廬江縣2024年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

廬江縣2024年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.如圖，把長方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合在一起，EF為折痕.若AB=9,BC=3,試求以折痕EF

2.已知，如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)D,C在。O上，連接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。，那么NC的度

3.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,NACB的角平分線分別交AB,BD于M,N兩點(diǎn).若AM

=2,則線段ON的長為（）

A.—B.BC.1D.亞

222

4.在體育課上，甲，乙兩名同學(xué)分別進(jìn)行了5次跳遠(yuǎn)測試，經(jīng)計(jì)算他們的平均成績相同.若要比較這兩名同學(xué)的成績

哪一個(gè)更為穩(wěn)定，通常需要比較他們成績的（）

A.眾數(shù)B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

5.將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30。角的直角三角板的斜邊與紙

條一邊重合，含45。角的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊上，則N1的度數(shù)是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法判斷

7.小軍旅行箱的密碼是一個(gè)六位數(shù)，由于他忘記了密碼的末位數(shù)字，則小軍能一次打開該旅行箱的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.—

10965

8.如圖，AD//BE//CF,直線/i,b與這三條平行線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)O,E,F.已知45=1,BC=3,DE

=2,則E尸的長為（）

A.4B..5C.6D.8

9.下列二次根式中，與血是同類二次根式的是（）

A.府B.而C.屈D.y/4+a

10.一艘在南北航線上的測量船，于A點(diǎn)處測得海島B在點(diǎn)A的南偏東30。方向，繼續(xù)向南航行30海里到達(dá)C點(diǎn)時(shí),

測得海島B在C點(diǎn)的北偏東15。方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)

據(jù)：\&1.732,UM.414)

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

11.在“大家跳起來”的鄉(xiāng)村學(xué)校舞蹈比賽中，某校10名學(xué)生參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.對于這10名學(xué)生的參賽成績,

下列說法中錯(cuò)誤的是（）

人數(shù)

A.眾數(shù)是90B.中位數(shù)是90C.平均數(shù)是90D.極差是15

12.如圖，已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABCgaADC的是()

A.CB=CDB.ZBCA=ZDCA

C.ZBAC=ZDACD.ZB=ZD=90°

二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

_nrn

13.已知實(shí)數(shù)m,n滿足3〃，+6m—5=0，3/+6T7—5=0，且加則一+—=.

mn

14.分解因式：mx2-4m=.

15.反比例函數(shù)y=±的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,6)和(加,—3),則.

16.點(diǎn)A(-3,yi),B(2,y2),C(3,y3)在拋物線y=2x?-4x+c上，則yi,yi,y3的大小關(guān)系是.

17.股市規(guī)定：股票每天的漲、跌幅均不超過10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的

10%后，便不能再跌，叫做跌停.若一支股票某天跌停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià)，若這兩天此股票股價(jià)的平均增

長率為x,則x滿足的方程是.

18.填在下列各圖形中的三個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，a的值是.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)(1)解方程：x2-4x-3=0；

(--<4

⑵解不等式組：.二_7

20.(6分)已知一次函數(shù)y=x+l與拋物線》=d+加;+<;交ACm,9),B(0,1)兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上且橫坐標(biāo)為1.

(1)寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。在直線A3、BC、AC距離相等，如果存在，請直接寫出所有符合條件的。的坐標(biāo)，如果不

存在，說說你的理由.

21.(6分)如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點(diǎn)A與點(diǎn)E重合)，已知AC=8cm,

BC=6cm,ZC=90°,EG=4cm,ZEGF=90°,O是△EFG斜邊上的中點(diǎn).

如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以lcm/s的速度沿射線AB方向平移，在^EFG平移的同時(shí)，點(diǎn)P從4EFG

的頂點(diǎn)G出發(fā)，以lcm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動，△EFG也隨之停

止平移.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x(s),FG的延長線交AC于H,四邊形OAHP的面積為y(cn?)(不考慮點(diǎn)P與G、F重合

的情況).

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，OP〃AC；

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；

(3)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24?若存在，求出x的值；若不存在，說明

理由.(參考數(shù)據(jù)：1142=12996,1152=13225,1162=134564.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)

22.(8分)如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。后得

至!JCE,連接AE.求證：AE/7BC.

4

23.(8分)解不等式,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

-M-7-6-5-4-2-I(I7K

24.(10分)(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2-8mx+4m+2(m>2)與y軸的交點(diǎn)為A,與x軸的

交點(diǎn)分別為B(xi,0),C(X2,0),且X2-XI=4,直線AD〃x軸，在x軸上有一動點(diǎn)E(t,0)過點(diǎn)E作平行于y

軸的直線1與拋物線、直線AD的交點(diǎn)分別為P、Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0VtW8時(shí)，求AAPC面積的最大值；

(3)當(dāng)t>2時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在,

請說明理由.

25.(10分)如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的仰角為60。沿坡面

43向上走到5處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡48的傾斜角NR4H=30。，48=20米，43=30米.

□

0

0

□

□

0

(1)求點(diǎn)5距水平面AE的高度BH；

(2)求廣告牌CD的高度.

26.(12分)在小"。中，A3=AC,以A5為直徑的圓交于。，交AC于E.過點(diǎn)E的切線交8的延長線于P.求

證：BF是。的切線.

27.(12分)在AABC中，ZC=90°，以邊AB上一點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圈與BC相切于點(diǎn)D,分別交AB,

AC于點(diǎn)E,F如圖①，連接AD,若NC4Z）=25°，求NB的大?。蝗鐖D②，若點(diǎn)F為人。的中點(diǎn)，。的半徑為2,

求AB的長.

圖②

參考答案

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1、B

【解析】

根據(jù)矩形和折疊性質(zhì)可得△EHC會從而可得BF=HE=DE,設(shè)BF=EH=DE=x,貝!JAF=CF=9-x,在RtZkBCF

中，由BF2+BC2=CF2可得BF=DE=AG=4,據(jù)此得出GF=1,由EF2=EG2+GF2可得答案.

【詳解】

如圖，,??四邊形ABCD是矩形，

.\AD=BC,ZD=ZB=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，有HC=AD,ZH=ZD,HE=DE,

.\HC=BC,ZH=ZB,

XZHCE+ZECF=90°,ZBCF+ZECF=90°,

/.ZHCE=ZBCF,

在小EHC^DAFBC中，

AH=NB

'：［HC=BC,

ZHCE=NBCF

.,.△EHC^AFBC,

；.BF=HE,

，BF=HE=DE,

設(shè)BF=EH=DE=x,

貝！JAF=CF=9-x,

在RtABCF中，由BF?+BC2=CF2可得x2+32=(9-x)2,

解得：x=4,即DE=EH=BF=4,

貝！IAG=DE=EH=BF=4,

/.GF=AB-AG-BF=9-4-4=1,

:.EF2=EG2+GF2=32+l2=10,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握各相關(guān)的性質(zhì)

定理與判定定理是解題的關(guān)鍵.

2、B

【解析】

因?yàn)锳B是。O的直徑，所以求得NADB=90。，進(jìn)而求得NB的度數(shù)，又因?yàn)镹B=NC,所以NC的度數(shù)可求出.

解：...AB是。。的直徑，

.\ZADB=90°.

；NBAD=25。，

/.ZB=65°,

???/C=NB=65。（同弧所對的圓周角相等）.

故選B.

3、C

【解析】

作MHLAC于H,如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得NMAH=45。，則△AMH為等腰直角三角形，所以

6

AH=MH=^-AM=721再根據(jù)角平分線性質(zhì)得BM=MH=行，貝！|AB=2+后，于是利用正方形的性質(zhì)得到

AC=&AB=2a+2,OC=yAC=V2+b所以CH=AC-AH=2+五，然后證明△CONs^CHM,再利用相似比可

計(jì)算出ON的長.

【詳解】

試題分析：作MHLAC于H,如圖,

?.?四邊形ABCD為正方形，

.,.ZMAH=45°,

/.△AMH為等腰直角三角形，

丘丘L

AH=MH=—AM=—x2=J2>

22

VCM平分NACB,

/.BM=MH=72，

.\AB=2+血，

.*.AC=&AB=&(2+0)=20+2,

OC=；AC=&+1,CH=AC-AH=20+2-0=2+逝，

VBD±AC,

/.ON#MH,

.,.△CON^ACHM,

.ON_OCON_V2+1

..加T而'g

/.ON=1.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條

件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.也考查了角平分線的

性質(zhì)和正方形的性質(zhì).

4、D

【解析】

方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個(gè)量.方差越大，則各數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，

則各數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好。

【詳解】

由于方差能反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，需要比較這兩名學(xué)生立定跳遠(yuǎn)成績的方差.

故選D.

5、A

【解析】

試題分析：如圖，過A點(diǎn)作AB〃a,/.Z1=Z2,'.'a//b,：.AB//b,/.Z3=Z4=30°,而N2+N3=45。，.，.Z2=15O,

AZ1=15°.故選A.

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

6、B

【解析】

試題解析：在方程4x2-2x+=0中，△=(-2)2-4X4X-=0,

4

???一元二次方程4x2_-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

2x+4

故選B.

考點(diǎn)：根的判別式.

7、A

【解析】

?.?密碼的末位數(shù)字共有10種可能(0、1、2、3、4、5、6,7、8、9、0都有可能),

當(dāng)他忘記了末位數(shù)字時(shí)，要一次能打開的概率是

故選A.

8、C

【解析】

^'：AD//BE//CF,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

ABDE

BC~EF，

12

即an一=---,

3EF

解得EF=6,

故選C.

9、C

【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.

【詳解】

A.病=⑷與6不是同類二次根式；

B.而與右不是同類二次根式；

C.J石=26與&是同類二次根式；

D.J4+a與6不是同類二次根式.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同類二次根式的定義，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這

幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

10、B

【解析】

根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BDLAC,取BE=CE,根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE,AD=DE,

設(shè)BD=x,RtAABD中，根據(jù)勾股定理得AD=DE=AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2?二x+2x=30,解之

即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BDLAC,取BE=CE,

VAC=30,ZCAB=30°ZACB=15°,

/.ZABC=135°,

又；BE=CE,

；.NACB=NEBC=15。，

/.ZABE=120°,

XVZCAB=30°

；.BA=BE,AD=DE,

設(shè)BD=x,

在RtAABD中，

.*.AD=DE=Vx,AB=BE=CE=2x,

.\AC=AD+DE+EC=2?x+2x=30,

；.x=4=.--5.49,

故答案選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角

形的性質(zhì).

11、C

【解析】

由統(tǒng)計(jì)圖中提供的數(shù)據(jù)，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的定義分別列出算式，求出答案：

【詳解】

解：???90出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，.?.眾數(shù)是90；

?.?共有10個(gè)數(shù)，...中位數(shù)是第5、6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，.?.中位數(shù)是(90+90)4-2=90；

;平均數(shù)是(80x1+85x2+90x5+95x2)4-10=89；

極差是：95-80=1.

二錯(cuò)誤的是C.故選C.

12、B

【解析】

由圖形可知AC=AC,結(jié)合全等三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

解：在AABC和AADC中

VAB=AD,AC=AC,

.?.當(dāng)CB=CD時(shí)，滿足SSS,可證明△ABC絲AACD,故A可以；

當(dāng)NBCA=NDCA時(shí)，滿足SSA,不能證明△ABCgZ\ACD,故B不可以；

當(dāng)/BAC=NDAC時(shí)，滿足SAS,可證明△ABC也4ACD,故C可以；

當(dāng)NB=ND=90。時(shí)，滿足HL,可證明△ABC義4ACD,故D可以；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.)

22

13、----.

5

【解析】

試題分析：由相學(xué)〃時(shí)，得到m,n是方程3爐+6%-5=0的兩個(gè)不等的根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：方學(xué)”時(shí)，則m,n是方程3x2-6x-5=0的兩個(gè)不相等的根，.?.+〃=2,mn__￡,

3

2,2(x2e22-2x(--)?

.m+n(m+n)-2mn322谷小4L22

??原式=-------=--------------=-------=--?故答案為A?

mnmn_￡55

3

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

14、m(x+2)(x-2)

【解析】

提取公因式法和公式法相結(jié)合因式分解即可.

【詳解】

原式=〃?優(yōu)—勺，

故答案為機(jī)(x+2)(x—2).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查因式分解，熟練掌握提取公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.分解一定要徹底.

15、-1

【解析】

先把點(diǎn)(1,6)代入反比例函數(shù)y=',求出k的值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)(m,-3)代入即可得

x

出m的值.

【詳解】

解：?.?反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,6),

X

.#*6=,解得k=6,

，反比例函數(shù)的解析式為y=-.

x

???點(diǎn)(m,-3)在此函數(shù)圖象上上，

/.-3=—,解得m=-l.

m

故答案為-L

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此

題的關(guān)鍵.

16、yi<y3<yi

【解析】

把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可分別求得yi、y2>y3的值，比較可求得答案.

【詳解】

Vy=2x2-4x+c,

???當(dāng)x=-3時(shí),yi=2x(-3)2-4x(-3)+c=30+c,

當(dāng)x=2時(shí),y2=2x22-4x2+c=c,

當(dāng)x=3時(shí)，y3=2x32-4x3+c=6+c,

Vc<6+c<30+c,

：?y2<y3<yi,

故答案為yi<y3<yi.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

17、(l-10%)(l+x)2=1.

【解析】

股票一次跌停就跌到原來價(jià)格的90%,再從90%的基礎(chǔ)上漲到原來的價(jià)格，且漲幅只能勺0%,設(shè)這兩天此股票股價(jià)

的平均增長率為x,每天相對于前一天就上漲到1+x,由此列出方程解答即可.

【詳解】

設(shè)這兩天此股票股價(jià)的平均增長率為x,由題意得

(1-10%)(1+X)2=1.

故答案為：(1-10%)(1+X)2=1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為。，變化后的量

為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1土x)2=A

18、1.

【解析】

尋找規(guī)律：

上面是1,2,3,4,...,；左下是1,4=22,9=32,16=42,

右下是：從第二個(gè)圖形開始，左下數(shù)字減上面數(shù)字差的平方：

(4-2)2,(9-3)2,(16-4)2,...

a=(36—6)2=1.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)-----\"；(2)1<X<1.

【解析】

試題分析：利用配方法進(jìn)行解方程；首先分別求出兩個(gè)不等式的解，然后得出不等式組的解.

試題解析：(1)二—lx=3Z'—lx+l=7(Z-=7x-2=±5

解得：二,=二+\一，二.=二-1一

(2)解不等式1,得在1解不等式2,得xVl不等式組的解集是IWxVl

考點(diǎn)：一元二次方程的解法；不等式組.

20、(1)j=x2-7x+l；(2)AA5C為直角三角形.理由見解析；(3)符合條件的。的坐標(biāo)為(4,1),(24,1),(0,

-7),(0,13).

【解析】

(1)先利用一次函數(shù)解析式得到A(8,9),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

(2)先利用拋物線解析式確定C(1,-5),作AM_Ly軸于M,CN_Ly軸于N,如圖，證明△ABM和△BNC都是

等腰直角三角形得到NMBA=45。，NNBC=45。，AB=80,BN=10,從而得到NABC=90。，所以△ABC為

直角三角形；

(3)利用勾股定理計(jì)算出AC=100,根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式得到RtAABC的內(nèi)切圓的半徑=

272,設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,過A作AI的垂線交直線BI于P,交y軸于Q,AI交y軸于G,如圖，則ALBI為

角平分線，BI_Ly軸，PQ為△ABC的外角平分線，易得y軸為△ABC的外角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷點(diǎn)

P、I、Q、G到直線AB、BC、AC距離相等，由于BI=0x2&=4,則I(4,1),接著利用待定系數(shù)法求出直線

AI的解析式為y=2x-7,直線AP的解析式為y=-1x+13,然后分別求出P、Q、G的坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：(1)把A(m,9)代入y=x+l得m+l=9,解得m=8,則A(8,9),

64+8Z?+c=9

把A(8,9),B(0,1)代入y=x?+bx+c得＜,

c=l

b=-7

解得，，

c=1

.?.拋物線解析式為y=x2-7x+l；

故答案為y=x2-7x+l；

(2)AABC為直角三角形.理由如下：

當(dāng)x=l時(shí)，y=x2-7x+l=31-42+1=-5,則C(1,-5),

作AMLy軸于M,CNLy軸于N,如圖，

VB(0,1),A(8,9),C(1,-5),

.\BM=AM=8,BN=CN=1,

.,.△ABM和小BNC都是等腰直角三角形，

.,.ZMBA=45°,ZNBC=45°,AB=80,BN=10,

AZABC=90°,

/.△ABC為直角三角形；

(3)VAB=8V2，BN=10,

AAC=1072，

/.RtAABC的內(nèi)切圓的半徑=6拒+80-10匹=2近,

2

設(shè)△ABC的內(nèi)心為I,過A作AI的垂線交直線BI于P,交y軸于Q,AI交y軸于G,如圖,

?：\為AABC的內(nèi)心，

.?.AI、BI為角平分線，

??.BUy軸，

而AI±PQ,

APQ為4ABC的外角平分線，

易得y軸為△ABC的外角平分線，

.?.點(diǎn)I、P、Q、G為△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線的交點(diǎn)，

它們到直線AB、BC、AC距離相等，

BI=V2x2V2=4,

而BI_Ly軸,

/.I(4,1),

設(shè)直線AI的解析式為y=kx+n,

4左+〃=1

則1,

[8左+"=9

k=2

解得一

二直線AI的解析式為y=2x-7,

當(dāng)x=0時(shí)，y=2x-7=-7,則G(0,-7)；

設(shè)直線AP的解析式為y=-；x+p,

把A(8,9)代入得-4+n=9,解得n=13,

二直線AP的解析式為y=-；x+13,

當(dāng)y=l時(shí)，-；x+13=L則P(24,1)

當(dāng)x=0時(shí)，y=-；x+13=13,貝！|Q(0,13),

綜上所述，符合條件的Q的坐標(biāo)為(4,1),(24,1),(0,-7),(0,13).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心的性質(zhì)；會利

用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21、(1)1.5s；(2)S=一6x2+1—7x+3(0<x<3)；(3)當(dāng)x=5±(s)時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：

2552

1.

【解析】

(1)由于O是EF中點(diǎn)，因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時(shí)，OP〃EG〃AC,據(jù)此可求出x的值.

(2)由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則，可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積.三角

形AHF中，AH的長可用AF的長和NFAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達(dá)式(也可用相似三角形來得出AH、

FH的長).三角形OFP中，可過。作ODLFP于D,PF的長易知，而OD的長，可根據(jù)OF的長和NFOD的余弦

值得出.由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入(2)的函數(shù)式中即可得出x的值.

【詳解】

解：⑴VRtAEFG^RtAABC

.EGFG4FG

..——=——，即Bn一=——,

ACBC86

4x6

FG=------=3cm

8

,當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP〃EG,EG//AC

AOP>7AC

1

.?.當(dāng)x為1.5s時(shí)，OP〃AC.

(2)在RtAEFG中，由勾股定理得EF=5cm

VEG/7AH

/.△EFG^AAFH

.EGEFFG

"AH~AF~FH'

43

.\AH=-(x+5),FH=-(x+5)

55

過點(diǎn)。作OD_LFP,垂足為D

B

1

OD=—EG=2cm

2

VFP=3-x

:.S四邊形OAHP=SAAFH-SAOFP

11

=-?AH?FH--?OD?FP

22

1431

=一?一(x+5)?-(x+5)——x2x(3-x)

2552

617,、

=—x72+——x+3(0<x<3).

255

(3)假設(shè)存在某一時(shí)刻x,使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：1

m13

貝?。軸四邊形OAHP-----XSAABC

24

.6,17131

??—-----x+3=—x—x6x8

255242

/.6X2+85X-250=0

解得Xl=2,X2=-半(舍去)

23

V0<x<3

...當(dāng)x=3(s)時(shí)，四邊形OAHP面積與AABC面積的比為13：1.

2

【點(diǎn)睛】

本題是比較常規(guī)的動態(tài)幾何壓軸題，第1小題運(yùn)用相似形的知識容易解決，第2小題同樣是用相似三角形建立起函數(shù)

解析式，要說的是本題中說明了要寫出自變量x的取值范圍，而很多試題往往不寫，要記住自變量x的取值范圍是函

數(shù)解析式不可分離的一部分，無論命題者是否交待了都必須寫，第3小題只要根據(jù)函數(shù)解析式列個(gè)方程就能解決.

22、見解析

【解析】

試題分析:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC,N3=NAC8=60。,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CZ>=CE,NOCE=60。,求出

N5C0=NACE,根據(jù)SAS推出ABCD之&4CE,根據(jù)全等得出NE4C=N5=60。,求出NEAC=NAC3,根據(jù)平行線的判定

得出即可.

試題解析:???△A3C是等邊三角形，

：.AC=BC,ZB=ZACB=60°,

???線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到CE,

：.CD=CE,NDCE=6Q°,

：.NOCE=NAC8,即ZBCD+ZDCA=ZDCA+ZACE,

：.ZBCD=ZACE,

在小BCD與AACE中，

BC=AC

</BCD=NACE,

DC=EC

.'.△BCD會4ACE,

ZEAC=^B=60°,

ZEAC=ZACB,

.：AE〃BC.

23、x<5；數(shù)軸見解析

【解析】

【分析】將(x-2)當(dāng)做一個(gè)整體，先移項(xiàng)，然后再按解一元一次不等式的一般步驟進(jìn)行求解，求得解集后在數(shù)軸上表

示即可.

【詳解】移項(xiàng)，得1(x-2)<l,

去分母，得x-2<3,

移項(xiàng)，得xV5,

不等式的解集為x<5,

在數(shù)軸上表示如圖所示：

01234I6~~*

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，根據(jù)不等式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解是

關(guān)鍵.

1632

24、(1)二二:二；一二二-，；(2)12；(3)t=3或1=3或t=L

【解析】

試題分析：(1)首先利用根與系數(shù)的關(guān)系得出：一二；，結(jié)合條件-一'=，求出的值，然后把點(diǎn)B,C

的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可；(2)(2)分0<tV6時(shí)和6<t<8時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，據(jù)此即可求出三角形的最大值；(3)

(3)分2〈長6時(shí)和t>6時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)三角形相似的條件，即可得解.

試題解析：解：(1)由題意知xi、X2是方程mx?-8mx+4m+2=0的兩根，

.*.Xl+X2=8,

x]+'2=8

x2~xl=4

X2=6

,*.B(2,0)、C(6,0)

則4m-16m+4m+2=0,

解得：m=[,

4

該拋物線解析式為：y=x2-2x+3；.

(2)可求得A(0,3)

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,

..[b=3

*16k+b=0

：.l2

b=3

二直線AC的解析式為：y=-,x+3,

要構(gòu)成AAPC,顯然怦6,分兩種情況討論:

當(dāng)0<tV6時(shí)，設(shè)直線1與AC交點(diǎn)為F,貝!J：F(t,-/t+3)，

VP(t,-1t2-2t+3),APF=

：?SAAPC=SAAPF+SACPF

(-然錚)?t+/(--^t2+jt)?(6-t)

乙M乙乙W乙

此時(shí)最大值沏與

②當(dāng)6WtW8時(shí)，設(shè)直線1與AC交點(diǎn)為M,貝!|：M(t,-]t+3)，

22

VP(t,-t-2t+3),.-.PM=-^t

442

**?SAAPC=SAAPF-SACPF=-^—)t--)(t-6)

乙w乙乙w乙

_32_9

-4tQ

=，(t-3)2-21,

44

當(dāng)t=8時(shí)，取最大值，最大值為：12,

綜上可知，當(dāng)0VtW8時(shí)，△APC面積的最大值為12；

(3)如圖，連接AB,則AAOB中，ZAOB=90°,AO=3,BO=2,

Q(t,3),P(t,-^t2-2t+3),

①當(dāng)2VtW6時(shí)，AQ=t,PQ=--^t2+2t.

若：AAOBsAAQD,貝!I：—

AQPQ

32

即:工三3;，

.,.t=0(舍)，或t=■學(xué),

若AAOBS^PQA,貝!)：MT，

PQAQ

3二2

即：一r-2—1，

丁+2t

.*.t=0(舍)或t=2(舍)，

②當(dāng)t>6時(shí)，AQ，=t,PQ，=*-2t,

若:AAOBS^AQP,貝（I：普

HQiH

32

=

即：712_?+）

4t2t

t=0（舍）,或t=等,

若AAOBS^PQA，貝!I：

iyAy

23

即:彳春三;，

/.t=o（舍）或t=L

.?/=￥或t=挈或t=i.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

25、(1)577為10米；(2)宣傳牌CZ>高約(40-2073)米

【解析】

(1)過B作DE的垂線，設(shè)垂足為G.分別在RtAABH中，通過解直角三角形求出BH、AH；

(2)在AADE解直角三角形求出DE的長，進(jìn)而可求出EH即BG的長，在RtACBG中，ZCBG=45°,則CG=BG,

由此可求出CG的長然后根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度.

【詳解】

(1)過8作5H_LAE于H,

R3AAH中，N5A〃=30°,

：.BH=-AB=-x20=10(米)，

22

即點(diǎn)5距水平面AE的高度