山東省濟寧市2021屆高三年級下冊5月第二次模擬考試數(shù)學試題

山東省濟寧市2021屆高三下學期5月第二次模擬考試

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知全集UeR,集合4{x|x22},5={x|log2（x-l）<l},貝!!（品/）八5=（）

A.（-oo,2）B.（-oo,2]C.（1,2）D.（1,3）

2.已知（2—i）-z=i,i為虛數(shù)單位，則目=（）

A.—B.1C.2D.V5

5

3.“直線加垂直平面。內(nèi)的無數(shù)條直線”是“掰_1_&”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必安條件

4.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（1Q2）,若P（X<0）=0.2,則P（X<2）=（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

5.已知橢圓C:工+^=1,過點P的直線交橢圓C于/、5兩點，若P為45的

432J

中點，則直線48的方程為（）

A.3x—2y—2=0B.3x+2y—4=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4j-l=0

6.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知點M（省1）和點N（0,l）.若點？在

NMON的角平分線上，且網(wǎng)=4,則亦加=（）

A.—2B.-6C.2D.6

/、-l+21nx,x>1"、”、

7.已知函數(shù)/（"=：]21nx0<x<l，若/（。）=/0）'則力的最小值是（）

A.2y[eB.eC.1+eD.2e

8,“曼哈頓距離”是由赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學

用語.例如在平面直角坐標系中，點,0(%,歹2)的曼哈頓距離為：

42Txi一%|+|%一/卜若點尸(1,2),點。為圓。：/+了2=4上一動點,則4。的最

大值為()

A.1+V2B.1+2&C.3+V2D.3+2正

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.已知a〉b〉0,ceR,下列不等式恒成立的有()

10.函數(shù)/(x)=2cos2x—1+l(xeR),則下列說法正確的是()

A.若/(再)=/(%2)=3,則再一々=析(左eZ)

B.函數(shù)/(x)在-工，工上為增函數(shù)

63_

C.函數(shù)/(x)的圖象關于點［三,1］對稱

D.函數(shù)/(x)的圖象可以由g(x)=2sin12x—g1+l(xeR)的圖象向左平移方個單位

長度得到

11.已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，/(I—x)=—/(1+x),且當xe［0,l］時，

/(力=/+%—2,則下列說法正確的是()

A./(x)是以4為周期的周期函數(shù)

B./(2018)+/(2021)=-2

C.函數(shù)歹=log2(x+1)的圖象與函數(shù)/(x)的圖象有且僅有3個交點

D.當xe［3,4］時，/(%)=x2-9x+18

12.如圖，直四棱柱ABCD-AXBXCXDX中，底面ABCD為平行四邊形，

1一/--,一

AB=AAX=—AD=1,NB4D=60°,點P是半圓弧4A上的動點(不包括端點)，點

。是半圓弧前上的動點(不包括端點)，則下列說法止確的是()

A.四面體必C。的體積是定值

B.N萬的取值范圍是(0,4)

C.若G。與平面4BCD所成的角為氏則tan，〉g

D.若三棱錐P-BCQ的外接球表面積為S,則Se［4兀,13兀)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知［x-2］的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為128,則這個展開式中項的系數(shù)

是.

14.已知tan(巴一a］二一，則cos2a=.

14J2

22

15.設雙曲線。:二一==1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為用、片，過點片的直線/分

ab

別與雙曲線的左、右支交于點/、B,若以48為直徑的圓過點耳，且|/周=|即則

該雙曲線的離心率為.

16.設函數(shù)/(x)=e*—cosx_2a,g(x)=x,若存在再,%e［0,兀］使得/(xj=g(x2)

成立，則迎，占的最小值為1時，實數(shù)a=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

在①（sin8-sin=sin2/-sinBsinC；②2asinC=ctanZ；③

cB+Cc，,

2cos2-----=cos2A+1；

2

三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

問題：已知△48C的內(nèi)角4,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若b=C,

（1）求/的值；

（2）若sinB=J^sinC,求△/8C的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（12分）

已知數(shù)列｛4｝是正項等比數(shù)列，滿足%是2%，3a2的等差中項，為=16.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若4=（—l）%g2%+i，求數(shù)列也｝的前〃項和

19.（12分）

甲、乙兩人進行“抗擊新冠疫情”知識競賽，比賽采取五局三勝制，約定先勝三局者獲勝，比

21

賽結束.假設在每局比賽中，甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為一，各局比賽相互獨立.

33

(1)求甲獲勝的概率；

(2)設比賽結束時甲和乙共進行了X局比賽，求隨機變景X的分布列及數(shù)學期望.

20.(12分)

如圖，四邊形48￡尸是矩形，平面45CL平面/，。為中點，ZG45=120°,

AB=AC=4,AF=娓.

(1)證明：平面40尸J_平面BCE；

(2)求二面角E一40-￡的余弦值.

21.（12分）

己知拋物線C：彳2=2處(夕>0),過點7(0,0)作兩條互相垂直的直線/］和小/］交拋物線

C于4,5兩點，6交拋物線。于￡、廠兩點，當點/的橫坐標為1時，拋物線C在點/

處的切線斜率為工.

2

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)已知。為坐標原點，線段48的中點為線段斯的中點為N,求△(WN面積

的最小值.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx-6zx2+x,g(x)=(l-(7)xlnx-ex-1,a>0.

(1)當。=1時，判斷函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若/(x"g(x)+x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1-8：CABDBACD

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.AD10.ACII.ACD12.BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

4r~1

13.8414.-15.V316.——

52

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解：（1）若選①：因為（sin8-sinOp=sin?/-sin5sinC,

所以由正弦定理得3-c）2=/—bc,整理得〃+。2—/="

所以cos

2bc2

jr

因為0<Z（兀，所以Z=

3

sin

若選②：因為2asinC=ctan/,所以2sin/sinC=sin。------，

cos4

即cosA——f

2

jr

因為0<4<兀，所以4=

3

若選③：因為2cos之=cos2/+l,所以cos（8+C）+l=2cos24-1+1,

即2cos2A+cosA-l=0,

解得cos4=—或cos4=-l,

2

jr

因為0<4<兀，所以2

3

（2）因為sing-J5sinC,由正弦定理得b=J5c,

因為。=、/5,所以C=1,

JcsinZ

所以

2224

18.解：(1)設數(shù)列｛%｝的公比為q,

因為由是2a1，3出的等差中項，

所以2%=2q+3a2,即2%/=2%+3a⑼,

,1

因為所以2/—3q—2=0,解得q=2或q=—2，

因為數(shù)列｛%｝是正項等比數(shù)列，所以q=2.

因為%=16,即%-4/-8%=16,解得q=2,

所以%=2X2"T=2".

(2)解法一：(分奇偶、并項求和)

2n+l

由⑴可知,a2n+1=2,

所以，”=(-!)”?暇%+1=(一1)"?1嗚22用=(一1)"Q+1),

①若，為偶數(shù)，

7；=-3+5-7+9-L-(2〃-1)+(2〃+1)

=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(2〃-1)+(2〃+1)]

=2。x—n=M

2

②若〃為奇數(shù)，

當〃23時，Tn=Tn_Y+bn=〃+1-(2〃+1)=-〃一2,

當〃=1時，7；=—3適合上式，

綜上得北=『一2,為鬻數(shù)(或小("+1)(—1)"—1,〃eN*).

解法二：(錯位相減法)

2n+1

由(1)可知，a2n+l=2,

所以，"=(T)"?四2*=(T)"-log222/=(7)".(2〃+1),

3

Tn=(-1)x3+(-IpX5+(-1)X7+L+(-l)"(2n+1)

所以=(_1)2x3+(-1)3x5+(—1)4x7+L+(-l)n+1(2/7+1)

所以27；=-3+2[(—I)?+(-1)3+L+(-1)"]-(-1)"+1(2?+1)

=-3+2義1-(；)

=—3+1—(―1廣+(—1)"(2〃+1)

=-2+(2?+2)(-1)"

所以7；=(〃+l)(—1)"—1,〃eN*.

19.解：（1）由已知得，比賽三局且甲獲勝的概率月=

比賽四局且甲獲勝的概率為已x-x--—,

2\3J3327

比賽五局且甲獲勝的概率為鳥x-=—,

\3J）381

所以甲獲勝的概率為P=4+E+《

327278181

（2）隨機變量X的取值為3,4,5,

則尸（一）=。+（小；

…)Ww

所以隨機變量X的分布列為

X345

]_108

P

32727

所以E（X）f*x導5*=等

20.（1）證明：因為48=ZC,。為BC中點，所以4DL8C,

因為尸是矩形，所以E4_L45,

因為平面48C，平面平面48Cc平面48￡9=48,

4Fu平面/龐廣，所以4F_L平面48C,

因為BCu平面4BC,所以4FL8C,

又/尸，4Du平面40尸，AFr>AD=A,

所以8C，平面40尸，

又BCu平面BCE,所以平面40廠，平面8CE.

（2）解：由（1）知，4FL平面48C,

故以點/為坐標原點，分別以方，牙的方向為》軸、z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系/-孫z,

則/（0,0,0）,F（0,0,V6）,5（0,4,0）,C（2A/3,-2,0）,￡（0,4,76）,

所以￡（（君』,0）,

所以而=（道/,0）,AF=（0,0,V6）,AE=（0,4,76）,前=（2百6,0）,

由（1）知，就為平面4D廠的一個法向量，

設平面ADE的法向量為n=（x,y,z）,

則《ii-一AD=0，即《v3x+y:=0

h-AE=04y+V6z=0

令x=1,則y=一百，z=2V2，

所以拓=（1,—G,2血卜

n-BC2V3+6V3_73

所以cos（元8C）

同園2百X4G3

因為二面角廠—40—￡為銳角，則二面角F-AD-E的余弦值為—.

3

丫2Y

21.解：（1）因為爐=2處（0>0）可化為y所以y'=—.

-2Pp

因為當/點的橫坐標為1時，拋物線。在/點處的切線斜率為工，

2

所以工=工，所以0=2,

P2

所以，拋物線C的標準方程為V—4y.

（2）解法一：由（1）知點T坐標為（0,2）,

由題意可知，直線4和右斜率都存在且均不為0，

設直線4方程為y=fcc+2,

y=kx+2、

由聯(lián)立消去》并整理得，――4日—8=0,

=4y

A=(-4k)2+32=16k2+32>0,

設B(x2,y2),則王+工2-4Xj-x2=-8,

所以，為+>2=%（再+/）+4=4H+4,

因為M為45中點，所以M（2匕2公+2）,

因為42,N為斯中點，所以N

所以，直線"N恒過定點（0,4）.

所以△OMV面積S=！x4x2A:-f--U4^+->8,

2k）k

當且僅當左=工即左=±1時，AOMN面積取得最小值為8.

k

（2）解法二：由（1）知點T坐標為（0,2）,

由題意可知，直線4和右斜率都存在且均不為0，

設直線4方程為y=fcc+2,

y=kx-\-2、

由1,聯(lián)立消去》并整理得，――4日—8=0,

x-=4v

A=(-4A;)2+32=16A;2+32>0,

設/(%],%),5(x2,y2),則西+》2=4左，xl-x2=-S,

所以，必+>2=左（再+xJ+4=4%~+4,

因為M為45中點，所以M（2匕2公+2）,

因為42,N為斯中點，所以N

242+2-+2

?(x-2k)=[左一,

所以,直線九W的方程為y-（212+2）=--------?(x-2k

2k+l

整理得尸［后_：

x+4.

4

所以，點。到直線九W的距離為d=,

=2卜+L

2k2+2---2

k

所以△(WN面積S=gxpW|xd=gx2

=4A；+->8.

k

當且僅當左=工，即左=±1時，△OMV面積取得最小值為8.

k

22.解：(1)當。=：時，/(x)=xlnx-1-x2+x,

所以/'(X)=lnx-ex+2,

令夕(％)=lnx_ex+2,貝ij=，一e二^——,

xx

若//(x)>0,則0<x<』；若//(x)<0,則X〉工，

ee

所以函數(shù)0(x)在10,口上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

則)(X)<夕［：］=0,即/'(x)<0,僅在x=!時，/'(x)=0,

所以，函數(shù)/(x)在(0,+8)內(nèi)為減函數(shù).

⑵方法一：因為/(%)=xlnx—Qx2+x,g(x)=(l—Q)xlnx—e"T,a>0,

若/(x)2g(x)+x恒成立，即對任意的x〉0,e~-Qx(x-lnx)20恒成立，

e

即對任意的x>0,----a(x—Inx)N0恒成立,

,T

令h(x)=----a(x-Inx),

x

Ax-1\

x-1c