八年級初二數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)勾股定理試題含答案

一、選擇題

1.如圖：在^ABC中，ZB=45°,D是AB邊上一點，連接CD,過A作AF_LCD交CD于

①NACD=2/FAB②%⑦=2"③=2"—2④AC=AF

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④

2.如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直.如果小明站在

南京路與八一街的交叉口，準備去書店,按圖中的街道行走，最近的路程約為（）

A.600mB.500m

C.400mD.300m

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZD=90'bAD=8,BC=6,分別以點A,

C為圓心，大于LAC長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點

2

A.472B.6C.2MD.8

4.如圖，RtAABC中，/ACB=90。，ZABC=60°,BC=5,AC=5jJ，CB的反向延長線上有一動

點。，以A。為邊在右側(cè)作等邊三角形，連CE,CE最短長為（）

E

DB

A.5B.5褥c.?D.逆

24

5.已知AABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt^ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個

等腰Rt^ACD,再以RtZ\ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt^ADE,…，依此類

推，第n個等腰直角三角形的面積是（）

6.如圖,A、B兩點在直線I的兩側(cè)，點A到直線I的距離AC=4,點B到直線I的距離BD=2,且

CD=6,P為直線CD上的動點，則位4-的最大值是（）

A.672B.2點C.2MD.6

7.如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，ZC=90°,把紙片沿EF對折后，點A恰好落在

BC上的點D處，若CE=1,AB=4點，則下列結(jié)論一定正確的個數(shù)是（）

①BCn5/JCD；②BD>CE；③NCED+/DFB=2/EDF；④ZkDCE與4BDF的周長相等；

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.在卜ABC中,ZC=90°,ZA=30°,AB=12,則AC=()

A.6B.12c.642D.673

9.如圖，分別以直角AABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S，$2,S3表示,

若$2=7,$3=2,那么S]=()

10.《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的

體系."折竹抵地"問題源自《九章算術(shù)》中："今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折

者高幾何？"意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處

離竹子底部4尺遠（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）（）

A.3B.5C.4.2D.4

二、填空題

11.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖"，后人稱其為“趙爽弦圖"

（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方

形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為SLS2,S3,若Si+S2+S3=10,則S2

的值是.

圖1圖2

12.如圖，ZMON=90°,4ABC的頂點A、B分別在OM、ON上，當A點從。點出發(fā)沿

著0M向右運動時，同時點B在。N上運動，連接0C.若AC=4,BC=3,AB=5,則OC

的長度的最大值是

N

OKM

13.已知，如圖：在平面直角坐標系中，0為坐標原點，四邊形0ABe是矩形，點4C的

坐標分別為A(10,0)、C(0,4),點。是。A的中點，點P在BC邊上運動，當AODP

是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為.

14.如圖，有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的下底面A

點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的C點處的食物，需要爬行的最短路程是

(五的值取3).

15.已知，在^ABC中，ZC=90°,AC=BC=7,D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC

上，DE=DF,若BF=4,貝ljEF=

16.如圖，在RfAABC中，ZABC=9011DE垂直平分AC,垂足為/，AD//BC,

17.如圖，在銳角AABC中，AB=2,ZBAC=60J;N&1C的平分線交于點。,

M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是.

18.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在AABC外

作ABQC會ABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有（填序號）

①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③NAPB=150°④NAPC=135。

19.如圖，RtZkABC中，ZBCA=90°,AB=y/5,AC=2,D為斜邊AB上一動點（不與點

A,B重合），DELAC,DFXBC,垂足分別為E、F,連接EF,則EF的最小值是.

4

20.如圖，直線y=^x+2與x軸、＞軸分別交于點3和點A，點C是線段上的一

點，若將AABC沿折疊，點A恰好落在x軸上的4處，則點。的坐標為.

21.如圖，在兩個等腰直角八ABC和中，ZACB=ZDCE=90°.

（1）觀察猜想：如圖1,點E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是;

（2）探究證明：把繞直角頂點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？

說明理由；

（3）拓展延伸：把△CDE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=10,DE=12,當A、E、

D三點在直線上時，請直接寫出AD的長.

B/K

ACDAC

22.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90a,AC=BC,AD平分/BAC,BD_DW于點

D,E是AB的中點，連接CE交AD于點F,BD=3,求BF的長.

23.定義：有一組鄰邊均和一條對角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形.(1)如圖1,四邊

形ABCD中,ZABC=70°,ZBAC=40",ZACD=ZADC=80",求證：四邊形ABCD是鄰和四邊

形.

(2)如圖2,是由50個小正三角形組成的網(wǎng)格，每個小正三角形的頂點稱為格點，已知

A、B、C三點的位置如圖，請在網(wǎng)格圖中標出所有的格點D,使得以A、B、C、D為頂點

的四邊形為鄰和四邊形.

(3)如圖3,AABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=2,若存在一點D,使四邊形ABCD是

鄰和四邊形，求鄰和四邊形ABCD的面積.

24.如圖，在｛ABC中，/B4c=90。，AB=AC,點D是BC上一動點、連接AD,

過點A作AELAD，并且始終保持AE=AT>,連接CE,

(1)求證：|ABD斗ACE；

(2)若AF平分NQ4E交于歹，

①探究線段5。，DF,9C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②若BD=3,CF=4,求AD的長，

25.及AA6C中，ZCAB=901，AC=4,AB=8,M,N分別是邊AB和CB上的

動點，在圖中畫出AN+MN值最小時的圖形，并直接寫出AN+MN的最小值為

C

26.已知A45C中，AB=AC.

(1)如圖1,在AWE中，AD=AE,連接3D、CE,若NZME=NBAC,求證:

BD=CE

(2)如圖2,在AADE中，AD=AE,連接BE、CE,若/ZME=NBAC=6。1，

CELA。于點歹，AE=4，EC=5,求BE的長；

(3)如圖3,在A5co中，NCBD=NCDB=心，連接A。，若/。43=45二求

27.如圖，在AABC中，ZC=90°,把AABC沿直線DE折疊，使AADE與ABDE重合.

⑵若AC=8,BC=6,求AD的長；

(3)當AB=m(m>0),AABC的面積為m+1時,求ABCD的周長.(用含m的代數(shù)式表示)

28.如圖1,4ABC和4CDE均為等腰三角形,AC=BC,CD=CE,AC>CD,ZACB=ZDCE=a,且點

⑴求證:AD=BE.

(2)如圖2,若a=90°,CMJLAE于E.若CM=7,BE=10,試求AB的長.

(3)如圖3,若a=120°,CM±AE于E,BN±AE于N,BN=a,CM=b，直接寫出AE的值(用a,b的代

數(shù)式表示).

29.如圖1,在平面直角坐標系中，直線AB經(jīng)過點C(a,a),且交x軸于點A(m,

0),交y軸于點B(0,n),且m,n滿足Jv-6+(n-12)2=0.

(1)求直線AB的解析式及C點坐標；

(2)過點C作交X軸于點。，請在圖1中畫出圖形，并求。點的坐標；

(3)如圖2,點E(0,-2),點P為射線上一點，且NCEP=45。，求點P的坐標.

30.如圖1,點E是正方形ABC。邊上任意一點，以DE為邊作正方形OEFG,連

接3歹，點又是線段3尸中點，射線EM與6c交于點連接。0.

(1)請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點/恰好落在線段CD上,

如圖2,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理由.

(3)把圖1中的正方形。EFG繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，此時點E、G恰好分別落在線段

AD，CD上，連接CE,如圖3,其他條件不變，若DG=2,AB=6,直接寫出CM

的長度.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

過點C作S于點H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZACD=1800-2ZOM,根據(jù)

4尸得到NE鉆=90°-ZCa4,可以證得①是正確的，利用勾股定理求出AG的

長，算出三角形ACD的面積證明②是正確的，再根據(jù)角度之間的關(guān)系證明

ZAFC^ZACF,得到④是正確的，最后利用勾股定理求出CF的長，得到③是正確的.

【詳解】

解：如圖，過點C作CHLAB于點H,

???AC=CD,

ACAD=ZCDA,ZACD=1800-2ZCDA,

AFVCD,

ZAG。=90。，

：.ZFAB=9Q°-ZCDA,

：.ZACD=2ZFAB,故①正確；

CG=3,DG=1,

：.CD=CG+DG=3+1=4,

：.AC=CD=4,

在R^ACG中,AG=>/AC2-CG2=5/16^9=A/7-

StACD=^AGCD=2^7,故②正確；

ZCHB=90°,ZB=45°,

，NHCB=45°,

,/AC=CD,CHVAD,

/.ZACH=ZHCD=-ZACD,

2

VZAFC=ZB+ZFAB=45°+ZFAB,

ZACF=ZACH+ZHCB=ZACH+45°,

ZACH=-ZACD=ZFAB,

2

：.ZAFC=ZACF,

：.AC=AF=4,故④正確；

:.GF=AF-AG=4-H,

在Rt^CGF中，CF=ylCG2+GF2=干+3―"j=277-2，故③正確.

故選：B.

【點睛】

本題考查幾何的綜合證明，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理和三角

形的外角和定理.

2.B

解析：B

【分析】

由于BCIIAD,那么有NDAE=NACB,由題意可知NABC=NDEA=90°,BA=ED,利用AAS可

證AABC^ADEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根據(jù)圖可知從

B到E的走法有兩種，分別計算比較即可.

【詳解】

解：如右圖所不，

,/BCIIAD,

/.ZDAE=ZACB,

又;BC±AB,DE±AC,

/.NABC=ZDEA=90°,

又AB=DE=400m,

「.△ABCg△DEA,

EA=BC=300m,

在RtAABC中，AC=+BC-=500m,

CE=AC-AE=200,

從B到E有兩種走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m,

最近的路程是500m.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的關(guān)鍵是證明

AAB8△DEA,并能比較從B到E有兩種走法.

3.A

解析：A

【分析】

連接FC,根據(jù)基本作圖，可得。E垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FC.再根據(jù)

ASA證明△FOAgZXBOC,那么AF=BC=3,等量代換得到FC=AF=3,利用線段的和差關(guān)系求

出FD=AD-AF=1.然后在直角△下￡?《中利用勾股定理求出CD的長.

【詳解】

解：如圖，連接FC,

?.,點。是AC的中點，由作法可知，OE垂直平分AC,

：.ZFAO=ZBCO.

在AFOA與△BOC中,

ZFAO=ZBCO

<OA=OC,

ZAOF=ZCOB

：./\FOA^^BOC(.ASA),

：.AF=BC=6,

：.FC=AF=6,FD=AD-AF=8-6=2.

在中，VZD=90°,

：.CD2+DF2=FC2,

：.CD2+22=62,

ACD=472.

故選：A.

【點睛】

本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，難度適中.求出CF與DF是解題的關(guān)鍵.

4.C

解析：C

【分析】

在C8的反向延長線上取一點夕，使得BC=QC,連接A夕，易證g△ABE,可得

ZABE=ZB,=60°,因此點￡的軌跡是一條直線，過點C作則點H即為使得

8E最小時的E點的位置，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案.

【詳解】

解：在C8的反向延長線上取一點"，使得BC=B，C,連接4夕，

ZACB=90a,ZABC=60°,

AAB^是等邊三角形，

AZB,=ZB,AB=60°,AB^AB,

是等邊三角形，

ZDAE=60°,AD=AE,

：.NB'AD+NDAB=/DAB+/BAE,

：.ZB,AD=ZBAE,

/.AAB^^AABE(SAS),

：.ZABE=ZB,=60°,

.?.點E在直線BE上運動，

過點C作CHLBE于點H,則點以即為使得BE最小時的E點的位置，

ZCBH=180°-ZABC-ZABE=6Q°,

:./BCH=30°,

15

：.BH=-BC=-,

22

：.CH=^BC2-BH2=5^.

即BE的最小值是5

2

故選C.

A

【點睛】

本題是一道動點問題，綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識，將△ACB構(gòu)造成等邊三角形，通過全等證出/ABC

是定值，即點E的運動軌跡是直線是解決此題的關(guān)鍵.

5.A

解析：A

【分析】

連續(xù)使用勾股定理求直角邊和斜邊，然后再求面積，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可正確作答.

【詳解】

解：:△ABC是邊長為1的等腰直角三角形

11,_

19

S/MVIBDC=—2xlxl=2—=2',

22

AC=Vl+1="AD=Jg2+(&=2

^AACD=2X/*無=1=222：

^MDE=—X2X2=1=232

.?.第n個等腰直角三角形的面積是2"號,

故答案為A.

【點睛】

本題的難點是運用勾股定理求直角三角形的直角邊，同時觀察、發(fā)現(xiàn)也是解答本題的關(guān)鍵.

6.C

解析：c

【解析】

試題解析：作點B關(guān)于直線/的對稱點3',連接并延長，與直線/的交點即為使得

P叫取最大值時對應(yīng)的點P.

此時廬4_|=|R4_PB'\=AB'.

過點B'作B'E，AC于點E,如圖，

E

四邊形B'DCE為矩形，

B'E=CD=6,EC=B'D=BD=2.

：.AE=2.

AB'^^AE"+B'E1=2M

|K4-的最大值為：2加.

故答案為：2M.

7.D

解析：D

【分析】

利用等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)運用勾股定理以及對應(yīng)角度的關(guān)系來推導(dǎo)對應(yīng)選項的結(jié)論

即可.

【詳解】

解：由AB=4拉可得AC=BC=4,則AE=3=DE,由勾股定理可得CD=2及，①正確；

BD=4-2、傷〉1，②正確；

由/A=/EDF=45°,則2/EDF=90°,ZCED=90°-ZCDE=90°-(ZCDF-450)=135°-

ZCDF=135°-(ZDFB+450)=90°-ZDFB,故NCED+NDFB=90°=2NEDF,③正確；

△DCE的周長=CD+CE+DE=272+4,ABDF的周長=BD+BF+DF=BD+AB=44+4-

2忘=4+2及，④正確；故正確的選項有4個，故選：D.

【點睛】

本題主要考查等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及勾股定理的運用,本題涉及的等腰直角三角

形、翻折、勾股定理以及邊角關(guān)系，需要熟練地掌握對應(yīng)性質(zhì)以及靈活的運用.

8.D

解析：D

【分析】

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【詳解】

解：VZC=90°,ZA=30°,

1

BC=—AB=6,

2

由勾股定理得，AC=^AB--BC2=673）

故選：D.

【點睛】

本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊等

于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

9.A

解析：A

【分析】

根據(jù)勾股定理與正方形的性質(zhì)解答.

【詳解】

解：在RtAABC中，AB2=BC2+AC2,

222

VSI=AB,S2=BC,S3=AC,

S1=S2+S3.

VS2=7,S3=2,

ASI=7+2=9.

故選：A.

【點睛】

本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊

長的平方.

10.C

解析：c

【分析】

根據(jù)題意可設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，折斷處離竹梢AB是（10—x）尺，結(jié)合勾

股定理即可得出折斷處離地面的高度.

【詳解】

設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，則折斷處離竹梢AB是（10—x）尺，

由勾股定理可得：042+032=432

即：X2+42=（10-X）2,

解得：x=4.2

故折斷處離地面的高度OA是4.2尺.

A

故答案選：C.

【點睛】

本題主要考查直角三角形勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理.

二、填空題

10

11.—.

3

【解析】

試題解析：將四邊形MTKN的面積設(shè)為X,將其余八個全等的三角形面積一個設(shè)為y,

?.,正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為工,s2,S3,Si+S2+S3=10,

得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,

-S]+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,

10

x+4y=—,

所以S2=x+4y=^.

考點：勾股定理的證明.

12.5

【解析】

1

試題分析：取AB中點E,連接OE、CE,在直角三角形AOB中，OE「AB,利用勾股定理的

II

逆定理可得AACB是直角三角形，所以CE^AB,利用0E+CE20C,所以0C的最大值為

OE+CE,即0C的最大值=人8=5.

考點：勾股定理的逆定理，

13..（3,4）或（2,4）或（8,4）.

【分析】

題中沒有指明AODP的腰長與底分別是哪個邊，故應(yīng)該分情況進行分析，從而求得點P的

坐標.

【詳解】

解：（1）。。是等腰三角形的底邊時，P就是。。的垂直平分線與CB的交點，此時。P=

PDW5；

（2）。。是等腰三角形的一條腰時：

①若點。是頂角頂點時，P點就是以點。為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，

在直角AOPC中，CP=JoP~-OC2=752-42=3>則P的坐標是（3,4）.

②若。是頂角頂點時，P點就是以點。為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，

過。作于點M,

在直角△PDM中，PM=7PD2-DM2=3，

當P在M的左邊時，CP=5-3=2,則P的坐標是（2,4）；

當P在M的右側(cè)時，CP=5+3=8,則P的坐標是（8,4）.

故P的坐標為：（3,4）或（2,4）或（8,4）.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運用等知識，注意正確地進行分類，考慮到所有

可能的情況并進行分析求解是解題的關(guān)鍵.

14.15厘米

【分析】

要想求得最短路程，首先要畫出圓柱的側(cè)面展開圖，把A和C展開到一個平面內(nèi).根據(jù)兩

點之間，線段最短，結(jié)合勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程.

【詳解】

解：如圖，展開圓柱的半個側(cè)面是矩形，

.?.矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即AB=3兀=9厘米，矩形的寬BC=12厘米.

螞蟻需要爬行最短路程AC=JBC?+AB?=7122+92=15厘米.

故答案為：15厘米

【點睛】

求兩個不在同一平面內(nèi)的兩點之間的最短距離時，一定要展開到一個平面內(nèi)，根據(jù)兩點之

間，線段最短.

15.3JI或或5或，

【分析】

分別就E,F在AC,BC上和延長線上，分別畫出圖形，過D作DGLAC,DHXBC,垂足為G,

H,通過構(gòu)造全等三角形和運用勾股定理作答即可.

【詳解】

解：①過D作DGLAC,DHXBC,垂足為G,H

；.DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又；D是AB的中點，

1

.?.DG=-BC

2

同理：DH=1AC

2

又；BC=AC

.\DG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.".RtADGE^RtADHF(HL)

.\GE=HF

XVDG=DH,DC=DC

.?.△GDC^AFHC

.\CG=HC

CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3

TT

?■?EF=73+3=3X/2

②過D作DGJ_AC,DH±BC,垂足為G,H

，DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又；D是AB的中點，

1

.?.DG=-BC

2

同L理?：DH=-1AC

2

又；BC=AC

.\DG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.".RtADGE^RtADHF(HL)

；.GE=HF

又；DG=DH,DC=DC

AAGDC^AFHC

.\CG=HC

CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11

*'-EF=^/n2+H2=1172

③如圖，以點D為圓心，以DF長為半徑畫圓交AC邊分別為E、E',過點D作DHLAC于

點H,可知DF=DE=DE',可證△EHDgAE'HD，^CE'D^CFD,△DHC為等腰直

角三角形，

.\Z1+Z2=45°

ZEDF=2(Z1+Z2)=90°

???△EDF為等腰直角三角形

可證△AED/CFD

；.AE=CF=3,CE=BF=4

EF=VCE2+CF2=&+32=5

④有第③知，EF=5,且△EDF為等腰直角三角形,

ED=DF=5,，可證△^E'CFs^E'DE,

E

廣

y2+32=x2

3_y

十人

22

4?-P/曰42

綜上可得：x=——

5

E'F'=廬+。產(chǎn)=J2DE，

【點睛】

本題考查了全等三角形和勾股定理方面的知識，做出輔助線、運用數(shù)形結(jié)合思想是解答本

題的關(guān)鍵.

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)DE垂直平分AC得出FA的長，根據(jù)相似三角形的判

定定理得出△AFDS/^CBA,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【詳解】

?.?Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=‘AB?+BC?=7^^=5;

；DE垂直平分AC,垂足為F,

15

FA=—AC=-,ZAFD=ZB=90°o,

22

：AD〃BC,/A=/C,

.?.△AFDs/XCBA,

.ADFAAD2.525山林4二25

??=--,B14Prl=——,解侍AD=；故答案為不-.

ACBC5488

【點睛】

本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條

直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

17.G

【分析】

作點B關(guān)于AD的對稱點口，過點B作BNLAB于N交AD于M,根據(jù)軸對稱確定最短路

線問題，BN的長度即為BM+MN的最小值，根據(jù)NBAC=60。判斷出AABB，是等邊三角形，

再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

如圖，作點B關(guān)于AD的對稱點B\

由垂線段最短，過點夕作BNLAB于N交AD于M,BN最短，

由軸對稱性質(zhì)，BM=B,M,

，BM+MN=B'M+MN=B'N,

由軸對稱的性質(zhì)，AD垂直平分BB-

，AB=AB',

VZBAC=60°,

是等邊三角形，

VAB=2,

BN=2x退=點，

2

即BM+MN的最小值是A.

故答案為-73.

【點睛】

本題考查了軸對稱確定最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，確定出點M、N的位置

是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

18.①②③

【解析】

【詳解】

解：?.?△A8C是等邊三角形，

ZABC=601,

VASQC^ABRA,

：.ZBPA=ZBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=ZQBC,

ZPBQ=ZPBC+ZCBQ=ZPBC+ZABP=ZABC=60',

.?.△BPQ是等邊三角形，①正確.

PQ=BP=4,

HPQ2+eC2=42+32=25,PC2=52=25,

PQ1+QC2PC2,

.?.NPQC=90,'，即APQC是直角三角形，②正確.

VABPQ是等邊三角形，

ZPBQ=ZBQP=60-',

,/△BQC^ABR4,

ZAPB=ZBQC,

ZBPA=ZBQC=60'+901'=150',③正確.

ZAPC=360'-150'-601'-ZQPC=150：'-ZQPC,

HZPQC=90SPQ手QC,

ZQPC^45!,

即ZAPC豐1351,④錯誤.

故答案為①②③.

19.2有

5

【解析】

試題分析：根據(jù)勾股定理可求出BC=1,然后根據(jù)NBCA=90°,DE±AC,DF±BC,證得四

邊形CEDF是矩形，連接CD,則CD=EF,當CDLAB時，CD最短，即EF=CD=.

5

故答案為止.

5

點睛：本題考查了勾股定理的運用，矩形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，同時也考

查了學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力.

3

20.(0,-).

4

【分析】

4

由y=§x+2求出點A、B的坐標，利用勾股定理求得AB的長度，由此得到

53

^=---=1,設(shè)點C的坐標為(0,m),利用勾股定理解得m的值即可得到答案.

22

【詳解】

4

在丁=§%+2中，當x=0時，得y=2,AA(0,2)

433

當y=0時，得一x+2=0,；.B(一一,0),

322

3

在RtZA\AOB中，ZAOB=90°,OA=2,OB=-,

2

AB=y/0A2+0B2=爐+(|)2=|

設(shè)點c的坐標為（0,m）

由翻折得1ABe也k'BC,

AC—AC=2—m,

在Rt|AOC中，A'C-+A'o-,

3

/.（2—m）2=m2+12,解得m=—,

4

3

???點c的坐標為（o,-）.

4

3

故答案為：（0,-）.

4

【點睛】

此題考查勾股定理，翻折的性質(zhì)，題中由翻折得卜山人ABC是解題的關(guān)鍵，得到OC

與A，C的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理求出點C的坐標.

三、解答題

21.（1）AE=BD,AE±BD-（2）成立，理由見解析；（3）14或2.

【分析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的定義可得AC=BC,CE=CD,再根據(jù)三角形全等的判定定

理與性質(zhì)可得ZEAC=ZDBC,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余、等量代換

即可得/AW=90。，由此即可得；

（2）先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AE=8。，NEAC=/DBC,再根據(jù)直

角三角形兩銳角互余可得NE4C+NAOC=90。，然后根據(jù)對頂角相等、等量代換可得

ZDBC+ZB0H=90°,從而可得/0EB=90°,由此即可得；

（3）先利用勾股定理求出A3=10點，再分①點在直線上，且點E位于中間，②

點A,E,￡＞在直線上，且點D位于中間兩種情況，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，利用勾股定理求

解即可得.

【詳解】

（1）AE=BD,AE1BD,理由如下：

如圖1,延長AE交BD于H,

由題意得：AC=BC,ZACE=/BCD=90。,CE=CD,

：.ItACE邛CD（SAS）,

AE=BD,ZEAC=ZDBC,

?；ZDBC+ZBDC=9Q0,

AZEAC+ZBDC=90°,

ZAHD=180°-(ZE4c+ZBDC)=90°,

即AE_L3。，

故答案為：AE=BD,AE1BD；

(2)成立，理由如下：

如圖2,延長AE交BD于H,交BC于O,

,/ZACB=ZECD=90°,

：.ZACB-ZBCE=ZECD-ZBCE,即ZACE=/BCD,

AC=BC

在XACE和］BCD中，＜ZACE=ZBCD,

CE=CD

.?/ACEqBCD(SAS),

AE=BD,ZE4c=ZDBC,

?；ZACB=9Q°,

：.ZEAC+ZAOC=90°,

'：ZAOC=ZBOH,

ZDBC+/BOH=90°,即ZOBH+ZBOH=90°,

/.AOHB=180°-(ZOBH+ZBOH)=90°,

即AEJLBD；

圖2

(3)設(shè)AD=x,

11AC=BC=10,NACB=90°,

AB=V2AC=1072，

由題意，分以下兩種情況：

①如圖3-1,點A,E,。在直線上，且點E位于中間，

同理可證：AE=BD,AE1BD,

DE=12,

：.BD=AE=AD-DE=x-12,

在RtZXAB。中，AD2+BD2=AB2>即/+（X—12）2=（I。/）？,

解得x=14或x=—2（不符題意，舍去），

即AD=14,

②如圖3-2,點A,在直線上，且點D位于中間，

同理可證：AE=BD,AE1BD,

DE=12,

BD=AE=AD+DE=x+12,

在RtZXAB。中，AD~+BD~=AB2即/+（%+121=（10點）2,

解得x=2或x=—14（不符題意，舍去），

即AZ）=2,

綜上，AD的長為14或2.

圖bl圖娶2

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，較難的是題（3）,正確分兩種

情況討論，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.

22.BF的長為3。

【分析】

先連接BF,由E為中點及AC=BC,利用三線合一可得CE_LAB,進而可證4AFE絲ABFE,

再利用AD為角平分線以及三角形外角定理，即可得到/BFD為45。，4BFD為等腰直角三

角形，利用勾股定理即可解得BF.

【詳解】

解：連接BF.

A

D

VCA=CB,E為AB中點

；.AE=BE,CE_LAB,ZFEB=ZFEA=90°

在RtAFEB與RtAFEA中，

BE=AE

<ZBEF=ZAEF

FE=FE

：.RtAFEB^RtAFEA

又；AD平分/BAC,在等腰直角三角形ABC中/CAB=45°

1

.?.ZFBE=ZFAE=-ZCAB=22.5°

2

在4BFD中，/BFD=/FBE+/FAE=45。

又YBD_LAD,ZD=90"

.?.△BFD為等腰直角三角形，BD=FD=3

*'-BF=y/BD-+FD~=sjlBD-=3y/2

【點睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)及判定、三角形全等的性質(zhì)及判定、三角形外角、角

平分線，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì).

23.(1)見解析；(2)見解析；(3)4JJ或60

【分析】

(1)先由三角形的內(nèi)角和為180。求得NACB的度數(shù)，從而根據(jù)等腰三角形的判定證得

AB=AC=AD,按照鄰和四邊形的定義即可得出結(jié)論.

(2)以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與網(wǎng)格的交點，以及^ABC外側(cè)與點B和點C組

成等邊三角形的網(wǎng)格點即為所求.

(3)先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再分類計算即可：①當DA=DC=AC時；②當

CD=CB=BD時；③當DA=DC=DB或AB=AD=BD時.

【詳解】

(1)VZACB=180°-ZABC-ZBAC=70°,

.\ZACB=ZABC,

；.AB=AC.

VZACD=ZADC,

.\AC=AD,

；.AB=AC=AD.

/.四邊形ABCD是鄰和四邊形；

（2）如圖，格點D、D\D”即為所求作的點;

(3):在AABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=2/

.-.AC=^/AB2+BC2=

顯然AB,BC,AC互不相等.

分兩種情況討論：

如圖所示:

AADC為等邊三角形,

過D作DG_LAC于G,則/人口6=1義60°=30°,

2

AG=-AD=2,

2

DG=y]AD2-AG2=>/42-22=2/，

SAADC--x4又26=4/，SAABC=ABXBC=273，

S四邊形ABCD=SAADC+SAABC=6、，存；

②當CD=CB=BD=26時，如圖所示：

AABDC為等邊三角形,

過D作DE_LBC于E,則/BDE=Lx60°=30°,

2

???BE=-BD=y/3,

2

DE=三BD。二BE1=3,

SABDC=—x2^3x3=3\/3,

過D作DF±AB交AB延長線于F,

ZFBD=ZFBC-ZDBC=90°-60°=30°,

1廣

.,.DF=-BD=V3,

SAADB=-x2x73=73,

2

S四邊形ABCD=SABDC+S&ADB=4;

③當DA=DC=DB或AB=AD=BD時，鄰和四邊形ABCD不存在.

二鄰和四邊形ABCD的面積是6曲或4道.

【點睛】

本題屬于四邊形的新定義綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的

面積計算等知識點，數(shù)形結(jié)合并讀懂定義是解題的關(guān)鍵.

24.（1）見詳解（2）①結(jié)論：BD°+FC2=DF?，證明見詳解②36

【分析】

（1）根據(jù)只要證明/a4D=NC4E即可解決問題；

（2）①結(jié)論：BD"+FC2=DF2-連接Eb，進一步證明NEC尸=90。，DF=EF,

再利用勾股定理即可得證；②過點A作AGLBC于點G,在Rr，ADG中求出4G、DG

即可求解.

【詳解】

解：（1）,：AE1AD

：.ZDAC+ZCAE=90°

VZBAC=90°

：.ZDAC+ZBAD=90°

ABAD=ZCAE

，在△ABD和△ACE中

AB=AC

<ABAD=ZCAE

AD=AE

：.AABD"ACE（SAS）

（2）①結(jié)論：BD2+FC2=DF2

證明：連接所，如圖：

,?AABD絲AACE

：.ZB=ZACE,BD=CE

：.ZECF=ZBCA+NACE=ZBCA+NB=90°

FC2+CE2=EF2

FC2+BD2=EF2

,/AF平分NZME

；?ZDAF=ZEAF

，在△IMF和△E4E中

AD=AE

<ZDAF=ZEAF

AF=AF

：.AD4F^AEAF（S4S）

/.DF=EF

FC2+BD2=DF2

即助2+尸=DF2

②過點A作AGLBC于點G,如圖:

BG

"由①可知DF2=BD2+FC2=32+42=25

，DF=5

：.BC=BD+DF+FC=3+5+4=12

?：AB=AC,AGLBC

：.BG=AG=-BC=-xl2=6

22

：.DG=BG—BD=6—3=3

.?.在Rt^ADG中，AD=JDG'AG1=后/=3"

故答案是：（1）見詳解（2）①結(jié)論：BrP+bc?尸2,證明見詳解②3番

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì).綜

合性較強，屬中檔題，學(xué)會靈活應(yīng)用相關(guān)知識點進行推理證明.

32

25.作圖見解析，y

【分析】

作A點關(guān)于BC的對稱點A',AA與BC交于點H,再作A'MLAB于點M,與BC交于點

N,止匕時AN+MN最小，連接AN,首先用等積法求出AH的長，易證△ACHgZWNH,可得

A'N=AC=4,然后設(shè)NM=X,利用勾股定理建立方程求出NM的長，A'M的長即為AN+MN的

最小值.

【詳解】

如圖，作A點關(guān)于BC的對稱點A，，A'A與BC交于點H,再作AWJ_AB于點M,與BC交

于點N,此時AN+MN最小，最小值為A'M的長.

在RtZSBC中,AC=4,AB=8,

2222

BC=V'AB+AC=>/8+4=4^5

』ABAC=1BCAH

22

8x48>/5

AAH=—==-^

4/5

VCAXAB,A'MXAB,

???CA〃A'M

:.ZC=ZA'NH,

由對稱的性質(zhì)可得AH=A'H,ZAHC=ZA'HN=90°,AN=A'N

在△ACH和△ANH中，

VZC=ZA'NH,ZAHC=ZA'HN,AH=A'H,

.,.△ACH^AA'NH（AAS）

.*.A'N=AC=4=AN,

設(shè)NM=x,

在RtAAMN中，AM2=AN2-NM2=42-X2=16-X2

在Rt^AA'M中，AA'=?AH=16好.A'M=A'N+NM=4+X

5

’1642

.-.AM2=AA，2-A'M2=|-（4+4

-（4+x）2=16-x2

…12

解得^=—

1232

此時A7V+ACV的最小值二AM=A'N+NM=4+一二一

55

【點睛】

本題考查了最短路徑問題，正確作出輔助線，利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

26.（1）詳見解析；（2）741；（3）73.

【分析】

（1）證/EAC=NDAB.利用SAS證4ACE之4ABD可得；（2）連接BD,證

ZFEA=-ZAED=30',證△ACE0z\ABD可得/FE4==3O'I,CE=BD=5,利用勾

2

股定理求解；（3）作CE垂直于AC,且CE二AC,連接AE,則/AC石=90\/C4E=45"，利用

勾股定理得AE=叵AB，BE=&AB，根據(jù)（1）思路得AD=BE=73AB

【詳解】

（1）證明：；NDAE=NBAC,

NDAE+NCAD=NBAC+NCAD,

即/EAC=/DAB.

在4ACE與4ABD中，

AD=AE

<ZEAC=ZBAB,

AC=AB

.".△ACE^AABD(SAS),

...BD=CE；

⑵連接BD

因為AT>=AE,ZDAE=ABAC=60'1，

所以A4