=L

162

故答案為

2

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15、-11

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,根據(jù)題意求出a和%的值，進(jìn)而可求得《和4的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得s5的

值.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得2al=%。3=。1。4，=2,

33311

由于。4與2%的等差中項(xiàng)為I，則g+2%=5，則2a7=/—包=一2，：?“7=—W

3?711

??廠"一'L4=3=T6,

2q

故答案為：—11.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、[0,2]

【解析】

由弦MN的長(zhǎng)度最大可知為球的直徑.由向量的線性運(yùn)用表示出PM-PN，即可由范圍求得PM.PN

的取值范圍.

【詳解】

連接P。，如下圖所示:

設(shè)球心為。，則當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，MN為球的直徑，

由向量線性運(yùn)算可知

PM-PN=（PO+OM）（PO+ON）

=PO+POON+OMPO+OMON

^PO2+PO（ON+OM）+OMON

正方體ABC0—44G。的棱長(zhǎng)為2,則球的半徑為1,ON+OM=Q,OMON=-1,

所以PO2+PO（ON+OM）+OMON

2

=P0-1，

而百]

2

所以P。--le[0,2],

即PM-PNe[0,2]

故答案為：[0,2].

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、⑴，(。)=3-++高+乃+2。，sinOe⑵當(dāng)夕=?時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

【解析】

(1)連CO,CE,由切線長(zhǎng)定理知：==BC=a=上,AB=AC-BC^3———>0,

tan0tan0sin0sin0sin0

sin,即sin8o=g,0(),

貝！Jf(e)=3—工+烏+乃+2，，Oe%，g]，進(jìn)而確定sin。的取值范圍；

sin0tan0L2J

(2)根據(jù)/(。)=2。一中獷+乃+3求導(dǎo)得r⑻=￡OS：￡；；S*1),利用增減性算出/(e)mm=,+3,

進(jìn)而求。得取值.

【詳解】

m1mi

解：(1)連CO,CE,由切線長(zhǎng)定理知：8E=8O=±F=——，8C=*—=——，

tan0tan0sin6sin6

4CBE=/CBD=e,又CD1.BD,CE1BE,故NDCE=〃-2e,

則劣弧OE的長(zhǎng)為兀一26,因此，優(yōu)弧OE的長(zhǎng)為乃+28，

又AC=3,故AB=AC—BC=3———>0,sin^>-,即sin〃=2，^oe|0,-

sin。3°3I2

所以，f（6）=3—一—+^—+7r+20,貝！JsinOw^,1|；

sin0tan0L2/[_3）

⑵/⑻=28」-：：7+乃+3,為仁）其中sinq=；,

-cose（2cos6-l）

）⑼一赤一

冗

e1%?i

/'⑻-0+

/⑻單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故。=?時(shí)，而n=^+3

所以當(dāng)。=上TT時(shí)，棧道總長(zhǎng)度最短.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于中檔題.

18、(1)證明見(jiàn)解析(2)為

5

【解析】

(1)分別取AC,8。的中點(diǎn)P,Q,連接DP,EQ,PQ,PH,DH,要證明平面8CE,只需證明面

BCE〃面OP”即可.

(2)以點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA為x軸，以「”為＞軸，以PO為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

m?n

分別計(jì)算面￡46的法向量加，面4BC的法向量可取〃，并判斷二面角為銳角，再利用cos6=7■丁x計(jì)算即可.

\m\-\n\

【詳解】

(1)證明：分別取AC,8c的中點(diǎn)戶,Q,連接。P,EQ,PQ,PH，DH.

由平面ACD_L平面4BC,且交于AC,DPu平面AC。，

由平面E3CL平面A8C,且交于8C,EQu平面BCE,后。，8。有￡。，平面

ABC,所以Z)P〃EQ,又EQu平面仍。，平面仍C,所以O(shè)P〃平面

EBC,由AP=PC,AH=HB有,PH//BC,又BCu平面E8C,平面

EBC,所以P”〃平面E8C,

由OP〃平面EBC,PH〃平面EBC,DPcPH=P,所以平面BCE〃平面OP“，所以?！啊ㄆ矫鍮CE

(2)以點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA為x軸，以為》軸，以PO為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

由EQ-L面ABC,所以面ABC的法向量可取”=(0,0,1),

點(diǎn)A(1,O,O),點(diǎn)8(—1,2行,0),點(diǎn)E(—1,6,0)，A6=(—2,2百,0),BE=(Q-瓜加),

設(shè)面區(qū)鉆的法向量〃z=(x,y,z),所以

—2.x+2\Z^y0

取〃?=(6,1,1),

-Gy+百z=0

二面角E-AC-8的平面角為6,則。為銳角.

mn1_75

所以cos。=

\m\-\n\

【點(diǎn)睛】

本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，在做此類題時(shí)，一定要準(zhǔn)確

寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

19、(I)/：x+y—l=0,曲線。：》2+>2-4》=0

【解析】

試題分析：（1）消去參數(shù)/可得直線/的直角坐標(biāo)系方程,由/+卜2=22,7cOS?？傻们€。的直角坐標(biāo)方程;

,V2

X=1-----1

2l1111k-r2|

⑵將/（/為參數(shù)）代入曲線C的方程得:/+血-3=。，網(wǎng)+網(wǎng)=口+同=而‘利用

V2

V=------1

韋達(dá)定理求解即可.

試題解析：

（1）/：X+y-l=O,曲線。：*2+9一4%=0,

X=1-----1

⑵將/a為參數(shù)）代入曲線c的方程得：?+衣_3=o.

=

所以4+12=-V2,?|f2—?

所以1I1.1「￥7一場(chǎng)+產(chǎn)一4%_舊

附|PB|同團(tuán)丘|33.

7T

20>(1)—；(2)1.

【解析】

(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得sinAsinb=6sinbcosA,求得tanA=G，結(jié)合范圍AW(0,n)9可求

(2)利用三角形的面積公式可求加=8,由余弦定理解得Hc=7,即可得解AAbC的周長(zhǎng)的值.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，因?yàn)閍sinB=CbcosA,

由正弦定理，可得sinAsinB=GsinBcosA,

又因?yàn)?￡(0,萬(wàn))，可得sin毋0,

所以sinA=J^cosA，即：tanA=>/3，

jr

因?yàn)?0,n),所以A=1；

(2)由(1)可知A=g,且a=5,

]/7

又由△ABC的面積2百=弓％csinA=----be,解得6c=8,

由余弦定理a2=/+c2-2〃ccosA,可得：25=M+c2-Z>c=(/>+<?)2-3bc=(b+c)2-24,

整理得(b+c)2=49,解得：b+c=7,

所以△ABC的周長(zhǎng)a+6+c=5+7=l.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬

于基礎(chǔ)題.

21、(1)見(jiàn)解析；(2)叁

4

【解析】

(1)取4?的中點(diǎn)H,連接EH、CH,推導(dǎo)出四邊形FHCD為平行四邊形，可得出DF//CH,由此能證明。尸〃

平面ABC；

(2)由AE〃C￡>,得CD〃平面4宓，則點(diǎn)。到平面43E的距離等于點(diǎn)C到平面4組的距離，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)C

作CGLA5于點(diǎn)G,CG就是C到平面叱的距離，也就是點(diǎn)。到平面的距離，由此能求出直線BD與平面

他E所成角的正弦值.

【詳解】

(D取A3的中點(diǎn)“，連接FH、CH,

?:H、/分別為AB、BE的中點(diǎn),則FH//AE且FH=；AE,

.AE>C￡>均垂直于平面ABC,且A￡=2C￡),貝!|8〃A￡,FH//CDS.FH=CD,

所以，四邊形WCD為平行四邊形，貝IJDF7/C7/,

?.Of平面ABC,CHu平