2024年2月“鴿子杯”數(shù)學(xué)試題

2024年2月“鴿子杯”線上測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題

卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.幕函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(guò)(；,；)，則&=

A.--B.-C.-2D.2

22

2.若由最小二乘法得到的回歸直線y=x+l,則其均值點(diǎn)可能是

A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)

3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。，則滿足條件的根有

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

4.已知函數(shù)/(x)=2sin(函是奇函數(shù)，則/⑺=

A.0B.1C.2D.-2

5.設(shè)4,B,。是三個(gè)事件，則對(duì)事件“4,5不同時(shí)發(fā)生且5,。有且只有一個(gè)發(fā)

生”的表示中，正確的是

A.~ABCB.ABC+ABC

C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC

6.設(shè)無(wú)窮整數(shù)數(shù)列他}的前〃項(xiàng)和為且有S；=2-%,則〃2024=

A.-2B.-1C.1D.2

7.函數(shù)/(x)=色竺的兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)點(diǎn)均在直線/上，則/的方程為

x-2

A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))

8.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在圓/+j?=i上，定點(diǎn)。的坐標(biāo)為。,1）,動(dòng)點(diǎn)T滿足0T=XOP+nOQ,

其中2,jLi＞0,不+2〃2=4,則|0刀的最大值為

A.2-V2B.V2C.2D.2+72

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)復(fù)數(shù)Z1=3+4i與4=-4+3i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為尸，Q,平面坐標(biāo)原點(diǎn)為O,

則

____]_

2

A.B+ZzkpqB.歸12|=囤c.|Z]-z2|=|（9e|D.=|og|

10.已知橢圓C「雙曲線。2有相同的焦點(diǎn)4，F(xiàn)-焦距為2,且G，C?離心率互為倒

數(shù)記4,4分別為C],的兩個(gè)頂點(diǎn),G，C2有公共點(diǎn)尸,且有闿＞|48|，

|4：＞|4工|，陷|＞陷|，則

A./4|=|尸6|B.|4闋=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點(diǎn)為。，始邊與x軸正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)（2,-方），

貝！Jsin（a+.

13.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：當(dāng)〃為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，a?,all+l,%+2分別成等比數(shù)列和

等差數(shù)列.設(shè)%=1,%=15,則｛%｝的通項(xiàng)公式為;設(shè)數(shù)列｛a.｝的前

〃項(xiàng)和為Sn,貝ljSl0=.

14.已知等腰三角形的腰為1,則該等腰三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共4頁(yè)）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）

某老師在課堂測(cè)驗(yàn)上設(shè)置了一種新的大題題型，這種大題題型由一個(gè)題干和五個(gè)與

題干有關(guān)的判斷題組成，得分規(guī)則是：五道題中，全部正確判斷則該大題得5分，有一

道錯(cuò)誤判斷則該大題得3分，有兩道錯(cuò)誤判斷則該大題得1分，有三道及以上錯(cuò)誤判斷

則該大題不得分.假定隨機(jī)判斷時(shí)，每道題正確判斷和錯(cuò)誤判斷的概率相等.

（1）若考生所有題目都隨機(jī)判斷，求此時(shí)得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若考生能夠正確判斷其中兩道題目，其余題目隨機(jī)判斷，求此時(shí)得分的數(shù)學(xué)

期望.

16.（15分）

請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件加入題干并完成求解，不同條件對(duì)應(yīng)的本題滿分

不同，若選擇多個(gè)條件進(jìn)行求解，將以分值較大的解答作為評(píng)分依據(jù)：

甲（滿分10分）：^BAC=60°,PB上PC；

乙（滿分12分）：PA=2PB,△NBC的面積為10方；

丙（滿分15分）：點(diǎn)尸到平面4BC的距離為叵，PA=275.

3

如圖，在三棱錐P-N3c中，PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.

（1）求三棱錐P-43C的表面積與體積;

（2）求二面角/-3C-尸的余弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=-bsinx),a>0,b>0.

（1）若b=l,討論/（x）在（0,2萬(wàn)）的單調(diào)性;

（2）設(shè)t="6>0,t為定值，若/（x）在R上單調(diào),求？的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共4頁(yè)）

18.(17分)

循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)環(huán)形,

既無(wú)頭也無(wú)尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時(shí)將順時(shí)針和逆時(shí)針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加(〃)

(1)若從〃個(gè)人中選擇〃，個(gè)人圍坐成一個(gè)圓桌，直接寫出這樣的排列個(gè)數(shù)；

(2)定義：將〃個(gè)不同元素劃分成加個(gè)非空循環(huán)排列(即每個(gè)排列中都有至少一

個(gè)元素)，所有這樣的排列的個(gè)數(shù)用符號(hào)s(〃，M表示.并規(guī)定s(O,O)=l,s(%0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中

(3)已知某飯店有〃張圓桌，每張圓桌最多可以容納”個(gè)人，最少可以不坐人.現(xiàn)

在有〃個(gè)人來(lái)到飯店就餐，若將每張桌上圍坐多人時(shí)不同的循環(huán)排列視為不同方案，將

相同循環(huán)排列坐在不同桌視為同種方案，求總的方案數(shù).

19.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系中有定點(diǎn)4(-&,0),F2(V2,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足：點(diǎn)尸到y(tǒng)軸

的距離與點(diǎn)尸到片，尸2距離之和的比值為?.

(1)求點(diǎn)尸軌跡廠的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0為「上一點(diǎn)，忸。=4,求△P。片面積的最大值.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系xqy中有定點(diǎn)片(-行,0),與(后,0),動(dòng)點(diǎn)尸滿足：點(diǎn)尸到了軸

的距離與點(diǎn)尸到4，F(xiàn)2距離之和的比值為?.

(1)求點(diǎn)尸軌跡廠的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0為廠上一點(diǎn)，\PQ\=4,求△P。耳面積的最大值.

19.(17分)

循環(huán)排列(也稱圓排列)是指從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)環(huán)形,

既無(wú)頭也無(wú)尾.循環(huán)排列視所有循環(huán)的情形為同一種排列，例如123、231、312在循環(huán)

排列中便視為一種排列；同時(shí)將順時(shí)針和逆時(shí)針視為兩種循環(huán)排列，例如123和132便

是兩種不同的循環(huán)排列.(本題中，m,〃均為正整數(shù)，且加W”)

(1)若從〃個(gè)人中選擇用個(gè)人圍坐成一個(gè)圓桌，直接寫出這樣的排列個(gè)數(shù)；

(2)定義：將"個(gè)不同元素劃分成機(jī)個(gè)非空循環(huán)排列(即每個(gè)排列中都有至少一

個(gè)元素)，所有這樣的排列的個(gè)數(shù)用符號(hào)S(〃M)表示.并規(guī)定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.

①求s(4,2)；

②證明：(〃+1)S(〃,山)+S(