2024年廣東高三學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷試題三（含答案詳解）

2024年廣東省普通高中合格性考試數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（三）

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合M={-1,0,1,2},N={1,2,3},則McN=（）

A.{1,2}B.{1,2,3）

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

2.如圖，一只轉(zhuǎn)盤，均勻標(biāo)有8個(gè)數(shù)，現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向偶數(shù)的概率是（）

3.一元二次不等式/一工一2<0的解集是（）

A.{x|x<2}B.{鄧<x<2}C.{尤<-1或x>2}D.{x|-l<x<2}

4.某校高中生共有2700人，其中高一年級(jí)900人，高二年級(jí)1200人，高三年級(jí)600人，現(xiàn)采取分層抽樣法

抽取容量為27的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為（）

A.6,12,9B.9,9,9

C.3,9,15D.9,12,6

log23

5.2+log2V2=（）

57l

A.—B.3C.—D.3+

22

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)且在區(qū)間（。,+8）上又是增函數(shù)的為（）

A.f（x）=x2B./（x）=2T

C./（x）=log2xD.〃力=尤3

7.連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）.

A.只有2次出現(xiàn)反面B.至少2次出現(xiàn)正面

C.有2次或3次出現(xiàn)正面D.有2次或3次出現(xiàn)反面

8.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球體的體積為（）

A.辿%B.4岳C.8萬(wàn)D.12萬(wàn)

3

9.已知。>萬(wàn)，則下列不等式中成立的是（）

A.2">2"B.ab>b-C.a2>b2D.-<|

ab

10.平面向量a=（l,-2）,。=（2,加），若d//6，則（）

A.73B.2C.乖D.76

11.已知函數(shù)y=3sin2x的圖象為C,為得到函數(shù)y=3sin（2x+1］的圖象，只需把C上的所有點(diǎn)（）

7T

A.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移行個(gè)單位

7T

B.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移正個(gè)單位

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移2個(gè)單位

D,縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位

12.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若卜|<印貝立<力B.若“，6互為相反向量，貝必+6=0

C.空間中兩平行向量相等D.在四邊形A8CZ）中，AB-AD=DB

二、填空題

13.已知sin（z<0,cos?>0,則&是第象限角.

14.若x>2,則x+工的最小值為_(kāi)_________.

x-2

15.函數(shù),⑴=-3sin的+］的最小正周期是2無(wú)，則。=

⑹已知小）=［Ui）（x>2），則/（“5））=——?

17.設(shè)向量°,b的夾角的余弦值為g,且忖=1,M=3,則（2a+今6=.

18.為了解某中職學(xué)校男生的身體發(fā)育情況，對(duì)隨機(jī)抽取的100名男生的身高進(jìn)行了測(cè)量（結(jié)果精確到1cm）,

并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，由圖可知，其中身高超過(guò)168cm的男生的人數(shù)為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、解答題

19.如圖，在△ABC中，ZA=30°,。是邊A8上的點(diǎn)，CD=5,CB=1,DB=3

c

(1)求4CBD的面積；

(2)求邊AC的長(zhǎng).

20.某沙漠地區(qū)每年有2個(gè)月屬于雨季，10個(gè)月屬于旱季.經(jīng)過(guò)初步治理該沙漠地區(qū)某年旱季的月降水量(單

位：mm)依次達(dá)到12.1,12.0,10.4,10.5,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1.記這組數(shù)據(jù)的第40百分

位數(shù)與平均數(shù)分別為肛元.

⑴求加，無(wú)；

(2)己知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量，該沙漠地區(qū)人工種植了甲、乙兩種植物，當(dāng)月降水量低于

12.0mm時(shí)甲種植物需要澆水，當(dāng)月降水量低于150mm時(shí)乙種植物需要澆水，求這一年的某月甲、乙兩種植

物都需要澆水的概率及二者中有植物需要澆水的概率.

21.某城市出租車，乘客上車后，行駛3km內(nèi)(包括3km)收費(fèi)都是10元，之后每行駛Um收費(fèi)2元，超

過(guò)15km,每行駛1km收費(fèi)為3元.

(1)寫出付費(fèi)總數(shù)》與行駛路程x收費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)乘客甲需要乘坐出租車與在15km處等候的乘客乙共同到達(dá)20km處的目的地，當(dāng)出租車行駛了15km

后，乘客甲和乙有兩種選擇：兩人一起換乘一輛出租車或者繼續(xù)乘坐這輛出租車行駛完余下的5km路程，

請(qǐng)給出你對(duì)甲和乙的選擇建議，并說(shuō)明理由.

22.如圖所示，四棱錐P-ABCE)的底面ABC。是矩形，尸3，底面ABC。，AB=BC=3,BP=3,CF=|cP,

DE=-DA.

3

⑴證明：E尸P平面

(2)求直線PC與平面AD尸所成角的正弦值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.A

【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：MCN={1,2}.

故選：A.

2.A

【分析】利用概率公式計(jì)算即可得.

41

【詳解】共有8個(gè)數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故P=9=

82

故選：A.

3.D

【分析】運(yùn)用一元二次不等式的解題規(guī)則進(jìn)行求解.

【詳解】解：即為("2)(x+l)<0,

所以不等式X2-X-2<0的解集為何-1<x<2}.

故選：D.

4.D

【分析】按照分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

【詳解】依題意高一抽取27x知=9人，高二抽取27x黑=12人，高三抽取27x簿=6

人.

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求得答案.

17

-

2-2-

故選：c.

6.D

【分析】根據(jù)哥函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?力=*=/(力，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，故A不符題意;

對(duì)于B,函數(shù)/(》)=2"為非奇非偶函數(shù)，故B不符題意；

答案第1頁(yè)，共7頁(yè)

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=log2X為非奇非偶函數(shù)，故C不符題意；

對(duì)于D,=所以函數(shù)為奇函數(shù)，

又函數(shù)〃%)=尤3在區(qū)間(0,+句上又是增函數(shù)，故D符合題意.

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)對(duì)立事件定義判斷.

【詳解】連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，正面出現(xiàn)的次數(shù)有0』,2,3,因此事件“至少2次出現(xiàn)正面”

的對(duì)立事件是“正面出現(xiàn)0次或1次”即“有2次或3次出現(xiàn)反面”，

故選：D.

8.B

【分析】根據(jù)正方體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，由此可求出外接球的半徑，再

根據(jù)球的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】若棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，

則球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即2尺=廬三酉=2々，(其中R是該球的半徑)，

所以尺=有，則球的體積丫=9"K=4母.

故選：B.

9.A

【分析】A選項(xiàng)可根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷，BCD選項(xiàng)可以舉反例得出.

【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2*(xeR)單調(diào)遞增可知，a>6=2">2〃，A選項(xiàng)正確；

BCD選項(xiàng)，取。=1力=-1,B選項(xiàng)變成-1>1,C選項(xiàng)變成1>1,D選項(xiàng)變成1<-1,BCD

均錯(cuò)誤.

故選：A

10.C

【分析】利用向量平行求出加，再利用模長(zhǎng)公式求解答案.

【詳解】因?yàn)閍//b，所以lxm=-2x2,解得m=T,所以。-6=(-1,2),所以卜一萬(wàn)卜君.

故選：C.

11.A

答案第2頁(yè)，共7頁(yè)

【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閥=3sin[2x+1]=3sin21尤+三]

為得到函數(shù)y=3sin（2x+費(fèi)的圖象，只需把C上的所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移已

個(gè)單位，

故選：A.

12.D

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)定義即可求解ABC,根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可求解D.

【詳解】對(duì)于A,向量不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a,b互為相反向量，則a+b=O，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,兩向量相等需要向量的方向相同，且長(zhǎng)度相同，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,四邊形4BCD中，AB-AD=DB>故D正確.

故選：D

13.四

【分析】由三角函數(shù)的正負(fù)，判斷角所在的象限；

【詳解】sina<0,角a在第三，四象限和y軸非正半軸；

costz>0,角a在第一，第四象限和無(wú)軸非負(fù)半軸；

綜上可知，滿足sina<0,且cos<2>0,則a是第四象限.

故答案為：四

14.4

【分析】利用基本不等式求最值.

【詳解】由已知x>2,得x-2>0,

所以x+」一=尤-2+—'―+222、/-2）?——+2=4,

x—2x—2vx—2

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=二，即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

x-2

故答案為：4.

15.±1

【分析】利用三角函數(shù)的周期公式直接求出即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（無(wú)尸基也加+弓的最小正周期是2兀，

答案第3頁(yè)，共7頁(yè)

2兀。

所以可得同=2兀，解得0=±1,

故答案為：±1.

16.-##0.5

2

【分析】利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

［詳解］因?yàn)?藍(lán))，

log3(x-2),(x>2)

所以/(5)=log33=l,所以/(/(5))=/(1)=2T=；.

故答案為：.

17.11

【分析】設(shè)a與6的夾角為凡依題意可得cos0=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出a.6,最后

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)a與6的夾角為，，因?yàn)閍與6的夾角的余弦值為g,即cos6=；,

又W=l,W=3,所以。.6=瓦忖8$。=卜3*：=1,

所以(2a+b)力=2eb+62+=2x1+3?=11.

故答案為：11.

18.64

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得到身高超過(guò)168cm的頻率，再乘以樣本容量100可得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可知,組距為4,由于結(jié)果精確到1cm,故后三組身高超過(guò)168cm,

身高超過(guò)168cm的頻率為4x(0.07+0.06+0.03)=0.64,

故身高超過(guò)168cm的學(xué)生人數(shù)為100x0.64=64.

故答案為：64

19.(1)1^；(2)56

4

【分析】(1)由余弦定理求得cosB,即可得出sinB,再由面積公式即可求解；

(2)由正弦定理即可求解.

【詳解】(1)在△CBD中，由余弦定理可得cos3=-,

2x3x714

答案第4頁(yè)，共7頁(yè)

則sinB=71-cos2B=

14

=4x7又巫獸B

2,CBD2144

（2）在ABC中，由正弦定理得空；?=4%,

sinAsinB

7_AC

即J.1%8，解得AC=56.

2IT

20.⑴m=12.3mm,%=13.5mm；

12

⑵甲、乙兩種植物都需要澆水的概率為1,二者中有植物需要澆水的概率為；.

63

【分析】（1）由百分位數(shù)、平均數(shù)求法求機(jī)，無(wú)；

（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率估計(jì)所求概率即可.

【詳解】（1）由數(shù)據(jù)從小到大為10410.5,12Q12.1,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1,

121+125

又10x40%=4,則第40百分位數(shù)為m=-----=12.3mm,

2

丁"皿-10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.1…

平均數(shù)尤=-------------------------------------------------=13.5mm.

（2）由數(shù)據(jù)及題設(shè)知：12個(gè)月中降水量低于12.0mm有2個(gè)月，降水量低于15.0mm有8個(gè)

月，

12

所以甲、乙兩種植物都需要澆水的概率為二，二者中有植物需要澆水的概率為；.

63

10,0<x<3

21.（1）y=<2x+4,3<x415；（2）兩人一起換乘一輛出租車更劃算.理由見(jiàn)解析.

3x-ll,x>15

【分析】（1）由題可知，分三段0<x〈3、3<xW15和x>15,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系即可；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系，分別求出兩人一起換乘一輛出租車和兩人繼續(xù)乘坐這輛出租

車的付費(fèi)總數(shù)，比較大小后，選擇較小者即可.

【詳解】解：（1）當(dāng)0<x43時(shí)，>=10；

當(dāng)3<E5時(shí)，y=10+2（x-3）=2x+4；

當(dāng)x>15時(shí)，y=10+2xl2+3（x-15）=3%-ll

10,0<x<3

綜上所述，y=<2x+4,3<x<15

3x-ll,x>15

答案第5頁(yè)，共7頁(yè)

（2）若兩人一起換乘一輛出租車，貝|'=34+2x5+4=48元，

若兩人繼續(xù)乘這輛出租車，則y=3x20-11=49,

故兩人一起換乘一輛出租車更劃算.

【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

22.（1）證明見(jiàn)解析

⑵至

10

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明所與平面ABP的法向量垂直即可；（2）利用空間向

量求線面角即可.

【詳解】（1）由題意知，BC,BA,3尸兩兩互相垂直，以8為原點(diǎn)，BC,BA,所在

直線分別為％MZ軸