2024年高考數(shù)學(xué)二輪考前演練之二次函數(shù)與冪函數(shù) (解析)

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)二輪專題考前演練

二次函數(shù)與募函數(shù)

一、選擇題

1.設(shè)函數(shù)/(%)=(}/一2皿在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則僧的取值范圍為()

A.(—8,-2]B.[-2,-1]C.[1,2]D.[2,+河

【答案】D

【解析】【解答】令t=x2-2mx,則二次函數(shù)t=x2-2mx的圖象開口向上，對稱軸為直

線x=m,

由外層函數(shù)y=6J在R上為減函數(shù)，函數(shù)/(%)=G)/一2皿在區(qū)間(1,2)上單調(diào)

遞增

則內(nèi)層函數(shù)t=x?-2mx在(1,2)上為減函數(shù)，故m之2.

故選：D.

【分析】令t=x2-2mx,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得內(nèi)層函數(shù)t=x2-2mx在(1,2)

上為減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實數(shù)m的取值范圍.

2.已知函數(shù)"%)=1咤3%2—a%+3a)在12,十叼上單調(diào)遞減，貝ija的取值范圍

()

A.(—8,4]B.(—4,4]C.[—4,4]D.(—4,+

【答案】B

【解析】【解答】解：因為函數(shù)/(%)=1翼(%2-a%+3a)在[2,+河上單調(diào)遞

減，則函數(shù)y=/一+3a在[2,+8)上單調(diào)遞增且y〉o恒成立.

即12-解得—4Va44

<22—2a+3a>0

故答案為：B

【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出y=/_+3a在[2,+“)上單調(diào)遞

1

增且y>0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等關(guān)系組即可求解.

3.已知關(guān)于％的不等式tn/—6%+3mV0在(0,2]上有解，則實數(shù)瓶的取值范圍

是()

A.(—8,遮)B.(—8,葭)C.(V3/+8)D.(葭，+8)

【答案】A

【解析】【解答】原不等式變形得m〈登

xz+3

問題轉(zhuǎn)化為m〈會在(0,2]上有解.

xz+3

設(shè)儀%)=篇=3,%6(0,2]

X

由于％+：之2百，當(dāng)且僅當(dāng)x=g時取得等號.

貝Ijg(x)max=嘉=V3

故水百，選擇A

【分析】通過參變量分離，將問題轉(zhuǎn)化為m〈登在(0,2]上有解，通過基本不

xz+3

等式求出右邊式子得最大值遮，因此水遮.

4.已知函數(shù)/(%)=[,-(@+4)“+5'"<2在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值

、(2a—3)%,x>2

范圍為()

A.(0,|2)B.[0,|2)C.(0,-7]D.[0,-7]

【答案】D

【解析】【解答】由/(%)在R上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式知:

等之2

解得。<a

2a—3<06

4-2(a+4)+5>(2a-3)x2

故答案為：D

【分析】由f(x)在R上單調(diào)遞減可知f(x)在每一段上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)

2

的一次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，求出a的取值范圍.

5.函數(shù)/(%)=1咤式一%2+2%+15)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

e

A.(—8,1)B.(-3,1)c.(1,5)D.(5,+河

【答案】B

【解析】【解答】解：對于函數(shù)/⑸=1唯(一/+2%+15),令一/+2%+15>

e

0,即(％+3)(%—5)<0,

解得—3V%V5,所以函數(shù)的定義域為(—3,5),

又了=一%2+2%+15=-(％-1)2+16在(—3,1)上單調(diào)遞增，在(1,5)上單調(diào)遞

減，

又y=1咤3在定義域上單調(diào)遞減，

e

所以"%)=loga(-%2+2%+15)的單調(diào)遞減區(qū)間為(_3,1).

故答案為：B

【分析】先求函數(shù)f(x)的定義域，由圖象求二次函數(shù)y=-％2+2%+15在區(qū)間

(-3,5)上的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則：同增異減，求原函數(shù)的單

調(diào)遞減區(qū)間.

6.已知幕函數(shù)/(%)=(m2—2m—2)%771—2的圖象經(jīng)過原點，則租=()

A.-1B.1C.3D.2

【答案】C

【解析】【解答】解：令租2—2m—2=1,解得m=—1或租=3.

當(dāng)租=一1時，/(%)=%-3的圖象不經(jīng)過原點.

當(dāng)租=3時，/(%)=%的圖象經(jīng)過原點.

故答案為：C

3

【分析】由題意得租2-2m-2=1,解得TH=-1或m=3,驗證圖象經(jīng)過原點，

即可得解.

7.已知/(%)=(}/一2ax在［1,3］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,1］B.［1,2］C.［2,3］D.［3,+河

【答案】A

【解析】【解答】令《=——2a%,則久t)=(乎，

因為/(%)在［1,3］上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

函數(shù)t=/_2a%與/(t)=的單調(diào)性相反；

又因為&t)單調(diào)遞減，

所以t=/—2a%需在［1,3］上單調(diào)遞增.

函數(shù)t=/_2a%的對稱軸為%=a,所以只需要a<1,

故答案為：A.

【分析】由已知結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解出實數(shù)a的

取值范圍.

8.已知函數(shù)/(%)=/+2依-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍

為().

A.kW—4B.k之2

C.k<-4或k>2D.k<-4或k>2

【答案】C

【解析】【解答】函數(shù)/(%)=x2+2kx-5的對稱軸為％=-k,

因為函數(shù)/(%)=為+2kx-5在［—2,4］上具有單調(diào)性,

4

所以—k>4或一々<—2,即k<—4或/c>2.

故答案為：C

【分析】先求出f(x)的對稱軸，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解出實數(shù)k

的取值范圍.

9.已知圖象開口向上的二次函數(shù)/(%),對任意%CR,都滿足/(|—%)=/(%+

|),若/(%)在區(qū)間(a,2a—1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為()

q耳3

A.(-8,-]B.(1,-]C.+8)D.(一8,2]

【答案】B

【解析】【解答】由/(|—%)=/(%+1)，得函數(shù)/(%)圖象的對稱軸是直線％=|，

又二次函數(shù)/(%)圖象開口向上，若/(%)在區(qū)間(a,2a-1)上單調(diào)遞減，

m2a-1-2,解得IVa交

故答案為：B.

【分析】求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，求解可得

實數(shù)a的取值范圍.

10.已知幕函數(shù)/(%)=(m2—租—1)爐一加在(0,+8)上單調(diào)遞減，則租=

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】【解答】由題意，幕函數(shù)/(%)=(TH?—m—l)%I-771,可得—租―1=

1,

即—m—2=0,解得m=2或TH=-1,

5

當(dāng)m=2時，函數(shù)/(%)=%-'可得函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，符合題

忌；

當(dāng)?71=-1時，函數(shù)/(%)=%2,可得函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，不符合題

U、?

故答案為：D

【分析】由題意利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得m的值.

11.已知幕函數(shù)y=/(%)的圖象經(jīng)過點(3,遮)，則1咤/(3)的值是()

11

A.--B.1C.-D.-1

33

【答案】A

【解析】【解答】/(%)=xa,則由題意和/(3)=3。=遮=31a=l,

111

.,.logi/(3)=logi33=-logi3=

3333s

故答案為：A.

【分析】設(shè)/⑶=3。求出a的值，進(jìn)而求出log/⑶的值.

12.函數(shù)y=(}--3久+2的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—8,1]B.[1,2]C.[-,+8)D.(―0°,-]

【答案】C

【解析】【解答】內(nèi)層函數(shù)〃=%2—3%+2在區(qū)間(—8,|]單調(diào)遞減，在停，+

8)單調(diào)遞增，

外層函數(shù)了=(}"為減函數(shù)，

所以函數(shù)y=G)/-3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間是[|,+8),

故答案為：C

6

【分析】先求函數(shù)的定義域，再求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由于外層函數(shù)在R上為

減函數(shù)，故內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

13.已知幕函數(shù)/(%)的圖像過點(2,8),則/(%)()

A.是奇函數(shù)，在(0,+8)上是減函數(shù)

B.是偶函數(shù),在(0,+8)上是減函數(shù)

C.是奇函數(shù)，在(-8,0)上是增函數(shù)

D.是偶函數(shù),在(-8,0)上是減函數(shù)

【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)幕函數(shù)解析式為/(%)=%%

因為幕函數(shù)/(%)的圖像過點(2,8),

.../(2)=2a=8,解得a=3,

則/(%)=

???/(%)是奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，

故答案為：C.

【分析】由幕函數(shù)/(%)的圖像過點(2,8),求出a=3,從而根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)即

可選出正確選項.

14.設(shè)aeR,若關(guān)于％的不等式%2-a%+120在14%<2上有解，則()

A.a<2B,a>2C,a<-D,a>-

【答案】C

【解析】【解答】由％2_a%+1之。在1<%<2上有解，得衛(wèi)>a在1<%<2±

X

有解，

7

則a<（9）max，由于衛(wèi)=%+工，而%+工在單調(diào)遞增,

故當(dāng)％=2時，%+白取最大值為:故a

%22

故答案為：C

【分析】由已知不等式轉(zhuǎn)化為衛(wèi)之a(chǎn)在1<％42上有解，只需a4（立l）max，然

后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，即可得答案.

15.圖中Q,。2,。3分別為幕函數(shù)y=%a］，y=%a2,y=%戊3在第一象限內(nèi)的圖

象，則劭，a2,他依次可以是（）

1111

A.3,-1B.-1,3,-C.-1,3D.-1,3

2222

【答案】D

【解析】【解答】由題圖知：的V0,0<a2<l,a3>1,

_1

所以的,“2，”3依次可以是—1,3.

故答案為：D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)y=%a在第一象限內(nèi)的圖象性質(zhì)，結(jié)合選項即可得出指數(shù)a

的可能取值.

16.幕函數(shù)y=%。，y=xb,y=xc,y=/在第一象限的圖像如圖所示，則

a,b,c,d的大小關(guān)系是（）

8

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，

在第一象限內(nèi)，％=1的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，幕指數(shù)增大，

所以由圖像得：b>c>d>a,

故答案為：D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)％=1的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至

上，幕指數(shù)增大，即可判斷.

17.已知方程％2一2炕+6。+7=0在[2,+^)上有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍

為()

A.[7,+8)B.(——1]U[7,+8)

C.(-8,—7]U[1,+8)D.(-8,—陽U[7,+8)

【答案】D

【解析】【解答】令/(%)=/一2ax+6a+7,則對稱軸為％=-率=a,

當(dāng)aV2時，/(%)在[2,+8)上為增函數(shù)，

因為方程％2-2ax+6a+7=。在[2,+“)上有實數(shù)解，

11

所以/(2)<0,即22—4a+6a+7<0,解得。工一萬，

9

當(dāng)a之2時，因為方程%2—20%+6。+7=0在［2,+“)上有實數(shù)解，

所以』=4a2-4(6a+7)>0,解得a>7或a<-1(舍去)，

-1-1

綜上a<—或a>7,

故答案為：D

【分析】令/(%)=/—2a%+6a+7,則對稱軸為％=a,然后分aV2和a之2兩

種情況討論即可.

二、填空題

18.已知函數(shù)/(%)=(m?—2租—2)%~+M+3是塞函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞

增,則實數(shù)加=.

【答案】T或3

【解析】【解答】函數(shù)/(%)=(租？—2租—2)%優(yōu)2+優(yōu)+3是幕函數(shù)，且在(0,+8)上

單調(diào)遞增，

2m

則有,加2~―?—解得m=3或m=-1.

故答案為：T或3

【分析】利用已知條件結(jié)合幕函數(shù)的定義和幕函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出實數(shù)m的

值。

19.若幕函數(shù)/(%)=(m2-5m+l)%771+］為奇函數(shù)，則該函數(shù)的表達(dá)式/(%)=

【答案】％

【解析】【解答】解：由/(%)=(m2-5m+1)%加+1為塞函數(shù)，得7712-5m+

1=1為，解得m=5或m=0,

當(dāng)m=5時，f(x)=x6,函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，不符合題意，

10

當(dāng)m=0時，f(x)=x,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，符合題意，

所以f(x)=x,

故答案為：f(x)=x.

【分析】根據(jù)給定的條件，利用幕函數(shù)與奇函數(shù)的定義，結(jié)合性質(zhì)求解作答.

20.若不等式a/>%2_%_1對％e(—8,0)恒成立，則a的取值范圍

是.

【答案】a>J

【解析】【解答】由不等式a/>%2_%_1對％￡(一8,o)恒成立，

可轉(zhuǎn)化為a>與二對％C(―8,0)恒成立，即a>(tF)max，

而=^=—3+1中々

x乙x乙xx24

當(dāng)％=—2時，—(工+：)2+[有最大值：，所以a>：,

X2444

故答案為：CZ>|.

4

【分析】由已知可轉(zhuǎn)化為a>三詈對％G(-8,。)恒成立，即a>(胃二)max，

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出a的取值范圍.

21.若函數(shù)/(%)=/—6%+2+a在區(qū)間(1,4)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】(3,7]

【解析】【解答】由題意得：/(%)=/-6%+2+a=(%-3)2+a-7為連續(xù)函

數(shù)，

且在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增，

故/⑶=a-7,/(I)=l—6+2+a=a—3,/(4)=16—24+2+a=a-

6,

ii

所以只需偌/或陪*

解得：3Va<7,

故實數(shù)a的取值范圍是(3,7］.

故答案為:(3,7］

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，求解可得實數(shù)a的取值范圍.

三、解答題

22.已知函數(shù)/(%)=/—a%+a,xE［2,4］的最小值為p(a).

(1)求9(a)的解析式；

(2)若以租+1)〉0(2m-3),求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】⑴解：函數(shù)/(%)=%2—a%+a,對稱軸為％=%

當(dāng)］<2即a<4時，函數(shù)/(%)在［2,4］上單調(diào)遞增，

所以/(%)min=/(2)=4-a,即0(a)=4-a；

當(dāng)2<^V4即4VaV8時，函數(shù)/(%)在［2,自上單調(diào)遞減，在弓，4］上單調(diào)遞

增，

22

所以/(%)min=/(7)=-9+a,即0(a)=-9+a；

當(dāng)羨之4即8時，函數(shù)/(%)在［2,4］上單調(diào)遞減，

所以f(%)min-f(4)=-3a+16,即?(a)=-3a+16,

—CL+4,a<4

——+(2?4<a<8.

(—3a+16?a28

(2)解：由(1)知，當(dāng)a<4時，0(a)=4-a,函數(shù)？(a)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)4VaV8時，0(a)=-土+a,對稱軸為a=2,函數(shù)?(a)在［4,8］上單調(diào)遞

4

12

減，

當(dāng)a>8時，(p(a)=-3a+16,函數(shù)p(a)單調(diào)遞減，

注意到9(a)是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)0(a)在R上單調(diào)遞減.

由0(zn+1)>(p(2m—3),得m+1<2m—3,解得m>4,

故實數(shù)m的取值范圍為(4,+8).

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知二次函數(shù)/(%)對稱軸為％=會分類討論當(dāng)

2、2<^<4,524時函數(shù)/(%)的單調(diào)性，求出對應(yīng)的最小值即可；

(2)由(1),結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)