歷年高考數(shù)學（文）知識清單 函數(shù)的圖像與性質(zhì)（考點解讀）（原卷+解析版）

函數(shù)的圖像與性質(zhì)

考情解讀

函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用及函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，識圖用圖是高考的熱點，題型既有選擇題、

填空題，又有解答題，與函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)綜合在一起考查.

預計高考仍將綜合考查函數(shù)性質(zhì)，并能結(jié)合函數(shù)圖象的特點，對各個性質(zhì)進行綜合運用，另外函數(shù)的

性質(zhì)還常常與向量、不等式、三角函數(shù)、導數(shù)等知識相結(jié)合，所以在備考過程中應加強這方面的訓練.

重點知M梳理

知識點1.函數(shù)

(1)映射：集合A(A中任意x)集合B(B中有唯一y與A中的x對應).

(2)函數(shù)：非空數(shù)集A-->非空數(shù)集B的映射，其三要素：定義域A、值域C(CGB)、對應法則f.

①求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(I)分式的分母不為零；

(II)偶次方根被開方數(shù)不小于零；

(HI)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

(IV)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

(V)正切函數(shù)y=S〃x中，x的取值范圍是xGR,且#E+；,kRZ.

②求函數(shù)值域的方法：無論用什么方法求值域，都要優(yōu)先考慮定義域，常用的方法有基本函數(shù)法、配

方法、換元法、不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法、函數(shù)的有界性法、導數(shù)法.

③函數(shù)圖象在無軸上的正投影對應函數(shù)的定義域；函數(shù)圖象在y軸上的正投影對應函數(shù)的值域.

知識點2.函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的奇偶性

如果對于函數(shù)y=/(尤)定義域內(nèi)的任意一個尤，都有八一x)=F尤)(或/(—尤)=/(尤))，那么函數(shù)/(x)就叫做

奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

(2)函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的又一個重要性質(zhì).給定區(qū)間。上的函數(shù)?x),若對于任意XI、X2當無2

時，都有於1)勺8)(或/(尤1)>/2)),則稱於)在區(qū)間。上為單調(diào)增(或減)函數(shù).反映在圖象上，若函數(shù)/(x)是

區(qū)間。上的增(減)函數(shù)，則圖象在。上的部分從左到右是上升(下降)的.如果函數(shù)八x)在給定區(qū)間(a,6)上

1

恒有1(x)>0(T(x)<0),則Ax)在區(qū)間(a,6)上是增(減)函數(shù)，(a,6)為人尤)的單調(diào)增(減)區(qū)間.

判定單調(diào)性方法主要有定義法、圖象法、導數(shù)法等.

(3)函數(shù)的周期性

設函數(shù)xRD,如果存在非零常數(shù)T,使得對任意尤CD,都有?x+T)=/U),則函數(shù)?x)為周期

函數(shù)，T為y=/(x)的一個周期.

(4)最值

一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①對于任意的xd/,都有八x)WM(或/(x)NM)；

②存在xod/,使大刈)=",那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值(或最小值).

知識點3.函數(shù)圖象

(1)函數(shù)圖象部分的復習應該解決好畫圖、識圖、用圖三個基本問題，即對函數(shù)圖象的掌握有三方面的

要求：

①會畫各種簡單函數(shù)的圖象；

②能依據(jù)函數(shù)的圖象判斷相應函數(shù)的性質(zhì)；

③能用數(shù)形結(jié)合的思想以圖輔助解題.

(2)利用基本函數(shù)圖象的變換作圖

①平移變換：

h>0,右移網(wǎng)個單位

----->y=f(x—h),

h<0,左移|川個單位

k>0,上移閃個單位

y=f(x)----->y=f{x}+k.

k<0,下移固個單位

②伸縮變換：

o<3<1,橫坐標伸長到原來的,倍

(1)

y=f(x)----------------------------------------------------7=/(3x),

3>1,橫坐標縮短到原來的二-倍

co

r,、0<4<1,縱坐標縮短到原來的A倍、

y=f(X)4,縱坐標伸長到原來的.4倍—=

③對稱變換：

y=f(x)y=~f(x),

y=A尤）y=?—尤），

2

y=f(x)y=fC2,a-x),

y=/(x)y=F—x)?

IWJ頻者點突破

高頻考點一函數(shù)的概念及表示

例1、【2019年高考江蘇】函數(shù)>=J7+61_好的定義域是一A_.

【舉一反三】(2018年江蘇卷)函數(shù)f(xi=Jog/T的定義域為.

R1―2,爛1,

[變式探究]⑴已知函數(shù)/)=|_四,，v+1.,x>l且Aa)=—3,則大6-a)=()

A.--B.-

J4

C.D.

4A

Im+N,|%|>1,

(2)設函數(shù)/(x)=%,\X\<1的圖象過點(1,1),函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，若函數(shù)穴g(x))的值域是[0,

+8),則函數(shù)g(x)的值域是()

A.(-oo,-1]U[1,+oo)

B.(-oo,-1]U[0,+oo)

C.[0,+oo)

D.[1,+co)

【方法規(guī)律】1.(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時，應遵循先內(nèi)后外的原則.

(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.即“分段歸類”“數(shù)

形結(jié)合”為常用技巧方法.

2.求函數(shù)值域(最值)的常用方法有：(1)直接法，求得函數(shù)解析式的范圍，得到函數(shù)的值域；(2)配方法，

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解；(3)分離常數(shù)法，對于探求形如y=ax'b(今0)的值域，常把其分子分離成不含

d

自變量x的形式；(4)換元法，通過換元轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)；(5)單調(diào)性法，此法需先確定函數(shù)在定義域上(或

某個定義域子集上)的單調(diào)性；(6)圖象法，若函數(shù)解析式的幾何意義較明顯，諸如距離、斜率等，可用數(shù)形

結(jié)合的方法求其值域；(7)基本不等式法，對于探求形如y=x+A%>0)的值域，常用基本不等式求解；(8)導

數(shù)法，先利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，再求其值域.

3

Jl+log*22-X-,x<L

【變式探究】設函數(shù)ZU)=b1,欄1,A-2)+/(log212)=()

A.3B.6

C.9D.12

高頻考點二函數(shù)的圖象及應用

例2、【2019年高考全國I卷文數(shù)】函數(shù)人》)=「"':】在［TT,TT］的圖像大致為

▲Y

sin2x的圖象可能是

【變式探究】【2017課標1的部分圖像大致為

4

【方法技巧】識別函數(shù)圖象的方法

基本方法有：（1）直接法（直接求出函數(shù)的解析式并作出其圖象）；（2）特例排除法（其中用特殊點法破解函

數(shù)圖象問題需尋找特殊的點，即根據(jù)已知函數(shù)的圖象或已知函數(shù)的解析式，取特殊點，判斷各選項的圖象

是否經(jīng)過該特殊點）；（3）性質(zhì)驗證法.

【變式探究】（1）已知函數(shù)Ax）（xdR）滿足八-x）=2-/（x）,若函數(shù)＞=火」與y=?x）圖象的交點為（xi,以）,

(X2,>2),%(Xm,ym),則Z(即+%)=()

i=\

A.0B.m

高頻考點三函數(shù)的單調(diào)性

例3、【2019年高考北京文數(shù)】下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+團）上單調(diào)遞增的是

1

A.B.產(chǎn)尸

c.y=i°gpD.

2r

1

-

y-【舉一反三】（年全國卷）右（在是減函數(shù)，則的取大值是

X22018nfx-CQ￡

B冗

2-

5

【變式探究】【2019年高考全國in卷文數(shù)】即（X）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,+偽）單調(diào)遞減,

\I2

A-f（log3j）>/（2二1>/（2一彳）

|]）

B.f（log3-）>f（2~i>>f<2二）

t,i|

C./（2-i）>/（2"i>>J（1噌-）

..I

D./（2'i>>/（2；>>/；）

【方法技巧】

1.基本法是利用單調(diào)性化簡不等式.速解法是特例檢驗法.

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一樣.常用的方法有：

（1）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.（2）定義法：先求定

義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間.（3）圖象法：如果穴尤）是以圖象形式給出的，或者/（x）的圖象易作出，

則可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.（4）導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

3.若函數(shù)/W在定義域上（或某一區(qū)間上）是增函數(shù)，則/1）</（X2）QXG2.利用上式，可以去掉抽象函數(shù)

的符號，將函數(shù)不等式（或方程）的求解化為一般不等式（或方程）的求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給

定的范圍內(nèi)進行.

【變式探究】（1）設函數(shù)/W=ln（1+田）一，則使得犬工）>八2工一1）成立的工的取值范圍是（）

4-x2

仕；I1-8,

A.3；BA3U(1,+oo)

f-oo,P，+8

1

cl33D53u3

(2)若〃>Z?>l,0Vc<1,則()

A.ac<bcB.abc<ibac

C.alogbc<biogaCD.\ogaC<\OgbC

高頻考點四比較函數(shù)值的大小

0,2

例4、[2019年高考天津】已知a=log52,b=log050.2,c-O,5，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

1

【舉一反三】（2018年天津卷）已知“1*封，,c-logj-,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

6

ABCD

【變式探究】(1)設。=log32,Z?=log52,C=log23,則()

A.a><?>/?B.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

(2)已知x=lnii,y=log52,z=e'匚，貝)

A.x<j<zB.z<.x<.y

C.zVyVxD.y<z<x

真題感悟

203

1.［2019年高考全國I卷文數(shù)】已知a=log20.2,b=2°-,c=O.2,則

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

2.【2019年高考全國H卷文數(shù)】設?x)為奇函數(shù)，且當近0時，?=e"—B則當x<0時，f(x)=

-x-x

A.e-lB.e+1

C.-e-x-1D.-e-x+1

f(x)=ex—13.【2019年高考全國III卷文數(shù)】函數(shù)/(%)=2sinx—sin2x在［0,2兀］的零點個數(shù)為

A.2B.3

C.4D.5

4.【2019年高考天津文數(shù)】已知Q=log27/=log?8,c=0.3°2,貝ij〃，b,c的大小關(guān)系為

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

5.【2019年高考北京文數(shù)】下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+偽）上單調(diào)遞增的是

—Y丫x

A?y-xB.y=27

C.>=bgBD.1

y二一

2

y=1v=*6.［2019年高考全國I卷文數(shù)】函新⑴J/在［—的圖像大致為

、八

7

￥y八

C.D.._

-7T0工[

7.【2019年高考北京文數(shù)】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與

SE

亮度滿足相2-mI=二31，其中星等為m*的星的亮度為E*1=1,2）.已知太陽的星等是-26.7,天狼星

的星等是-L45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

A.IO101B.10.1

C.IglO.lD.10-101

8.【2019年高考浙江】在同一直角坐標系中，函數(shù)y=—y=log“（x+-）（a>0,且存1）的圖象可

a*2

能是

9.（2019年高考全國ni卷文數(shù)】即（X）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,+m）單調(diào)遞減，則

A-/（log3；）>/（24?>/（2」）

I.）

1

B.f（log3-）>f（2'>f（2'）

,.|

c.f（2；）>/（2：）>/（logs-）

，?■I

D./（2i）>/（2：）>/（1噌]）

[24,0<x<l,

10.【2019年高考天津文數(shù)】已知函數(shù)式x）=〈Ii若關(guān)于x的方程

口%>1-

f（x）=-+a（aeR）恰有兩個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍為

8

U{1}U{1}

(.x,x<0

11.【2019年高考浙江】已知。*二R,函數(shù)4九)=([I1、2八?若函數(shù)

32

'V+l)x+ax,x>0

y=fM-ax-b恰有3個零點,貝！I

A.a<-l,b<0B.a<-1,Z?>0

C.a>-l,b<0D.a>-l,b>0

12.【2019年高考江蘇】函數(shù)y=J7+6x-f的定義域是▲.

_a2

13.[2019年局考浙江】已知a=R，函數(shù)力?=ax'-x,若存在t=R,使得+2)-/(/)|<-,

3

則實數(shù)a的最大值是.

14.【2019年高考北京文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：

一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付尤元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的

80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為

15.【2019年高考江蘇】設/(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，人處的周期為4,g(x)的周

(/(X+2),0<x<1

期為2,且人x)是奇函數(shù).當x=(0,2]時，/(x)=&_/_])2,g(x)=(I1,其中k>0.

Il--,1<x<2

I*12

若在區(qū)間(0,9]上，關(guān)于尤的方程/(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是▲

1.(2018年浙江卷)函數(shù)"sin2x的圖象可能是

9

A.AB.BC.CD.D

1

7j-i

4.(2018年天津卷)已知"1%三上=(j))=logy，則的大小關(guān)系為

3

ABCD

5.(2018年全國I卷)設函數(shù)f(x)=/JxX］；，則滿足f(X+1)vf(2x)的x的取值范圍是

A.B.(0.+8)C.D

6.(2018年全國I卷)設函數(shù).若.為奇函數(shù)，則曲線在點(0.0)處的切

10

線方程為

ABCD

7.（2018年全國HI卷）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是

ABCD

1.【2017課標1,文8］函數(shù)y=的部分圖像大致為

1-cos,

s詈的部分圖像大致為（）

2.［2017課標3,文7］函數(shù)y=l+x+-

V一

AB

L-.[1

___A-qi*

cD

_（!），，則人X）

3.［2017北京，文5］已知函數(shù)八x)=3

（A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

11

(B)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

(C)是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

(D)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

4.12017北京，文8】根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物

質(zhì)的原子總數(shù)N約為108°.則下列各數(shù)中與￥最接近的是(參考數(shù)據(jù)：坨3。0.48)

(A)1033(B)1053(C)1073(D)1093

5.[2017課標1,文9]已知函數(shù)/(%)=Inx+ln(2—x),貝!1

A./(犬)在(0,2)單調(diào)遞增B.7(%)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=l對稱D.y=f(x)的圖像關(guān)于點(1,0)對稱

1.12016高考新課標1文數(shù)】若〃>b>0,0<c<1,則()

cc

(A)logac<logbc(B)logc?<logcZ?(C)a<b(D)

2.[2016高考新課標1文數(shù)】函數(shù)y=2X2一加在[-2,2]的圖像大致為()

?卜\*r/

(A)_______(B)

-2/Xdfo\12*

(C)一(D)

3.12016高考新課標2文數(shù)】下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y=10臉的定義域和值域相同的

是(?)

(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)y=7

4.12016高考新課標2文數(shù)】已知函數(shù)“尤)(xGR)滿足穴尤)=?2-尤)，若函數(shù)產(chǎn)由々尤-3|與y=?x)圖像

的交點為(Xl,yi),(X2J2),禰,Qx,n,y,n),則=()

(A)0(B)m(C)2m(D)4m

421

5.12016高考新課標in文數(shù)】已知〃=23,6=33,c=253，貝1」()

12

(A)(R)a<b<c(C)(D)c<a<b

6.12016高考浙江文數(shù)】函數(shù)產(chǎn)situ?的圖象是()

7.12016高考浙江文數(shù)】已知a,b>0,且分1,b豐1,若log?>l,貝！]()

A.(a-l)(b-1)<0B.(〃一l)(a-b)>0

C.(b-1)(Z?—a)<0D.(匕一1)(匕一a)>0

8.12016高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)/=x2+bx,則知<0"是)(x))的最小值與/(x)的最小值相

等”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.12016高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)人為滿足：的之H且/(X)之2X,xeR.()

A.若黃a)<W,則a<6B.若人a)<2J則a<。

C.茍(a)之慟，貝"之6D.若4a)之2J貝Ua之6

10.12016高考北京文數(shù)】已知A(2,5),8(4,1),若點尸(x,y)在線段AB上，貝|2x—y的最大值為

()

A.-lB.3C.7D.8

11.12016高考北京文數(shù)】下列函數(shù)中，在區(qū)間(一1,1)上為減函數(shù)的是()

A.y=——B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.j=2-x

1r

12.12016高考上海文科】設兀0、g(x)、h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若/(x)+g(x)、

/(x)+/i(x)、g(x)+/?(x)均為增函數(shù)，則八x)、g(x)、h(x)中至少有一個增函數(shù)；②若/(x)+g(x)、

f(x)+h(x),g(x)+/?(x)均是以T為周期的函數(shù)，則人x)、g(x)、/i(x)均是以T為周期的函數(shù)，下列

判斷正確的是()

A、①和②均為真命題B、①和②均為假命題

C、①為真命題，②為假命題D、①為假命題，②為真命題

13.[2016高考四川文科】已知函數(shù)人龍)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0<%<1時，?=4、,

13

則/(二)+/(1)=.

14.12016高考上海文科】已知點(3,9)在函數(shù)/(X)=1+a'的圖像上，則

/(X)的反函數(shù)尸(x)=.

15.12016高考浙江文數(shù)】設函數(shù)加0=13+3%2+1.已知#0,5j(x)-^d)=(x-b)(x-a)2,x￡R,則實數(shù)。=,

b=.

、[|x|,

16.【2016高考山東文數(shù)】已知函數(shù)y(x)=(其中租＞0,若存在實數(shù)6,使得關(guān)于

產(chǎn)-2mx+4m,xm

x的方程/(x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是.

14

函數(shù)的圖像與性質(zhì)

考情解讀

函數(shù)單調(diào)性的判斷和應用及函數(shù)的奇偶性、周期性的應用，識圖用圖是高考的熱點，題型既有選擇題、

填空題，又有解答題，與函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)綜合在一起考查.

預計高考仍將綜合考查函數(shù)性質(zhì)，并能結(jié)合函數(shù)圖象的特點，對各個性質(zhì)進行綜合運用，另外函數(shù)的

性質(zhì)還常常與向量、不等式、三角函數(shù)、導數(shù)等知識相結(jié)合，所以在備考過程中應加強這方面的訓練.

重點知識梳理

知識點1.函數(shù)

對應法則f

(1)映射：集合A(A中任意x)--------＞集合B(B中有唯一y與A中的x對應).

(2)函數(shù)：非空數(shù)集A--＞非空數(shù)集B的映射，其三要素：定義域A、值域C(CGB)、對應法則f.

①求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(I)分式的分母不為零；

(II)偶次方根被開方數(shù)不小于零；

(III)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

(W)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

(V)正切函數(shù)y=S”x中，x的取值范圍是xGR,且咫E+f,k^Z.

②求函數(shù)值域的方法：無論用什么方法求值域，都要優(yōu)先考慮定義域，常用的方法有基本函數(shù)法、配

方法、換元法、不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法、函數(shù)的有界性法、導數(shù)法.

③函數(shù)圖象在無軸上的正投影對應函數(shù)的定義域；函數(shù)圖象在y軸上的正投影對應函數(shù)的值域.

知識點2.函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的奇偶性

如果對于函數(shù)y=/(x)定義域內(nèi)的任意一個x,都有八-x)或/(—x)=/(x)),那么函數(shù)/(x)就叫做

奇函數(shù)(或偶函數(shù)).

(2)函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的又一個重要性質(zhì).給定區(qū)間。上的函數(shù)/(X),若對于任意XI、X2當XI〈尤2

時，都有/(xi)＜“X2)(或/(尤1)＞加：2)),則稱我x)在區(qū)間￡)上為單調(diào)增(或減)函數(shù).反映在圖象上，若函數(shù)/(x)是

區(qū)間。上的增(減)函數(shù)，則圖象在D上的部分從左到右是上升(下降)的.如果函數(shù)?r)在給定區(qū)間(a,6)上

15

恒有1(x)>0(T(x)<0),則Ax)在區(qū)間(a,6)上是增(減)函數(shù)，(a,6)為人尤)的單調(diào)增(減)區(qū)間.

判定單調(diào)性方法主要有定義法、圖象法、導數(shù)法等.

(3)函數(shù)的周期性

設函數(shù)xRD,如果存在非零常數(shù)T,使得對任意尤CD,都有?x+T)=/U),則函數(shù)?x)為周期

函數(shù)，T為y=/(x)的一個周期.

(4)最值

一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①對于任意的xd/,都有八x)WM(或/(x)NM)；

②存在xod/,使大刈)=",那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值(或最小值).

知識點3.函數(shù)圖象

(1)函數(shù)圖象部分的復習應該解決好畫圖、識圖、用圖三個基本問題，即對函數(shù)圖象的掌握有三方面的

要求：

①會畫各種簡單函數(shù)的圖象；

②能依據(jù)函數(shù)的圖象判斷相應函數(shù)的性質(zhì)；

③能用數(shù)形結(jié)合的思想以圖輔助解題.

(2)利用基本函數(shù)圖象的變換作圖

①平移變換：

h>0,右移網(wǎng)個單位

----->y=f(x—h),

h<0,左移|川個單位

k>0,上移閃個單位

y=f(x)----->y=f{x}+k.

k<0,下移固個單位

②伸縮變換：

0<ai<l，橫坐標伸長到原來的5倍

y=f(x)-----------------------------------:~~7=/((ox),

3>1,橫坐標縮短到原來的倍

0)

〃、縱坐標縮短到原來的A倍、

>=f(X)A>I,縱坐標伸長到原來的.4倍

③對稱變換：

關(guān)于X軸對稱

y=fM----->y=~Ax)，

16

關(guān)于y軸對稱

y=/(x)----->y=#—x)，

關(guān)于直線x=a對稱

y=/(x)----->y^f(2a~x),

關(guān)于原點對稱

y=f(x)----->y=-f(-x).

高頻考點突攻

高頻考點一函數(shù)的概念及表示

例1、［2019年高考江蘇】函數(shù)y=：7+6X—X2的定義域是▲.

【答案】［—1,7］

【解析】由題意得到關(guān)于X的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.

由已知得7+6X-X2之0,即下一6%—7<0,解得-1<X<7,

故函數(shù)的定義域為［—1,7］.

【舉一反三】(2018年江蘇卷)函數(shù)f(xiJlog/T的定義域為.

【答案】［2,+oo)

【解析】要使函數(shù)f(X)有意義，則log/TNO,解得，即函數(shù)f(X)的定義域為2,+).

—2,炬1,

【變式探究】⑴已知函數(shù)/(x)=lTog.,r+r,x>\,且加)=一3,則?6—a)=()

A.--B.--

44

C.--D.--

1J

【解析】根據(jù)分段函數(shù)值域，確定a的范圍

-2工T>0,.?.當爛1時，2廠1-2>-2,故41.

???一log2(a+l)=-3,.*.?=7,

.\A6-a)=/(—l)=2-2—2=一1，故選A.

【答案】A

］機+%2,|x|>l,

(2)設函數(shù)人不)=|?的圖象過點(1,1),函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，若函數(shù)*g(x))的值域是［0,

+8)，則函數(shù)g(X)的值域是()

A.(-oo,-1］U［1,+oo)

B.(-oo,-1]U[O,+oo)

17

C.[0,+oo)

D.[1,+oo)

Im+九2,|x|>l,

【解析】因為函數(shù)/U)=I，lrl<1的圖象過點(1,1),

IXtIA|?I

產(chǎn)，k|>i,

所以〃z+l=l,解得m=0,所以?r）=|x,[R<]畫出函數(shù)y=4x）的圖象如圖所示，由于函數(shù)g（x）

是二次函數(shù)，值域不會是選項A,B,易知，當g（x）的值域是[0,+8）時，八g（x））的值域是[0,+oo）.故選

C.

【答案】c

【方法規(guī)律】1.（1）形如八g（x））的函數(shù)求值時，應遵循先內(nèi)后外的原則.

（2）對于分段函數(shù)的求值（解不等式）問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.即“分段歸類''"數(shù)

形結(jié)合”為常用技巧方法.

2.求函數(shù)值域（最值）的常用方法有：（1）直接法，求得函數(shù)解析式的范圍，得到函數(shù)的值域；（2）配方法，

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解；（3）分離常數(shù)法，對于探求形如存0）的值域，常把其分子分離成不含

自變量X的形式；（4）換元法，通過換元轉(zhuǎn)化成熟悉的函數(shù)；（5）單調(diào)性法，此法需先確定函數(shù)在定義域上（或

某個定義域子集上）的單調(diào)性；（6）圖象法，若函數(shù)解析式的幾何意義較明顯，諸如距離、斜率等，可用數(shù)形

結(jié)合的方法求其值域；（7）基本不等式法，對于探求形如》=戈+人伏>0）的值域，常用基本不等式求解；（8）導

數(shù)法，先利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，再求其值域.

i1+log'22—r,x<.L

【變式探究】設函數(shù)4%)=|2廠1,ei,八一2)+4og212)=()

A.3B.6

C.9D.12

【答案】C.

【解析】???一2<1,???五一2）=l+k）g2[2—（―2）]=3；

Vlog212>l,：.fi\og212)=21og212—1=21og26=6.

.\X-2)+Xlog212)=9.

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優(yōu)解：由八-2)=3,.\/(—2)+/(k)g212)>3排除A.

由于log212>l,要用#無)=2，T計算，則川og212)為偶數(shù),.7/(-2)+/(log212)為奇數(shù),只能選C.

高頻考點二函數(shù)的圖象及應用

例2、【2019年高考全國I卷文數(shù)】函數(shù)於戶卦’7,在［_TT,TT］的圖像大致為

ct?jr?X*

【解析】由九X)=總?cè)?Jx)，得/⑺是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點

對稱.

]-

限+24+2兀x

又/(-)=----=一1>1,八兀)=>0,可知應為D選項中的圖象.

32無--1+?-

故選D.

【舉一反三】(2018年浙江卷)函數(shù)產(chǎn)sin2x的圖象可能是

19

【解析】令f(x)=2%n2x，因為XeR.?-X)=rtin2(~x)=-2|x|sin2x=-f(x)-所以f(x)=為奇函數(shù)，

排除選項A,B;因為勸時，f(X)<0,所以排除選項C,選D.

【變式探究】【2017課標1,文8】函數(shù)y=Sm2X的部分圖像大致為

1-COSX

【答案】C

cjn

【解析】由題意知，函數(shù)y=為奇函數(shù)，故排除B；當x=7i時，y=0,故排除D；當x=l

1-COSX

4m2

時，y=——二>0,故排除A.故選C.

I

【方法技巧】識別函數(shù)圖象的方法

基本方法有：(1)直接法(直接求出函數(shù)的解析式并作出其圖象)；(2)特例排除法(其中用特殊點法破解函

數(shù)圖象問題需尋找特殊的點，即根據(jù)已知函數(shù)的圖象或已知函數(shù)的解析式，取特殊點，判斷各選項的圖象

是否經(jīng)過該特殊點)；(3)性質(zhì)驗證法.

【變式探究】(1)已知函數(shù)/(x)(x￡R)滿足八一x)=2-/(x),若函數(shù)y=￡±l與)=而0圖象的交點為州)，

20

m

(X2,>2),述,(Xm,ym)，則Z■‘+，')=()

z=l

A.0B.m

C.2mD.4m

【解析】(利用圖象的對稱性求解)

因為八一%)=2一汽%)，

所以八一元)+汽工)=2.

因為二l±2=0,frH*=1,

所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱.

函數(shù)y=^U=i+i,故其圖象也關(guān)于點(0,1)對稱.

9T

所以函數(shù)y=些1?與y=/(x)圖象的交點(為，yi),(I2,>2),

(不"，物)成對出現(xiàn)，且每一對均關(guān)于點(0,1)對稱，

所以錯誤!，=0,錯誤L=2x-'1=rn,

所以錯誤!(xi++y)="7.故選B.

【答案】B

(2)函數(shù)丫=2/一m在［-2,2］的圖象大致為()

【解析】利用導數(shù)研究函數(shù)y=2N—陰在［0,2］上的圖象，再利用奇偶性判斷.

：本)=2尤2—e*x］—2,2］是偶函數(shù)，又/⑵=8—e2G(0,1),故排除A,B.設g(x)=2N—巴則g，(x)

=4尤一又g，(0)<0,g<2)>0,；途(無)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，.\/(尤)=2N—在(0,2)內(nèi)至少存在一個

極值點，排除C.故選D.

【答案】D

高頻考點三函數(shù)的單調(diào)性

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例3、【2019年高考北京文數(shù)】下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+父