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文檔簡(jiǎn)介
相似三角形的性質(zhì)和判定培優(yōu)練習(xí)
一、課標(biāo)導(dǎo)航
課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次
了解兩個(gè)三角形相似的概念
相似三角形的性
會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算;會(huì)利用三角形
質(zhì)和判定★
的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題
二、核心綱要
L比例的性質(zhì)
⑴基本ttS:=^ad=be.
⑵反比牌”3
(3)更比性質(zhì):戶。屋/
(4)合比性質(zhì):戶?=等=等?
(5)分比性質(zhì):合?=-=寸?
(6)等比性質(zhì):戶>…=:(b+d+…+”。)=黑黑屋.
2.比例線段的相關(guān)概念
⑴兩條線段的比:兩條線段長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比.
(2)成比例線段:在四條線段a,b,c,d中,如果線段a與b的比等于c與d的比,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,
簡(jiǎn)稱比例線段.記作:*="或a:b=c:d.
注:線段的單位要統(tǒng)一.
⑶比例中項(xiàng)在線段a,b,c中,若I=*則稱b是a、c的比例中項(xiàng).
⑷黃金分割點(diǎn):在線段AB上,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BCG4GBC),若落=繁,即AC2=AB-BC,,則稱線段AB
被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.其中AC=^ABx0.618AB.
注:線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).
3.相似圖形:形狀相同的圖形叫相似圖形.
4.相似三角形
(1)相似三角形定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.
(2)相似三角形的表示方法:用符號(hào)“s”表示,讀作,,相似于”.
注:經(jīng)常把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.
(3)相似三角形的相似比:相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
(4)相似三角形的性質(zhì)
①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.
③相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.
④相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.
⑤相似三角形的面積比等于相似比的平方.
(5)平行線分線段成比例定理
①定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,如下圖所示:3|切出.
②推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
(6)相似三角形的判定定理
①預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
②相似三角形的判定定理
判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,
兩個(gè)三角形相似.
判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:
兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩個(gè)三角形相似.
判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為:三邊對(duì)應(yīng)成比例,
兩個(gè)三角形相似.
(7)直角三角形相似
①判定定理:如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角
三角形相似.
②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似,并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似.如下圖所示,在
RtAABC中,NBCA=9(T,CD是斜邊AB上的高.則有如下結(jié)論:
A4CD“ACBDn券=嘉即亦=AD.BD./k
2
AACD-AABC=>—=—,BPAC=AD-AB./
ABAC/_
AABCSxCBDo巴=-,BPBC2=BD-AB.A$?
ABBC
5.位似
⑴定義:如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行(或共線),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似
圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比.
注:①兩個(gè)圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而相似圖形不一定是位似圖形.
②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè).
③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè),也可能位于位似中心的一側(cè).
④位似比等于相似比.
⑵性質(zhì):位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比(相似比).
6.常見的基本相似圖形(如下圖所示)
(1)“A”字型、反“A”字型(斜“A”字型);(2)“8”字型、反“8”字型(蝴蝶型).
“A"字型反字型
"A"“8"字型反"8"字型
本節(jié)重點(diǎn)講解:兩個(gè)性質(zhì)(相似三角形和位似的性質(zhì)),兩個(gè)定義,兩類圖形,五個(gè)定理.
三、全能突破
基礎(chǔ)演練
1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是().
A.3a=2bB.2a=3bC.—=-D.—=-
b2b3
2.如圖27-1-1所示,在AABC中,DE\\BC,DF\\AC,,則下列比例式一定成立的是().
.AEDEcAECFAD_BFcDEDF
A.—=—D.——=—rD.—=——
ECBCACBC'AB~BCBCAC
3.⑴如圖27-1-2所示,P是RtAABC的斜邊AB上異于A、B的一點(diǎn)過(guò)P點(diǎn)作直線截AABC,使截得的三角形與AABC相似,滿足這樣
條件的直線共有()條.
A.lB.2C.3D.4
⑵如圖27-1-3所示在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形①△ABC,②^BCD,③aBDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②?⑥中與三角形
①相似的是().
A.②③④B.③④⑤
圖27-1-3
4.如圖27-1-4所示,將4ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到AAiBK式頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上),若它們是以P點(diǎn)為位似
中心的位似圖形,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是().
A.(-4,-3)B.(-3,-3)
C.(-4,-4)D.(-3,-4)
5.⑴已知戶與
⑵若急=9=白=死則卜的值為一.
b+ca+ca+b圖27-1-4
6.如果線段AB=4cm,點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),那么較長(zhǎng)的線段BP=—cm.
7.為了測(cè)量校園水平地面上一棵樹的高度,數(shù)學(xué)興趣小組利用一根標(biāo)桿、皮尺,設(shè)計(jì)圖27-1-5所示的測(cè)量方
案.已知測(cè)量同學(xué)眼睛A、標(biāo)桿頂端F、樹的頂端E在同一直線上.此同學(xué)眼睛距地面1.6m,標(biāo)桿為3.1m,且B
C=1m,CD=5m,請(qǐng)你根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)求樹高ED.
圖27-1-5
8.如圖27-1-6所示,要在高AD=8.底邊BC=12的三角形中截出一個(gè)矩形PQMN.PN=y,NM=x,
⑴寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
⑵當(dāng)x為何值時(shí),四邊形PQMN的面積S最大
圖27-1-6
能力提升
9.⑴已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是8,點(diǎn)E在直線AD上,若DE=3,連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)M,則黑的值是
(2)在AABC中,AB=6,AC=9,點(diǎn)D在邊AB所在的直線上,且AD=2,過(guò)點(diǎn)D作DE〃:BC交邊AC所在直線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為____.
10.如圖27-1-7所示,直角三角形紙片ABC中,NACB=9(T,AC=8,BC=6折疊該紙片使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合折痕與AB、BC的交點(diǎn)分別為D、
E.⑴DE的長(zhǎng)為⑵將折疊后的圖形沿直線AE剪開,原紙片被剪成三塊,其中最小一塊的面積等于
11.如圖27-1-8所示.在AABC中,D為AB的中點(diǎn),E為AC上一點(diǎn),且黑=2,BE、CD相交于點(diǎn)F,則的值為__.
ECEF
12.將三角形紙片ABC按圖27-1-9所示的方式折疊,使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)9折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)B\F、C
為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么BF的長(zhǎng)度是—.
圖27-1-8
圖27-1-7
13.⑴如圖27-1-10所不,點(diǎn)A"A?、A3、A4在射線OA上,點(diǎn)Bi、B?、B3、在射線OB上,且41B1IM2B2IM3B3,42B1IM3B2IM1B3.右
A&&B2、A43B2B3的面積分別為1和4,則圖中陰影三角形面積之和為.
(2)如圖27-1-11所示,n+1個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè)△&。1的的面積為SJABSDKZ的面積為S2,...,A
Bn+iDITC□的面積為S□,則S?=;SE=(用含n的式子表示).
14如圖27-1-12所示在正方形ABCD中,AB=1,E、F分別是BC、CD邊上點(diǎn),
⑴若CE=^CB,CF=3CD,則圖中陰影部分的面積是
⑵若CE=:CB,CF=:CO,則圖中陰影部分的面積是一(用含n的式子表示,n是正整數(shù)).
圖27-1-10圖27-1-12
15.如圖27-1-13所示,AD是RtAABC中NA的平分線,/C=90°,AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交AC于
點(diǎn)M,延長(zhǎng)EM與BC的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)N.
求證:⑴△AMEsaNDE.B’f%N
⑵ND?=NC-NB.
圖27-1-13
AGHD
16.如圖27-1-14所示,四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為a的正方形,
求證:(1)△AEFsacEA.
(2)ZAFB+ZACB=45°.
BEFC
圖27-1-14
17如圖27-1-15所示,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,BM、DN分別平分正方形的兩個(gè)外角,且滿足./MAN=45。,,連接MC、NC、MN.
⑴填空與△相似的三角形是_____,BMDN=_(用含a的代數(shù)式表示).
⑵求NMCN的度數(shù).
圖27-1-15
18如圖27-1-16所示,正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,i(0、必分別為兩個(gè)正方形的對(duì)稱中心,
連接DE、(010,它們交于點(diǎn)H,求的度數(shù)和陪的值.
圖27-1-16
19.已知,在菱形ABCD中.BD為對(duì)角線,P、Q兩點(diǎn)分別在AB、BD上,且滿足“PCQ=NABD.
⑴如圖27-l-17(a)所示,當(dāng)NBAD=90。時(shí),求證:V2DQ+PB=CD.
⑵如圖27117(b)所示,當(dāng)NBAD=120。時(shí),求整”的值.
圖27-1-17
中考鏈接
20.(浙江寧波)如圖27-1-18所示.等腰)RtAABC頂點(diǎn)A、C在x軸上,NBCA=9(F,AC=BC=2VX反比例函數(shù)y=久久>0)的圖像分別與A
B,BC交于點(diǎn)D、E,連接DE,當(dāng)ABDEs^BCA時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
21.(山東荷澤改編)如圖27-1-19所示,在AABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)P在射線EF±.BP交CE于點(diǎn)D.點(diǎn)Q在CE上
且BQ平分NCBP,設(shè)BP=x,PE=y.當(dāng)CQ=ICE時(shí),y與x之間的函數(shù)式是—;當(dāng)CQ=:CE(n為不小于2的常數(shù))時(shí),y與x之間
的函數(shù)關(guān)系式是—.
22.(湖北武漢)已知.在△ABC中,AB=2^5,AC=4后BC=6.
(1)如圖27-l-20(a)所示點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),在線段AC上取點(diǎn)N,使AAMN與AABC相似,求線段MN的長(zhǎng).
⑵如圖27-l-20(b)所示,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的10x10的正方形網(wǎng)格,設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格
點(diǎn)三角形.
①請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)AAiBiCl與AABC全等(畫出一個(gè)即可,不需證明);
②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù),并畫出其中一個(gè)(不需證明).
圖27-1-20
巔峰突破
23.如圖27-1-21所示,已知在nABCD中,M、N為AB的三等分點(diǎn),DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn),則AP:PQ:QC=
24.在AABC中,NACB=90。.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線1(1不與直線AB重合)與直線BC的夾角等于NABC,分別過(guò)點(diǎn)C、點(diǎn)A作直線1的垂線.
垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E.
⑴若NABC=45o,CD=l(如圖27-1-22所示).則AE的長(zhǎng)為.
⑵寫出線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
圖27-1-21圖27-1-22
基礎(chǔ)演練
I.A2.B3.(1)C(2)B4.A5.(1),2):或-1.6.2V5-2
7.過(guò)點(diǎn)A作AG±DE于點(diǎn)G,交CF于點(diǎn)H.由題意可得1,四邊形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形.
AB〃CF〃DE.,AAHF^AAGE.AU=HE.
由題意可得:AH=BC=1.AG=BD=6.
FH=FC-HC=FC-AB=3.l-l.6=1.5.
11,
—GE=9.
6GE
:.ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6.
答樹高ED為10.6m.
8.(Dy=^.
(2)S=%y=^.第-|(x-4)2+24..,.當(dāng)x=4時(shí),S的最大值為24.
能力提升
9.(1)3或盤(2)6或1210.4.411.312.苫或2
13.(1)10.5⑵手,魯
y14“.―2,--n--.
3n+1
15.(1)連接NA,如下圖所示
TNE是AD的垂直平分線,/.ZNED=ZNEA=90°,
???N3+NADO90。.
,/ZACB=90°,.\N2+NADO90。,,N2=N3.
AAAME^ANDE.
(2)???AD是NBAC的平分線,???Z1=Z2.
NE是AD的垂直平分線,NA=ND,NE±AD,
???N3=N4.,2N3=2N2.
即NANONCAB.
ZCAN=ZB,ZANC=ZANC.
△NACsANBA.
22
MDMANA=NC?N/即'ND=NC-NB..
16.(1)???四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形,
AB=BE=EF=FC=a,ZABE=90°
:.AE—y/2a,EC—2a,
AEV2tz/7TEC2anzAEEC
EFaAEy[2aEFAE
又ZCEA=ZAEF,.\ACEA^AAEF.
(2)VACEA^AAEF,.\ZEAF=ZBCA.
四邊形ABEG是正方形,,ZAEB=45°.
.,.ZAFB+ZACB=ZAFB+ZEAF=ZAEB=45°.
.,.ZAFB+ZACB=45°.
17.(1)ANDA.a2
(2)由(l)AABMs/\NDA可得翳=喘.
??,四邊形ABCD是正方形,
.?.AB=DC,DA=BC,ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°.
BM_DC
,,BC-ND"
VBM.DN分別平分正方形ABCD的兩個(gè)外角.
:.ZCBM=ZNDC=45°.
.,.△BCM^ADNC..,.ZBCM=ZDNC.
...ZMCN=360°—ZBCD—ZBCM-ZDCN=270°—QDNC+乙DCN)=270°-(180°-乙CDN)=135°.
18.連接OiAQQQzAQzE,如下圖所示.
,:點(diǎn)Oi,分別是正方形的中心。
...△AOQ和AAOzE都是等腰直角三角形.
=—,Z-DAO^=Z.EAO=45°
ADAE21z2
:.乙。1』。2=45°+Z-EAOx.
,:Z-DAE=45°+Z-EAOlf:./-0^02=Z-DAE.
/.△AOIO2-AADE.
,.叱=吆=之EjAOg
DEAD21z
v4。遇。=45°,:.乙01HD=Z-O^D=45°.
zDHOi=45。,2=竺
1DE2
19.(1)如下圖所示,連接AC,則NACD=NPCQ=45。.
:.ZACP=ZDCQ.VZQDC=ZPAC=45°.
.,.△APC^ADQC.
=V2.AV2DQ=AP.
DQCD乜
:AP+PB=AB=CD,/2DQ+PB=CD.
(2)連接AC.作CH±AD于點(diǎn)H交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K.
/.ZK=ZCDQ=3O°,ZPCK=ZQCD=3O°+ZQCK.
.,.△PKC^AQDC.
.=竺?CK=V3BC=CD.:.PK=V3DQ
DQCD”
APB+V3DQ=PB+PK=BK=2BC=2CD.
MDQ+PB
=2.
CD
中考鏈接
2O.(|/2-V2)
21.y=-x+6;y=-x+6(n-1)
22.(1)如下圖所示,①過(guò)點(diǎn)M作MN〃BC交AC于點(diǎn)NJI|AAMN^AABC.
VM為
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