廣東省顏錫祺中學2024屆數(shù)學高一下期末考試模擬試題含解析

廣東省顏錫祺中學2024屆數(shù)學高一下期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復始，循環(huán)記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數(shù)學王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年2．數(shù)列，，，，，，的一個通項公式為（）A． B．C． D．3．向正方形ABCD內任投一點P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．4．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．6．如圖所示，程序框圖算法流程圖的輸出結果是A． B． C． D．7．無論取何實數(shù)，直線恒過一定點，則該定點坐標為（）A． B． C． D．8．已知，，，則的最小值為A． B． C． D．49．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升10．已知數(shù)列1，，，9是等差數(shù)列，數(shù)列1，，，，9是等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列，函數(shù)滿足：對于任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，則的通項公式是________．12．在等比數(shù)列中，，，則________.13．項數(shù)為的等差數(shù)列，若奇數(shù)項之和為88，偶數(shù)項之和為77，則實數(shù)的值為_____．14．已知兩點，則線段的垂直平分線的方程為_________.15．如果函數(shù)的圖象關于直線對稱，那么該函數(shù)在上的最小值為_______________．16．某幾何體是由一個正方體去掉一個三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：.18．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．19．已知函數(shù)（其中）.（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍.20．已知函數(shù)。（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值。21．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中為的前項和，且（1）求數(shù)列和的通項公式（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，按照這個規(guī)律進行推理，即可得到結果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的性質的應用，其中解答中認真審題，合理利用等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．2、C【解析】

首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，其次數(shù)列各項絕對值構成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項公式．【詳解】∵數(shù)列{an}各項值為，，，，，，∴各項絕對值構成一個以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，∴|an|＝2n﹣1又∵數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故選：C．【點睛】本題給出數(shù)列的前幾項，猜想數(shù)列的通項，挖掘其規(guī)律是關鍵．解題時應注意數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，否則會錯．3、C【解析】

由題意，求出滿足題意的點所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【詳解】由題意，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【點睛】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關鍵是明確概率模型，屬于基礎題.4、A【解析】

設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【詳解】設正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是基礎題．5、A【解析】由，即，所以，由向量在向量方向上的投影為，則，即，所以，故選A．6、D【解析】

模擬程序圖框的運行過程，得出當時，不再運行循環(huán)體，直接輸出S值．【詳解】模擬程序圖框的運行過程，得S=0,n=2,n<8滿足條件，進入循環(huán)：S=滿足條件，進入循環(huán)：進入循環(huán)：不滿足判斷框的條件，進而輸出s值，該程序運行后輸出的是計算：．故選D．【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，是基礎題目．根據(jù)程序框圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模．7、A【解析】

通過整理直線的形式，可求得所過的定點.【詳解】直線可整理為，當，解得，無論為何值，直線總過定點.故選A.【點睛】本題考查了直線過定點問題，屬于基礎題型.8、C【解析】

化簡條件得，化簡，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，知，可得，則，當且僅當時，即時取得等號，所以，即的最小值為，故選C．【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．9、B【解析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質的應用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．10、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質可分別求得，，代入即可得到結果.【詳解】由成等差數(shù)列得：由成等比數(shù)列得：，又與同號本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質的應用，易錯點是忽略等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同的特點，從而造成增根.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用三角函數(shù)的圖象與性質、誘導公式和數(shù)列的遞推公式，可得，再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解．【詳解】由題意，因為，當時，，又因為對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，又，對任意的實數(shù)，總有兩個不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用，以及誘導公式，數(shù)列的遞推關系式和“累加”方法等知識的綜合應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．12、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列中，，得到公比，再寫出和，從而得到.【詳解】因為為等比數(shù)列，，，所以，所以，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式中的基本量計算，屬于簡單題.13、7【解析】

奇數(shù)項和偶數(shù)項相減得到和，故，代入公式計算得到答案.【詳解】由題意知：，前式減后式得到：，后式減前式得到故：解得故答案為：7【點睛】本題考查了等差數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和關系，通過變換得到是解題的關鍵.14、【解析】

求出直線的斜率和線段的中點，利用兩直線垂直時斜率之積為可得出線段的垂直平分線的斜率，然后利用點斜式可寫出中垂線的方程．【詳解】線段的中點坐標為，直線的斜率為，所以，線段的垂直平分線的斜率為，其方程為，即.故答案為.【點睛】本題考查線段垂直平分線方程的求解，有如下兩種方法求解：（1）求出中垂線的斜率和線段的中點，利用點斜式得出中垂線所在直線方程；（2）設動點坐標為，利用動點到線段兩端點的距離相等列式求出動點的軌跡方程，即可作為中垂線所在直線的方程．15、【解析】

根據(jù)三角公式得輔助角公式，結合三角函數(shù)的對稱性求出值，再利用的取值范圍求出函數(shù)的最小值.【詳解】解：，令，則，則.因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，即，則，平方得.整理可得，則，所以函數(shù).因為，所以，當時，即，函數(shù)有最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)最值求解，結合輔助角公式和利用三角函數(shù)的對稱性建立方程是解決本題的關鍵.16、6【解析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計算.【詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【點睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）由題意列式求得數(shù)列的首項和公差，然后代入等差數(shù)列的通項公式得答案.

（2）求出數(shù)列的通項，利用裂項相消法求出數(shù)列的前項和得答案．【詳解】（1）差數(shù)列中，，成等比數(shù)列有：即，得所以又，即，.所以.（2）所以.所以所以【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的性質，裂項相消法求數(shù)列的前項和，是中檔題．18、（1），．（2）【解析】

（1）先求出等差數(shù)列的首項和公差，求出等比數(shù)列的首項即得數(shù)列、的通項公式；（2）利用分組求和求數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）由題得.由題得.（2）由題得，所以數(shù)列的前n項和.【點睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的通項的基本量的計算，考查數(shù)列通項的求法和求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）或；（2）.【解析】

（1）先由，將不等式化為，直接求解，即可得出結果；（2）先由題意得到恒成立，根據(jù)含絕對值不等式的性質定理，得到，從而可求出結果.【詳解】（1）當時，求不等式，即為，所以，即或，原不等式的解集為或.（2）不等式,即為，即關于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記不等式的解法，以及絕對值不等式的性質定理即可，屬于?？碱}型.20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由，對分類討論，判斷與的大小，確定不等式的解集.（2）利用把用表示,代入表示為的函數(shù)，利用基本不等式可求.【詳解】解：（1）因為，所以，由，得，即，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；（2）因為，由已知，可得，∴，∵，∴，∴，當且僅當時取等號，所以的最小值為。【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，基