（人教A版）2024年高中數(shù)學(xué)高一暑假講義+練習(xí)01《集合的概念》(原卷版)

暑假講義.1集合的概念第1課時集合的含義學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.通過實例了解集合的含義．(難點)2．掌握集合中元素的三個特性．(重點)3．體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用．(重點、易混點)1.通過集合概念的學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助集合中元素的互異性的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．元素與集合的相關(guān)概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的．(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性．思考：(1)某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個集合？提示：(1)某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因為“帥哥”沒有明確的標準．(2)某班身高高于175厘米的男生能構(gòu)成一個集合，因為標準確定．2．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.3．常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR1．下列給出的對象中，能構(gòu)成集合的是()A．一切很大的數(shù)B．好心人C．漂亮的小女孩D．清華大學(xué)2019年入學(xué)的全體學(xué)生2．用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個數(shù)為()A．1B．2C．3D．43．用“∈”或“?”填空：eq\f(1,2)________N；－3________Z；eq\r(2)________Q；0________N*；eq\r(5)________R.4．已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數(shù)a＝________.集合的基本概念【例1】考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是()①中國各地最美的鄉(xiāng)村；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的自然數(shù)；④2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④判斷一組對象能否組成集合的標準判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.1．判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)大于3小于5的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合；(2)直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點組成一個集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解組成的集合有3個元素．元素與集合的關(guān)系【例2】(1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()①π∈R；②eq\r(2)?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A含有三個元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，那么a為()A．2B．2或4C．4D．0判斷元素與集合關(guān)系的2種方法1直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.2推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．集合中元素的特性及應(yīng)用[探究問題]1．若集合A中含有兩個元素a，b，則a，b滿足什么關(guān)系？提示：a≠b.2．若1∈A，則元素1與集合A中的元素a，b存在怎樣的關(guān)系？提示：a＝1或b＝1.【例3】已知集合A含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數(shù)a的值．1．(變條件)本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍．2．(變條件)已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，求實數(shù)a的值．1．解決含有字母的問題，常用到分類討論的思想，在進行分類討論時，務(wù)必明確分類標準．2．本題在解方程求得a的值后，常因忘記驗證集合中元素的互異性，而造成過程性失分．提醒：解答此類問題易忽視互異性而產(chǎn)生增根的情形．1．判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合的依據(jù)是元素的確定性，若考查的對象是確定的，就能組成集合，否則不能組成集合．2．集合中的元素具有三個特性，求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)值(范圍)時，需借助集合中元素的互異性來檢驗所求參數(shù)是否符合要求．3．解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問題時，要有分類討論的意識．1．思考辨析(1)接近于0的數(shù)可以組成集合．()(2)分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的．()(3)一個集合中可以找到兩個相同的元素．()2．已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A3．下列各組對象不能構(gòu)成一個集合的是()A．不超過20的非負實數(shù)B．方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解C.eq\r(3)的近似值的全體D．某校身高超過170厘米的同學(xué)的全體4．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實數(shù)a的值．第2課時集合的表示學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語言的意義和作用．(重點)2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．(重點、難點)1.通過學(xué)習(xí)描述法表示集合的方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．2．描述法一般地，設(shè)A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？提示：(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}．1．方程x2＝4的解集用列舉法表示為()A．{(－2,2)}B．{－2,2}C．{－2}D．{2}2．用描述法表示函數(shù)y＝3x＋1圖象上的所有點的是()A．{x|y＝3x＋1}B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1}D．{y＝3x＋1}3．用描述法表示不等式4x－5<7的解集為________．用列舉法表示集合【例1】用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的實數(shù)根組成的集合C；(4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.用列舉法表示集合的3個步驟1求出集合的元素；2把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；3用花括號括起來.提醒：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點構(gòu)成的集合都是點的集合，一定要寫成實數(shù)對的形式，元素與元素之間用“，”隔開.如{2，3，5，－1}.1．用列舉法表示下列集合：(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x－y＝1))的解組成的集合B；(4)15的正約數(shù)組成的集合N.用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的實數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合；(3)被3除余數(shù)等于1的正整數(shù)組成的集合．描述法表示集合的2個步驟2.用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；(3)如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合．集合表示方法的綜合應(yīng)用[探究問題]下面三個集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它們各自的含義是什么？(2)它們是不是相同的集合？提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，滿足條件y＝x2＋1中的x∈R，所以實質(zhì)上{x|y＝x2＋1}＝R；集合②的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以實質(zhì)上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以認為是滿足y＝x2＋1的數(shù)對(x，y)的集合，也可以認為是坐標平面內(nèi)的點(x，y)構(gòu)成的集合，且這些點的坐標滿足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是拋物線y＝x2＋1上的點}．(2)由(1)中三個集合各自的含義知，它們是不同的集合．【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數(shù)k的值組成的集合．1．(變條件)本例若將條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，其他條件不變，求實數(shù)k的值組成的集合．2．(變條件)本例若將條件“只有一個元素”改為“至少有一個元素”，其他條件不變，求實數(shù)k的取值集合．1．若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3中集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題．2．在學(xué)習(xí)過程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如本例中用到了等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想．1．表示一個集合可以用列舉法，也可以用描述法，一般地，若集合元素為有限個，常用列舉法，集合元素為無限個，多用描述法．2．處理描述法給出的集合問題時，首先要明確集合的代表元素，特別要分清數(shù)集和點集；其次要確定元素滿足的條件是什么.1．思考辨析(1){1}＝1.()(2){(1,2)}＝{x＝1，y＝2}．()(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．()(4){x|x2＝1}＝{－1,1}．()2．由大于－3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是()A．{x|－3<x<11，x∈Z}B．{x|－3<x<11}C．{x|－3<x<11，x＝2k}D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}3．一次函數(shù)y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是()A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2,1)}D．{(1，－2)}4．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，試用列舉法表示集合A.A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．已知集合S＝{a，b，c}中的三個元素是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形2．下列集合的表示方法正確的是()A．第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1＜4的解集為{x＜5}C．{全體整數(shù)}D．實數(shù)集可表示為R3．下列集合恰有兩個元素的是()A．{x2－x＝0}B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0}D．{y|y＝x2－x}4．已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()A．1B．3C．5D．95．若2?{x|x－a＞0}，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≠2B．a(chǎn)＞2C．a(chǎn)≥2D．a(chǎn)＝2二、填空題6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，則用列舉法表示B＝________.7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍是________．8．已知集合A中的元素均為整數(shù)，對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”．給定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個．三、解答題9．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)絕對值不大于3的偶數(shù)的集合；(2)被3除余1的正整數(shù)的集合；(3)一次函數(shù)y＝2x－3圖象上所有點的集合；(4)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若