2023-2024學年江蘇省南京市燕子磯中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學年江蘇省南京市燕子磯中學高一數學第二學期期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，若對于任意的恒成立，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．設集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是()A． B． C． D．4．已知且,則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知圓的方程為，則圓心坐標為（）A． B． C． D．6．將函數的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數的圖象,若對任意的均有成立,則的最小值為（）A． B． C． D．7．下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（）A． B． C． D．8．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，，則的最小角為（）A． B． C． D．9．若正方體的棱長為，點，在上運動，，四面體的體積為，則（）A． B． C． D．10．在等差數列中，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知sin＝，則cos＝________．12．如圖記錄了甲乙兩名籃球運動員練習投籃時，進行的5組100次投籃的命中數，若這兩組數據的中位數相等，平均數也相等，則______，_________.13．不等式的解集是．14．已知一個三角形的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的最大內角為_________15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．16．若存在實數，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（I）當時，求不等式的解集；（II）若關于的不等式有且僅有一個整數解，求正實數的取值范圍.18．已知向量,的夾角為,且,.(1)求；(2)求.19．在中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，，且．（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．20．在中，分別是所對的邊，若的面積是，，．求的長．21．某制造商3月生產了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數據分組如下：分組

頻數

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結果保留兩位小數），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數據經常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據此估計這批乒乓球直徑的平均值（結果保留兩位小數）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題意可得相鄰最低點距離1個周期，，，，即，，即所以，包含0,所以k=0,,,,選A．【點睛】由于三角函數是周期周期函數，所以不等式解集一般是一系列區(qū)間并集，對于恒成立時，需要令k為幾個特殊值，再與已知集合做運算．2、A【解析】因為，，且，即，所以.故選A.3、C【解析】

本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．4、A【解析】分析：，由，可得，又，可得，化簡整理即可得出.詳解：，由，可得，又，可得，化為，解得，則的取值范圍是.故選：A.點睛：本題考查了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.5、C【解析】試題分析：的方程變形為，圓心為考點：圓的方程6、D【解析】

直接應用正弦函數的平移變換和伸縮變換的規(guī)律性質，求出函數的解析式，對任意的均有，說明函數在時，取得最大值，得出的表達式，結合已知選出正確答案.【詳解】因為函數的圖象向左平移個單位長度,所以得到函數，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數的圖象,所以，對任意的均有成立，所以在時，取得最大值，所以有而，所以的最小值為.【點睛】本題考查了正弦型函數的圖象變換規(guī)律、函數圖象的性質，考查了函數最大值的概念，正確求出變換后的函數解析式是解題的關鍵.7、D【解析】

根據奇函數和增函數的定義逐項判斷.【詳解】選項A：不是奇函數，不正確；選項B:：在是減函數，不正確；選項C：定義域上沒有單調性，不正確；選項D：設，是奇函數，，在都是單調遞增，且在處是連續(xù)的，在上單調遞增，所以正確.故選:D.【點睛】本題考查函數的性質，對于常用函數的性質要熟練掌握，屬于基礎題.8、A【解析】

由三角形大邊對大角可知所求角為角，利用余弦定理可求得，進而得到結果.【詳解】的最小角為角，則故選：【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形的問題，關鍵是明確三角形中大邊對大角的特點，進而根據余弦定理求得所求角的余弦值.9、C【解析】

由題意得，到平面的距離不變＝，且，即可得三棱錐的體積，利用等體積法得．【詳解】正方體的棱長為，點，在上運動，，如圖所示：點到平面的距離＝，且，所以.所以三棱錐的體積＝．利用等體積法得.故選：C．【點睛】本題考查了正方體的性質，等體積法求三棱錐的體積，屬于基礎題．10、B【解析】

由等差數列的性質可得，則答案易求.【詳解】在等差數列中，因為，所以.所以.故選B.【點睛】本題考查等差數列性質的應用.在等差數列中，若，則.特別地，若，則.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.12、3.5.【解析】

根據莖葉圖,將兩組數據按照從小到大順序排列,由中位數和平均數相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數據的中位數相等,平均數也相等對于甲組將數據按照從小到大順序排列后可知,中位數為65.所以乙組中位數也為65.根據乙組數據可得則由兩組的平均數相等,可知兩組的總數也相等,即解得故答案為:;【點睛】本題考查了莖葉圖的簡單應用,由莖葉圖求中位數和平均數,屬于基礎題.13、【解析】

因為,且拋物線開口方向向上，所以，不等式的解集是.14、【解析】

由題意可得三角形的最大內角即邊7對的角，設為θ，由余弦定理可得cosθ的值，即可求得θ的值．【詳解】根據三角形中，大邊對大角，故邊長分別為3，5，7的三角形的最大內角即邊7對的角，設為θ，則由余弦定理可得cosθ，∴θ＝，故答案為：C．【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，大邊對大角，已知三角函數值求角的大小，屬于基礎題．15、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.16、；【解析】

不等式轉化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當時，，其最小值為，∴．故答案為．【點睛】本題考查不等式能成立問題，解題關鍵是把問題轉化為求函數的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉化時要注意是求最大值還是求最小值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II），或【解析】

（I）直接解不等式得解集；（II）對a分類討論解不等式分析找到a滿足的不等式，解不等式即得解.【詳解】（I）當時，不等式為，不等式的解集為，所以不等式的解集為；（II）原不等式可化為，①當，即時，原不等式的解集為，不滿足題意；②當，即時，，此時，所以；③當，即時，，所以只需，解得；綜上所述，，或.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）1；（2）【解析】

（1）利用向量數量積的定義求解；（2）先求模長的平方，再進行開方可得.【詳解】（1）?=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2?+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【點睛】本題主要考查平面向量數量積的定義及向量模長的求解，一般地，求解向量模長時，先把模長平方，化為數量積運算進行求解.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函數的圖像和性質求解.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理化角為邊可得，即，由余弦定理可得，又，所以．（2）由（1）可得，設的外接圓的半徑為，因為，，所以，則，因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，所以，故的取值范圍為．【點睛】(1)本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于復合函數的問題自然是利用復合函數的性質解答，求復合函數的最值，一般從復合函數的定義域入手，結合三角函數的圖像一步一步地推出函數的最值.20、8【解析】

利用同角三角函數的基本關系式求得，利用三角形的面積公式列方程求得，結合求得，根據余弦定理求得的長.【詳解】由（）得．因為的面積是，則，所以由解得．由余弦定理得，即的長是．【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據公式：頻率=頻數÷樣本容量可補充完成頻率分布表，然