北京朝陽區(qū)2024屆數(shù)學(xué)八年級上冊期末考試試題含解析

北京朝陽區(qū)2024屆數(shù)學(xué)八上期末考試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在WAABC中，ZB=90，分別以A,。為圓心，大于工AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)〃、N,連

2

摟MN,與AC,分別相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,連結(jié)AE,當(dāng)A3=5,5c=9時(shí)，AABE的周長是（）

A

2.下列各組條件中，能判定△ABCgAOE尸的是（）

A.AB^DE,BC=EF,ZA=ZD

B.ZA=ZD,ZC=ZF,AC=EF

C.AB^DE,BC=EF,AlBC的周長=AOE尸的周長

D.ZA=ZD,NB=NE,NC=NF

3.工人師傅常用直角尺平分一個(gè)角，做法如下：如圖所示，在NAOB的邊OA,OB上分別取OM=ON,移動(dòng)直角

尺，使直角尺兩邊相同的刻度分別與M,N重合（即CM=CN）.此時(shí)過直角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是NAOB的平分

C.SSSD.ASA

4.八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)

果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍.設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米〃卜時(shí)，則所列方程正確的是

()

10101010101012o_io1

A.---=20B.---=20c.--——=-D.

x2x2xxx2x32xx3

5.點(diǎn)P是第二象限的點(diǎn)且到x軸的距離為3、到y(tǒng)軸的距離為4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（)

A.(-3,4)B.(3,-4)C.(-4,3)D.(4,-3)

6.下列各數(shù)中，無理數(shù)的是()

A.(3-p)°B.3.1010010001C.3耶

7.下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是（)

A.3,4,5B.54百C.8,15,17D.5,12,13

8.如圖所示，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，Zl=30°,Z2=50°,則N3等于（）

C.40°D.50°

9.如圖，在AABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F,若NBAC=110。，則NEAF為（）

C.45D.50°

10.在下列長度的四根木棒中，能與4c7〃、9cm長的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）

A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm

11.把多項(xiàng)式a?-4a分解因式，結(jié)果正確的是()

A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.(a-2)2D.a(a+2(a-2)

x

12.若使分式一一有意義，則x的取值范圍是（）

x+3

A.xw3B.x^—3C.x^—2D.x=3

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，那么這個(gè)多邊形是邊形.

x+2y=1

14.若關(guān)于x、y的二元一次方程組＜,則x-y的算術(shù)平方根為

3x-2y=ll

15.在實(shí)驗(yàn)操作中，某興趣小組的得分情況是:有5人得10分，有8人得9分，有4人得8分，有3人得7分，則這個(gè)

興趣小組實(shí)驗(yàn)操作得分的平均分是

16.已知等腰三角形的其中兩邊長分別為4,9,則這個(gè)等腰三角形的周長為.

4

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-§x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,線段A5繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。

得線段AC,連接3c.

(1)線段AB的長為；

(2)若該平面內(nèi)存在點(diǎn)尸(a,1),使AABP與AABC的面積相等，則。的值為.

18.如圖，在AABC中，按以下步驟作圖：

第一步：分別以點(diǎn)4。為圓心，以大于工人。的長為半徑畫弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn);

2

第二步：作直線交于點(diǎn)。，連接AD.

(1)AADC是_____三角形；(填“等邊”、“直角”、“等腰”)

(2)若NC=28,A3=3。，則的度數(shù)為.

三、解答題(共78分)

19.(8分)已知三角形AABC,AB=3,AC=8,BC長為奇數(shù)，求BC的長.

20.(8分)如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4),

(1)畫出△A5C關(guān)于y軸的對稱圖形△AiBiG,并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)在x軸上求作一點(diǎn)P,使△段3的周長最小，并直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

21.(8分)已知等邊及405的邊長為4,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，05所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

y,

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若直線y=fcr(*>0)與線段A5有交點(diǎn)，求左的取值范圍；

(3)若點(diǎn)C在x軸正半軸上，以線段AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊AAC。，求直線的解析式.

22.(10分)如圖，在AABC中，ZACB=90°,NABC=3O°,AD平分NC4B,延長AC至E，使CE=AC.

(1)求證：DE=DB；

(2)連接班，試判斷AABE的形狀，并說明理由.

23.(10分)某服裝店到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進(jìn)價(jià)比B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)多25元，

已知用2000元購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是用750元購進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍.

(1)求A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)分別為多少元？

(2)若A品牌服裝每套售價(jià)為130元，B品牌服裝每套售價(jià)為95元，服裝店老板決定，購進(jìn)B品牌服裝的數(shù)量比購

進(jìn)A品牌服裝的數(shù)量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總利潤不少于1200元，則最少購進(jìn)A品牌的服裝

多少套？

24.(10分)在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OQVM為矩形，如圖1,M點(diǎn)坐標(biāo)為(加,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,“)，已知加，〃

滿足—5+|5—m|=0.

(1)求〃”的值;

(2)①如圖1,。,。分別為。河,八四上一點(diǎn)，若NPCQ=45°,求證：PQ=OP+NQ,

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NCk一點(diǎn),SR,HG交于息D.若NSDG=135°，HG二走,則

2

RS=___________

(3)如圖3,在矩形Q4BC中，QA=5,OC=3,點(diǎn)r在邊上且OF=Q4,連接AE,動(dòng)點(diǎn)P在線段OP是(動(dòng)

點(diǎn)P與O,/不重合)，動(dòng)點(diǎn)。在線段Q4的延長線上，且AQ=EP,連接PQ交AE于點(diǎn)N,作PMLAb于試

問：當(dāng)RQ在移動(dòng)過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若不變求出線段的長度；若變化，請說明理由.

25.(12分)如圖，在△ABC中，4。是邊的中線，E是AO的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作A尸〃5c交3E的延長線于點(diǎn)尸，

連結(jié)CF.求證：四邊形AOC歹是平行四邊形.

26.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(即這些小正方形的頂點(diǎn))上，且

它們的坐標(biāo)分別是A(2,-3),B(5,-1),C(1,3),結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系，解答下列問題：

(1)請?jiān)谌鐖D坐標(biāo)系中畫出AABC；

(2)畫出AABC關(guān)于y軸對稱的并寫出各頂點(diǎn)坐標(biāo)。

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【分析】由作圖可知，DE是AC的垂直平分線，可得AE=CE,貝!JAABE的周長=AB+BC.

【詳解】解：由作圖可知，DE是AC的垂直平分線，則AE=CE,

:.AABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+9=14

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖一垂直平分線的作法和垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用.是中考常考題型.

2、C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，對每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案.

【詳解】A.兩條邊對應(yīng)相等，且兩條邊的夾角也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，即當(dāng)5C=E尸時(shí)，兩條邊的

夾角應(yīng)為NE,故A選項(xiàng)不能判定AA3C四△OEF；

B.兩個(gè)角對應(yīng)相等，且兩個(gè)角夾的邊也對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，即當(dāng)NA=NO,NC=ZF

時(shí)，兩個(gè)角夾的邊應(yīng)為AC=Z>F,故B選項(xiàng)不能判定尸；.

C.由4B=Z)E,BC=EF,AABC的周長=AOE尸的周長，可知AC=DF,即三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故C選項(xiàng)能

判定ZkABC義尸；,

D.三角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故D選項(xiàng)不能判定AABCgaDE尸.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定方法.熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3、C

【分析】根據(jù)題中的已知條件確定有三組邊對應(yīng)相等，由此證明△OMCg^ONC(SSS),即可得到結(jié)論.

【詳解】在△OMC和△ONC中，

0M=ON

<CM=CN,

OC=OC

：.AOMC^AONC(SSS),

/.ZMOC=ZNOC,

射線OC即是NAOB的平分線，

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，比較簡單，注意利用了三邊對應(yīng)相等，熟記三角形全等的判定定理并解決問題

是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】根據(jù)八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽

車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的.

【詳解】由題意可得，

10竺二

x2x3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程.

5、C

【詳解】由點(diǎn)且到x軸的距離為2、到y(tǒng)軸的距離為1,得

|y|=2,|x|=l.

由P是第二象限的點(diǎn)，得

x=-l,y=2.

即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,2),

故選C.

6、C

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義對每個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.

【詳解】A.(3-夕)°=1,是有理數(shù)，不符合題意

B.3.1010010001,是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意

C.379=2.0800838……，是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，符合題意

D..—分?jǐn)?shù)屬于有理數(shù)，不符合題意

V497

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了無理數(shù)的定義，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

7、B

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】解：32+42=52,二能構(gòu)成直角三角形;

B、(a2+(4).(62,.?.不能構(gòu)成直角三角形；

C、8?+152=289=172,.??能構(gòu)成直角三角形；

D、52+122=169=132,二能構(gòu)成直角三角形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定

理加以判斷即可.

8、A

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N4=N2,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有N4=N1+N3,最后利用N3=N4—N1

即可求解.

【詳解】如圖

.-.Z4=Z2=50°.

-Z4=Z1+Z3,Z1=3O°,

:.Z3=Z4-Z1=50°-30°=20°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9、B

【解析】試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC+NB=70。，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC=EA,FB=FA,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NEAC=NC,ZFAB=ZB,計(jì)算即可.

解：,.,ZBAC=110°,

.,.ZC+ZB=70°,

VEG.FH分別為AC、AB的垂直平分線，

.\EC=EA,FB=FA,

/.ZEAC=ZC,NFAB=NB,

.\ZEAC+ZFAB=70°,

:.NEAF=40。，

故選B.

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì).

10、C

【分析】判定三條線段能否構(gòu)成三角形，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能

構(gòu)成一個(gè)三角形.

【詳解】解：設(shè)三角形的第三邊為x,則

9-4<x<4+9

即5<x<13,

當(dāng)x=7時(shí),能與4cm、9cm長的兩根木棒釘成一個(gè)三角形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊.

11、A

【分析】原式利用提取公因式法分解因式即可.

【詳解】解:原式=a(a-4),

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查因式分解-提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解題的關(guān)鍵.

12、B

【解析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零求解.

【詳解】解：由題意得，x+3/O,

解得，xw-3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、六

【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)?180。，外角和為360。，根據(jù)題意列方程求解.

【詳解】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,依題意，得：

(n-2)?180°=2x360°,

解得n=6,

故答案為：六.

【點(diǎn)睛】

本題考查了多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，多邊形的外角和.關(guān)鍵是根據(jù)題意利用多邊形的外角和及內(nèi)角和之間的關(guān)系列

出方程求邊數(shù).

14、2

【分析】首先利用消元法解二元一次方程組，然后即可得出的算術(shù)平方根.

x+2y=1①

【詳解】<

3x-2y=ll（2）

①+②，得x=3

代入①，得y=—i

.?.其算術(shù)平方根為2,

故答案為2.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查二元一次方程組以及算術(shù)平方根的求解，熟練掌握，即可解題.

15、87.5

【分析】根據(jù)“平均分=總分?jǐn)?shù)+總?cè)藬?shù)”求解即可.

人、、，皿，八八一，<_，、10x5+9x8+8x4+7x31755「，八、

【詳解】這個(gè)興趣小組實(shí)驗(yàn)操作得分的平均分=------「°.---------=—=87.5（分）.

5+8+4+320

故答案為：87.5分.

【點(diǎn)睛】

%/+々力+.-+%力

本題考查了加權(quán)平均數(shù)的求法.熟記公式：尸5+力++<W0）是解決本題的關(guān)鍵.

X+力++fn

16、22

【分析】由等腰三角形的定義，對腰長進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】解：???等腰三角形的其中兩邊長分別為4,9,

當(dāng)4為腰長時(shí)，4+4=8<9,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)9為腰長時(shí)，能構(gòu)成三角形，

二這個(gè)等腰三角形的周長為：4+9+9=22；

故答案為：22.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的定義，以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的定義進(jìn)行解題.注意運(yùn)用

分類討論的思想.

一17

17、5-4或一

2

【分析】（1）根據(jù)直線解析式可以求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用勾股定理即可求出AB的長度；

（2）由（1）中AB的長度可求等腰直角AABC的面積，進(jìn)而可知AAB尸的面積，由于沒有明確點(diǎn)P的位置，要分類

討論利用三角形的和或差表示出面積，列出并解出方程即可得到答案.

4

【詳解】(1)??,直線y=——九+4與“軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B,

3

???A(3,0),B(0,4),

?*-AB=A/32+42=5；

(2)VAB=5,

?cv1_25

??\ABC=5X5X—,

???S—=2-9

當(dāng)p在第二象限時(shí)，如圖所示，連接。P,

?*$NABP~S70BP+S'ABO-S'AOP

25.1_.1..1

即Qrt———ax4x—F3x4x—3x1x一9

2222

a=-4；

當(dāng)P在第一象限時(shí)，如圖所示，連接0P,

<**SyjABP~S^OBP+S'AOP~SyABO

25.1_.1..1

即an——62x4x—I-3x1x—3x4x一,

2222

.17

a=—；

y

故答案為：5；-4或

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，做題時(shí)要認(rèn)真觀察圖形，要會(huì)對圖象進(jìn)行拼接來表示出三角形的面積，而分類討論

是正確解答本題的關(guān)鍵.

18、等腰68°

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖方法可知，直線MN為線段AC的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得AD=CD,從而

判斷4ADC為等腰三角形；

（2）由三角形的外角的性質(zhì)可知NADB的度數(shù)，再由AB=BD,可得NBAD=NADB,最后由三角形的內(nèi)角和計(jì)算即

可.

【詳解】解：（1）由題意可知，直線MN為線段AC的垂直平分線，

/.AD=CD

/.△ADC為等腰三角形，

故答案為：等腰.

（2）?:△ADC是等腰三角形，ZC=28

.\ZC=ZDAC=28°,

XVZADB是△ADC的外角，

ZADB=ZC+ZDAC=28°+28O=56°,

?:AB=BD

NBAD=NADB=56°

:.ZB=180°-ZBAD-ZADB=180o-56°-56o=68°,

故答案為：68。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知直線MN為線段AC的垂直平分線，并靈

活運(yùn)用等腰三角形中的角度計(jì)算.

三、解答題（共78分）

19、7或1.

【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍；又知道第三

邊長為奇數(shù)，就可以知道第三邊的長度.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得8-3VBCV3+8,

即5<BC<2.

又BC長是奇數(shù)，則BC=7或1.

故答案為7或1.

20、(1)詳見解析,31的坐標(biāo)為(-4,2)；(2)(2,0).

【分析】(1)分別作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可得;

(2)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再連接A'B,與x軸的交點(diǎn)即為所求.

【詳解】(1)如圖所示，△451G即為所求，其中點(diǎn)31的坐標(biāo)為(-4,2).

(2)如圖所示，點(diǎn)尸即為所求，其坐標(biāo)為(2,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)軸畫圖的問題，掌握坐標(biāo)軸的性質(zhì)以及關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21、(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2君)；(2)Q<k<y[3；(3)尸百

【分析】(1)如下圖所示，過點(diǎn)A作AZ)_Lx軸于點(diǎn)O,則AZ>=Q4sinNAOB=4sin6(T=2G,同理。4=2,即可求

解；

(2)若直線(左>0)與線段A3有交點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：26k=2,解得:

k=6即可求解；

(3)證明AAC。g△AO3(SAS),而NO3C=180°-ZABO-180°-60°-60°=60°,即可求解.

【詳解】解：(1)如下圖所示，過點(diǎn)A作ADLx軸于點(diǎn)O,

則AD=OAsinNAO3=4sin60°=4x—=2-73，

2

同理。4=2,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,273)?

(2)若直線y=fcr(k>Q)與線段A3有交點(diǎn)，

當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：26k=2,解得：k=6

直線03的表達(dá)式為：y=0,而4>0,

故：4的取值范圍為：0〈任JL

?.,△ADC為等邊三角形，：.AD=AC,

NOAC=NOAB+ZCAB=60°+NCAB=NZMC+NCAB=ZDAB,

：.AACO^AADB(SAS),

:.NAOB=ZABD=60°,

：.ZDBC=1800-ZABO-ZABD=180°-60°-60°=60°,

故直線5。表達(dá)式的左值為tan60°=出，

設(shè)直線5。的表達(dá)式為：y=y[3x+b,

將點(diǎn)5(4,0)代入上式得46+6=0

解得：b=-473?

故：直線30的表達(dá)式為：y=6x-46.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解

題的關(guān)鍵.

22、（1）見解析；（2）等邊三角形，理由見解析.

【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)和角平分線得出NDAB=NABC,得出DA=DB,再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出

DE=DA,即可得出結(jié)論；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BA=BE,再由NCAB=60。，即可得出AABE是等邊三角

形.

【詳解】解：（1）證明：VZACB=90o,ZABC=30°,

/.BC±AE,NCAB=60。，

VAD平分NCAB,

AZDAB=—ZCAB=30°=ZABC,

2

，DA=DB,

VCE=AC,

ABC是線段AE的垂直平分線，

,\DE=DA,

.\DE=DB；

（2）ZkABE是等邊三角形；理由如下：

VBC是線段AE的垂直平分線，

；.BA=BE,

即AABE是等腰三角形，

又；NCAB=60。，

.,.△ABE是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的判定方法、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí).解題的關(guān)鍵是掌握角平分線

的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，此題難度不大.

23、（1）A、B兩種品牌服裝的進(jìn)價(jià)分別為100元和75元；（2）最少購進(jìn)A品牌的服裝16套

【分析】（1）首先設(shè)A品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為x元，則B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為（x-25）元，根據(jù)關(guān)鍵語句“用2000元購進(jìn)

A種服裝數(shù)量是用750元購進(jìn)B種服裝數(shù)量的2倍.”列出方程，解方程即可；

(2)首先設(shè)購進(jìn)A品牌的服裝a套，則購進(jìn)B品牌服裝(2a+4)套，根據(jù)“可使總的獲利超過1200元”可得不等式

(130-100)a+(95-75)(2a+4)^1200,再解不等式即可.

【詳解】(1)設(shè)B品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為x元種，則A品牌服裝每套進(jìn)價(jià)為(x+25)元

2000750

根據(jù)題意得:-------=2x——,

x+25x

解得：x=75

經(jīng)檢驗(yàn)：x=75是原方程的解，x+25=100,

答：A、B兩種品牌服裝的進(jìn)價(jià)分別為100元和75元；

(2)設(shè)購買A種品牌服裝a件，則購買B種品牌服裝(2a+4)件，

根據(jù)題意得：(130-100)a+(95-75)(2a+4)>1200,

解得：a>16>

；.a取最小值是16,

答：最少購進(jìn)A品牌的服裝16套.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意，表示出A、B兩種品牌服裝每套進(jìn)價(jià)，根據(jù)購進(jìn)的

服裝的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，求出進(jìn)價(jià)是解決問題的關(guān)鍵.

24、(1)m=5,n=5；(2)①見解析；②之叵；(3)當(dāng)P、Q在移動(dòng)過程中線段MN的長度不會(huì)發(fā)生變化，它的長

3

度為巫.

2

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

(2)①作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)三角形全等，ffi^ACOE^ACNQ^AECP^AQCP,由PQ=PE=OE+OP,得出結(jié)論;

②作輔助線，構(gòu)建平行四邊形和全等三角形，可得平行四邊形CSRE和平行四邊形CFGH,則CE=SR,CF=GH,

證明△CENgZXCE，。和AETF絲Z\ECF,得EF=E，F(xiàn),設(shè)EN=x,在RtAMEF中，根據(jù)勾股定理列方程求出EN的

長，再利用勾股定理求CE,則SR與CE相等，問題得解；

(3)在(1)的條件下，當(dāng)P、Q在移動(dòng)過程中線段MN的長度不會(huì)發(fā)生變化，求出MN的長即可；如圖4,過P作

PD//OQ,證明ZkPDF是等腰三角形，由三線合一得:DM=yFD,證明△PNDgaQNA,得DN=gAD,則MN=；AF,

求出AF的長即可解決問題.

【詳解】解：(1)J=+|5—根|=0,

11-5=0,5-m=0,

...m=5,n=5；

(2)①如圖1中，在PO的延長線上取一點(diǎn)E,使NQ=OE,

￡0|PM\

圖1

；CN=OM=OC=MN,ZCOM=90°,

.1四邊形OMNC是正方形，

，CO=CN,

,.,ZEOC=ZN=90°,

/.△COE^ACNQ(SAS),

；.CQ=CE,ZECO=ZQCN,

；NPCQ=45。，

:.ZQCN+ZOCP=90o-45°=45°,

:.NECP=ZECO+NOCP=45。，

；.NECP=NPCQ,

；CP=CP,

/.△ECP^AQCP(SAS),

；.EP=PQ,

VEP=EO+OP=NQ+OP,

；.PQ=OP+NQ；

②如圖2中，過C作CE〃SR,在x軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)E，，使OE，=EN,得平行四邊形CSRE,_aACEN^ACErO,

貝!ICE=SR,

r口_

過C作CF〃GH交OM于F,連接FE,得平行四邊形CFGH,貝!ICF=(J±1------j

2

M

E'0|FGMX

圖2

；NSDG=135°,

:.ZSDH=180°-135°=45°,

.,.ZFCE=ZSDH=45°,

，ZNCE+ZOCF=45°,

?.,△CENgZkCE'。，

:.ZErCF=ZEfCO+ZOCF=45°,

.?.NE'CF=NFCE,

.".△ETF^AECF,

，E，F(xiàn)=EF

在RtACOF中，OC=5,FC=上叵，

由勾股定理得：OF=，鮑亙.-52=』,

5