專題28.2 解直角三角形及其應(yīng)用（原卷版）

專題28.2解直角三角形及其應(yīng)用知識點1：解直角三角形的基礎(chǔ)知識在Rt中，，，，所對的邊分別為，，（1）三邊之間的關(guān)系：（2）銳角之間的關(guān)系：+==（3）邊角之間的關(guān)系：；；；；；（4）面積公式：（為斜邊上的高）知識點2：解直角三角形的基本類型及其解法如下表：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，∠B=90°-∠A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，∠B=90°-∠A一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=，c=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA解直角三角形的思路可概括為“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切），寧乘勿除，取原避中”。其含義是當(dāng)已知或求解中有斜邊時，可用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切；當(dāng)所求元素既可用乘法又可用除法時，則通常用乘法，不用除法；既可用已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時，則取已知數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)。知識點3：解直角三角形應(yīng)用題中的常見概念（1）坡角：坡面與水平面的夾角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的鉛直高度和水平寬度的比，用字母表示，則（2）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向所成的小于90°的角叫做方向角。目標(biāo)方向線OA，OB，OC分別表示北偏東60°，南偏東30°，北偏西70°．特別地，若目標(biāo)方向線與指北或指南的方向線成45°的角，如圖28．2-1的目標(biāo)方向線OD與正南方向成45°角，通常稱為西南方向．（3）方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角。目標(biāo)方向線PA，PB，PC的方位角分別是40°，135°，225°．（4）俯角與仰角當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．總結(jié)：本節(jié)課要會根據(jù)條件解直角三角形；熟記特殊角的三角函數(shù)值；會根據(jù)基本圖形，解決實際問題?！纠}1】如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)課外活動小組在河邊測量河寬AB（這段河流的兩岸平行），他們在點C測得∠ACB＝30°，點D處測得∠ADB＝60°，CD＝80m，則河寬AB約為m（結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73）．【例題2】清泉閣是南寧園博園中的最高建筑某數(shù)學(xué)興趣小組利用周末到清泉閣進(jìn)行室外測量實踐活動．如圖，在清泉閣最大的觀景臺上，選取測量點D，測得點D到清泉閣最高點A的仰角∠ADE＝58°，點D到目標(biāo)點C的俯角∠FDC＝32°，DE＝20m．已知清泉圖的高AB＝75m，請計算測量點D到目標(biāo)點C的距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【例題3】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則sinB＝（）A．B．C． D．【例題4】一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，則該船行駛的速度為海里/小時．一、填空題1．如圖，在2×6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，網(wǎng)格中小正方形的頂點叫格點，點A，B，C在格點上，連接AB，BC，則tan∠ABC＝．2.如圖所示，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東40°的方向，前進(jìn)20海里到達(dá)B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD等于海里．3．如圖，為了測量某風(fēng)景區(qū)內(nèi)一座古塔AB的高度，小明分別在塔的對面CD樓樓底C，樓頂D處，測得塔頂A的仰角分別為45和30°，已知樓CD的高為10米，則塔AB的高度為米．4．如圖，無人機(jī)于空中A處測得某建筑頂部B處的仰角為45°，測得該建筑底部C處的俯角為17°．若無人機(jī)的飛行高度AD為62m，則該建筑的高度BC為m．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）二、解答題1.如圖，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周長和tan的值．4.如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，，(1)求證：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的長．2.如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED=60°，在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．3.小華為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20m，到達(dá)坡頂D處．已知斜坡的坡角為15°．（以下計算結(jié)果精確到0.1m）（1）求小華此時與地面的垂直距離CD的值；（2）小華的身高ED是1.6m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°，求樓房AB的高度．4.如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾角由45o降為30o，已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？說明理由。(參考數(shù)據(jù)：)5．由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上實驗任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達(dá)B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向．如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2，75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）6.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．（1）請說明DE是⊙O的切線；（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的長．7.如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號）．8．已知拋物線y＝mx2和直線y＝﹣x+b都經(jīng)過點M（﹣2，4），點O為坐標(biāo)原點，點P為拋物線上的動點，直線y＝﹣x+b與x軸、y軸分別交于A、B兩點．（1）求m、b的值；（2）當(dāng)△PAM是以AM為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）滿足（2）的條件時，求sin∠BOP的值．9．如圖，在A處的正東方向有一港口B．某巡邏艇從A處沿著北偏東60°方向巡邏，到達(dá)C處時接到命令，立刻在C處沿東南方向以20海里/小時的速度行駛3小時到達(dá)港口B．求A，B間的距離．（≈1.73，≈1.4，結(jié)果保留一位小數(shù)）．10．如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統(tǒng)的局部截面原理圖，圖中OP為下水管道口直徑，OB為可繞轉(zhuǎn)軸O自由轉(zhuǎn)動的閥門．平時閥門被管道中排出的水沖開，可排出城市污水；當(dāng)河水上漲時，閥門會因河水壓迫而關(guān)閉，以防河水倒灌入城中．若閥門的直徑OB＝OP＝100cm，OA為檢修時閥門開啟的位置，且OA＝OB．（1）直接寫出閥門被下水道的水沖開與被河水關(guān)閉過程中∠POB的取值范圍；（2）為了觀測水位，當(dāng)下水道的水沖開閥門到達(dá)OB位置時，在點A處測得俯角∠CAB＝67.5°，若此時點B恰好與下水道的水平面齊平，求此時下水道內(nèi)水的深度．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）11．如圖，A、B兩個小島相距10km，一架直升飛機(jī)由B島飛往A島，其飛行高度一直保持在海平面以上的hkm，當(dāng)直升機(jī)飛到P處時，由P處測得B島和A島的俯角分別是45°和60°，已知A、B、P和海平面