2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷(含有答案)

2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷（含有答案）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共8頁，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼

粘貼在答題卡上的指定位置.

3.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上無效.

4.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試卷上無

效.

5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

??？荚図樌?

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1.10的相反數(shù)是（）

11

A-10B.10C.——D.—

1010

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義直接求解.

【詳解】解：10的相反數(shù)是一10.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a3a5B.a2-a3a5C.a2a3=a5D.（tz2y=a5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的加法，同底數(shù)累的乘除法，嘉的乘方這些公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】A選項(xiàng)，/和/不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意;

B選項(xiàng)儲(chǔ)/3=笳，正確，故符合題意;

C選項(xiàng)/?/61,不正確，故不符合題意;

D選項(xiàng)（。2丫=不正確，故不符合題意.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同底數(shù)幕的加法，同底數(shù)塞的乘除法，幕的乘方這

些運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.中華鯨是地球上最古老的脊椎動(dòng)物之一，距今約有140000000年的歷史，是國(guó)家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物和長(zhǎng)江珍

稀特有魚類保護(hù)的旗艦型物種，3月28日是中華鯨保護(hù)日，有關(guān)部門進(jìn)行放流活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)魚類物種的延續(xù)

并對(duì)野生資源形成持續(xù)補(bǔ)充.將140000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.14xl07B.1.4xl08C.0.14xl09D.1.4xl09

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜忖＜10,"為整數(shù).確定”的值時(shí)要看把原

數(shù)變成。時(shí)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)”是正數(shù)；當(dāng)

原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)w是負(fù)數(shù).

【詳解】解：140000000=1.4xlO8

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

4.下列立體圖形中，主視圖是圓的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】分別得出棱柱，圓柱，圓錐，球體的主視圖，得出結(jié)論.

【詳解】解：棱柱的主視圖是矩形（中間只有一條線段），不符合題意;

圓柱的主視圖是矩形，不符合題意；

圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；

球體的主視圖是圓，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

5.如圖，直線A5CD,GELEF于點(diǎn)、E.若N6GE=60。，則NEED的度數(shù)是（)

A.60°B.30°C.40°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】延長(zhǎng)GE,與。C交于點(diǎn)根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出/引磔的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角

互余即可求出NEED.

【詳解】解：延長(zhǎng)GE,與。C交于點(diǎn)M

/.NFME=NBGE=60°

,：GE±EF

：.NEFD=90°-60°=30°

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

x—a>2

6.已知不等式組，,的解集是—?jiǎng)t（a+b）=（）

x+l<b'7

A.0B.-1C.1D.2023

【答案】B

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，可得2+a<x<A—1,再結(jié)合已知可得2+a=—1,

A-1=1然后進(jìn)行計(jì)算可求出。，6的值，最后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答.

x-a>2①

【詳解】解:

x+1<。②

解不等式①得：x>2+a

解不等式②得：x<b-l

.?.原不等式組的解集為：2+a<x<〃—1

:不等式組的解集是—1<X<1

2+<2=—1/?—1=1

a=—3b=2

./,\2023/cC\2023/八2023,

..(a+b)=(-3+2)=(-l)=-l

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.象棋起源于中國(guó)，中國(guó)象棋文化歷史悠久.如圖所示是某次對(duì)弈的殘圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使

棋子“帥”位于點(diǎn)(-2,-1)的位置，則在同一坐標(biāo)系下，經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解

析式為()

A.y=x+lB.y=x-lC.y=2x+lD.y=2x-l

【答案】A

【解析】

【分析】利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)即可得解.

【詳解】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，可得“馬”所在的點(diǎn)(1,2)

設(shè)經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為丁=近+可左/0）

,??丫=履+6過點(diǎn)（—2,—1）和（1,2）

2=k+b

-l=-2k+b

k=l

解得《

b=l

...經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=x+i

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法式解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在，A5C中NA5c=90°,NACB=30°和A5=4,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，以。為圓心，08長(zhǎng)

為半徑作半圓，交AC于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

'§6-冬B.5百-4萬C.5月-2萬D.106—2萬

【答案】C

【解析】

【分析】連接0。,BD,作交CD于點(diǎn)首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后利用解直

角三角形求出BD、CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到.函）是等邊三角形NBQD=60°,然后根據(jù)30。角直角三

角形的性質(zhì)求出OH的長(zhǎng)度，最后根據(jù)S陰影=SACB-SCOD-S扇形“B進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接0。，BD,作OHLCD交于點(diǎn)H

:在中ZABC=90°ZACB=3Q°,AB=4

BC=———=AB=4=46

tanZACBtan30°V3

T

..?點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，以。為圓心，08長(zhǎng)為半徑作半圓

是半圓的直徑

NCOS=90。

VZACB=30°

???BD；BC=2布CD=BCcosZBCD=4A/3x—=6

22

又：OB=OC=OD=-BC=2百

2

OB=OD=BD

，OBD是等邊三角形

ZB。。=60。

OHVCDNOS=30。

：.OH=-OC=j3

2

.1廠1廠60萬x(2&『

??§陰影=S^ACB-SXCOD-S扇形0￡(B=-X4X4V3--xv3x6=5,3—2萬,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了30。角直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形面積，勾

股定理等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知拋物線丁=依?+法+c(aw0)的對(duì)稱軸是直線x=l,且過點(diǎn)(—1,0),頂點(diǎn)在第一象限，

其部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①"<0；?4a+2b+c>0；③3a+c>0；④若

B(x2,y2)(其中王<%2)是拋物線上的兩點(diǎn)，且不+々>2,則%>%，其中正確的選項(xiàng)是()

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a<0,〃=—2。且b>0,可判斷結(jié)論①；由x=2處的函數(shù)值可判斷結(jié)

論②；由x=—l處函數(shù)值可判斷結(jié)論③；根據(jù)西+々〉2得到點(diǎn)A（石，x）到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)

3（%，%）到對(duì)稱軸的距離可判斷結(jié)論④.

【詳解】解：二次函數(shù)開口向下，則。<0

b

二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,則——=1,〃=—2。且>>0

2a

ab<0,故①正確；

?過點(diǎn)（-1,0）

...由對(duì)稱性可得二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)為（3,0）

由函數(shù)圖象可得X=2時(shí)y>0

4a+2b+c>0,故②正確；

%=_1時(shí)y=0

:.a—/?+c=0

〃=—2a代入得：3a+c=0,故③錯(cuò)誤；

:對(duì)稱軸是直線為=1

.,.若石；9=[即*+々=2時(shí)%=%

當(dāng)％+%>2時(shí)

點(diǎn)A（玉,%）到對(duì)稱軸距離小于點(diǎn)3（%,為）到對(duì)稱軸的距離

:二次函數(shù)開口向下

.1?%>%，故④正確.

綜上所述，正確的選項(xiàng)是①②④.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，。4=。3=36，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BC=-,連接

AC,點(diǎn)M是線段AC上的一點(diǎn)，且滿足CM:M4=1:2.當(dāng)線段取最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，一為半徑的08上，在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。-工,0,連

2I2J

接BD,分別過C、M作CFLQ4,MELQ4垂足為尸、E,先證_Q4Ms得

"=0_=2,從而當(dāng)取得最大值時(shí)OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)O,B,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)

CDAD3

5在線段DC上時(shí)。取得最大值，然后分別證BDgCDF,一利用相似三角形的性

質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：：點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)BC=-

2

3

...點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心，一為半徑的08上

2

,連接30,分別過C、M作CFLQ4,垂足為產(chǎn)、E

：.AD=OD+OA=^~

2

.OA_2

"AD3

VCM:M4=1:2

.0A2CM

,*AD-3

ZOAM=ZDAC

：.,OAM^,DAC

,OMOA2

'，-cF-AD-3

???當(dāng)CO取得最大值時(shí)OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)。，B,C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)B在線段DC上時(shí)

取得最大值

?OA=OB=3MOD=±

2

.BD=y/OB2+OD2=15

~2

.CD=BC+BD=9

OM2

CD3

?OM=6

?，軸，龍軸CFLOA

.NDOB=NDFC=9Q0

?/BDO=/CDF

.BDOsCDF

OB_BD^—

---=即m37R50

CFCD-----=-

CF9

解得。/=竺叵

5

同理可得/AEM^LAFC

ME_2

MEAM2

---=-----=—即cm18A/5-3

CFAC3

5

解得睚=吆5

5

???OE=y/OM--ME2=.=—

\I5J5

（6751275^

，當(dāng)線段OM取最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是

I33,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握

相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）

11.計(jì)算：716=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念求解即可.算術(shù)平方根的定義：一個(gè)非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個(gè)數(shù)的

算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】解：原式="=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

12.為了加強(qiáng)中學(xué)生“五項(xiàng)管理”，葛洪學(xué)校就“作業(yè)管理”、“睡眠管理”、“手機(jī)管理”、“讀物管

理”、“體質(zhì)管理”五個(gè)方面對(duì)各班進(jìn)行考核打分（各項(xiàng)滿分均為100）,九（1）班的五項(xiàng)得分依次為

95,90,85,90,92,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

【答案】90

【解析】

【分析】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

【詳解】眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)中90出現(xiàn)2次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90.

故答案為：90.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)，眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意：在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能

不止一個(gè).

13.實(shí)數(shù)如〃分別滿足加2—3根+2=0,1—3〃+2=0,且相則工+工的值是.

mn

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題可知，相和”是爐―3%+2=0的兩個(gè)根

所以〃z+〃=3,mn=2

,11m+n3

所以一+—=------=-；

mnmn2

3

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握“若一元二次方程

雙2+區(qū)+。=0（〃。0）的兩個(gè)根分別為玉和42，則為+九2=-2，再與二色”。

一aa

AB「

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC與△a^iG位似，原點(diǎn)。是位似中心，且Tf=3.若

A（9,3）,則4點(diǎn)的坐標(biāo)是.

x

【答案】（3,1）

【解析】

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)4（加/）

???.ABC與△AgG位似，原點(diǎn)。是位似中心，且7^=3.若4（9,3）

A內(nèi)

3

???位似比為丁

??—―9——

m1n1

解得m=3幾=1

???4（3,1）

故答案為：（3,1）

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線％=左逮+6與雙曲線%=§(其中左「左2彳0)相交于4(—2,3),

網(wǎng)以―2)兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作3P〃x軸，交y軸于點(diǎn)尸，則一A3P的面積是.

【解析】

【分析】把4(-2,3)代入到%=§可求得％2的值，再把3(〃-2)代入雙曲線函數(shù)的表達(dá)式中，可求得

m的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】?.?直線+5與雙曲線%=§(其中%"wO)相交于4―2,3),5(加,—2)兩點(diǎn)

k2=—2x3=—2m

k2=-6,m=3

雙曲線的表達(dá)式為：％=—96(3,—2)

X

:過點(diǎn)B作無軸，交y軸于點(diǎn)P

：.BP=3

???SA^=%><3X(3+2)=11

故答案為—.

2

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖象上

點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

16.2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì).這次大會(huì)的會(huì)

徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”.如圖，用四個(gè)全等的直

角三角形(RtAAHB名RtABEC名RtACFI涇RtADGA)拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與

正方形EFGH,連接AC和石G,AC與EG、BH分別相交于點(diǎn)尸、。、。，若BE:EQ=3:2,則

【答案】逝

3

【解析】

【分析】設(shè)￡C=x(x>°)，￡Q=2a(a>0)則BE=3a,證明一_CEQ,利用相似三角形的性

質(zhì)求出EC=5〃=6。，可得QH=a,EH=3a利用勾股定理求出和AQ,進(jìn)而可得的長(zhǎng)，再

證明QEO卷尸GO(SAS),可得OP=OQ=平。，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出0E,即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)￡C=x(x>0),￡Q=2a(a>0)則5E=3a

ZAHQ=ZCEQ=90°ZAQH=ZCQE

AHQCEQ

.QHAH

"QE~EC

?；Rt_AHB^Rt_BEC

AH=BE=3dBH=EC=x

：.QH=BH-BE-EQ=x-5a

.x-5a_3a

2ax

整理得：x2-5ax-6a2=0

解得：xx=6a,x2=-a(舍去)

即==

：.QH=aEH=3a

；?BC=y/BE2+EC2=3舊aAQ=^AH2+QH2=yflOa

AC=41BC=3屈a

??_1"_3何

,,CzA——AC-------a

22

?，.OQ=OA-AQ=^-a

:四邊形TffiFG是正方形

ZQEO=ZPGOOE=OG

又：ZQOE=ZPOG

：.QEO=尸GO(SAS)

：.OP=OQ=--a

又,：EG=yfiEH=30a

V10

.OP__逐

"OE~3y/23

-----a

2

故答案為：逝.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解

一元二次方程以及二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，證明，CEQ,求出EC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共8小題，17~21題每題8分，22~23每題10分，24題12分，共計(jì)72

分）

17.先化簡(jiǎn)，再求值：”-----^―,其中。=2.

a-1a--l

1

【答案］--

。+13-

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算，再將。=2代入即可得解.

【詳解】解：原式==-------—

a2-la2-1

G—1

(a-1)(a+1)

1

<7+1

當(dāng)a=2時(shí)原式=---=—

2+13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的加減，約分等相關(guān)計(jì)算法則是解決本題的關(guān)

鍵.

18.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCZ）的邊上的一點(diǎn)，且AE=A￡）.

（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用2B鉛筆）：作Z7ME的平分線A/，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接￡）歹.（保留作

圖痕跡，不寫作法）;

（2）試判斷四邊形AEED的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析（2）四邊形AEFD是菱形，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可;

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出=結(jié)合角平分線的定義可得NEM=NE4/，則

AE=EF,然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論.

【小問1詳解】

【小問2詳解】

四邊形AEFD是菱形;

理由：?.?矩形A8CD中AD//BC

/.ZDAF=ZAFE

：AF平分為ME

ZDAF=/EAF

:.ZEFA=ZEAF

/.AE=EF

AE=AD

AD=EF

AD//EF

，四邊形AEFD是平行四邊形

又：=

平行四邊形AEED是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形

的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

19.為慶祝建黨100周年，讓同學(xué)們進(jìn)一步了解中國(guó)科技的快速發(fā)展，東營(yíng)市某中學(xué)九（1）班團(tuán)支部組織

了一次手抄報(bào)比賽.該班每位同學(xué)從A.“北斗衛(wèi)星”；B.“5G時(shí)代”；C.“東風(fēng)快遞”；D.“智軌

快運(yùn)”四個(gè)主題中任選一個(gè)自己喜歡的主題.統(tǒng)計(jì)同學(xué)們所選主題的頻數(shù)，繪制成以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：

（1）九（1）班共有名學(xué)生；

（2）補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖；

（3）。所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的大小為；

（4）小明和小麗從A、B、C、。四個(gè)主題中任選一個(gè)主題，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出他們選擇相

同主題的概率.

【答案】（1）50；（2）見解析；（3）108°；（4）-

4

【解析】

【分析】（1）用B組頻數(shù)除以所占百分比即可求解；

(2)用50減去A、B、C組頻數(shù)，求出。組頻數(shù)，即可補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;

(3)用360。乘以。組所占百分比即可求解；

(4)列表得出所有等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】(1)20-40%=50(人)

故答案為：50；

(2)50-10-20-5=15(人)

補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖如圖：

(3)360°X—=108°

50

故答案為：108°；

(4)列表如下:

小明

ABcD

小麗

A(AA)(B，A)(CA)(DA)

B(AB)?、蔛)(D,B)

C(AC)(B?(CC)(D，C)

D(A。)(BQ)(CD)

由列表可知，一共有16種等可能的結(jié)果，他們選擇相同主題的結(jié)果有4種

41

所以尸(相同主題)=—=—.

164

【點(diǎn)睛】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，求概率等知識(shí)，理解兩幅統(tǒng)計(jì)圖提供的公共信息是解題第

(1)(2)(3)步關(guān)鍵，列表得出所有等可能的結(jié)果是解題第(4)步關(guān)鍵.

20.鄂州市蓮花山是國(guó)家4A級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國(guó)各地旅

游愛好者的青睞.今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝活動(dòng).如圖2,景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備

從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，從元明塔底部廠點(diǎn)沿水平

方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得條幅下端E的仰角為30。；接著他沿自動(dòng)扶梯

4

AO到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)。的水平距離為15米，且tan/DAB=—；然后他從。點(diǎn)又沿水

3

平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得條幅上端G的仰角為45°.(圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且

G,C,B共線，F(xiàn),A,2共線，G、E、尸共線CD〃AB,GFLFB).

(1)求自動(dòng)扶梯AD長(zhǎng)度；

(2)求大型條幅GE的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留根號(hào))

【答案】(1)25米(2)(110-10句米

【解析】

4DM4

【分析】(1)過。作ZWIAB于M,由tanNZMBu—可得——=—,求出的長(zhǎng)，利用勾股定理即

3AM3

可求解；

(2)過點(diǎn)。作。NJ_G￡于N,則四邊形是矩形，得NF=DM,DN=FM由己知計(jì)算得出

CN的長(zhǎng)度，解直角三角形得出GN的長(zhǎng)度，在RLAE尸中求得所的長(zhǎng)度，利用線段的和差，即可解決問

題.

【小問1詳解】

解：過。作于M,如圖：

DM4

在RtaADM中tan/DAM=——=一

AM3

：AM=15（米）

.?.DM=20（米）

由勾股定理得AD=1AM?+DM。=Jl52+2（）2=25（米）

【小問2詳解】

如圖，過點(diǎn)。作。N_LGE于N

?/DM±ABZGFB=90°

，四邊形DAIFN是矩形

液=￡＞河=20（米）￡^=9=”+w=30+15=45（米）

由題意，C/V=CD+DN=45+45=90（米）

NDCG=45。

GN

：.tanZGCN=l=—

CN

，G2V=90（米）GF=GN+NF^90+20^110（米）

由題意NE4P=30°AF=30（米）

AtanZEAF=—=—

3AF

：.所=104(米)

GE=GF-EF=(110-10A/3)米

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌

握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.1號(hào)探測(cè)氣球從海拔10m處出發(fā)，以的速度豎直上升.與此同時(shí)2號(hào)探測(cè)氣球從海拔20m處出

發(fā)，以am/min的速度豎直上升.兩個(gè)氣球都上升了lh.1號(hào)、2號(hào)氣球所在位置的海拔%,為（單

位：m）與上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：

（2）請(qǐng)分別求出為，力與彳的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)上升多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為5m?

【答案】（1）30（2）%=x+10%=gx+20；（3）lOmin或30min

【解析】

【分析】（1）根據(jù)1號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和速度即可計(jì)算6的值，根據(jù)6的值、2號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔

和運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算2號(hào)探測(cè)氣球的速度可計(jì)算a的值；

（2）由（1）可得％與%函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（20,30）,分別代入計(jì)算即可；

（3）由題意可得%—%=5或％—%=5,分別計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：6=10+20x1=3067=（30-20）-^20=1

故答案為：；，30；

【小問2詳解】

由（1）可得%與內(nèi)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（20,30）

設(shè)X=勺%+10y2=左2%+20

將（20,30）分別代入可得：30=20^+1030=20自+20

解得：冗=1k=—

2

，％=x+10y2=—x+20；

【小問3詳解】

由題意可得%一%=5或%一%=5

當(dāng)y_%=5時(shí)x+10_(；x+2o1=5

解得x=30

當(dāng)%—%=5時(shí)gx+20—(x+10)=5

解得x=10

當(dāng)上升lOmin或30min時(shí)兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AB為(。的直徑，E為C。上一點(diǎn)，點(diǎn)C為曲的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDLAE,交AE的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)。，延長(zhǎng)。。交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：CD是：。的切線；

(2)若DE=1,DC=2,求O的半徑長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析(2)-

2

【解析】

【分析】(1)連接OC,根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證ZDAC=ZCAF,根據(jù)圓的性質(zhì)得ZOAC=ZOCA,

證明OC〃AD,得到NOB=NO=90°,根據(jù)切線的判定定理證明；

(2)連接BC,CE,根據(jù)勾股定理得到CE=J?的長(zhǎng)，根據(jù)等弧對(duì)等弦得到EC=CB=J?，根據(jù)圓內(nèi)

接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得NA3C+NAEC=180。，推出N￡>EC=NABC,證明.DECs一四4,利用相似

三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接oc

:點(diǎn)C為防的中點(diǎn)

EC=CB

：.ZDAC=ZCAF

VOA=OC

：.ZOAC^ZOCA

：.?DAC?COA

：.OC//AD

ZOCF=ZD=90°

?/OC為半徑

:.DC為O切線；

【小問2詳解】

解：連接BC,CE

?/CDLAD

：.?D90?

VDE=1DC=2

CE=VCD2+￡>E2=V22+l2=迅

是BC的中點(diǎn)

,?EC=CB

EC=CB=5/5

為：。的直徑

/.NACB=90°

VZDEC+ZAEC=180°ZABC+ZAEC=180°

/./DEC=ZABC

：..DECjCBA

.DECE

"BC~AB

.1_V5

,,石一益

：.AB=5

AO=-AB=-

22

0。的半徑長(zhǎng)為g.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

23.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究丁=依2（。＞0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類

型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離尸產(chǎn)，始終等于它到定直線/：y=-工的距離PN（該結(jié)

I4aJ4a

論不需要證明）.他們稱：定點(diǎn)尸為圖象的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=-工叫做拋物線的準(zhǔn)線方

4〃

程.準(zhǔn)線/與y軸的交點(diǎn)為H其中原點(diǎn)。為EH的中點(diǎn)FH=2OF=—.例如，拋物線＞=2必，其

2a

焦點(diǎn)坐標(biāo)為/（03],準(zhǔn)線方程為/：y=-』，其中尸N=PNFH=2OF=-.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

（1）請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=工力的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：，；

4

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,已知拋物線y=上一點(diǎn)＞0）到焦點(diǎn)廠的距離是它到x軸距離的3倍，

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【能力提升】

（3）如圖3,已知拋物線y=的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線方程為/.直線加y=gx-3交y軸于點(diǎn)C,拋物

線上動(dòng)點(diǎn)尸到x軸的距離為4,到直線比的距離為乙，請(qǐng)直接寫出4+4的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線丁=依2（。＞0）平移至〉="無-/7）2+乂4＞0）.拋物線

y=〃（x-/z）2+%（〃〉（））內(nèi)有一定點(diǎn)尸［九左+/■）,直線/過點(diǎn)左一且與x軸平行.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在

該拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)尸到直線/的距離2片始終等于點(diǎn)尸到點(diǎn)尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例如：拋物

線,=2(1)2+3上的動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線/：y=——的距離.

8

請(qǐng)閱讀上面的材料，探究下題:

（4）如圖4,點(diǎn)。是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y=1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PO+PD取最

小值時(shí)請(qǐng)求出一POD的面積.

y=T；(2)[0,g]；(3)2A/5-1(4)|

【答案】（1）（0,1）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

（2）利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得/2=8%2+2%-1,然后根據(jù)為求出為，

進(jìn)而可得吃,問題得解；

（3）過點(diǎn)P作尸石，直線機(jī)交于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸作PGL準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

PG=PF^dl+l,PE=《根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)產(chǎn)，P，E三點(diǎn)共線時(shí)4+4的值最??；待定

系數(shù)法求直線尸石的解析式，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為V5-1,，根據(jù)點(diǎn)E是直線QE和直線機(jī)的交

點(diǎn)，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為即可求得&和4的值，即可求得；

（4）根據(jù)題意求得拋物線y=；x2—1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p（0,0）,準(zhǔn)線/的方程為y=-2,過點(diǎn)p作PG_L

準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=P尸，則尸。+?￡>=尸6+尸。，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短可得當(dāng)。，P,G三點(diǎn)共線時(shí)PO+PD的值最??；求得；，一：]，即可求得PQD的面積.

【小問1詳解】

解：：拋物線y=2*2中q=J_

44

1

???1=11---=—1I

4〃4a

拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0」），準(zhǔn)線/的方程為y=—l

故答案為：（0,1）y=—l；

【小問2詳解】

解：由（1）知拋物線y=的焦點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,1）

?.?點(diǎn)0（％,%）（/>0）到焦點(diǎn)廠的距離是它到無軸距離的3倍

22

，+（%-]]=3%,整理得：x0=8y0+2y0-1

=8)^+2%—1

解得：%=5或?yàn)?一^（舍去）

,?XQ—\/2

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【小問3詳解】

解：過點(diǎn)P作PE，直線m交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PG,準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

PG=PF=4+1,PE^d2如圖:

若使得4+4取最小值，即P尸+。石―1的值最小，故當(dāng)尸，p，E三點(diǎn)共線時(shí)PF+PE—1=EF—1,

即止匕亥！J4+4的值最小；

,/直線PE與直線加垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y=-^x+b

將歹（0,1）代入解得：b=l

A直線PE的解析式為y=—；x+1

???點(diǎn)尸是直線形和拋物線y=的交點(diǎn)

令一x'=—x+1,解得：X=V5—1?x,=——1（舍去）

421-

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

.?.4=厚

12

:點(diǎn)E是直線小和直線機(jī)的交點(diǎn)

令—犬+1=-x~3f解得：x=4

22

故點(diǎn)石的坐標(biāo)為（4,-1）

即4+d2的最小值為2逐-1.

【小問4詳解】

11

解：???拋物線y=-x9-1中。二一

44

?1111

4〃4a

，拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0,0）,準(zhǔn)線I的方程為y=-2

過點(diǎn)尸作PG，準(zhǔn)線/交于點(diǎn)G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知尸G=P尸，則尸O+?D=PG+?D,如

若使得PO+PD取最小值，即PG+尸。的值最小，故當(dāng)。，P,G三點(diǎn)共線時(shí)

PO+PD^PG+PD=DG,即此刻PO+PD的值最??；如圖：

?.?點(diǎn)D的坐標(biāo)為DGL準(zhǔn)線/

13

點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-1,代入y=—必一1解得丁=一一

44

即心—］吁

I24J244

199

則一POD的面積為SPOD=-x-x1=-.

248

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次

函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識(shí)的結(jié)論.

24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線軸，交y軸的正半軸于點(diǎn)A,且。4=2,點(diǎn)8是y軸右側(cè)

直線/上的一動(dòng)點(diǎn)，連接08.

y-y-

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若動(dòng)點(diǎn)8滿足NA6O=30°,點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，。點(diǎn)為線段06上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CD.在平面內(nèi)，將△BCD沿翻折，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，CP與03相交于點(diǎn)。，當(dāng)CPLA5時(shí)

求線段DQ的長(zhǎng)；

AB

(3)如圖3,若動(dòng)點(diǎn)B滿足示=2,E尸為一Q46的中位線，將ZkBE/繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)點(diǎn)O、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)求直線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)如圖4,0C平分NA05交A3于點(diǎn)C,于點(diǎn)O,交0C于點(diǎn)E,A產(chǎn)為△AEC的一

條中線.設(shè)△ACE,_。。石和.04c的周長(zhǎng)分別為G，。2和.試探究：在8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)

2G+c,11

——1=V時(shí)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).

。38

20

【答案】(1)(0,2)(2)73-1(3)(4,0)或(y-,0)(4)(20,2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)。4=2,點(diǎn)A位于y軸的正半軸即可得出答案；

(2)根據(jù)折疊性質(zhì)和特殊角解三角形，先求出3C=若，沙=2再過點(diǎn)。作QHLAB，得出

CH=DH,5〃=解三角形即可求出。3=3—百，從而求出。Q=3Q—=6—1

(3)將石尸繞點(diǎn)2在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。、E、歹三點(diǎn)共線時(shí)有兩種情況，當(dāng)將繞點(diǎn)B

在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，可得點(diǎn)E、夕恰好落在無軸OE=AB=4,從而可得直線與無軸交點(diǎn)的坐

標(biāo)；當(dāng)將小歸石尸繞點(diǎn)B在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到08上方時(shí)可得Rt043三RtBOE(HL),從而得出

AD§

ZABO=ZBOE,O￡=AB=4繼而可求cosNA7?O=——=—,再由0K=---------即可求出交點(diǎn)

OR5cosZARO

坐標(biāo).

2G+G2c,Q2AF+OD11

(4)由已知可證明OACODE一AFC,進(jìn)而可得一J~-=—+—=———=E由此可得

c3c3c3OA8

2AF=--OD,延長(zhǎng)A/交OB于X點(diǎn)，可得AH=2AE=U—OD,DH=OH—OD=2—OD然

4