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文檔簡介
2024年陜西省銅川市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的
1.(5分)(2024?銅川二模)若集合M={x|2x-1>5},N={x&N*\-l<x<5},則(CRM)
AN=()
A.(0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}
2.(5分)(2024?銅川二模)已知復(fù)數(shù)(l+2z)(z-1)=-2+i,則|z|=()
A.V2B.2C.V3D.3
3.(5分)(2024?銅川二模)從1,2,…,9這九個數(shù)字中任取兩個,這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)
的概率為()
14713
A.-B.—C.—D.—
391836
4.(5分)(2024?銅川二模)已知一個圓柱的高不變,它的體積擴(kuò)大為原來的9倍,則它的
側(cè)面積擴(kuò)大為原來的()
A.百倍B.3倍C.3百倍D.9倍
5.(5分)(2024?銅川二模)已知A,2是OC:(尤-2)2+(y-4)2=25上的兩個動點(diǎn),P
是線段48的中點(diǎn),若|AB|=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為()
A.(%-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+(y-4)2=11
C.(x-2)2+(j-4)2=16D.(尤-4)2+(y-2)2=11
6.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)
=e“,則/'(加2)=()
11
A.-2B.2C.-77D.一
22
7.(5分)(2024?銅川二模)設(shè)尸為拋物線Ci:*=2*的焦點(diǎn),點(diǎn)尸在拋物線上,點(diǎn)。在
準(zhǔn)線/上,滿足PQ〃尤軸.若|PQ=|QE|,則吐|=()
A.2B.2V3C.3D.3V3
fx+3y—2<0/
8.(5分)(2024?銅川二模)己知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件[x-2y+3W0,則z=2尤+y的
V%+y+1>0/
最大值為()
381
----C--
A.2B.3D.2
9.(5分)(2024?銅川二模)在遞增等比數(shù)列{斯}中,其前〃項(xiàng)和為S”,且6a7是。8和
的等差中項(xiàng),則含=()
A.28B.20C.18D.12
10.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/'(x)=2s出3久+芻(3〉0)且滿足了(-—X)=/
J3
(X—看),則co的最小值為()
21
A.—B.—C.1D.2
32
X2V2
n.(5分)(2024?銅川二模)已知尸1,尸2是雙曲線一一七二l(b>0)的左、右焦點(diǎn),過
4匕/
人的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,8兩點(diǎn),若△A8"為等邊三角形,則人=
()
A.V6B.2V6C.4V2D.4V6
12.(5分)(2024?銅川二模)正四棱錐P-ABCD內(nèi)有一球與各面都相切,球的直徑與邊
的比為4:5,則以與平面A3CD所成角的正切值為()
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
T—T一一
13.(5分)(2024?銅川二模)已知向量a=(t—2,3),b=(3,-1),且(a+2b)||6,
貝U向'?
14.(5分)(2024?銅川二模)已知銳角a,0滿足sina=爭,cos/3=|,則cos(a-p)
15.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/■(>)=(x—3)〃+尹2-2%+1在區(qū)間(2m-2,
3+m)上不單調(diào),則機(jī)的取值范圍是.
16.(5分)(2024?銅川二模)如圖所示是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖,途中的“小黑點(diǎn)”表
示原子,兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵,按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學(xué)鍵和原子的個數(shù)
之和為個.(用含w的代數(shù)式表示)
<B
=
>
⑴⑵
三、解答題:共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,
每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
17.(12分)(2024?銅川二模)清明節(jié),又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等,是傳統(tǒng)
的重大春祭節(jié)日,掃墓祭祀、緬懷祖先,是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進(jìn)行
流動人口統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的2
X2列聯(lián)表:
回老家不回老家總計(jì)
50周歲及以下55
50周歲以上1540
總計(jì)100
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上2X2列聯(lián)表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動人口中50周歲以
上的居民今年回老家祭祖的概率;
(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為回老家祭祖與年齡有關(guān)?
2
參考公式:K2=其中〃=
Q+h)(c+d)Q+c)(h+d)a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù):
P(蜉2依)0.1000.0500.0100.001
ko2.7063.8416.63510.828
18.(12分)(2024?銅川二模)在△A5C中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,
tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.
(1)證明:3。2+312=5〃2;
(2)若口=回,當(dāng)A取最大值時,求△ABC的面積.
19.(12分)(2024?銅川二模)如圖,在四棱錐E-ABCZ)中.側(cè)面底面ABC。,△
ABE為等邊三角形,四邊形A8C£>為正方形,且48=2.
(1)若尸為的中點(diǎn),證明:ABLEF-,
(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離.
20.(12分)(2024?銅川二模)己知橢圓C;今+/=l(a>6>0)的離心率為當(dāng)直線x=
ky+b經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)為,且與橢圓交于點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸2,求的內(nèi)切圓的半徑最大時上的值.
1
21.(12分)(2024?銅川二模)已知m>0,函數(shù)/(x)=mxlnx滿足對任意%〉0,--</(%)<
x2—久恒成立.
(1)當(dāng)m=1時,求/(%)的極值;
(2)求m的值.
(二)選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一
題計(jì)分.(本小題滿分10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.(10分)(2024?銅川二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為
\x=l+cosa,(觀為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,
(y=sina
曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=-2sin0.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線百久+y=0與曲線Ci,C2分別交于A,B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),求線段AB
的長度.
[選修4-5:不等式選講]
23.(2024?銅川二模)已知a>0,b>0,函數(shù)<(x)=|x+a|+|x-"的最小值為2,證明:
(1)3次+貶》3;
41
(2)——+->3.
a+1b
2024年陜西省銅川市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)
參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的
1.(5分)(2024?銅川二模)若集合M={x|2x-1>5},N={xeN*|-則(CRM)
CN=()
A.{0,1,2,3}B.{1,2,3)C.{0,1,2}D.{1,2}
【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;集合;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】B
【分析】由題知,對集合N進(jìn)行轉(zhuǎn)化,根據(jù)補(bǔ)集的概念求出CRM,結(jié)合交集的運(yùn)算
求出(CRM)AN.
【解答】解:由題意知Af={x|2x-1>5}={小>3},?/={x6N*|-1<%<5}={1,2,3,
4},
所以CRM={X|尤W3},(CRM)AN={1,2,3).
故選:B.
【點(diǎn)評】本題主要考查補(bǔ)集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.(5分)(2024?銅川二模)已知復(fù)數(shù)(1+2力(z-1)=-2+i,則|z|=()
A.V2B.2C.V3D.3
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù);數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù),再利用復(fù)數(shù)模的公式,即可求解.
r癡;幺;1Aw—2+i.(—2+i)(l—2i).5i...
【斛答】解:z=1=(1+20(1-20+1=y+1=1+i-
則|z|=應(yīng).
故選:A.
【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式,屬于基礎(chǔ)題.
3.(5分)(2024?銅川二模)從1,2,…,9這九個數(shù)字中任取兩個,這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)
的概率為()
【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì);排列組合;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】c
【分析】直接利用列舉法和組合數(shù)求出概率的值.
【解答】解:從1,2,…,9這九個數(shù)字中任取兩個,這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的有(1,2),
(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,9),(3,4),(3,8),(4,7),(4,9),(5,
6),(5,8),(6,7),(8,9)一共14個,
故和為質(zhì)數(shù)率P=與=芫=焉.
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn):組合數(shù),概率的值,主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能
力,屬于基礎(chǔ)題.
4.(5分)(2024?銅川二模)已知一個圓柱的高不變,它的體積擴(kuò)大為原來的9倍,則它的
側(cè)面積擴(kuò)大為原來的()
A.遍倍B.3倍C.3百倍D.9倍
【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積;旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).
【專題】計(jì)算題;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;立體幾何;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】B
【分析】根據(jù)題意,設(shè)圓柱的高為心底面半徑為廠,由圓柱的體積和表面積公式分析可
得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,設(shè)圓柱的高為人,底面半徑為r,則體積為
若其體積擴(kuò)大為原來的9倍,則擴(kuò)大后的體積為『=9dh,
因?yàn)楦卟蛔?,故體積(3r)2h,即底面半徑擴(kuò)大為原來的3倍,
原來側(cè)面積為S=2mV7,擴(kuò)大后的圓柱側(cè)面積為S'=2n?3〃7=6m7z,故側(cè)面積擴(kuò)大為原
來的3倍.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查圓柱的體積和表面積計(jì)算,涉及圓柱的結(jié)構(gòu)特征,屬于基礎(chǔ)題.
5.(5分)(2024?銅川二模)已知A,8是(DC:(x-2)2+(j-4)2=25上的兩個動點(diǎn),P
是線段AB的中點(diǎn),若|A8|=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為()
A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(X-2)2+(j-4)2=11
C.(x-2)2+Cy-4)2=16D.(尤-4)2+(y-2)2=11
【考點(diǎn)】軌跡方程.
【專題】計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;直線與圓;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】C
【分析】利用已知條件推出|PC|的距離是定值,推出軌跡方程.
【解答】解:A,8是(DC:(%-2)2+(y-4)?=25上的兩個動點(diǎn),尸是線段的中點(diǎn),
\AB\=6,圓的直徑為10,所以圓的半徑為5,
可得|PC|=V25-9=4,
所以點(diǎn)尸的軌跡方程為(x-2)2+(j-4)2=16.
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法,是基礎(chǔ)題.
6.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)
=e*,則/(勿2)=()
11
A.-2B.2C.-77D.—
22
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.
【專題】整體思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】c
【分析】由己知結(jié)合奇函數(shù)的定義及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式即可求解.
【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù),
所以/(-x)=-/(尤)恒成立,
因?yàn)橛?lt;0時,f(x)=",
所以/'(仇2)=-/(-Zn2)=-e-ln2=
故選:C.
【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
7.(5分)(2024?銅川二模)設(shè)尸為拋物線G:*=2%的焦點(diǎn),點(diǎn)尸在拋物線上,點(diǎn)。在
準(zhǔn)線/上,滿足尸。〃x軸.若|PQ|=|QF|,則|PF|=()
A.2B.2A/3C.3D.3V3
【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】A
【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質(zhì)可得到△P。/為等邊三角形,進(jìn)而即可求得IPFI的
值.
【解答】解:依題意有|PQ=|。尸|=|尸尸|,則尸為等邊三角形,
又PQ〃x軸,所以|尸目=|尸。|=4|。同=2.
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.
x+3y-2<0,
x-2y+3<0,貝Iz=2x+y的
(x+y+1>0,
最大值為()
381
----C--
A.2B.3D.2
【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.
【專題】數(shù)形結(jié)合;數(shù)形結(jié)合法;不等式的解法及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】C
【分析】由約束條件可作出可行域,將問題轉(zhuǎn)化為y=-2x+z在y軸截距最大的問題,
采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.
【解答】解:由約束條件可得可行域如下圖所示,
>
X
當(dāng)z=2x+y取得最大值時,y=-2x+z在y軸上的截距最大,
由圖象可知:當(dāng)y=-2x+z過B時,直線在y軸上的截距最大.
.—2y+3=0
由《八,
(%+I3y—2O=0
解得8(-1,1),:.Zmax=-2+1=-1.
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合思想,是基礎(chǔ)題.
9.(5分)(2024?銅川二模)在遞增等比數(shù)列{金}中,其前〃項(xiàng)和為品,且6a7是。8和。9
的等差中項(xiàng),則0=()
A.28B.20C.18D.12
【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合;等比數(shù)列的性質(zhì).
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;等差數(shù)列與等比數(shù)列;邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】A
【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出q,再由等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式代入化簡,即可得
出答案.
【解答】解:由題意得12a7=。8+。9,12=q+/,解得q=3或q=-4(舍),
ai(i-q6)6
則的=—;勺界=—4=1+q'=1+3,=28.
S3ai(i_q3)1_q3”
i-q
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合,考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想,考查邏輯推
理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
10.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)f(x)=2s譏(3久+芻3>0)且滿足了(一一x)=/
33
(x-著),則O)的最小值為()
21
A.—B.—C.1D.2
32
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.
【專題】對應(yīng)思想;定義法;三角函數(shù)的圖象與性質(zhì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】A
【分析】由S=4itR2=i27t可得函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于久=,對稱,由正弦型函數(shù)的對稱
性列方程求3的最小值.
【解答】解:由已知可得函數(shù)f(x)=2s譏(3久+軟3>0)且滿足y(w-x)=/(x-^),
即f?—x)=
所以/(尤)關(guān)于%=今對稱,
9
所以3=4k+可,又3>0,
2
所以女=o時,3取最小值為3
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的圖象,屬于中檔題.
工2y2
11.(5分)(2024?銅川二模)已知為,/2是雙曲線——三=l(b>0)的左、右焦點(diǎn),過
4
后的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若△48^2為等邊三角形,則匕=
()
A.V6B.2V6C.4A/2D.4V6
【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì),余弦定理,化歸轉(zhuǎn)化,即可求解.
【解答】解:???△A8F2為等邊三角形,
:.\AB\=\AF2\=\BF2\,
.".|AFI|=|BFI|-\BFi\=2a=4,|AF2|=|AFi|+2a=8,,@.ZF1AF2=120°,
1
22
由余弦定理可得:4c==\AFr\+\AF2^-2\AFr\\AF2\x
=16+64+32=112,
Ac2=28,
.'.b2=c2-CZ2=24,
b=2A/6.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),余弦定理的應(yīng)用,化歸轉(zhuǎn)化思想,屬中檔題.
12.(5分)(2024?銅川二模)正四棱錐P-ABCD內(nèi)有一球與各面都相切,球的直徑與邊
AB的比為4:5,則B4與平面ABC。所成角的正切值為()
【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.
【專題】對應(yīng)思想;定義法;球;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】D
【分析】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)得出球心的位置,進(jìn)而構(gòu)造相似三角形,根據(jù)相似三角形得
出球的半徑,以及四棱錐的高,即可得出答案.
【解答】解:根據(jù)正棱錐的性質(zhì),易知球心在正棱錐的高線上,
設(shè)球心為O,P在平面ABCD內(nèi)的射影為H,PH=h,
1
取M■為中點(diǎn),貝且
作0E1.PM于E,設(shè)球的半徑為r,
則力B=|r,HM=1r,PM=<PH2+HM2=Jh2+(1r)2,OE=OH=r.
因?yàn)?E1.PM,
所以APOEsAPMH,
?,OPOE
所以嬴=俞’
即1九一r二I整理可得〃=等.
*2+(%)2丁
連接AH,則4"=*AB=學(xué),
匚口、I,/n”h2/2h2072
所以tCm/P4”==—g—?—=一g一.
因?yàn)镻HL平面ABCD,所以/B4”即為直線PA與平面ABCD所成的角,
20A/2
所以,E4與平面48CD所成角的正切值為----.
【點(diǎn)評】本題考查通過正棱錐的性質(zhì)得出球心的位置以及棱錐的高,并進(jìn)行球的相關(guān)計(jì)
算,屬于中檔題.
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
T—T——
13.(5分)(2024?銅川二模)已知向量a=(t-2,3),1=(3,-1),且(a+2b)||b,
則鬲=3V10.
【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;平面向量及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,得到,=-7,再利用模的坐標(biāo)公式求而
T—TT
【解答】解:已知向量a=(t—2,3),b=(3,-1),a+26=(t+4,1),
V(a+2b)||b,
-(f+4)=3,解得f=-7,
:.a=(-9,3),|a|=3"U.
故答案為:3A/T5.
【點(diǎn)評】本題主要考查向量平行的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
14.(5分)(2024?銅川二模)已知銳角a,P滿足s譏cos/3=則cos(a-P)
_2^5
-
【考點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù).
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的求值;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
2V5
【答案】
5,
【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可求解.
【解答】解:由sina=。,cosp=1,a,0均為銳角,得cosa=:^,sinp=1,
milzn\2-/53A42-/5
則cos(a—/?)=5x耳+/5x耳=5?
故答案為:—
【點(diǎn)評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
15.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/■(>)=。-3)靖+*/一2%+1在區(qū)間(2m-2,
3+:w)上不單調(diào),則”的取值范圍是(7,2).
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(2m-2,3+m)內(nèi)有零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可求.
【解答】解:由題意知了'(無)—(x_3)e^+e^+x-2—("+1)(%-2),
因?yàn)榱耍o)在區(qū)間(2m-2,3+m)上不單調(diào),
即尸/(X)在區(qū)間(2/7?-2,3+772)有零點(diǎn),
又,+1>0,即為y=x-2的零點(diǎn)x=2在區(qū)間(2m-2,3+m)內(nèi),
2徵_2<72
'解得-1<加<2,即根的取值范圍是(-1,2).
{3+m>2,
故答案為:(-1,2).
【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.
16.(5分)(2024?銅川二模)如圖所示是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖,途中的“小黑點(diǎn)”表
示原子,兩黑點(diǎn)間的“短線”表示化學(xué)鍵,按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學(xué)鍵和原子的個數(shù)
之和為9〃+3個.(用含”的代數(shù)式表示)
(1)(2)(3)(n)
【考點(diǎn)】歸納推理.
【專題】整體思想;綜合法;推理和證明;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】從圖(1)、圖(2)、圖(3)、…的個數(shù)之和找到對應(yīng)的數(shù)字規(guī)律.
【解答】解:由圖,第1個圖中有6個化學(xué)鍵和6個原子,
第2個圖中有11個化學(xué)鍵和10個原子,
第3個圖中有16個化學(xué)鍵和14個原子,
觀察可得,后一個圖比前一個圖多5個化學(xué)鍵和4個原子,
則第n個圖有6+5(?-1)=5n+l個化學(xué)鍵和4?+2個原子,
所以總數(shù)為9”+3.
故答案為:9w+3.
【點(diǎn)評】本題主要考查了歸納推理,屬于基礎(chǔ)題.
三、解答題:共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,
每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
17.(12分)(2024?銅川二模)清明節(jié),又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等,是傳統(tǒng)
的重大春祭節(jié)日,掃墓祭祀、緬懷祖先,是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進(jìn)行
流動人口統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的2
X2列聯(lián)表:
回老家不回老家總計(jì)
50周歲及以下55
50周歲以上1540
總計(jì)100
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上2X2列聯(lián)表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動人口中50周歲以
上的居民今年回老家祭祖的概率;
(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為回老家祭祖與年齡有關(guān)?
2
參考公式.K2=--------n(ad-bc)------苴中
2麥么隊(duì).A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),火什"a+o+c+a.
參考數(shù)據(jù):
P(片Nko)0.1000.0500.0100.001
ko2.7063.8416.63510.828
【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).
【專題】整體思想;綜合法;概率與統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)補(bǔ)全列聯(lián)表后,由古典概型概率公式計(jì)算概率;
(2)計(jì)算出K?后可得結(jié)論.
【解答】解:(1)補(bǔ)全表格如下:
回老家不回老家總計(jì)
50周歲及以下55560
50周歲以上152540
總計(jì)2080100
153
該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為一=-;
408
7
()2—100x(5x25-15x55)"—1225
⑵-K-20x80x60x40—96~12,760>10,828,
二.有99.9%的把握認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān).
【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率公式,考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
18.(12分)(2024?銅川二模)在△A8C中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,
tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.
(1)證明:3c2+3廿=5/;
(2)若。=,正,當(dāng)4取最大值時,求AABC的面積.
【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算;正弦定理;余弦定理.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;解三角形;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理得sin2A=3sinBsinCcosA,再利用正、余弦
定理邊化角分析運(yùn)算;
(2)利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得A取最大值時,b=c,cosA=進(jìn)而可求三角
形的面積.
【解答】解:(1)證明:?.,tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC,
sinAsinBsinCsinBsinC
:.------(-------+——)=3x--------------,
cosAcosBcosCcosBcosC
sinA(sinBcosC+cosBsinC)=3sinBsinCcosA,
sin(B+C)sinA=3sinBsinCcosA,
又sin(B+C)=sinA,sin2A=3sinBsinCcosA,
由正弦定理可得a2=3bccosA,
由余弦定理可得a?=3bccosA=(-&2+c2-a2),
整理得3b2+3c2=5a2.
(2)由(1)可得:3b2+3c2=5a2,即小=,(爐+。2),
b2+c2—a2
則cos/=
2bc
當(dāng)且僅當(dāng)>3即-,4取最大值,
此時3房+3(?2=6廿=5〃2=75,貝傷2=—,
*.*cosA=耳>0,則Ze(0,引,可得sinA=
故S3ibcsinA用爐x%J*孕x警=學(xué)
乙乙J乙乙JT*
【點(diǎn)評】本題考查解三角形問題,正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,化歸轉(zhuǎn)化思想,屬中檔
題.
19.(12分)(2024?銅川二模)如圖,在四棱錐E-ABC。中.側(cè)面底面ABC。,△
A3E為等邊三角形,四邊形ABC。為正方形,且AB=2.
(1)若b為C。的中點(diǎn),證明:ABLEF-,
(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離.
E
【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間位置關(guān)系與距離;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】(1)證明過程請見解答;(2)第.
【分析】(1)取AB的中點(diǎn)AL連接EM,MF,可證ABIMF,由線面垂直的
判定定理與性質(zhì)定理,即可得證;
(2)連接BZ),利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面A8CD,再由VB-CDE^VE-BCD,
即可得解.
【解答】(1)證明:取A3的中點(diǎn)連接EM,MF,
:△ABE為等邊三角形,:.EM±AB,
:四邊形ABC。為正方形,:.AD±AB,且AO〃MR
:.AB±MF,
又MECMF=M,ME,MFu平面MEE
,A8_L平面MEF,
:EFu平面MEF,C.ABLEF.
(2)解:連接8。,
VfMffiABCD,ABECtABCD=AB,EMu平面ABE,EMLAB,
平面ABC。,
■■VE-BCD=制BCD-EM=|x|x2x2xV3=^,
_____________1
22
EF=<EM+MF=VT+4=巾,ShCDE=jCD-£F=V7,
設(shè)B到平面CDE的距離為h,
?;VB-CDE=VEBCD,
.1ch2^32V21
---S&CDE-h=―,解侍力=
故B到平面CDE的距離為亞祖.
7
【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用,熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,面
面垂直的性質(zhì)定理,等體積法是解題的關(guān)鍵,考查空間立體感,邏輯推理能力和運(yùn)算能
力,屬于中檔題.
20.(12分)(2024?銅川二模)已知橢圓C;今+,=l(a>6>0)的離心率為當(dāng)直線%=
3+舊經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)為,且與橢圓交于點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸2,求△尸2X3的內(nèi)切圓的半徑最大時上的值.
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;橢圓的性質(zhì).
【專題】方程思想;綜合法;圓錐曲線中的最值與范圍問題;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
%2
【答案】(1)—+y2=1;(2)±V2.
4
【分析】(1)依題意求出a,b,c的值,即可求出橢圓方程;
(2)設(shè)△/2AB的內(nèi)切圓半徑為廣,表示出△尸2AB的面積,由等面積法,表示出廠,結(jié)合
韋達(dá)定理,由基本不等式即可求出r的最大值及k的值.
【解答】解:(1)由題意知右焦點(diǎn)&(8,0),/.c=V3.
Ve=搟=孚,貝!1a=2,b=\.
2
,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x丁+y2=1;
(2)設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,
AF2AB的周長=尸2川+下2司+|AB|=|AFi|+|AF2|+|BFI|+|BF2|=8,
SAFZ^B=2.8,r=4r,.,.r-SAF2AB.
.,.△/MB的面積最大時,其內(nèi)切圓半徑最大.
設(shè)A(xi,yi),B(%2,y2),
x=fcy+V3_
聯(lián)立,消去X得(1+4)y2+2百灼7一1=0,
(w+V=i
A=12必+4(正+4)=16合+16>0恒成立,
?■S^AB=jlfi^21,l7i-yl=BJCXi+%)2—4月火=4:]:]
2
令t=7k2+1,則話=F-1.
?C_4V3t_4V3W3_
??5"2的=市=講《云耳二乙9
當(dāng)且僅當(dāng)t=*即t=b時等號成立,此時k=±&.
【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的方程及性質(zhì),考查了直線與橢圓的綜合,考查了方程思想,
屬于中檔題.
1
21.(12分)(2024?銅川二模)已知m>0,函數(shù)/(x)—mxlnx滿足對任意x〉0,--</(%)<
x2一%恒成立.
(1)當(dāng)機(jī)=1時,求/(x)的極值;
(2)求機(jī)的值.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】⑴/⑴極小值為解)=—,無極大值;
(2)1.
【分析】(1)將m=1代入/(x)中,判斷了(x)的單調(diào)性,再求出了(x)的極值;
(2)根據(jù)對任意%>0,-}W/(%)W/-”恒成立,分兩個部分求解即可.
【解答】解:(1)當(dāng)相=1時,/(x)=xlnx,則,(x)=lnx+\,x>0,
由/(x)>0,得久+00),由/(九)<0,得xe(0,-),
.?.73)在9,+8)上單調(diào)遞增,(0,》上單調(diào)遞減,
?V(X)極小值為熊)=—,無極大值;
(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),由/(%)=mxlnx,得,(x)=m(1+Znx).
則/(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增,(0,》上單調(diào)遞減,/(%)》/(3=—£.
又,**對任意%>0,f(%)>——>————,*,?m41.
又/(x)-x等價于minx-x+l<0.
設(shè)函數(shù)g(%)=minx—x+1,g7(%)=£—1=7nx
???g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增,(m,+°°)上單調(diào)遞減,
?'?g(x)《g(m)=mlnm-m+1.
i
?對任意x>0,g(x)40,'.mlnm-m+l<0,Inm+—<1.
設(shè)/(TH)=Inm+熱則//(m)=
當(dāng)機(jī)(1時,h'(m)<0,:.h(m)>/z(1)=1.
?,?只能有根=1,即m的值為1.
綜上,機(jī)的值為1.
【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用不等式恒成立求參數(shù)的值,
考查了轉(zhuǎn)化思想,屬難題.
(二)選考題:共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一
題計(jì)分.(本小題滿分10分)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.(10分)(2024?銅川二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為
L=1+cosa,(觀為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,
(y=sina
曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=-2sin0.
(1)求曲線Q的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線I;舊尤+,=0與曲線口,C2分別交于A,B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),求線段A2
的長度.
【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法;坐標(biāo)系和參數(shù)方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】(1)將曲線G的參數(shù)方程化為普通方程,進(jìn)而化為極坐標(biāo)方程即可;
(2)直線Z;gx+y=0過原點(diǎn),所以化為極坐標(biāo)方程后與曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程聯(lián)
立,利用p的幾何意義求解即可.
【解答】解:⑴曲線Cl:*=l+cosa,(a為參數(shù)),消去參數(shù)得(x-1)2+y2=l,
[y=sina
將卜=pcos?!?,得曲線Cl的極坐標(biāo)方程為p=2cose,
(y—psind
由p=-2sin0得p2=-2psin0,
-2yf
,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為7+(y+1)2=1;
(2)易知直線/的極坐標(biāo)方程為8=代入曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程得pi=l,P2=回
\AB\=|pi-p2l=V3-1.
【點(diǎn)評】本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
[選修4-5:不等式選講]
23.(2024?銅川二模)已知a>0,b>0,函數(shù)<(x)=|尤+a|+|x-用的最小值為2,證明:
(1)3flW^3;
41
(2)——+->3.
a+1b
【考點(diǎn)】不等式的證明.
【專題】整體思想;綜合法;不等式的解法及應(yīng)用;數(shù)學(xué)運(yùn)算.
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】(1)根據(jù)絕對值的三角不等式,得到了(%)的最小值為4+6=2,進(jìn)而化簡得到
3次+后=4/_4〃+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解;
4114ba+1
(2)由(1)得到〃+1+/?=3,化簡---+-=-(5+-------+—「),結(jié)合基本不等式,
a+1b3a+1b
即可求解.
【解答】證明:(1)由于〃>0,b>0,則/(%)=\x+a\+\x-b\^\a+b\=a+b,
當(dāng)且僅當(dāng)-九WZ?取等號,故/(x)=|x
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