2024年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)章丘區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試題

2024年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)章丘區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共10小題,每小題4分,共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖所示物體的左視圖是（）A. B. C. D.2．我國已建成全球規(guī)模最大的光纖和移動寬帶網(wǎng)絡(luò)，截至2023年底，光纜線路總長度達(dá)至64580000千米，其中64580000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A． B． C． D．3．如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)、分別為直角頂點(diǎn)，且，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．2024年巴黎奧運(yùn)會是第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會，將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行．下面2024年巴黎奧運(yùn)會項(xiàng)目圖標(biāo)是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.5．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．6．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是，下列結(jié)論一定成立的是（）A． B． C． D．7．若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．“配紫色”游戲規(guī)則為紅色和藍(lán)色可配成紫色．現(xiàn)有兩個(gè)不透明的紙箱，分別裝有紅、黃、藍(lán)、綠四張不同顏色的卡片（卡片除顏色不同外其它均相同），從兩個(gè)紙箱中各抽取一張卡片，則配成紫色的概率為（）A． B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，是銳角，于點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，則的長是（）A．6 B．8 C． D．10．如圖為二次函數(shù)的圖象．有下列四個(gè)結(jié)論：①若分別是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11．分解因式：______．12．已知盒子里有2個(gè)黃色球和個(gè)紅色球，每個(gè)球除顏色外均相同，現(xiàn)從中任取一個(gè)球，取出紅色球的概率是，則是___．13．若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．14．如圖，在中，，以為圓心為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再以為圓心為半徑畫弧，恰好交邊于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為______．15．兩地相距，甲、乙兩車同時(shí)從地出發(fā)前往地，如圖所示是甲、乙兩車行駛路程隨行駛時(shí)間變化的圖象，請結(jié)合圖象信息，回答下列問題．（1）甲車的速度為______；（2）當(dāng)甲、乙兩車相距時(shí)，乙車行駛的時(shí)間為______．16．如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，且的長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，則的最小值為______．三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題8分）（1）計(jì)算：（2）先化簡，再求值：，其中．18．（本小題6分）解下列不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．（1）（2）19．（本小題6分）如圖，中，為對角線上的兩點(diǎn)，且，連接．（1）求證：．（2）連接，求證：四邊形是平行四邊形．20．（本小題8分）小剛和小強(qiáng)要測量建筑物的高度，小剛站在建筑物對面的教學(xué)樓前地面上一點(diǎn)處，測得建筑物頂端的仰角為，小強(qiáng)站在建筑物對面的教學(xué)樓二樓上的點(diǎn)處測得建筑物頂端的仰角為，此時(shí)兩人的水平距離為，已知點(diǎn)在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一條水平直線上，教學(xué)樓二樓上的點(diǎn)所在的高度為，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計(jì)算建筑物的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：．21．（本小題8分）某校積極響應(yīng)“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化”的號召，開展經(jīng)典詩詞誦背活動，并在活動之后舉辦經(jīng)典詩詞大賽．為了解本次系列活動的持續(xù)效果，學(xué)校在活動初期，隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查“一周詩詞誦背數(shù)量”，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的條形、扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：活動初期學(xué)生“一周詩詞誦背數(shù)量”統(tǒng)計(jì)計(jì)圖：詩詞大賽結(jié)束后一個(gè)月，再次調(diào)查這部分學(xué)生“一周詩詞誦背數(shù)量”，繪制成統(tǒng)計(jì)表：大賽后學(xué)生“一周詩詞誦背數(shù)量”統(tǒng)計(jì)表：一周詩詞誦背數(shù)量3首4首5首6首7首8首人數(shù)91115422320請根據(jù)上述調(diào)查的信息分析：（1）活動啟動之初學(xué)生“一周詩詞誦背數(shù)量”的中位數(shù)為______（首）；（2）估計(jì)大賽后該校學(xué)生（總數(shù)1200人）“一周詩詞誦背數(shù)量”不少于6首的人數(shù)；（3）選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，從兩個(gè)不同的角度分析兩次調(diào)查的相關(guān)數(shù)據(jù)，評價(jià)該校經(jīng)典詩詞誦背系列活動的效果．22．（本小題8分）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上異于的點(diǎn)，連接，點(diǎn)在的延長線上，且，點(diǎn)在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．23．（本小題10分）某商店銷售一種進(jìn)價(jià)50元件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天銷售量（件）是售價(jià)（元件），其售價(jià)、銷售量的二組對應(yīng)值如表：（1）求出關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元），求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)利潤最大．售價(jià)元/件）5565銷售量（件/天）907024．（本小題10分）直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察圖象當(dāng)時(shí)，直接寫出關(guān)于的不等式的解集；（3）若點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e是6時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（本小題10分）如圖所示，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線和直線的解析式；（2）點(diǎn)是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)時(shí)，求的鉛垂高及；（3）點(diǎn)是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)，使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．26．（本小題12分）（1）問題呈現(xiàn)：如圖1，和都是等邊三角形，連接．易知______．（2）類比探究如圖2，和都是，且．連接，求的值；（3）拓展提升：如圖3，是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長交于點(diǎn)，設(shè)，求的長．答案和解析1．【答案】B【解析】【分析】本題考查幾何體的三視圖．在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．根據(jù)左視圖是矩形，左視圖中間有橫著的實(shí)線進(jìn)行選擇即可．【解答】解：左視圖為：故選：B．2．【答案】B【解析】解：．故選：B．科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時(shí)，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)，是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．3．【答案】A【解析】解：，．是的外角，．故選：A．由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求出，再利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．4．【答案】B【解析】解：A、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該圖能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該圖不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心．據(jù)此逐一判斷即可得到答案．本題考查了中心對稱圖形的概念，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解答本題的關(guān)鍵．5．【答案】B【解析】解：A．，故選項(xiàng)A不符合題意；B．，故選項(xiàng)B符合題意；C．，故選項(xiàng)D不符合題意；D．，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法，冪的乘方和積的乘方，合并同類項(xiàng)等運(yùn)算法則計(jì)算即可．本題考查的是同底數(shù)冪的乘法和除法，冪的乘方和積的乘方，合并同類項(xiàng)，熟練掌握上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．【答案】D【解析】解：由題意得，，，，，四個(gè)選項(xiàng)中，只有D選項(xiàng)中的結(jié)論成立，故選：D．根據(jù)題意得到，由此根據(jù)不等式的性質(zhì)和有理數(shù)的加減計(jì)算法則判斷即可．本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子符號，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．7．【答案】C【解析】解：反比例函數(shù)中，，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大．又，點(diǎn)位于第二象限，；又，點(diǎn)，點(diǎn)位于第四象限，；，故選：C．根據(jù)反比例函數(shù)，確定出圖象所在的象限；再根據(jù)的值，來確定函數(shù)值的大小，即可得到答案．本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．【答案】C【解析】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有16中等可能情形，其中紅色和藍(lán)色配成紫色的情形有2種，故從兩個(gè)紙箱中各抽取一張卡片，則配成紫色的概率為．故選：C．根據(jù)題意畫出樹狀圖，找到所有等可能情形和符合要求的情形，利用概率公式求解即可．此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列表是解題的關(guān)鍵．9．【答案】D【解析】解：如圖，延長交的延長線于，連接，設(shè)，四邊形是平行四邊形，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，整理得：，解得或—9（舍去），，，故選：D．延長交的延長線于，連接，設(shè)．首先證明，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．【答案】D【解析】解：根據(jù)圖象可知，拋物線的對稱軸是直線，的對稱點(diǎn)為，拋物線的開口向下，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，分別是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，，，故①正確；，，拋物線與軸交于正半軸，，，故②正確；時(shí)，的最大值是，，，即，故③正確；，，當(dāng)時(shí)，，，，故④正確；故選：D．根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)得的對稱點(diǎn)為，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性便可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸得，再根可據(jù)拋物線與軸交點(diǎn)位置得，進(jìn)而便可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與二次函數(shù)的性質(zhì)，便可判斷③；由拋物線的對稱軸得，再根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，便可判斷④．此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當(dāng)與同號時(shí)（即），對稱軸在軸左；當(dāng)與異號時(shí)（即），對稱軸在軸右（簡稱：左同右異），③常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)．拋物線與軸交于．11．【答案】【解析】解：原式，故答案為：原式利用平方差公式分解即可．此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．12．【答案】8【解析】解：由題意得：解得：；故答案為：8．用紅球的個(gè)數(shù)除以總球的個(gè)數(shù)得出紅球的概率，從而求出的值．此題考查了概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．【答案】且【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得：且．故答案為：且．利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，找出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．14．【答案】【解析】解：連接，相交于點(diǎn)，由題知，，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形．又，，．又，．，．，．在和中，，．．．故答案為：．連接，根據(jù)所給條件可得出是等邊三角形，是頂角為的等腰三角形，進(jìn)而可得出，進(jìn)一步得出，再用扇形的面積減去其中空白處的面積，且空白處的面積可轉(zhuǎn)化為扇形的面積，據(jù)此可解決問題．本題考查扇形面積的計(jì)算及平行四邊形的性質(zhì)，通過全等三角形將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形的面積之差是解題的關(guān)鍵．15．【答案】901或【解析】解：（1）由圖象可得：；甲車的速度為；故答案為：90；（2）由題意可得：，當(dāng)時(shí)，；設(shè)當(dāng)時(shí)，，則：解得：，，當(dāng)甲、乙兩車相距時(shí)，則可分：①，解得：；②，解得：；③當(dāng)甲已經(jīng)到達(dá)地，乙距甲時(shí)，解得：，綜上所述：當(dāng)甲、乙兩車相距時(shí)，乙車行駛的時(shí)間為或或；故答案為：1或或．（1）根據(jù)圖像可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)圖像可得出與的函數(shù)關(guān)系式，然后問題可求解．本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．16．【答案】【解析】解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，是以為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)共線時(shí)，的值最小，，，，，；的最小值為；故答案為：．因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出，所以是以為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，由，推出當(dāng)共線時(shí)，的值最小，根據(jù)勾股定理求得，從而得出的最小值．本題考查了軸對稱—最短路線問題，判斷出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．17．【答案】解：（1）原式；（2）原式當(dāng)時(shí)，原式．【解析】（1）首先化簡二次根式，計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，去掉絕對值符號，然后合并同類二次根式即可；（2）首先把括號內(nèi)的分式進(jìn)行通分、相減，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，即可化簡，最后代入數(shù)值計(jì)算即可．本題綜合考查了分式的化簡求值，分式混合運(yùn)算要注意先去括號；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算．18．【答案】解：（1），解①得，，解②得，，不等式組的解集為，不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：（2）解①得，，解②得，，不等式組的解集為，不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：【解析】（1）分別求出每個(gè)不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可；（2）分別求出每個(gè)不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可．本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．19．【答案】證明：四邊形為平行四邊形，，，在與中，．（2）證明：連接交于點(diǎn)，連接．由（1）得，，，，，四邊形為平行四邊形．【解析】（1）由“”可證，即可推出；（2）由平行四邊形的判定可證四邊形為平行四邊形．本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．20．【答案】解：由題意得，四邊形是矩形，，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，，解得．答：建筑物的高度約為．【解析】作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計(jì)算，得到答案．本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．【答案】4.5【解析】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生有：（名），背誦4首的有：（人），，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：（首），故答案為：4.5；（2）大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩詞誦背6首（含6首）以上的有：（人），答：估計(jì)大賽后一個(gè)月該校學(xué)生一周詩詞誦背不少于6首以上的有850人；（3）活動啟動之初的中位數(shù)是4.5首，眾數(shù)是4首，大賽比賽后一個(gè)月的中位數(shù)是6首，眾數(shù)是6首，由比賽前后的中位數(shù)和眾數(shù)看，比賽后學(xué)生背誦詩詞的積極性明顯提高，這次舉辦后的效果比較理想．（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以解答本題；（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和表格中的數(shù)據(jù)可以分別計(jì)算出比賽前后的眾數(shù)和中位數(shù)，從而可以解答本題．本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、統(tǒng)計(jì)量的選擇，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．22．【答案】（1）證明：連接，，，，，又是的直徑，，，，即，，是半徑，是的切線；（2）解：，且，設(shè)，，，又，，，，，，，，，即的長為3．【解析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由圓周角定理得出，證出，則可得出結(jié)論；（2）設(shè)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出的長，則可求出答案．本題考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定與相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．【答案】解：（1）設(shè)，由題意得，，解得：，答：關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）由題意得，，當(dāng)時(shí)，有最大值為1250，答：當(dāng)銷售單價(jià)定為75元時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大．【解析】（1）設(shè)，代入兩組數(shù)據(jù)可得的值，即得關(guān)于售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）利潤=銷售量件利潤，可得與的關(guān)系式，可解得當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大．本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是正確解方程組．24．【答案】解：點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，．，把代入中，得．反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）要使當(dāng)時(shí)，滿足，只要一次函數(shù)的函