2023-2024學(xué)年河北省石家莊部分校中考數(shù)學(xué)最后一模試卷含解析

2023-2024學(xué)年河北省石家莊部分校中考數(shù)學(xué)最后一模試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1.下列計算正確的是()

A.-5x-2x=-3xB.(a+3)2=a2+9C.(-a3)2=a5D.a2p-j-a-p=a3p

2.在某校“我的中國夢”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績各不相同.其中的一名學(xué)生想要知道

自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績，還要了解這9名學(xué)生成績的()

A.眾數(shù)B.方差C.平均數(shù)D.中位數(shù)

3.若一次函數(shù)y=(加+1)%+根的圖像過第一、三、四象限，則函數(shù)y=—如()

A.有最大值;B.有最大值一丁C.有最小值;D.有最小值-7

4444

4.一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=￡在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如左圖所示，則二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象

X

可能是()

5.共享單車為市民出行帶來了方便，某單車公司第一個月投放1000輛單車，計劃第三個月投放單車數(shù)量比第一個月

多440輛.設(shè)該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x,則所列方程正確的為()

A.1000(1+x)2=1000+440B.1000(1+x)2=440

C.440(1+x)2=1000D.1000(l+2x)=1000+440

6.若拋物線7=入2-2x-1與x軸有兩個不同的交點，則化的取值范圍為()

A.k>-1B.k>-lC.A>-1且時0D.兀2-1且厚0

7.某種圓形合金板材的成本y（元）與它的面積（c機2）成正比，設(shè)半徑為xcm,當(dāng)x=3時，y=18,那么當(dāng)半徑為

6c機時，成本為（）

A.18元B.36元C.54元D.72元

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中RtAABC的斜邊BC在x軸上，點B坐標(biāo)為（1,0）,AC=2,ZABC=30°,把RtAABC

先繞B點順時針旋轉(zhuǎn)180。，然后再向下平移2個單位，則A點的對應(yīng)點A，的坐標(biāo)為（）

B.(-4,-2+V3)C.(-2,-2+73)D.(-2,-2-73)

9.將一把直尺與一塊直角三角板如圖放置，如果Nl=58°,那么N2的度數(shù)為（）.

C.138°D.148°

10.如圖所示，如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么Z1等于（）

tec__

A.120°B.105°C.60°D.45°

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.若x=6-1,則x2+2x+l=.

x>a

12.若關(guān)于x的不等式組.恰有3個整數(shù)解，則字母。的取值范圍是_____

x<2

13.函數(shù)y=1亙中自變量x的取值范圍是.

X-1

14.函數(shù)y=2的定義域是.

15.若a?+3=2b,則a3-2ab+3a=.

16.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4,面積是12,腰AB的垂直平分線EF分別交AB,AC于點E、F,若

點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則ABDM的周長的最小值為.

BD

4

17.如圖，在△ABC中，AD、BE分別是邊BC、AC上的中線，AB=AC=5,cosZC=j,那么GE=

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）解方程

（1）X2-4X-3=0;（2）（X-1）2-2（X2-1）=0

19.（5分）如圖：△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°sNAPB=135。

求證：（1）APACs/iBPD；

（2）若AC=3,BD=1,求CD的長.

DB

20.（8分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x軸、y軸交于點B,A,與反比例函數(shù)的圖象

（1）求該反比例函數(shù)的解析式;

（1）求三角形CDE的面積.

21.（10分）如圖，。。直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,EB=6,NDEB=30。，求弦CD長.

22.（10分）如圖，拋物線y=；x?+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,其對稱軸交拋物線于點D,交x

軸于點E,已知OB=OC=L

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；

（2）連接BD,F為拋物線上一動點，當(dāng)NFAB=NEDB時，求點F的坐標(biāo)；

（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ,當(dāng)點P在x軸上，且PQ=；MN

時，求菱形對角線MN的長.

23.（12分）如圖，AB是。O的直徑，C是弧AB的中點，弦CD與AB相交于E.

:。，求證：CE=V2ED；(2)若AE=EO,求tan/AOD的值.

G。21

24.（14分）先化簡，再求代數(shù)式（-------手士）v——的值，其中a=2sin45o+tan45。.

。+1a-1。+1

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解析】

直接利用合并同類項法則以及完全平方公式和整式的乘除運算法則分別計算即可得出答案.

【詳解】

解：A.-5x-2x=-lx,故此選項錯誤；

B.(a+3)2=a2+6a+9,故此選項錯誤；

C.(-a3)2=的，故此選項錯誤；

D.a2P-ra~P=a3P,正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了合并同類項以及完全平方公式和整式的乘除運算，正確掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

2、D

【解析】

根據(jù)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個數(shù)(最中間兩個數(shù)的平均數(shù))的意義，9

人成績的中位數(shù)是第5名的成績.參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前5名，只需要了解自己的成績以及全部成績的

中位數(shù)，比較即可.

【詳解】

由于總共有9個人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第5的成績是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前5名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少.

故本題選：D.

【點睛】

本題考查了統(tǒng)計量的選擇，熟練掌握眾數(shù)，方差，平均數(shù)，中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】

解：?.?一次函數(shù)y=(m+1)x+m的圖象過第一、三、四象限,

?*.m+l>0,m<0,即-IVmVO,

2

二函數(shù)y=如2^mx=m^x-L)一?有最大值,

最大值為三

故選B.

4、B

【解析】

根據(jù)題中給出的函數(shù)圖像結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)得出aVO,b>0,再由反比例函數(shù)圖像性質(zhì)得出cVO,從而可判斷二次函

b

數(shù)圖像開口向下，對稱軸：%=-->0,即在y軸的右邊，與y軸負(fù)半軸相交，從而可得答案.

【詳解】

解：???一次函數(shù)y=ax+b圖像過一、二、四，

Aa<0,b>0,

又?.?反比例函數(shù)y=￡圖像經(jīng)過二、四象限，

X

Ac<0,

b

???二次函數(shù)對稱軸：x=——>0,

2a

.,.二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖像開口向下，對稱軸在y軸的右邊，與y軸負(fù)半軸相交，

故答案為B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖形，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱

軸、與y軸的交點坐標(biāo)等確定出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵.

5、A

【解析】

根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題.

【詳解】

解：由題意可得，

1000(1+x)2=1000+440,

故選：A.

【點睛】

此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系進(jìn)行列方程.

6、C

【解析】

根據(jù)拋物線-2x-1與x軸有兩個不同的交點，得出"-4ac>0,進(jìn)而求出左的取值范圍.

【詳解】

,二次函數(shù)了=左好-2x-l的圖象與x軸有兩個交點，

.,.b2-4ac=(-2)2-4xfcx(-1)=4+4A>0,

：.k>-1,

拋物線y=kx2-2x-l為二次函數(shù)，

:,胖0,

則k的取值范圍為兀>-1且際0,

故選c.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)y=a，+"+c的圖象與X軸交點的個數(shù)的判斷，熟練掌握拋物線與X軸交點的個數(shù)與b2-4ac的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.注意二次項系數(shù)不等于0.

7、D

【解析】

設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為7=而好，由待定系數(shù)法就可以求出解析式，再求出x=6時y的值即可得.

【詳解】

解：根據(jù)題意設(shè)》=標(biāo)好，

?當(dāng)x=3時，y=18,

/.18=A：7t*9,

e2

則上=一，

71

2

^.y=knx2=—?7fx2=2x2,

.71

當(dāng)x=6時，y=2x36=72,

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

8、D

【解析】

解：作AD_LbG并作出把R3A5C先繞5點順時針旋轉(zhuǎn)180。后所得△AiHG,如圖所示.?.?4。=2,ZABC=10°,

：.BC=4,：.AB=2y/3,:.AD=AB.AC=2&2=日...如把二（2舟=、?點5坐標(biāo)為（1,0）,二4點

BC4BC4

的坐標(biāo)為（4,6）????50=1,."。尸：!，坐標(biāo)為（-2,0）,二擊坐標(biāo)為（-2,-右）.；再向下平移2個單

位，二小的坐標(biāo)為（-2,-73-2）.故選D.

點睛：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，作出圖形利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的

性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

9,D

【解析】

根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出N1,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/2=NL

【詳解】

如圖，由三角形的外角性質(zhì)得：Zl=90o+Zl=90°+58o=148°.

1?直尺的兩邊互相平行，??.N2=N1=148。.

故選D.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

解:如圖，Z2=90°-45°=45°,由三角形的外角性質(zhì)得，Zl=Z2+60o=45°+60o=105°.故選B.

點睛：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、2

【解析】

先利用完全平方公式對所求式子進(jìn)行變形，然后代入x的值進(jìn)行計算即可.

【詳解】

■:乂=母-1,

.,.x2+2x+l=(x+l)2=(V2-1+1)2=2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了代數(shù)式求值，涉及了因式分解，二次根式的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

12、-2<a<-1.

【解析】

先確定不等式組的整數(shù)解，再求出a的范圍即可.

【詳解】

x>a

?.?關(guān)于x的不等式組.恰有3個整數(shù)解，

x<2

.??整數(shù)解為1,0,-1,

???-2gaV-If

故答案為：-2<a<-1.

【點睛】

本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)已知不等式組的解集和整數(shù)解確定a的取值范圍是解此題的關(guān)

鍵.

1)

13、x>-----且xrl

2

【解析】

2x+l>0

試題解析：根據(jù)題意得：｛,八

x-l^Q

解得：x>-1且存1.

2

故答案為：xN-大且x^l.

2

14、x>2

【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,可知：x-lK),解得x的范圍.

【詳解】

根據(jù)題意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案為：x>2.

【點睛】

此題考查二次根式，解題關(guān)鍵在于掌握二次根式有意義的條件.

15、1

【解析】

利用提公因式法將多項式分解為a(a2+3)-2ab,將4+3=2方代入可求出其值.

【詳解】

解：a2+3=2b,

a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=l,

故答案為1.

【點睛】

本題考查了因式分解的應(yīng)用，利用提公因式法將多項式分解是本題的關(guān)鍵.

16、2

【解析】

連接AD交EF與點M，，連結(jié)AM,由線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=MB,則BM+DM=AM+DM,故此當(dāng)A、M、

D在一條直線上時，MB+DM有最小值，然后依據(jù)要三角形三線合一的性質(zhì)可證明AD為AABC底邊上的高線，依據(jù)

三角形的面積為12可求得AD的長.

【詳解】

解：連接AD交EF與點M，，連結(jié)AM.

?.,△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，

.\AD1BC,

11?

:.SABC=-BC?AD=-x4xAD=12,解得AD=1,

A22

VEF是線段AB的垂直平分線，

:.BM+MD=MD+AM.

當(dāng)點M位于點處時，MB+MD有最小值，最小值1.

ABDM的周長的最小值為DB+AD=2+1=2.

【點睛】

本題考查三角形的周長最值問題，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及中點的相關(guān)屬性進(jìn)行分析.

【解析】

3

過點E作EF_LBC交BC于點F,分別求得AD=3,BD=CD=4,EF=-,DF=2,BF=6,再結(jié)合△BGDs/\BEF即可.

-2

【詳解】

過點E作EF1BC交BC于點F.

VAB=AC,AD為BC的中線，AD_LBC，EF為△ADC的中位線.

?43

又：cosNC=—,AB=AC=5,，AD=3,BD=CD=4,EF=-,DF=2

52

；.BF=6

.?.在RtABEF中BE=7BF2+EF2=

XVABGD^ABEF

『嗎即BG=g.

BEBF

GE=BE-BG=^^

2

故答案為姮.

2

【點睛】

本題考查的知識點是三角形的相似，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的相似.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)玉=2+V7,赴=2—；(2)苞=1,x2——3.

【解析】

(1)利用公式法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【詳解】

(1)解：V<2=1,b=-4,c=—3>

???A=b2-4ac=(-4)2-4xlx(-3)=28>0,

?]—b±A//?2—4ac-(—4)±^284±2\/7?+不

2a2x12

，％=2+A/7,%=2—A/^7；

(2)解：原方程化為：(X-1)2-2(X+1)(X-1)=0,

因式分解得：。_1)[。_1)_2。+1)]=0,

整理得：(1)(-X-3)=0,

x—1=0或—%—3=0,

??X]=1,x,=—3.

【點睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式

法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵.

19、⑴見解析；⑵二.

【解析】

(1)由△PCD是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,可得NPAB=NPBD,ZBPD=ZPAC,從而即可證明;

(2)根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出PC=PD=、F再由勾股定理即可求解.

【詳解】

證明：(1)..?△「?口是等腰直角三角形，ZDPC=90°,ZAPB=135°,

.,.ZAPC+ZBPD=45°,

又NPAB+NPBA=45。，ZPBA+ZPBD=45°,

NPAB=NPBD,ZBPD=ZPAC,

VZPCA=ZPDB,

/.△PAC^ABPD；

(2)V,PC=PD,AC=3,BD=1

.,.PC=PD=

.*.CD=--.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法.

20、(1)y=--；(1)11.

x

【解析】

(1)根據(jù)正切的定義求出OA,證明△BAOsaBEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算；

(1)求出直線AB的解析式，解方程組求出點D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED

的面積計算即可.

【詳解】

解：(1)VtanZABO=~,OB=4,

2

/.OA=1,

VOE=1,

BE=6,

VAO/7CE,

/.△BAO^ABEC,

.0ABO24

..—=—,即Hn—=——，

CEBECE6

解得，CE=3,即點C的坐標(biāo)為(-1,3),

...反比例函數(shù)的解析式為：y=--；

X

(1)設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,

則產(chǎn)+b=。，

Ib=2

解得，-~2,

b=2

則直線AB的解析式為：y=-^x+2，

'1

尸?x+2

4,

6

y=一

X

x?=—2x9—6

解得，■,?',

曠1=3y2=l

.?.當(dāng)D,的坐標(biāo)為(6,1),

.??三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED的面積

11

=—x6x3+—x6xl

22

=11.

【點睛】

此題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、求反比例函數(shù)與一次函

數(shù)的交點的方法是解題的關(guān)鍵.

21、入77

【解析】

試題分析：過O作OF垂直于CD,連接OD,利用垂徑定理得到F為CD的中點，由AE+EB求出直徑AB的長，進(jìn)

而確定出半徑OA與OD的長，由OA-AE求出OE的長，在直角三角形OEF中，利用30。所對的直角邊等于斜邊的

一半求出OF的長，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的長，由CD=2DF即可求出CD的長.

試題解析：過O作OFLCD,交CD于點F,連接OD,

二F為CD的中點，即CF=DF,

VAE=2,EB=6,

；.AB=AE+EB=2+6=8,

；.OA=4,

/.OE=OA-AE=4-2=2,

在RtAOEF中，ZDEB=30°,

/.OF=TOE=1,

.

在RtAODF中，OF=1}OD=4,

根據(jù)勾股定理得：DF=、,一一：一一一一，

貝!ICD=2DF=2\73.

考點：垂徑定理；勾股定理.

1,97,—

22、(1)丁=］工2—2工—6,點口的坐標(biāo)為(2,-8)(2)點F的坐標(biāo)為(7,§)或(5,萬)(3)菱形對角線MN的長為病+1

或而-1.

【解析】

分析：(1)利用待定系數(shù)法，列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法，NFAB=NEDB,tanZFAG^tanZBDE,求

出廠點坐標(biāo).(3)分類討論，當(dāng)MN在x軸上方時，在x軸下方時分別計算MN.

詳解:

(iy:OB=oc=i,

0),C(0,-1).

1。

—x6+6b+c=0

2

c=-6

b=-2

解得

c=-6)

1

拋物線的解析式為y=-x92-2x-6.

11

V—x2-2x-6=—(x-2)9-8,

工點D的坐標(biāo)為(2,?8).

10

（2）如圖，當(dāng)點廠在工軸上方時，設(shè)點尸的坐標(biāo)為（為一犬2—2%—6）.過點b作軸于點G,易求得04=2,則

2

12c/

AG=x+2FG=—x~—2x—6.

t2

■:NFAB=NEDB,

tanNFAG=tanNBDE,

--—2x—61

n即rt2=j_，

x+22

解得±=7,/=-2（舍去）.

,9

當(dāng)x-7時，y=—,

9

???點廠的坐標(biāo)為（7,-）.

2

7

當(dāng)點F在x軸下方時，設(shè)同理求得點廠的坐標(biāo)為（5,

2

97

綜上所述，點尸的坐標(biāo)為（7,彳）或（5,

22

⑶?.?點P在x軸上，

,根據(jù)菱形的對稱性可知點尸的坐標(biāo)為（2,0）.

如圖，當(dāng)在x軸上方時，設(shè)T為菱形對角線的交點.

1

,:PQ=、MN,

：.MT=2PT.

設(shè)TP=n,貝!]MT=2n.：.M（2+2n,n）.

?.?點M在拋物線上，

1

.??〃=5（2+2〃）2-2（2+2〃）-6,即2/-8=0?

解得4=二普，%=匕普（舍去）.

:.MN=2MT=4n=765+1.

當(dāng)MN在x軸下方時，設(shè)TP=",得M(2+2”,力).

?.?點M在拋物線上，

19

：.-n=-(2+2n)~-2(2+2n)-6,

即2〃2+“—8=0.

解得〃產(chǎn)zk普，%=T^(舍去).

:.MN=2MT=4n=夜-1.

綜上所述，菱形對角線MN的長為辰+1或而-1.

點睛：

L求二次函數(shù)的解析式

(1)已知二次函數(shù)過三個點，利用一般式，>=4好+板+。(。/0).列方程組求二次函數(shù)解析式.

⑵已知二次函數(shù)與x軸的兩個交點(%,0)(%，0)，利用雙根式，y=a(x—%)(x—9)(aw0)求二次函數(shù)解析式,

而且此時對稱軸方程過交點的中點,x=受其.

2

2.處理直角坐標(biāo)系下，二次函數(shù)與幾何圖形問題：第一步要寫出每個點的坐標(biāo)(不能寫出來的，可以用字母表示)，寫

已知點坐標(biāo)的過程中，經(jīng)常要做坐標(biāo)軸的垂線，第二步，利用特殊圖形的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，往往是解決問題的鑰匙.

3

23、(1)見解析；(2)tanZAOD=-.

4

【解析】

(1)作DFLAB于F,連接OC,則△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=&DF,由垂徑定理得出NCOE=90。,

證明ADEFsaCEO得出￡2=空=12￡