2022-2023學(xué)年安徽省池州市貴池區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2安徽省池州市貴池區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，故A不正確；因?yàn)?，故B不正確；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)?，故D不正確.故選：C.2.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B.2 C. D.8〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.40 B.45 C.80 D.90〖答案〗B〖解析〗．故選：B．4.在等比數(shù)列中,,是方程的兩個根,則等于（）A. B.C. D.以上皆不是〖答案〗C〖解析〗依題意可得，，所以，則，故選C5.、、、、等名學(xué)生進(jìn)入學(xué)校勞動技能大賽決賽，并決出第一至第五名的名次（無并列名次）.已知學(xué)生和都不是第一名也都不是最后一名，則這人最終名次的不同排列有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗B〖解析〗先從、、名同學(xué)中選名同學(xué)分配第一名和最后一名，剩余名同學(xué)的名次無限制，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，這人最終名次的不同排列的種數(shù)為種.故選：B.6.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，所以，設(shè)曲線在處的切線與直線平行，則，所以，切點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離即為切點(diǎn)P到直線的距離，故選：A．7.小明的弟弟喜歡玩黏土，現(xiàn)在有4種顏色的黏土，小明的弟弟想要在如圖所示圓盤（分為5個區(qū)域）上填入黏土，要求每個區(qū)域只能填入一種顏色的黏土，且相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色的黏土，則不同的填入方法共有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種〖答案〗C〖解析〗由題意知，可分2種情況討論：（1）選用3種顏色時，必須是區(qū)域2、4同色，區(qū)域3、5同色與區(qū)域1全排列填入方法有：種，（2）選用4種顏色時，區(qū)域2、4同色或區(qū)域3、5同色的填入方法有：種，所以不同的填入方法有種.故選：C.8.已知函數(shù)，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，求?dǎo)，令，得令，得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)橐驗(yàn)?，求?dǎo)，令，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即是函數(shù)的極值點(diǎn)，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，得，且．因?yàn)閷θ我獾?，總存在唯一的，使得成立，?dāng)時，，所以，則，解得：．故選：A．二、多選題（每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.記是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是遞減數(shù)列C. D.當(dāng)時，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，∵，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤，C正確；∵，，∴當(dāng)時，取得最大值，故D正確.故選：ACD.10.某學(xué)生想在物理?化學(xué)?生物?政治?歷史?地理?技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（）A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為20〖答案〗AB〖解析〗對于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A錯誤；對于B，若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法，若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯誤；對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確；對于D，若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，只選物理不選歷史，有種選法，選化學(xué)，不選物理，有種選法，物理與化學(xué)都選，不選歷史，有種選法故總數(shù)為種，故D正確.故選：AB.11.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.的前項(xiàng)和為〖答案〗ACD〖解析〗由已知，當(dāng)時，可得選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D正確.故選：ACD.12.對于定義域?yàn)镽的函數(shù)，若滿足：①；②當(dāng)，且時，都有；③當(dāng)且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗經(jīng)驗(yàn)證，，，，都滿足條件①；，或；當(dāng)且時，等價于，即條件②等價于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；A中，，，則當(dāng)時，由，得，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；B中，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，則當(dāng)時，都有，符合條件②，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由單調(diào)性知，當(dāng)時，，∴，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“”成立，∴在，上是減函數(shù)，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；C中，由函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合條件②，∴函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有單調(diào)性知，當(dāng)時，，設(shè)，，則，在上是減函數(shù)，可得，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；D中，，則，則是偶函數(shù)，而（），則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，的符號有正有負(fù)，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；故選：BC．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，其中16小題第1空2分，第2空3分）13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則___．〖答案〗〖解析〗依題意，對兩邊求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，解得，所以.故〖答案〗為：－114.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_________〖答案〗0〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以.所以.故〖答案〗為：015.已知函數(shù)在時有極值為0，則______.〖答案〗11〖解析〗因?yàn)?，所以?/p>

所以，解得，或，當(dāng)時，，則與題意在時有極值矛盾，舍去，故，所以.故〖答案〗為：1116.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則___________；若，分別滿足方程，則___________.〖答案〗①②2〖解析〗由題，，，由可得，的圖像的對稱中心為，即，，所以和關(guān)于對稱，故；令，同理可求的對稱中心，，，由可得，對稱中心為，即，，故，由，故單調(diào)遞增，即是一一對應(yīng)的函數(shù)，故和關(guān)于對稱，故，故〖答案〗為：；2四、解答題（17題10分，18-22每題12分）17.一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？解：（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法有18.設(shè)，數(shù)列滿足：（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列（要指出首項(xiàng)與公比）；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）因?yàn)?，兩邊同時加2得：，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）可知．∴．則令，則，，…，，上式相加得：所以．19.某禮品店要制作一批長方體包裝盒，材料是邊長為的正方形紙板，如圖所示，先在正方形的相鄰兩個角各切去一個邊長為的正方形，然后在余下兩角處各切去一個長、寬分別為、的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個有蓋的長方體包裝盒．（1）求包裝盒的容積V（x）關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)x為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？解：（1）因?yàn)榘b盒高，底面矩形的長為，寬為，所以包裝盒的容積為，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由（1）得，，令，即，解得或（舍），∴當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是函數(shù)的最大值，所以.即切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是20.已知等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則有，解得，；；（2），；綜上，.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）∵∴當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，即，數(shù)列是公差為2等差數(shù)列，由條件得，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，；（2）∵，則，，，，恒成立，則恒成立，令，則，，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是﹒22.已知函數(shù)．（1）若a＝1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在x＝1處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，若時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，由，有，由有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；又，所以切點(diǎn)為，切線斜率，所以切線方程，即切線方程為.（2），，設(shè)，則∵，∴，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，則，∴，故．②當(dāng)，即時，，，，即，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，∴，∴．由，令函數(shù)，且，，在上單調(diào)遞增，，∵，∴．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：．安徽省池州市貴池區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋蔄不正確；因?yàn)?，故B不正確；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)椋蔇不正確.故選：C.2.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B.2 C. D.8〖答案〗A〖解析〗.故選：A3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.40 B.45 C.80 D.90〖答案〗B〖解析〗．故選：B．4.在等比數(shù)列中,,是方程的兩個根,則等于（）A. B.C. D.以上皆不是〖答案〗C〖解析〗依題意可得，，所以，則，故選C5.、、、、等名學(xué)生進(jìn)入學(xué)校勞動技能大賽決賽，并決出第一至第五名的名次（無并列名次）.已知學(xué)生和都不是第一名也都不是最后一名，則這人最終名次的不同排列有（）A.種 B.種 C.種 D.種〖答案〗B〖解析〗先從、、名同學(xué)中選名同學(xué)分配第一名和最后一名，剩余名同學(xué)的名次無限制，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，這人最終名次的不同排列的種數(shù)為種.故選：B.6.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗，所以，設(shè)曲線在處的切線與直線平行，則，所以，切點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離即為切點(diǎn)P到直線的距離，故選：A．7.小明的弟弟喜歡玩黏土，現(xiàn)在有4種顏色的黏土，小明的弟弟想要在如圖所示圓盤（分為5個區(qū)域）上填入黏土，要求每個區(qū)域只能填入一種顏色的黏土，且相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色的黏土，則不同的填入方法共有（）A.24種 B.48種 C.72種 D.96種〖答案〗C〖解析〗由題意知，可分2種情況討論：（1）選用3種顏色時，必須是區(qū)域2、4同色，區(qū)域3、5同色與區(qū)域1全排列填入方法有：種，（2）選用4種顏色時，區(qū)域2、4同色或區(qū)域3、5同色的填入方法有：種，所以不同的填入方法有種.故選：C.8.已知函數(shù)，，是函數(shù)的極值點(diǎn)，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋髮?dǎo)，令，得令，得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)橐驗(yàn)?，求?dǎo)，令，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即是函數(shù)的極值點(diǎn)，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，得，且．因?yàn)閷θ我獾?，總存在唯一的，使得成立，?dāng)時，，所以，則，解得：．故選：A．二、多選題（每題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.記是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列說法正確的有（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是遞減數(shù)列C. D.當(dāng)時，取得最大值〖答案〗ACD〖解析〗∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，故A正確；，∵，從而，可知數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤，C正確；∵，，∴當(dāng)時，取得最大值，故D正確.故選：ACD.10.某學(xué)生想在物理?化學(xué)?生物?政治?歷史?地理?技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的是（）A.若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為B.若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為C.若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為D.若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不同時選，選法總數(shù)為20〖答案〗AB〖解析〗對于A，若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為種，故A錯誤；對于B，若物理和化學(xué)選一門，有種方法，其余兩門從剩余的5門中選2門，有種選法，若物理和化學(xué)選兩門，有種選法，剩下一門從剩余的5門中選1門，有種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，總數(shù)為種選法，故B錯誤；對于C，若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為種，故C正確；對于D，若物理和化學(xué)至少選一門，有3種情況，只選物理不選歷史，有種選法，選化學(xué)，不選物理，有種選法，物理與化學(xué)都選，不選歷史，有種選法故總數(shù)為種，故D正確.故選：AB.11.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.的前項(xiàng)和為〖答案〗ACD〖解析〗由已知，當(dāng)時，可得選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D正確.故選：ACD.12.對于定義域?yàn)镽的函數(shù)，若滿足：①；②當(dāng)，且時，都有；③當(dāng)且時，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”.下列函數(shù)是“偏對稱函數(shù)”的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗經(jīng)驗(yàn)證，，，，都滿足條件①；，或；當(dāng)且時，等價于，即條件②等價于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；A中，，，則當(dāng)時，由，得，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；B中，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，則當(dāng)時，都有，符合條件②，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由單調(diào)性知，當(dāng)時，，∴，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，“”成立，∴在，上是減函數(shù)，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；C中，由函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合條件②，∴函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有單調(diào)性知，當(dāng)時，，設(shè)，，則，在上是減函數(shù)，可得，∴，即，符合條件③，故是“偏對稱函數(shù)”；D中，，則，則是偶函數(shù)，而（），則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，的符號有正有負(fù)，不符合條件②，故不是“偏對稱函數(shù)”；故選：BC．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，其中16小題第1空2分，第2空3分）13.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則___．〖答案〗〖解析〗依題意，對兩邊求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，解得，所以.故〖答案〗為：－114.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_________〖答案〗0〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以.所以.故〖答案〗為：015.已知函數(shù)在時有極值為0，則______.〖答案〗11〖解析〗因?yàn)?，所以?/p>

所以，解得，或，當(dāng)時，，則與題意在時有極值矛盾，舍去，故，所以.故〖答案〗為：1116.設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則___________；若，分別滿足方程，則___________.〖答案〗①②2〖解析〗由題，，，由可得，的圖像的對稱中心為，即，，所以和關(guān)于對稱，故；令，同理可求的對稱中心，，，由可得，對稱中心為，即，，故，由，故單調(diào)遞增，即是一一對應(yīng)的函數(shù)，故和關(guān)于對稱，故，故〖答案〗為：；2四、解答題（17題10分，18-22每題12分）17.一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？解：（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；第二種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，總分不少于7分的取法有18.設(shè)，數(shù)列滿足：（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列（要指出首項(xiàng)與公比）；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r加2得：，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）可知．∴．則令，則，，…