九年級數(shù)學上冊第26課 圓章末復習

第26課圓章末復習

課程標準

(1)理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關

系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；

(2)了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線,

會過圓上一點畫圓的切線；

(3)了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓：

(4)了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐

的側面積及全面積；

(5)結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能

力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.

知識點01圓的定義'性質及與圓有關的角

1.圓的定義

(D線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周,另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

【注意】

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可：

②圓是一條封閉曲線.

2.圓的性質

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形,繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形,對稱中

心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距,這四組量中的任意一組相等，那么它所對

應的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的鳧徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

【注意】

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個

條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：”過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直

徑)

3.兩圓的性質

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.

4.與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等:在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90。的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為宜角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補:外角等于它的內(nèi)對角.

【注意】

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識點02與圓有關的位置關系

1.判定一個點P是否在。。上

設。O的半徑為r,OP=d,則有

d>rQ點P在(DO外;

d=ro點P在(DO上;

do點P在OO內(nèi);

【注意】

點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道

數(shù)量關系也可以確定位置關系.

2.判定幾個點人2、…An在同一個圓上的方法

當4O=4O=K=40=及時，4,4，L4在。o上.

3.直線和圓的位置關系

設。O半徑為R,點O到直線/的距離為讓

(1)直線/和。O沒有公共點。直線和圓相離,0d>R.

(2)直線/和。0有唯一公共點o直線和圓相切=d=R.

(3)直線/和。。有2個公共點o直線和圓也束=d〈R.

4.切線的判定、性質

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直壬這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質：

①圓的切線垂直王過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線,它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角.

5.圓和圓的位置關系

設ea，ea的半徑為昆尸(火>尸)，圓心距GO2=d.

(l)eQ和eO2沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的處部=eq.eQ外離。d>R+r；

(2)eQ和ea沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的內(nèi)部oe?.eQ內(nèi)含=d<R-r；

(3)eQ和eO?有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的外部OeQ,e2處切

od=R+r；

(4)e?和eC>2有唯一公共點，除這個點外，每一個圓上的所有點在另一個圓的內(nèi)部o內(nèi)切

od=R—r：

⑸ea和eO2有2個公共點=ea,e0二相交=R-r<d<C+r；

知識點03三角形的外接圓與內(nèi)切圓'圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(D三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點,它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形

三邊的距離相等，通常用表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點,它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，

直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，

通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點,在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2_倍，通

常用G表不.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.

【注意】

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半,

即S=；Pr(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：

名稱確定方法圖形性質

7

外心(三角形外三角形三邊中垂線的(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定

接圓的圓心)交點!Z)在三角形內(nèi)部

(1)到三角形三邊距離相等；

內(nèi)心(三角形內(nèi)三角形三條角平分線(2)OA、OB,OC分別平分

切圓的圓心)的交點ZBAC,NABC、ZACB；

(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

BZ1

2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(D四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形,圓內(nèi)接四邊形對角互補,外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

知識點04圓中有關計算

圓的面積公式：S=TTR2，周長

圓心角為〃°、半徑為R的弧長/一""..

180°

圓心角為〃°,半徑為R,弧長為1的扇形的面積

36002

弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為1的圓柱的體積為足部，側面積為全面積為

2

2兀RI+2TTR-

圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為1,高為h的圓錐的側面積為不R/,全面積為7R/+4及2,

母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有存十f「戶.

【注意】

(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1。的扇形面積是圓面積的36°,即36°36°；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求

出第三個量.

=—lRS=—ah

(3)扇形面積公式S1a彩2,可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式2有點類似，可

類比記憶：

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形360。2.

考法01圓的基礎知識

【典例1】如下圖，菱形O/CB的三個頂點A、C、8在。。上，則().

A.100°B.150°C.120°D.60°

【答案】C

【詳解】：連結oc,

??,點A、。、8在OO上，

：.OA=OB=OC,

又???四邊形。1C3為菱形，

???OA=AC=CB=OB=OC,

???△CMC和△03。均為等邊三角形,

???ZACO=ZBCO=60°f

：.ZACB=ZACO+ZBCO=120°.

故選：C.

【即學即練】如圖，已知48、力。是的弦，N8=30。，點。在弦上，連接CO并延長CO交于

于點。，40=20。，則N切。的度數(shù)是（）

D

A.30°B.40°D.60°

【答案】C

【詳解】解：連接04

"：OA=OB,：./O48=NB=30°,

?；OA=OD,：.ZOAD=ZD=20°,

/.ZBAD=ZOAB+ZOAD=50°,

故選：C.

【典例2】如圖NC=90。,力8=2,以C為圓心的圓過Z8的中點D,貝l」/C=().

A.2B.3D.6

【答案】D

【詳解】解：如圖示，連接C。,

在放“8C中，點。是的中點，則3如笄=1,

?.BC=CD=l

，依據(jù)勾股定理可得：AC=ylAB2-BC2=A/22-12=百.

故選：D.

【即學即練】如圖，CM為。。半徑，點尸為。4中點，。為。。上一點，且乙小。=135。，若04=2,則

的長為（）

【答案】D

【詳解】解：如圖，作0ELPQ于點E,連接0Q,

由題意，0A=0Q=2,ZOEP=90°,

?.?點P是0A的中點，

；.OP=1,

4P0=135。，

，ZEPO=ZEOP=45°,

.?.PE=OE=—,

2

在RtZiOEQ中，由勾股定理，得:

故選擇：D.

【典例3】如圖，中，ZJ=50°,O是8。的中點，以。為圓心，05長為半徑畫弧，分別交4sze

于點。，￡,連接。。。石，測量NDOE的度數(shù)是.

0

A

【答案】80。##80度

【詳解】解：如圖，連接OE、0D,

根據(jù)題意得：OC=OB=OD=OE,

\'ZA=50°,

，N8+NC=130°,

：.ACEO+ZBDO=\3Q°,

：.ZAEO+ZADO=230°,

...NEO0=36O°-NA4EO-//￡)O=36O°-5O°-23O°=8O°,

故答案為：80°.

【即學即練】如圖，圓內(nèi)4個正方形的邊長均為2a,若點4B,C,D,E在同一條直線上，點E,F,G

在同一個圓上，則此圓的半徑為.

【答案】些a

2

【詳解】解：??,點E,尸在。。上,

二圓心。在E尸的垂直平分線尸。上，連接OG、OE,

???4個正方形的邊長均為2〃，

PQ=Sa,EQ=a,PG=3a,

設PO=x,則OQ=3a-x,

?：OG=OE,BPOG2=OE2,

：.PG2^P（y=O^QE2,即（3。）2+/=（&儀）2+/,

77

解得：x=—a即尸—a,

22f

785

/.OG2=(3a)2+(—a)2=—a2

：.OG=J^-a,

2

故答案為姬

2

【典例4】如圖，在A/8C中，ZC=90°,以點C為圓心，8C為半徑的圓交48于點。，交4C于點E,若

//=25。，求NDCE的度數(shù);

【答案】40°

【詳解】解：?/Z^C5=90°,N/=25°,

，NB=90°-25°=65°,

,:CB=CD,

：.NB=NCDB=65°,

：.ZBCD=180°-65o-65o=50°,

/./￡>CE=90°-50°=40°.

【即學即練】如圖，線段/D過圓心。交。。于。，C兩點，/E交。。于點8,且N5=0C.

(1)若乙4=25°,求NOOE的度數(shù);

(2)若/。。￡=90。，AC=\,求48的長.

【答案】⑴75°：(2)=

2

【詳解】(1)連接08.

,/AB=OC=OB,：.ZBOC=4=25°,

OB=OE,：.NOEB=2EB0=ZBOA+4=50°,

，ZDOE=NE+4=75°.

(2)VZDOE=90°,：.ZA=-ZDOE=30°(由(1)證明可知)

3

???OA=43OE，

OC=OE=x,x+1=V3x?解得x="+'，

2

.i_,>/3+1

,*AD—?

2

考法02弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理

【典例5】如圖，N8為。。的弦，半徑。CL/2于點。,且Z8=6,OD=4,則。C的長為（）

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接40，

"半徑OCJ.Z5與點

AD=-AB=3,

2

,?。。=4,

???根據(jù)勾股定理，40=5/32+42=5,

??.OC=AO=5f

：.DC=OC-OD=5-4=1.

故選A.

/

【即學即練】如圖，為。。的弦，半徑OC_L/8于點。,且"8=6,00=4,則。C的長為（）

￡

）

<

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接力。,

???半徑OCL/8與點。，

/.AD=—AB=3,

2

。。=4,

22

???根據(jù)勾股定理，AO=^3+4=二5，

OC=4O=5,

???DC=OC-OD=5-4=1.

故選A.

C

【典例6】如圖，48為。。的弦,半徑OC_LZ8于點。,且Z6=6,OD=4,則。。的長為()

\JoZ

/工

A.1B.2C.2.5D.5

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接40,

?,?半徑005與點。,

???AD=-AB=3

2f

?.,(97)=4,

22

???根據(jù)勾股定理，AO=yJi+4=5，

：.OC=4O=5,

???DC=OC-OD=5-4=1.

故選A.

Q

【即學即練】如圖，48為。。直徑，點C,。在。。上且於=部.AD與CO交于點E,ND4B=30。,

若/O=JL則CE的長為()

A.1B.3

D.273-2

2

【答案】C

【詳解】解：...然=前

ZAOC=ZSOC=90°,

又

，AE=2OE

由勾股定理得，AO2+OE2=AE2

：.(V3)2+<9￡2=(219￡)2

二?！?1(負值舍去)

/.CE=CO=OE=yfi-\

故選：C

【典例7】已知四邊形N8CD為。。的內(nèi)接四邊形，點E、F分別為43、CZ）的中點，若48=8,8=6,

。。的半徑為5,則線段EF長的最大值為.

【答案】7

【詳解】解：連接0/、0D、0E、0F,

；點E、F分別為48、。的中點，

：.OELAB,AE=-AB=-4,OFLCD,DF=^CD=3,

22

由勾股定理得，OE=4o筋-AE?=152-42=3,0F=yloD2-DF2=^52-32=4.

當￡、0、尸在同一條直線上時，EF最大，最大值為3+4=7,

故答案為:7.

【即學即練】如圖，已知半圓直徑48=2,點C、O三等分半圓弧，那么ACBD的面積為

【答案】3

4

【詳解】解：連接OC,OD,過點。作OELC。，垂足為點、E,如圖,

??,點。、。三等分半圓弧,

/COD=/BOD=60。,

?：OC=OD,

???△CO。是等邊三角形，

???NC0060。，

:?/CDO=/BOD,

：.CD//AB9

S&CBD=SMOD?

'：OE±CD,

???/COE=3ZCOD=30°f

CE=-OC=-x-AB=-x-x2=-

222222

在用△(%>￡中，0E=y]0C2-CE2=

S—S'COD=—CD。OE=—x2C￡xOE=—x2?

ZAACCftisDtj2222

故答案為：4

【典例8］如圖，在平行四邊形Z8C￡＞中，是。。的弦，8C是。。的切線，切點為點從

BC

(1)求證：AB=BD1

(2)若4B=5,AD=8,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析

【詳解】（1）證明：連接°3,交AD于點、E.

???BC是。。的切線，切點為B,

OB工BC,

??.NO8C=90。，

??,四邊形Z8C3是平行四邊形，

/.AD//BC,

NOED=NOBC=90。,

/.OE工AD,

,,AB=BD；

(2)解：,?.OE’BC,°E過圓心°

AE=—AD=4,

2

在必△4BE中，ZAEB=90°,

：.BE=yj52-42=3-

設。。的半徑為r,則OE=r-3,

連接04,

在R/A/OE中，NOE4=9Q°,

OE2+AE2=OA2

即(.3)2+42=產(chǎn),

25

?r=—,

6

.??OO的半徑為三.

6

【即學即練】如圖，在。。中，是。。的弦，CD是。。的直徑，且/8J_C。，垂足為G,點E在劣弧功

上，連接CE.

（1）求證：CE平分N4EB；

（2）連接8C,若BCUAE,求證：BC=BE.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【詳解】（1）證明：???81/8,CO是宜徑,

:.AC=BC-

:ZEC=NBEC,

:.CE平分NAEB；

(2)解：如圖，

VBC//AE,

ZAEC=NBCE.

又?:ZAEC=NBEC,

NBCE=ZBEC

BE=BC.

考法03圓中有關的計算

【典例9】已知：如圖。4,08是。。的兩條半徑，且ONJ.OB,點C在。。上，則N/CB的度數(shù)為（）

A.45°B.40°D.50°

【答案】A

【詳解】解：

???乙4。8=90。，

ZACB=-ZAOB=45°.

2

故選：A.

【即學即練】已知扇形的半徑為6,圓心角為120。，則它的弧長是（）

A.27rB.4才C.6冗D.84

【答案】B

【詳解】解：由弧長公式可知,

120萬x6.

-------------=^7t,

180

故選：B.

【典例10］如圖，AB,8。是的弦,則。。的直徑等于（）

A.2B.3D.6

【答案】C

【詳解】解：連接08、OC,如圖,

:N8OC=2N64C=2x300=60。,

而OB=OC,

：./\OBC為等邊三角形,

???OB=BC=2,

???。。的直徑等于4.

故答案為：4.

【即學即練】如圖，矩形ABCD中，48=30，％。=3,將矩形ABCD繞點B順時針旋轉90。得到矩形EBGF,

再將矩形E8GF繞點G順時針旋轉90。得到矩形〃/G/則點。在兩次旋轉過程中經(jīng)過的路徑的長是（）

EF

H

DC

ABG

g.c3+3>/3c6+3A/3

AA.4A乃BD.5乃C.--------nD.........-7t

22

【答案】D

【詳解】解：如圖,

EV—^F

DV^C/-~~

ABGJ

第一次旋轉時，點。繞點8旋轉90。，旋轉半徑為8。，到達點廠處，

BD=y/AB2+AD2=7（3V3）2+32=6，

此時，點。運動的路徑為："；。=牛=3朽,

第二次旋轉時，點尸繞點G旋轉90。，旋轉半徑為GF=48=3百，到達點J處，

島:

點尸運動的路徑為:904.GF=3

180-2

故點D在兩次旋轉過程中經(jīng)過的路徑的長為：3萬+邁乃="主區(qū)萬，

22

故選：D.

【典例11］如圖，。。與48相切于點430與。。交于點C,/歷1C=27。，則等于

【答案】36°

【詳解】解：如圖，連接04貝

???NOAB=9。。,

,：ZBAC=21°,

???ZOAC=90°-ZBAC=63°.

U：OA=OC,

：.NOCA=NOAC=630.

??.Z5=ZOCA-Z.BAC=63。-27。=36°.

故答案為：36°.

【即學即練】如圖，在半徑為3的。。中，是直徑，力C是弦，。是花的中點，AC與BD交于點、E?若

E是的中點，則4c的長是.

【答案】472

【詳解】解：如圖，連接0。交力C于凡

是公的中點，

：.ODLAC,AF=CF,

：.NDFE=90。,

?；OA=OB,AF=CF,

：.OF=；BC,

是直徑，

JN4CB=90。,

在AEFD和AECB中，

ZDFE=ZBCE=90°

<ZDEF=ZBEC,

DE=BE

:,/\EFDq4ECBCAAS\

:,DF=BC,

：.OF=；DF,

?；0D=3,

：.OF=\,4B=2OD=6,

：.BC=2f

???AC=ylAB2-BC2=762-22=472.

故答案為：4班.

【典例12］如圖，在。。中，弦8c垂直于半徑04,垂足為點E,。是優(yōu)弧8c上一點，連接80,AD,

OC,N/OC=58°

(1)求/的度數(shù)；

(2)若0E=3,OA=5,求BC的長.

【答案】(1)29。

(2)8

【詳解】(1)解：連接。8,

'J0A1.BC,過圓心。，

:?油="C?

,：ZA0C=58°,

，/BOA=ZAOC=58°,

ZADB=-ZBOA=29°；

2

(2)'：OA±BC,BC=2,ON過圓心O,

:.BE=EC,

"：OB=OA=5,OE=3,

BE=ylc)B2-OE2=內(nèi)4=4，

:.BC=2BE=8.

【即學即練】如圖，在△N5C中，ZC=90°,NZBC的平分線BE交ZC于點E,。。是△8EF的外接圓,

交于點尸，圓心。在上.

(1)求證：/C是。。的切線;

(2)過點E作￡4,48于點”，求證：EF平分NAEH；

(3)求證：CD=HF.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)證明：連接0E,如圖所示：

■:BE1EF,

：?NBEF=90。,

斤是圓。的直徑，

：?OB=OE,

：,/OBE=/OEB,

?:BE平分/ABC,

:?/CBE=4OBE,

：?/OEB=/CBE,

：.OE//BC,

???/AEO=NC=90。,

???4C是。。的切線；

(2)證明：°:NC=/BHE=9。。,NEBC=/EBA,

：.NBEC=/BEH,

???BE是。。是直徑，

；?/BEF=90。,

:?NFEH+NBEH=9。。,N4EF+NBEC=90。,

：.ZFEH=ZFEA,

:?FE平分/AEH.

(3)證明：連接。E,如圖所示：

〈BE是N46。的平分線，EC.LBCC,EH上4B于H,

:,EC=EH,

???ZCDE+ZBDE=\SO°fNHFE+NBDE=180。,

:?/CDE=/HFE,

■:NC=/EHF=9N,

：./\CDE^^\HFE(AAS),

:?CD=HF,

考法04圓與其他知識的綜合運用

【典例13］如圖所示，是。。的直徑，AD=DE,NE與5。交于點C,則圖中與/8CE相等的角除對頂

角外還有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【詳解】解：?在和XDOE中

AD=DE

<AO=DO,

DO=EO

:.AOAD名AODE(SSS),

:./DAB=/EDO,ZADO=ZDEOf

?；4O=DO,

:?/DAB=/ADO,

：./DAB=/ADO=/ODE=NDEO；

?.15是。。的直徑，

AZJDB=90°,ZAEB=90°,

?:AD=DE,

AD=DE

：.NABD=NDBE,

：.ZDAB=900-ZABD,/BCE=9V?/DBE,

：?/DAB=NBCE,

：.ZDCA=ZDAB=ZADO=ZODE=ZDEO,

則與NEC8相等的角有5個.

圖中與N8CE相等的角除對頂角外還有4個

故選C.

【即學即練】如圖，正方形44CD的邊長為2,點尸在ZQ上，以P為圓心的扇形與邊8C相切于點7,與

兩邊交于點E,F,則弧Eb長度的最小值是（）

7Cc冗44

A.-B.一7D.—

233

【答案】C

【詳解】解：當點尸與A或。點重合時，圓心角為90。，此時弧E尸最長,

根據(jù)正方形和扇形的對稱性可得，當點尸在4。中點時，此時弧Eb的長度最短，且乙4PE=NDPF,

??,正方形ABCD的邊長為2,以P為圓心的扇形與邊BC相切，

；?PD=T,PF=2,

PD_1

cosZ.DPF-

~PF~2

：.NDPF=60°,

???/APE=60°,

A/EPF=60°,

.現(xiàn)/十、i60x乃x22乃

..弧EF的長度為———=—

1803

故選：c.

【典例14］如圖，在△ZBC中，AB=AC=\0,8c=12,分別以點4,B,C為圓心，的長為半徑畫

弧，與該三角形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為（）

B.96-25兀

【答案】D

【詳解】解：作4O_L8C于點。,

'：AB=AC=]O,8c=12,

:?BD=CD=6,

*'?AD=JAB?-BD?=8，

S陰影=yxJ2x8-y52=48-.

故選：D.

【即學即練】如圖，在。。的內(nèi)接五邊形/BCDE中，ZCAD=35°,ZB+ZE=()

A.325°B.145°C.215°D.395°

【答案】C

【詳解】解：如圖,連接CE,

五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，

，四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZB+ZAEC=\SO0,

'：ZCED=ZCAD=35°,

：.N8+N/EZ>180°+35°=215°.

故選：C.

【典例15］如圖，矩形Z8CO的對角線4C,8。交于點0,分別以點4C為圓心，40長為半徑畫弧，分

別交N8,C。于點E,F.若80=6,/C48=30。，則圖中陰影部分的面積為.（結果保留兀）

3

【答案】y

【詳解】解：：矩形/8C。的對角線/C,BD交于點0,且8ZA6,

：.AC=BD=6,

：.OA=OC=OB=OD=3,

?c_2x307x3?_3

???陰影=扇形/=記°=2萬，

3

故答案為：.

2

【即學即練】如圖，在平面直角坐標系xS＞中，直線48過點N（—3夜，0）,B（0,3拉），。。的半徑

為1（O為坐標原點），點P在直線48上，過點P作。。的一條切線尸0,。為切點，則切線長P0的最小

值為.

【答案】20

【詳解】解：連接OP、OQ.

尸。是0。的切線，

OQ1PQ.

根據(jù)勾股定理知PQ2=OP1-OQ2,

???當尸。JL時，線段尸。最短;

又0）,8（0,3無），

.,.OA=OB=3e，

ABudoA'OB?=6,

:.OP=-AB=3,

2

,PQ=yjoP2-OQ2=2五.

故答案為：.

【典例16］如圖，Z148C是。。的內(nèi)接三角形，力￡是。O的直徑，4尸是。。的弦，且ZQJ_8C,垂足為。.若

BE=6,力5=8.

⑴求證：BE=CF；

(2)若44C=NEZC,求4。的長.

【答案】(1)見解析

(2)572

【詳解】(1)證明：??7E是。。的直徑,

JN/BE=90。,

；?NBAE+NBEA=9。。,

?：AF±BCf

：.ZJZ)C=90°,

???ZJCD+ZCJD=90o,

AB=AB^

，/BEA=NACD,

；?/BAE=NCAD,

?,?弧8￡=弧”。

:?BE=CF.

(2)解：連接OC,如圖所示：

EF

NA0C=2NABC,

'：NABC-CAE,

：.ZAOC=2ZCAE,

'：OA^OC,

：.NC/O=ZACO=Y4OC，

,?ZAOC+ZOAC+ZOCA^\SO°,

：.ZAOC=90°,

...△zoc是等腰直角三角形，

,:BE=6,AB=8,NABE=90°

?*-AE=dAB、BE?=V82+62=10-

：.AO=CO=5,

AC=y]AO2+CO2=572.

【即學即練】接8D和CD.

⑴求證：BD=CD=ID.

(2)N8/1C=6O。，AB=4,4C=5,求/D.

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

⑵3

7^-7/-

(3)-

【詳解】(1)證明：如圖，連接引，

?.?/為三角形48c的內(nèi)心，

，NBAD=NDAC,ZABI=ZCBI,

BD=CD、

/.BD—DC,

?；/BID=XABI+ZBAD，/IBD=NCBI+/DBC,

???NCAD=/BAD=ZDBC,

.?.Z.DBI=/BID，

.?.BD=DI,

???BD=CD=ID；

（2）如圖，過點8作于"，過點。作Z）G_L8C于點G,

vABAC=60°,AB=4,ZC=5,則N/8，=30°,

:.AH=\-AB=2,BH=—AB=2y/3，貝ljaC==5-2=3,

22

BC=yjBH2+HC2=招+26=亞，

NBAC=60°,

ZBOC=ZBDC=120°,

:BC=CD,DGLBC,

_________J7

:.BC=2BG=2xy]BD2-DG2=2x^-BD=^BD,

2

...BD=—BC=—xV21=-41，

33

過點/,作48,8C,4C的垂線，垂足分別為A/,K,N,如圖，

,-?/為三角形/5C的內(nèi)心,

IM=IK=IN,

設IM=IK=IN=h,

；?S^BC=+BC+4C)xh=g4CxBH,

即(4+5+?)/Z=5X25

解得“=黑3道-近

2

Rt”必中，AI=2MI=3c-汨,

■：DI=BD=幣,

:.AD=AI+2=幣+3也-幣=3也,

(3)如圖，設。為三角形48c的外接圓的圓心，連接°伐℃,

?1?ABAC=60°,

/.ZBOC=ABDC=i20°,

??,BD=CD'

EDLBC,且NBOD=Z.COD=-NBOC=60°,

2

???OB=OD=OC,

：4OBD,AODC是等邊三角形，

Q8。=近，

圓的半徑為J7,

?'?S陰影部分=S扇形OBC-S四邊形OWJC

[20。"08?

--ODxBC

360°2

121_,

=--7TX(⑺、謬再

=主二石.

32

考法05與圓的切線相關的證明與計算

【典例17】下列命題中的真命題是()

①相等的角是對頂角②矩形的對角線互相平分且相等③垂直于半徑的直線是圓的切線④順次連接四邊

形各邊中點所得四邊形是平行四邊形.

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【詳解】①相等的角不一定是對頂角，故①錯誤；

②矩形的對角線互相平分且相等，故②正確：

③經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線，故③錯誤；

④順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形，故④正確，

所以正確的是②④，

故選D.

【即學即練】下列命題中，

①直徑是弦；

②平分弦的直徑必垂直于弦；

③相等的圓心角所對的弧相等；

④等弧所對的弦相等.

⑤經(jīng)過半徑的一端并垂直于半徑的直線是圓的切線.正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，所以①正確；

平分弦（非直徑）的直徑必垂直于弦，所以②錯誤；

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以③錯誤；

等弧所對的弦相等.所以④正確：

經(jīng)過半徑的外端并垂直于半徑的直線是圓的切線.所以⑤錯誤.

故選B.

【典例18］如圖，點B在。A上，點C在（DA外，以下條件不能判定BC是。A切線的是（）

A.ZA=50°,ZC=40°B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2D.(DA與AC的交點是AC中點

【答案】D

【詳解】解:A,VZA=50°,ZC=40°,

/B=180°-ZA-NC=90°,

BC1AB,

?.?點B在。A上,

.,.AB是0A的半徑，

BC是。A切線；

B、VZB-ZC=ZA,

.?.NB=NA+NC,

VZA+ZB+ZC=180°,

，/B=90。，

ABC1AB,

?.?點B在OA上，

；.AB是。A的半徑，

ABC是（DA切線；

C、VAB2+BC2=AC2,

.?.△ABC是直角三角形，ZB=90°,

BC1AB,

?.?點B在。A上，

AAB是（DA的半徑，

，BC是③A切線；

D、：OA與AC的交點是AC中點，

/.AB=yAC,但不能證出/B=90。，

.,?不能判定BC是（DA切線；

故選：D.

【即學即練】如圖，矩形中，G是8C的中點，過/、D、G三點的。。與邊力8、CD分別交于點E、

點F,給出下列判斷：（1）/C與8。的交點是。。的圓心；（2）//與DE的交點是的圓心；（3）AE=DF；

（4）8c與OO相切，其中正確判斷的個數(shù)是（）

【答案】B

【詳解】解：連接。G、/G,作于“，連接OD,如圖,

：G是的中點，

：.CG=BG,

'：CD=BA,根據(jù)勾股定理可得，

：.AG^DG,

，6”垂直平分/。，

二點。在“G上，

■:AD//BC,

C.HGLBC,

；.8C與圓。相切；

'：OG=OD,

二點。不是HG的中點，

二圓心0不是AC與BD的交點；

NADF=NZUE=90°,

，ZAEF=90°,

：.四邊形AEFD為(DO的內(nèi)接矩形，

；.4F與DE的交點是圓O的圓心：AE=DFx

A(1)錯誤，(2)(3)(4)正確.

故選：B.

【典例19】在正方形/8CO中，以"8為直徑做半圓，過點。做。E切圓。于點尸，交BC于點、E,正方形

的邊長為2,求陰影面積.

【答案】1.5

【詳解】?.?四邊形/8CO正方形，

：.AD±AB,BCYAB,NC=90°,

?.18是。。的直徑，

：.AD,8c是OO的切線，

切圓。于點尸，交8c于點E,

：.