押廣東廣州卷第22-23題（幾何圖形中的尺規(guī)作圖求證、圓的綜合）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)

押廣東廣州卷第22-23題押題方向一：幾何圖形中的尺規(guī)作圖求證3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東廣州卷第23題菱形、尺規(guī)作圖、求證求解從近年廣東廣州中考來(lái)看，幾何圖形中的尺規(guī)作圖求證求解是近三年的必考題，考查了實(shí)際操作能力和幾何運(yùn)算或幾何推理的能力；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)何圖形中的尺規(guī)作圖求證求解的考查。2022年廣東廣州卷第22題圓、尺規(guī)作圖、求解2021年廣東廣州卷第22題等腰三角形、尺規(guī)作圖、求證1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，是菱形的對(duì)角線．（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接，．①求證：；②若，求的值．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，也就是以為一邊在菱形外作一個(gè)三角形與全等，第三個(gè)頂點(diǎn)的作法是：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)；（2）①由旋轉(zhuǎn)得，，，則，，即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證明，得，而，所以，由等腰三角形的“三線合一”得，則，設(shè)，，則，所以，，由勾股定理得，求得，則．【解答】解：（1）如圖1，作法：1．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，2．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)，3．連接、，就是所求的圖形．證明：四邊形是菱形，，，，，就是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形．（2）①如圖2，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，．②如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解關(guān)于的方程得，，，的值是．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．2．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】(1)作圖見解析；(2)點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是【分析】(1)作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理推論可知該垂直平分線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；(2)由垂徑定理得到AF=CF，進(jìn)而得到OF是△ACB的中位線，由此得到點(diǎn)O到AC的距離OF=BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD=，最后在Rt△CDF中由即得答案．【詳解】（1）解：①分別以A，C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)(大于AC長(zhǎng)度的一半)為半徑作弧，記兩弧的交點(diǎn)為E；②作直線OE，記OE與交點(diǎn)為D；③連結(jié)CD，則線段AC的垂線DE、線段CD為所求圖形，如下圖所示；（2）解：記OD與AC的交點(diǎn)為F，如下圖所示：∵OD⊥AC，∴F為AC中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線，∴OF=BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的長(zhǎng)就是點(diǎn)O到AC的距離；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F為AC中點(diǎn)，∴CF=AC=4，

Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=，則，∴點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD的值是．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)、垂徑定理及其推論、勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等，屬于綜合題，欲求某角的某三角函數(shù)值，首先想到的應(yīng)該是能否在直角三角形中進(jìn)行，如果沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需要設(shè)法構(gòu)造(作輔助圖形)．3．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)基本作圖—角平分線作法，作出的平分線AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到并求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證，，從而由有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．考查尺規(guī)作圖、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．考查了圓的基本性質(zhì)、垂徑定理及其推論、勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)等，屬于綜合題，欲求某角的某三角函數(shù)值，首先想到的應(yīng)該是能否在直角三角形中進(jìn)行，如果沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需要設(shè)法構(gòu)造(作輔助圖形)．考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．1．如圖，在中，．(1)操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)計(jì)算∶在（）的條件下，若，，求梯形的面積．【答案】(1)作圖見解析；(2)．【分析】（）根據(jù)作垂線的尺規(guī)作圖的方法即可；（）先由平行四邊形的性質(zhì)得出，再利用所對(duì)直角邊是斜邊的一半求出的長(zhǎng)，再利用求梯形面積的方法即可求解．【詳解】（1）以為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于點(diǎn)，分別以為圓心，的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，如圖，∴即為所求；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，由（）得：，∵，∴，由勾股定理得：，∴，∴梯形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，所對(duì)直角邊是斜邊的一半，梯形面積公式和勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．如圖，為內(nèi)接四邊形，為的直徑，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．

(1)求作點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，連接．①求證：為等腰三角形；②若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)①詳見解析；②【分析】利用垂徑定理的性質(zhì)可作的垂直平分線交圓O與點(diǎn)E，即可得解；①如圖，連，利用圓周角定理證出，，由四邊形為圓內(nèi)接四邊形證出，進(jìn)而可證出，即可得解，②先證出，再由勾股定理得出，由得出比值，代入計(jì)算即可得解．【詳解】（1）如圖，作的垂直平分線交圓O與點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，

（2）①如圖，連，，

∵，為直徑，∴，∴，∴，，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰三角形；②∵所對(duì)的圓周角為，∴，∵，∴，由①知，，∴，∴，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．3．如圖所示，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求作圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：是的切線；(3)若點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且弧弧，連接，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）作的垂直平分線，即可求作圓；（2）根據(jù)切線的判定即可證明是的切線；（3）根據(jù)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且弧=弧，連接，即可求線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：如圖，圓即為所求；（2）證明：連接，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（3）弧弧，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，和，連接和，作于點(diǎn)，，根據(jù)垂徑定理，得，，，，，，，作于點(diǎn)，則，，，，；連接，，，．綜上所述：線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了作圓，等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定．4．如圖，為經(jīng)過(guò)圓心的一條線段，且與交于點(diǎn)．(1)過(guò)在的上方作的切線，切點(diǎn)為，過(guò)作，垂足為，與交于點(diǎn)．請(qǐng)尺規(guī)作圖，不用寫作圖的詳細(xì)步驟．(2)求證：平分；(3)若，，求的半徑．【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，交于點(diǎn)，作射線，由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，即為的切線，再根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法可作出；（）證明可得，又由，得到，進(jìn)而得到，即可求證；（）連接，證明，得到，由根據(jù)，得到，求出即可求解；本題考查了過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：如圖，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分（3）解：連接，∵是直徑，∴，∴，∵是切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∴，∴的半徑為．5．?dāng)?shù)學(xué)中的軸對(duì)稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對(duì)稱的美，初中常見的軸對(duì)稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等．如圖，在等腰中，．(1)尺規(guī)作圖：作關(guān)于直線對(duì)稱的（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，交于點(diǎn)，若，四邊形周長(zhǎng)為，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D，連接、即可；（2）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得，，則可求得，再根據(jù)（1）知四邊形為菱形，根據(jù)菱形的周長(zhǎng)可求得，由勾股定理，可求出，從而求得，然后由菱形的面積公式可求解．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，由作圖可知：，∵∴∴四邊形為菱形，∴與關(guān)于直線對(duì)稱．（2）解：如圖，∵與關(guān)于直線對(duì)稱．∴，，∴，由（1）知四邊形為菱形，∴，∵四邊形周長(zhǎng)為，∴，由勾股定理，得，∴．∴四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積．熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，是鈍角．(1)尺規(guī)作圖：在上取一點(diǎn)，以為圓心，作出，使其過(guò)、兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，若，，．①求證：是的切線；②求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）作出線段的垂直平分線確定圓心，再作出圓即可求解；（2）①連接，得出，根據(jù)，結(jié)合已知條件得出，即可得證；②先證明，得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)D如圖所示：（2）①證明：如圖所示，連接，∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，又是半徑，∴是的切線；②如圖，∵，，∴，∴，∵是直徑，∴∵，∴∵，∴，∴，∵∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作圖并得出相似．7．如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)．(1)尺規(guī)作圖：在菱形的邊上方找一點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)判斷四邊形的形狀，并給出證明．【答案】(1)作圖見解析；(2)四邊形是矩形，證明見解析．【分析】（）作，再在射線上截取，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，，因?yàn)椋傻?，得到，又，故可得，即點(diǎn)即為所求；（）由菱形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可推導(dǎo)出，，，得到四邊形是平行四邊形，即可得到四邊形是矩形；本題考查了平行線的作法，作一條線段等于已知線段，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；（2）解：四邊形是矩形．證明：∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．8．如圖，是的直徑，是上的一點(diǎn)．

(1)作的角平分線，交弧于點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，，若，求到的距離及的值．【答案】(1)見解析(2)到的距離為1，的值為【分析】（1）分別以為圓心，大于線段長(zhǎng)為半徑畫弧，交點(diǎn)為，連接，與交點(diǎn)即為；（2）如圖，記與交點(diǎn)為，則，，由勾股定理得，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，則，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：如圖；

（2）解：如圖，記與交點(diǎn)為，則，，由勾股定理得，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，∴，∴；∴到的距離為1，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，垂徑定理，勾股定理，余弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．9．已知正方形中，，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和．(1)尺規(guī)作圖：在圖中分別作線段和的中點(diǎn)F和G，連接FG；（不寫作法，不說(shuō)明理由，寫明結(jié)論并保留作圖痕跡）(2)當(dāng)時(shí)，求（1）中所作的線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）分別作出和的線段垂直平分線，對(duì)應(yīng)線段與對(duì)應(yīng)的線段垂直平分線的交點(diǎn)即為所求；（2）設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程求出的長(zhǎng)，再由三角形中位線定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得或（舍去），∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的半圓，交于點(diǎn)．

(1)作線段的垂直平分線交于點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，交弧于點(diǎn)（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），證明：；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn)F，從條件①或者條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求的值．條件①：；條件②：；注明：如果選擇條件①與條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑，在的上下兩側(cè)畫弧，連接兩弧的交點(diǎn)，與交于點(diǎn)，即可；（2）以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，交弧于點(diǎn)，連接．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可證明；（3）選用條件①，設(shè)，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合，可得，代入可得，即可求出．【詳解】（1）如圖：分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑，在的上下兩側(cè)畫弧，連接兩弧的交點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（2）如圖：以點(diǎn)為圓心，以為半徑作，交弧于點(diǎn)，連接．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是圓的直徑，∴，即．（3）如圖，設(shè)，，且

∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，由勾股定理，得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．選用條件②：；則，即，同理可得．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線，畫圓，直徑所對(duì)的圓周角是直角，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，余弦的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．押題方向二：圓中的綜合問(wèn)題3年廣東廣州卷真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年廣東廣州卷第19題圓與平面直角坐標(biāo)系從近年廣東廣州中考來(lái)看，圓通常會(huì)在平面直角坐標(biāo)考查，與一次函數(shù)結(jié)合一起考查；預(yù)計(jì)2024年廣東廣州卷還將繼續(xù)重視對(duì)圓的考查。2021年廣東廣州卷第23題圓與一次函數(shù)1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，所在圓的圓心為．將向右平移5個(gè)單位，得到（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，所在圓的圓心坐標(biāo)是；（2）在圖中畫出，并連接，；（3）求由，，，首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng)．（結(jié)果保留【分析】（1）由平移的性質(zhì)知即可求解；（2）在圖中畫出，并連接，即可；（3）由封閉圖形的周長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：（1）如下圖，由平移的性質(zhì)知，點(diǎn)，所在圓的圓心坐標(biāo)是，故答案為：、；（2）在圖中畫出，并連接，，如圖；（3）和長(zhǎng)度相等，均為，而，則封閉圖形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題為圓的綜合題，涉及到圖象的平移、周長(zhǎng)的計(jì)算，弧長(zhǎng)的計(jì)算等，是一道基礎(chǔ)題．2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線在第二象限的點(diǎn)（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式：并寫出x的取值范圍；（3）作的外接圓，延長(zhǎng)PC交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的半徑．【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用三角形面積公式及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)圓周角性質(zhì)可得，．由等角的三角函數(shù)關(guān)系可推出，再根據(jù)三角形面積公式得，由此得結(jié)論當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，最后利用圓的性質(zhì)可得有最小值，且為的直徑，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，∴A（-8，0）．當(dāng)時(shí)，，∴B（0，4）．（2）∵A（-8,0），∴．點(diǎn)P在直線上，∴，∴．∵點(diǎn)P在第二象限，∴＞0，且＜0．解得-8＜＜0；（3）∵B（0，4），∴．∵為的外接圓，∴，．∴．設(shè)，則．∴．∴當(dāng)最小時(shí)，的面積最?。喈?dāng)時(shí)，有最小值，且為的直徑．∴．即的半徑為4．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．圓的綜合題，涉及到圖象的平移、周長(zhǎng)的計(jì)算，弧長(zhǎng)的計(jì)算等，是一道基礎(chǔ)題．一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算及圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．如圖，以的一邊為直徑作的外接圓，的平分線交于，交于，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于．(1)判斷是否是切線，并證明你的結(jié)論；(2)連接，若，，求點(diǎn)到直線的距離．【答案】(1)是的切線，證明見解析；(2)．【分析】（）根據(jù)角平分線的定義，圓周角定理以及垂徑定理得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由切線的判定方法即可得出結(jié)論；（）根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求出，，再由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)和判定方法，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：是切線，證明如下：如圖，連接，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵是的直徑，∴，∴，在中，，，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，，，∵，即，解得或（舍去），即，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，，∴點(diǎn)到的距離為．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，所在圓的圓心為，，將向右平移5個(gè)單位，得到（點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為）．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是___________，所在圓的圓心坐標(biāo)是___________．(2)在圖中畫出，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)圖見詳解，【分析】本題考查平移作圖，弧長(zhǎng)的計(jì)算．（1）過(guò)點(diǎn)作于，連接，分別求出即可；（2）用尺規(guī)作圖畫出，再根據(jù)題意計(jì)算的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，連接,所在圓的圓心為,，點(diǎn)的坐標(biāo)是,所在圓的圓心為，所在圓的圓心坐標(biāo)是故答案為：，；（2）如圖，即為所求，由平移的性質(zhì)知且的長(zhǎng)為．3．如圖，內(nèi)接于，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，，求和的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見詳解；(2)；．【分析】（1）延長(zhǎng)交于，連接，證明，在線段的垂直平分線上，得出，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于，連接，則是的直徑，可得，由圓周角定理得出，可得，求出的長(zhǎng)，由勾股定理求出，利用平行線判定出，由相似三角形的比值關(guān)系求出，即可得到；由三角形的中位線定理求出的長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理求即可．【詳解】（1）延長(zhǎng)交于，連接，如圖所示：∵，，∴，在線段的垂直平分線上，∴，又∵，∴平分；（2）延長(zhǎng)交于，連接，如圖所示：∴是的直徑，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∵，，∴是的中點(diǎn)，∴，∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴在中：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判定，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知中，；以為直徑作，與邊相切于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接．

(1)求證，是的切線；(2)尺規(guī)作圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），(3)在（2）的條件下，若，，求出的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)題中條件證明即可證明；（2）過(guò)D作垂線，交于，則與D關(guān)于對(duì)稱，連接交于P，此時(shí)最小，則點(diǎn)P即為所求作；（3）在中，利用銳角三角函數(shù)求出，然后在中，利用三角函數(shù)設(shè)，，根據(jù)的長(zhǎng)即可求出k，證明即可求出．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，

∵為的直徑，∴，，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴,∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是的切線；（2）解：過(guò)D作垂線，交于，則與D關(guān)于對(duì)稱，連接交于P，此時(shí)最小，則點(diǎn)P即為所求作；

（3）解：設(shè)與的交點(diǎn)M，連接，如圖所示，

∵，∴，在中，，，∴，則，在中，，∵E為中點(diǎn)，則，在中，，設(shè)，，則，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)及勾股定理等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．5．如圖，是的外接圓，點(diǎn)O在邊上，的平分線交于點(diǎn)D，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出，再由角平分線及圓周角定理即可求解；（2）連接OD．圓周角定理的推論確定，根據(jù)垂徑定理的推論確定，再由切線的性質(zhì)及平行線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)確定，根據(jù)圓周角定理的推論，角平分線的定義和勾股定理求出和的長(zhǎng)度，根據(jù)圓的定義和勾股定理求出，，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）證明：如下圖所示，連接．

∵平分，∴．∴．∴．∴．∵是的切線，∴．∴．∴；（3）解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴．∵點(diǎn)O在邊上，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴，，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，平行線的性質(zhì)，切線的判定定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊對(duì)等角，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6．如圖，為直徑，P為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作切線，切點(diǎn)為C，，垂足為D，連接和．(1)如圖1，求證：平分；(2)如圖2，E為下方上一點(diǎn)，且，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，在上取一點(diǎn)F，連接，使，過(guò)點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)G，若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)38【分析】（1）連接，證得，即可得證；（2）在線段上取點(diǎn)，使得，連接，證明，進(jìn)而可得，，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)作于，連接，證明，得，再證得，則，設(shè)，則，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

是的切線，，即，，，，，，，平分；（2）證明：如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，

，，，，由（1）知，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖，連接，過(guò)作于，

為直徑，，，，，，由（1）知，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，在中，，，解得：或（不合題意，舍去），，，由（2）知，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形．7．如圖，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．

(1)求證：四邊形是正方形；(2)連接，若．①求的值；②以為直徑作，點(diǎn)M為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為Q，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)正方形的判定即可得證；（2）①連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，利用勾股定理可得，從而可得一個(gè)關(guān)于的等式，再設(shè)，則，，從而可得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，利用方程根的判別式可得一個(gè)關(guān)于的不等式，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解即可得．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，關(guān)于的對(duì)稱圖形為，，，∴四邊形是正方形．（2）解：①如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

四邊形是正方形，，，∵四邊形是正方形，，，，，，，；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，，設(shè)，則，，，，由圓周角定理得：，，即，，設(shè)，則，，，，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，方程根的判別式，即，解方程得：或，畫出函數(shù)圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，即，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正弦、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題是解題關(guān)鍵．8．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，、相交于，連接、、，（為常數(shù)，且）．(1)求證：；(2)求的值（用含的式于表示）；(3)設(shè)，．①求與的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)，且時(shí)，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①②【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于，得到，進(jìn)而得到，利用等角的余角相等，即可得證；（2）垂徑定理，得到，證明，推出，在中，利用勾股定理得到，即可得解；（3）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，①先證明，得到，由，得到，再由，得到，再根據(jù)，即可得證；②先推出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，證明，得到，勾股定理求出，即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，直徑弦，，，是的直徑，，，，即；（2）直徑弦，∴，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，在中，，則，∴，；（3）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，①∵直徑弦，∴，又，∴，∴，∵，∴，由（2）知，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②∵，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，由①結(jié)論可得，，，∴∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，