2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義--實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

列一元二次方程

能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，抽象出一元二次方程的實(shí)際模型，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題★★

解應(yīng)用題

二、核心綱要

L列一元二次方程解決應(yīng)用題的步驟

(1)審題：明確已知條件和未知條件，以及它們之間的關(guān)系.

(2)找等量關(guān)系：明確題目中的等量關(guān)系.

(3)設(shè)未知數(shù)：用字母表示未知數(shù)，可以直接設(shè)未知數(shù)也可以間接設(shè)未知數(shù).

(4)列方程：根據(jù)等量關(guān)系列方程.

(5)解方程：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

(6)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的一元二次方程的根是否符合題意.

⑺作答：寫(xiě)出題目最終的答案.

2.一元二次方程實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)傳播問(wèn)題：傳染病的第一輪和第二輪傳播，可以抽象為一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

(2)增長(zhǎng)率(或減少率)問(wèn)題(重點(diǎn))：以增長(zhǎng)率為未知數(shù)來(lái)設(shè)元，便可以轉(zhuǎn)化為求解一元二次方程的問(wèn)題.銀行儲(chǔ)蓄的利率問(wèn)題，其

實(shí)也是一種特殊的增長(zhǎng)率問(wèn)題，利率即增長(zhǎng)率.

(3)銷(xiāo)售問(wèn)題(重點(diǎn))：如何選擇最優(yōu)化的方案，獲得最大利潤(rùn)或減少成本(方案選擇問(wèn)題).

(4)幾何問(wèn)題：掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法.

(5)行程問(wèn)題：路程=速度x時(shí)間，速度=路程無(wú)寸間,時(shí)間=路程+速度，抓住這三個(gè)量之間的關(guān)系列方程.

(6)數(shù)論問(wèn)題：有些時(shí)候也會(huì)遇到與位值原理相關(guān)問(wèn)題，題目中明確說(shuō)明，某一位的位值與其他位的位值之間有平方關(guān)系，這種

題目也需要用到一元二次方程來(lái)求解.

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)步驟，一類(lèi)應(yīng)用.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.某商品原價(jià)200元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為148元，下列所列方程正確的是().

71.200(1+01/1B.200(l-aC.200(1-2a0.200(1-a2*)

2.為了美化環(huán)境，某市加大對(duì)綠化的投資.2007年用于綠化投資20萬(wàn)元,2009年用于綠化投資25萬(wàn)元，求這兩年綠化投資的年平

均增長(zhǎng)率.設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意所列方程為().

A.20x2=25B.20(l+x)=25

C.20(l+x)2=25D.20(1+x)+20(1+x)2=25

3.在一幅長(zhǎng)為80cm,寬為50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖

21-3-1所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2.設(shè)金色紙邊的寬為xcm,那么x滿足的方程是().

A.X2+130%—1400=0B.x2+65久—350=0

圖21-3-1

C.x2-130x-1400=0D.X2-65X-350=0

4.一個(gè)小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共有（）人.

A.12B.10C.9D.8

5.矩形的周長(zhǎng)為8,面積為1,則矩形的長(zhǎng)和寬分別為一.

6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“①”,其法則為：（a④b=a?-"求方程（4?3）?x=24的解.

能力提升

7.有兩塊木板，第一塊長(zhǎng)是寬的2倍，第二塊的長(zhǎng)是第一塊寬的3倍，寬比第一塊的長(zhǎng)少2m,已知第二塊木板的面積比第一塊大

108mz,這兩塊木板的長(zhǎng)和寬分別是（）.

A.第一塊木板長(zhǎng)18m,寬9m,第二塊木板長(zhǎng)27m,寬16m

B.第一塊木板長(zhǎng)12m,寬6m,第二塊木板長(zhǎng)18m,寬10m

C.第一塊木板長(zhǎng)9m,寬4.5m,第二塊木板長(zhǎng)13.5m,寬7m

D.以上都不對(duì)

8.一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個(gè)兩位數(shù)為（）.

A.25B.36C.25或36D.-25或-36

9.甲用1000元人民幣購(gòu)買(mǎi)了一手股票，隨即他將這手股票轉(zhuǎn)賣(mài)給乙，獲利10%,乙而后又將這手股票返賣(mài)給甲，但乙損失了10%,

最后甲按乙賣(mài)給甲的價(jià)格的九折將這手股票賣(mài)出，在上述股票交易中，甲獲利了一元.

10.張大叔從市場(chǎng)上買(mǎi)回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形后，剩下的部分剛好能?chē)梢粋€(gè)

容積為15m3的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子，且此長(zhǎng)方體箱子的底面長(zhǎng)比寬多2m,現(xiàn)已知購(gòu)買(mǎi)這種鐵皮每平方米需20元，問(wèn)張大叔購(gòu)回

這張矩形鐵皮共花了多少元？

11.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m）,另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m.

⑴雞場(chǎng)的面積能達(dá)到1807n2嗎?

（2）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到:210m2嗎？

12.某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染.請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染

中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？

13.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加贏利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取

適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)一元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.

（1）若商場(chǎng)平均每天贏利1200兀,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少兀？

（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？

14.某汽車(chē)銷(xiāo)售公司6月份銷(xiāo)售某廠家汽車(chē)，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)與銷(xiāo)售量有如下關(guān)系，若當(dāng)月僅售出1輛汽車(chē)，則該汽

車(chē)的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元；每多售出1輛，所有售出的汽車(chē)的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/輛，月底廠家根據(jù)銷(xiāo)售量一次性返利給銷(xiāo)售公司，

銷(xiāo)售量在10輛以內(nèi)(含10輛),每輛返利0.5萬(wàn)元，銷(xiāo)售量在10輛以上，每輛返利1萬(wàn)元.

(1)若該公司當(dāng)月售出3輛汽車(chē)，則每輛汽車(chē)的進(jìn)價(jià)為一萬(wàn)元.

(2)如果汽車(chē)的售價(jià)為28萬(wàn)元/輛，該公司計(jì)劃當(dāng)月贏利12萬(wàn)元，那么需要售出多少輛汽車(chē)?(贏利=銷(xiāo)售利潤(rùn)+返利)

15.如圖21-3-2所示，將正方形沿圖中虛線(其中x<y)剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個(gè)矩形(非正方形).

(1)畫(huà)出拼成的矩形的簡(jiǎn)圖.

⑵求］的值.

圖21-3-2

16.甲、乙、丙三家超市為了促銷(xiāo)一種定價(jià)均為m元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價(jià)20%；乙超市一次性降價(jià)40%；丙超市第一次

降價(jià)30%,第二次降價(jià)10%,此時(shí)顧客要購(gòu)買(mǎi)這種商品，最劃算的超市是—.

17.某樓盤(pán)準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對(duì)外銷(xiāo)售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了

加快資金周轉(zhuǎn)，對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)兩次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價(jià)開(kāi)盤(pán)銷(xiāo)售.

(1)求平均每次下調(diào)的百分率.

⑵某人準(zhǔn)備以開(kāi)盤(pán)價(jià)均價(jià)購(gòu)買(mǎi)一套100m^的住房，開(kāi)發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：

①打9.8折銷(xiāo)售；②不打折，一次性送裝修費(fèi)每平方米80元，試問(wèn)哪種方案更優(yōu)惠？

18要在一塊長(zhǎng)52m,寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路.下面分別是小亮和小穎的設(shè)計(jì)方案.

r----52----彳

小亮設(shè)計(jì)的方案如圖21?3-3(a)所示

甬道寬度均為.e,婀余的四塊綠

地向枳共23000?

ffi-

小額設(shè)計(jì)的方案如圖21-3-3(b)所示

BOHE=x4B"CD,HG"EF,

?52AD/ffl±￡F,Zl=60°

(b)

圖21-3-3

⑴求小亮設(shè)計(jì)方案中甬路的寬度X.

⑵求小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積(友情提示：小穎設(shè)計(jì)方案中的X與小亮設(shè)計(jì)方案中的X取值相同).

巔峰突破

19.如圖21-3-4所示，在AABC中,.NB=90。,點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始，沿BC邊向點(diǎn)C

以2cm/s的速度移動(dòng)，如果4B=Scm.BC=7cm,PxQ兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

(1)幾秒后APBQ的面積等于4cm2?

⑵如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),幾秒后PQ的長(zhǎng)度等于5cm?

(3)在⑴中,APQB的面積能否等于7加2?說(shuō)明理由.

圖21-3-4

20如圖21-3-5所示在AABC中,NB4C=45。,4D1BC■于點(diǎn)D,將.△48。沿AB所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處;將AACD沿AC

所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，分別延長(zhǎng)EB、FC使其交于點(diǎn)M.

⑴判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明.

⑵若BD=1,CD=2,試求四邊形AEMF的面積.

B

圖21-3-5

基礎(chǔ)演練

1.B2,C3.B4.C5.2+/3.2-/3

6.X]=5.X2=-5

能力提升

7.B8,C9.1

10.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為xm,則寬為(x-2)m,根據(jù)題意彳導(dǎo)：

x(x-2>l=15.解得:Xi=5,x2——3(舍).

原矩形鐵皮的面積為：(x+2)x=7x5=35m2.

張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮共花了35x20=700元.

11.(1)設(shè)雞場(chǎng)的一邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為(40-2x)m,若面積能達(dá)到180m2,根據(jù)題意，得：

x(40-2x)=180.解得:%!=10+V10,x2=10-V10.

0<40-2x<25,.,.7.5<x<20.

10-V10<7.5,x=10+V10.

.??當(dāng)雞場(chǎng)的一邊長(zhǎng)為io+V10時(shí),面積達(dá)到180m2.

(2)Vx(40-2x)=-2(x-l0)2+200.

雞場(chǎng)的最大面積為200m2.

???雞場(chǎng)的面積能不能達(dá)到210mz.

12.設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，根據(jù)題意，得:(l+x)2=8L

解得：Xi=8,x2=—10(舍).

3輪感染后，被感染的電腦為(1+8)3=729>700.

答：每輪感染中，平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦；3輪感染后，被感染電腦的臺(tái)數(shù)會(huì)超過(guò)700臺(tái).

13.設(shè)平均每天利潤(rùn)為w元，每件襯衫降價(jià)x元，根據(jù)題意，得：

w=(40—x)(20+2x)=-2x2+6Ox+800

=-2(x-15)2+1250,

(1)當(dāng)w=1200時(shí)，-2/+60x+800=1200,

解得：XI=10,X2=20.

根據(jù)題意要盡快減少庫(kù)存，所以應(yīng)降價(jià)20元.

答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.

⑵由⑴可知當(dāng)x=15元時(shí),商場(chǎng)盈利最多，共1250元.答：每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多.

14.(1)26.8,

(2)設(shè)需要售出x部汽車(chē)，由題意可知，每部汽車(chē)的銷(xiāo)售利潤(rùn)為：

28-[27-0.1(x-l)]=(0.1x+0.9)萬(wàn)元.

當(dāng)OSxSlO,根據(jù)題意彳導(dǎo)x-(0.1x+0.9)+0.5x=12.整理，得必+14x-120=0,

解這個(gè)方程彳導(dǎo)xi=-20(不合題意，舍去),X2=6.

當(dāng)x>10時(shí)，根據(jù)題意，得x-(0.1x+0.9)+x=12,整理得x2+19x-120=0.

解這個(gè)方程，得XF-24(不合題意.舍去),xz=5.

因?yàn)?<10,所以的=5舍去，

答：需要售出6部汽車(chē).

15.⑴如下圖所示

(2)由拼圖前后的面積相等得::[(x+y)+y]y=(x+y)z.

因?yàn)閥邦,整理得：(；y+；-i=o.

解得：，=與1負(fù)值不合題意，舍去).

中考鏈接

16.乙

17.⑴設(shè)平均每次下調(diào)的百分率x,則6000(l-x)2=4860.

解得:Xi=0.1.Xz=L9(舍去).

工平均每次下調(diào)的百分率為10%.

(2)方案①可優(yōu)惠:4860xl00x(l-0.98)=9720元

方案②可優(yōu)惠：100x80=8000元.

方案①更優(yōu)惠.

18.(1)根據(jù)小亮的設(shè)計(jì)方案列方程得：

(52-x)(48-x)=2300

解得:-=2,/=98倍去)

，小亮設(shè)計(jì)方案中甬道的寬度為2m.

(2)作AI_LCD,HJ_LEF,垂足分別為I.J,

AB//CD,Z1=60°,，ZADI=60°.

VBC/7AD,.,.E^ADCB為平行四邊形.

；.BC=AD.

由(1)得x=2,，BC=HE=2=AD.

在RtAADI中,AI=V3.VNHEJ=60。,二HJ=V3.

???小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積為：

2

S=52X48-52X2-48X2+(V3