專題10 易錯易混集訓(xùn)：勾股定理（解析版）

專題10易錯易混集訓(xùn)：勾股定理易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式典型例題典型例題易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解例題：（2022·湖北·恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級階段練習(xí)）若一個直角三角形的兩邊長為3和4，則它第三邊的長為______．【答案】或5【分析】分邊長為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)邊長為5的邊是斜邊時，則第三邊長為；（2）當(dāng)邊長為5的邊是直角邊時，則第三邊長為；綜上，第三邊長為或5，故答案為：或5．【點睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·東莞市南城陽光實驗中學(xué)八年級期中）直角三角形的兩邊長分別為3和2，則第三邊長為_____．【答案】或【分析】分3是直角邊和斜邊兩種情況討論求解．【詳解】解：當(dāng)3是直角邊時，第三邊長為：，當(dāng)3是斜邊時，第三邊長為：，所以，第三邊長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，注意要分情況討論．2．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如果一個直角三角形的兩條邊長分別為8和15，那么這個三角形的第三邊長為______．【答案】17或【分析】分兩種情況：當(dāng)8和15都是直角邊時；當(dāng)15是斜邊長時；分別利用勾股定理計算出第三邊長即可．【詳解】解：當(dāng)8和15都是直角邊時，第三邊長為：，當(dāng)15是斜邊長時，第三邊長為：．故答案為：或【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．3．（2022·云南·彌勒市長君實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，那么以，為邊長的直角三角形的第三邊長為_______．【答案】4或【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性求出，再分①長為3和5的邊均為直角邊，②長為5的邊為斜邊兩種情況，利用勾股定理即可得．【詳解】解：，且，，解得，①當(dāng)長為3和5的邊均為直角邊時，則這個直角三角形的第三邊長為；②當(dāng)長為5的邊為斜邊時，則這個直角三角形的第三邊長為；故答案為：4或．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性、勾股定理，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．4．（2022·安徽·合肥市西苑中學(xué)八年級期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足，則該直角三角形的第三邊為______．【答案】5或##或5【解析】【分析】由非負(fù)性的性質(zhì)可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長．【詳解】∵，，且，∴，，解得：x=3，y=4．當(dāng)x=3，y=4為直角三角形的兩直角邊時，由勾股定理得第三邊為：；當(dāng)x=3為一直角邊，y=4為斜邊時，由勾股定理得第三邊為：．故答案為：5或．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及兩個非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零的性質(zhì)，注意求得的兩邊無法確定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類討論．5．（2020·四川成都·八年級階段練習(xí)）如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的“勾股分割點”．已知點M，N是線段AB的“勾股分割點”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長為______．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當(dāng)為直角邊時，當(dāng)為斜邊時，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當(dāng)為直角邊時，當(dāng)為斜邊時，則為直角邊，故答案為：或【點睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類討論是解本題的關(guān)鍵.6．（2022·河南·鄭州市二七區(qū)侯寨一中八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點始終落在邊AC上，若△MC為直角三角形，則BM的長為____________【答案】+或1【分析】①如圖1，當(dāng)∠MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，于是得到結(jié)論；②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)∠MC=90°，與A重合，M是BC的中點，∴BM=BC=+；②如圖2，當(dāng)∠MC=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CM是等腰直角三角形，∴CM=M，∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應(yīng)點，∴BM=M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，綜上所述，若△MC為直角三角形，則BM的長為+或1，故答案為：+或1．

【點睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南·鄭州楓楊外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜邊AB上一個動點，E是直線BC上的一個動點，將△ABC沿DE折疊，使點B的對應(yīng)點F落在直線AB上，連接CF，當(dāng)△CEF是直角三角形時，線段BD的長為_____．【答案】或5【分析】分兩種情況討論：當(dāng)∠CFE＝90°時，過點C作CM⊥AB于點M，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，由直角三角形兩銳角互余易得FC=AC=6，則M為AF的中點，由面積相等可求得CM的長，再由勾股定理可求得MF的長，則可求得BF的長，從而可得BD的長；當(dāng)∠ECF＝90°時，此時點F落在點A，則BD＝AB＝5．【詳解】解：①當(dāng)∠CFE＝90°時，過點F作CM⊥AB于點M，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，∵CM⊥AB，∴；∵，∴，在Rt△CFM中，由勾股定理得：，∴，∴，∴；②當(dāng)∠ECF＝90°時，點F落在點A，則BD＝AB＝5；綜上，線段BD的長為或5．故答案為：或5．【點睛】本題主要考查翻折變換（折疊問題）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性質(zhì)和直角三角形銳角互余得到FC=AC，是解答本題的關(guān)鍵．注意等積思想的應(yīng)用．易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解例題：（2021·北京市魯迅中學(xué)八年級期中）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，則BC=___________．【答案】7或25【解析】【分析】已知三角形兩邊的長和第三邊的高，未明確這個三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情況討論，即∠ABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD=在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得：DC=∴BC的長為BD+DC=9+16=25．②如圖2，同理得：BD=9，DC=16，∴BC=CD-BD=7．綜上所述，BC的長為25或7．故答案為：25或7．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長．當(dāng)已知條件中沒有明確角的大小時，要注意討論．【變式訓(xùn)練】1．（2021·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長為________________．【答案】32或42##42或32【解析】【分析】作出圖形，利用勾股定理列式求出、，再分在內(nèi)部和外部兩種情況求出，然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可．【詳解】解：，，邊上的高，，，如圖1，在內(nèi)部時，，此時，的周長，如圖2，在外部時，，此時，的周長，綜上所述，的周長為32或42．故答案為：32或42．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出的長，作出圖形更形象直觀．2．（2022·山西·孝義市第六中學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC邊上的高AD＝4，則BC＝__________．【答案】或【分析】根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC為鈍角三角形；利用勾股定理，分別求出答案即可．【詳解】解：分兩種情況考慮：如圖1所示，此時△ABC為銳角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：，此時；如圖2所示，此時△ABC為鈍角三角形，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：；在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：，此時．綜上，BC的長為或．故答案為：或．

圖1

圖2【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理進(jìn)行計算，會運用分類討論的思想進(jìn)行分析．3．（2022·北京·101中學(xué)八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長為__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·宿城第一初級中學(xué)七年級期末）在中，，，，點是的中點，點從點出發(fā)，沿線段以每秒的速度運動到．當(dāng)點的運動時間______秒時，的面積為．【答案】或【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)得到，再由三角形的面積公式推出，結(jié)合圖形可以分點在點左側(cè)和點在點右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論，由線段之間的和差關(guān)系及行程問題公式時間路程速度進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵點是的中點，∴，又，即，解得，當(dāng)點在點左側(cè)時，，則，此時點的運動時間秒．當(dāng)點在點右側(cè)時，，則，此時點的運動時間秒，綜上，點的運動時間為或秒．故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是求得長度后結(jié)合圖形分情況進(jìn)行討論點在點左側(cè)和點在點右側(cè)．易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解例題：（2022·浙江紹興·二模）在△ABC中，AC＝4，BC＝2，AB=2，以AB為邊在△ABC外作等腰直角△ABD，連接CD，則CD=_____．【答案】2或或【解析】【分析】分三種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【詳解】解：如圖1，∠ABD=90°，∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，延長CB，過點D作DE⊥CB于點E，∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD，在△ACB與△BED中，，∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖2，∠BAD=90°，過點D作DE⊥CA，垂足為點E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，∵△ABD為等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE，在△ACB與△DEA中，，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根據(jù)勾股定理得：；如圖3，∠ADB=90°，過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，在△AFD和△DEB中，，∴△AFD≌△DEB（AAS），∴AF=DE，DF=BE，∴2+DF+BE=4，∴DF=BE=1，∴CE=DE=3，∴．綜合以上可得CD的長為2或或．故答案為2或或．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·遼寧·沈陽市第一三四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)△ABP為等腰三角形時，t的取值為_____．【答案】5或8或【解析】【分析】當(dāng)△ABP為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時；②當(dāng)AB＝AP時；③當(dāng)BP＝AP時，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．【詳解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；①當(dāng)AB＝BP時，如圖1，t＝5；②當(dāng)AB＝AP時，如圖2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③當(dāng)BP＝AP時，如圖3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時，t＝5或t＝8或t＝．故答案為：5或t＝8或t＝．【點睛】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．2．（2022·湖北武漢·八年級階段練習(xí)）Rt△ABC中，直角邊AC＝8，斜邊AB＝17，在直線AC上取一點D，使△ABD為等腰三角形，則該等腰三角形的周長為_____．【答案】50或34+3或34+5或【分析】分三種情況討論：①如圖1，當(dāng)AB＝BD＝17時；②如圖2，當(dāng)AB＝AD＝17時；③如圖3，當(dāng)AB為底時，AD＝BD．【詳解】解：在Rt△ABC中，BC，①如圖，圖1當(dāng)AB＝BD＝17時，CD＝CA＝8時，AD＝16，∴△ABD的周長為17×2+16＝50；②如圖，圖2當(dāng)AB＝AD＝17時，得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，在Rt△BCD中，或，∴△ABD的周長為或．③如圖，圖3當(dāng)AB為底時，設(shè)AD＝BD＝x，則CD＝x﹣8，在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，即x2＝（x﹣8）2+152，解得：，∴△ABD的周長為．綜上，△ABD的周長為50或34+3或34+5或．故答案為：50或34+3或34+5或．【點睛】本題考查了等腰三角形的存在性問題，分類討論思想是本題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧朝陽·中考真題）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長為_____．【答案】3或．【分析】分兩種情況，先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，點在的右邊，與都是等邊三角形，，，，，即．在和中，，，，，，，等邊三角形的邊長為3，如圖，點在的左邊，同上，，，，，過點作交的延長線于點，則，，，，在中，，，，或（舍去），，等邊三角形的邊長為，故答案為：3或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式例題：（2021·新疆伊犁·八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是12cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是___________cm．【答案】【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，由勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖如圖如圖它所行的最短路線的長為：故答案為：．【點睛】本題考查平面展開圖—最短路徑問題，是重要考點，掌握分類討論法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東梅州·八年級期末）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走_(dá)_______的路程．【答案】26m【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可．【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MN，原圖長度增加4米，則AB=20+4=24(m)，連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB=24m，寬AD=10m，∴AC==26(m)，∴螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程．故答案為：26m．【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·武平縣實驗中學(xué)八年級期中）如圖1，圓柱形容器高為6cm，底面周長為6cm，在杯內(nèi)壁離杯底2cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為_____．【答案】【分析】將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知B的長度即為所求．【詳解】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點，連接A′B，則A′B即為最短距離，．答：螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離是cm．故答案為：．【點睛】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．3．（2022·廣東韶關(guān)實驗中學(xué)八年級期中）如圖，長方體的長，寬，高，點在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是_________．【答案】25【分析】首先將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM；或?qū)㈤L方體沿CH、GD、GH剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一個平面內(nèi)，連接AM，或?qū)㈤L方體沿AB、AF、EF剪開，向下翻折，使面CBEH和下面在同一個平面內(nèi)，連接AM，然后分別在Rt△ADM與Rt△ABM與Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的長，比較大小即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】解：將長方體沿CH、HE、BE剪開，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一個平面內(nèi)，連接AM，如圖1，由題意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，在Rt△ADM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm；將長方體沿CH、GD、GH剪開，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一個平面內(nèi)，連接AM，如圖2，由題意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm,連接AM，如圖3，由題意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AM=cm,∵，則需要爬行的最短距離是25．【點睛】此題考查了最短路徑