山東省臨沂市2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

山東省臨沂市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.從A地到B地要經(jīng)過(guò)C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到2地有四條路，則

從A地到8地不同的走法種數(shù)是()

A.7B.9C,12D.16

［答案》C

［解析X根據(jù)題意分兩步完成任務(wù)：

第一步：從A地到C地，有3種不同的走法；

第二步：從C地到B地，有4種不同的走法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從A地到2地不同的走法種數(shù)：3x4=12種，

故選：C.

2.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布若尸(J<2)=尸(J>8)=0.15,則

產(chǎn)(2港<5)=()

A.0.3B.0.35C.0.5D.0.7

［答案XB

QI2

k解析》根據(jù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的對(duì)稱性可知〃=;一=5,

則P(2<^<5)=<5)-PC<2)=0.5-0.15=0.35,

故選:B.

3.4張卡片上分別寫有“中”、“國(guó)”、“你”、“好”四個(gè)字，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則

取出的2張卡片上的文字恰好是“中”、“國(guó)”的概率為()

1113

A.—B.-C.—D.一

3264

K答案UC

k解析》4張卡片上分別寫有“中”、“國(guó)”、“你”、“好”四個(gè)字，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2

張，基本事件有〃=《=6種,取出的2張卡片上的文字恰好是“中”、“國(guó)”只有1種，

故取出的2張卡片上的文字恰好是“中”、“國(guó)”的概率尸=，.故選：C

6

4.若〃x)=2次⑵+/,則廣⑴=()

A.-4B.-6C.2D.4

k答案UB

k解析X由題意得：/'(x)=2/'(2)+2x,.?.廣(2)=2/(2)+4,解得：/'(2)=T,

f'(x)=-8+2x,/(I)=-8+2=-6.

故選：B.

5.函數(shù)/(x)=xsinx的導(dǎo)函數(shù)/'(x)在區(qū)間［-%,?］上的圖象大致為()

k解析UV=xsinx,：.f(%)=sinx+xcosx,

/(-%)=-sinx-%cosx=-f(x),/'(x)為奇函數(shù)，

從而/'(x)的圖像在區(qū)間［-匹柯上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此可排除選項(xiàng)A、B,

又—不＜0,排除D,從而K答案》為C.

故選：C.

6.(x—2+y)6的展開(kāi)式中，爐產(chǎn)的系數(shù)為()

A.360B.180C.90D.-180

K答案XA

(解析』(x-2+廿=卜+(丁-2)了，.?.臼2的系數(shù)為0；第(—2)2=360.故選：A.

7.隨著新冠疫苗的成功研發(fā)，某地區(qū)開(kāi)始對(duì)重點(diǎn)人群進(jìn)行新冠疫苗接種為了配合社區(qū)對(duì)新

冠疫苗接種人員講解注意事項(xiàng),某醫(yī)科大學(xué)共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與該地區(qū)

志愿服務(wù).已知6名志愿者將會(huì)被分為2組派往該地區(qū)的2個(gè)不同的社區(qū)，且女志愿者不單

獨(dú)成組，若每組不超過(guò)4人，則不同的分配方法種數(shù)為()

A.32B.40C.48D.56

［答案XC

k解析X法一：分兩種情況，

33

①分為3,3的兩組時(shí)，2名女志愿者不單獨(dú)成組，有差c二c種分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社

區(qū)參加志愿工作，有國(guó)種情況，此時(shí)共有U^x&=20種分配方法.

②分為2,4的兩組時(shí)，有C；xC；=15種分組方法，其中有1種兩名女志愿者單獨(dú)成組的

情況，則有14種符合條件的分組方法，再對(duì)應(yīng)到兩個(gè)社區(qū)參加志愿工作，有&種情況，

此時(shí)共有14x&=28種分配方法.

共有20+28=48種分配方法.

法二：先安排第一個(gè)社區(qū)，若沒(méi)有女志愿者，則有C；（C：+C，=1O種；若有1名女志愿

者，則有C；（C：+C：+C：）=28種；若有2名女志愿者，則有C；（C；+Cj）=10種，

???不同的分配方法種數(shù)為10+28+10=48,

故選：C.

8.已知函數(shù)/（x）="lnx+；x2,若對(duì)任意正數(shù)與，%2（石。入2），都有

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）

B.

1

D.—,+00

4

［答案』c

K解析U不妨令。<%<3，

X］-%2

即*x）=/（x）—x在（0,+。）單調(diào)遞增，

因?yàn)楫a(chǎn)（x）=f-x=alnx+-^x2-x,

則?（%）=4+%-120在（0,+司上恒成立，

JC

即Q2-X2+%，在（。,+8）上恒成立，

則a2（—X?+%）,

'/max

又一爐+1二一心一工］+—<—,

12）44

故選：c

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知隨機(jī)變量的分布列為P（X=k）=0.2,k=l,2,3,4,5.若F=2X—3,下列說(shuō)法

正確的是（）

A.隨機(jī)變量X的均值為3B.隨機(jī)變量￥的均值為3

C.隨機(jī)變量X的方差為2D.隨機(jī)變量y的方差為9

K答案XABC

（解析X由題P（X=L）=0.2可知：

尸（X=1）=0.2,P（X=2）=0.2,P（X=3）=0.2,尸（X=4）=0.2,尸（X=5）=0.2,

故均值E（X）=lx0.2+2x0.2+3x0.2+4x0.2+5x0.2=3,A正確

E（y）=E（2X-3）=2E（X）-3=2x3-3=3,B正確

D（X）=（1-3）2X0.2+（2-3）2X0.2+（3-3）2X0.2+（4-3）2X0.2+（5-3）2X0.2=2,

C正確

D（y）=￡＞（2X-3）=4￡＞（x）=8,D錯(cuò)誤

故選：ABC

10.若（x-4）"的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，則該二項(xiàng)展開(kāi)式（）

A.〃=8

B.各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為128

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)有2項(xiàng)

D.第4項(xiàng)與第5項(xiàng)系數(shù)相等且最大

（答案》BC

（解析》由題意，［彳一七］的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，可得〃=7,所以A錯(cuò)誤；

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)，可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128,所以B正確；

根據(jù)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第4和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)最大，所以C正確；

由（x—展開(kāi)式的第4項(xiàng)為C江4（_二）3=—35必，第5項(xiàng)為。力？（一4）4=35X,

yjx\x

所以展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)系數(shù)不相等，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是()

3

A.從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是-

5

QQ

B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為一

243

C.從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅

球的概率為g

D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為fl

(答案1ABD

123

k解析》對(duì)選項(xiàng)A,從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是—=-，故A正確;

對(duì)選項(xiàng)B,從中有放回的取球6次，每次任取一球,

則取到白球的個(gè)數(shù)X~46,；

故恰好有兩個(gè)白球的概率為C；I)?埸

對(duì)選項(xiàng)C,從中不放回的取球2次，每次任取1球，記A為“第一次取到紅球”,

2

P(AB)73

B為“第二次取到紅球”，則所求概率為P(B|A)=，=得==,故C錯(cuò)誤。

P(A)25

3

對(duì)選項(xiàng)D,從中有放回的取球3次，每次任取一球，則取到紅球的個(gè)數(shù)

至少有一次取到紅球的概率為1—[gj=||，故D正確。

故選：ABD

12.己知函數(shù)/(x)=；x+cosx以下說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(%)在x=9處取得極大值

6

57r

B.函數(shù)/(尤)在％=一處取得極大值

6

C.函數(shù)/(%)在H上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/（尤）的遞減區(qū)間為^+2kn,-^+2kn,（keZ）

K答案工AD

1IT57r

K解析Ux）=--sinx,由/'（x）=。，得x=q+24?；驘o(wú)=7+2左兀（左wZ）,

jrjrsjr37r

當(dāng)-3+2101<x<—+Ikit—+2hi<x<—+2kn（k￡Z）時(shí)，>0,f（尤）單調(diào)

遞增；

-rr57r

當(dāng)6+2E<x<9+2E,（keZ）時(shí)，/'（x）<0,單調(diào)遞減.

左=0時(shí)，當(dāng)一/<x（三或2<x<9時(shí)，f\x）>0,/（尤）單調(diào)遞增；

2662

當(dāng)$<%<乎時(shí)，f'（x）<Q,/（尤）單調(diào)遞減，

66

TT57T

故函數(shù)/（無(wú)）在》=一處取得極大值，在％=一處取得極小值，故A正確；B錯(cuò)誤；

66

函數(shù)/（X）在［常］上單調(diào)遞增，在［g］上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

7157r

函數(shù)/（尤）在-+2k7t,—+2kit伏wZ）上單調(diào)遞減，故D正確.故選：AD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.2021年5月15日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國(guó)首次

火星探測(cè)任務(wù)著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛(ài)好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天

科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加A市舉行的“我愛(ài)火星”知識(shí)競(jìng)賽，已

知甲被選出，則乙也被選出的概率為.

3

1答案X-

K解析X設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件A,“乙同學(xué)被選出”記為事件B,

則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率P（B\A）==||=|.

3

故［答案》為：-

14.已知以+/卜2x+l）5（aw0）,若其展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81,則。=.

『2

K答案X—

3

K解析X由1依+：｝2》+1)5展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81,

令x=l,可得(a+l)(2xl+l)5=81,解得a=_1

皿…5、,2

故K答案X為：一不.

3

15.已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為了'(力，且對(duì)任意xeR,/'(%)—/(力<0,若/(2)=e2,

f(t)<er,則/的取值范圍是.

K答案X(2,+8)

[解析X構(gòu)造函數(shù)g(x)=&h則g，(x)=r(x)：〃x)<0,

故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

由己知可得g(2)=J單=1,

e

由/(“〈e'可得g[)=*<l=g(2),可得.〉2.故K答案X為：(2,+8).

16.甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)為,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù):

由甲、乙同時(shí)各擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把為乘

以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把為除以2后再加上6；這樣

就可以得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)4，對(duì)實(shí)數(shù)?仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又可以得到一個(gè)新的

3

實(shí)數(shù)。3,當(dāng)生時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，若乙獲勝的概率為一，則%的取值范圍是

K答案H(—。,6)512,+紇)

「1丫1

k解析》拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上的概率為2x-=-

⑵2

丫1

出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上的概率為2x-=-,

。2

由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，可得如下情況：

①操作兩次都是兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則/=2(2al—6)-6=4q—18,

「1丫1

其出現(xiàn)的概率為-=-;

4

②操作兩次，第一次是兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，第二次是一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝

上，

則％=g(2q—6)+6=6+3,其出現(xiàn)的概率為

③操作兩次，第一次是一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，第二次是兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝

上，

則%=2■+6］_6=6+6,其出現(xiàn)的概率為=；；

④操作兩次，兩次都是一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，

則生=51,+61+6=/+9,其出現(xiàn)概率為［gj=］

33

因?yàn)橐耀@勝的概率為一，即a32al的概率為一，

44

因?yàn)?+6〉％,q+3〉q,

4q-l82al44-18<〃]

今+95或卜+9加解得％<6或%>12.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一”,6)u(12,+“).

故K答案》：(—8,6)u(12,+”).

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知在［也一市J的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求〃的值；

(2)求含/項(xiàng)的系數(shù).

解：⑴［孤-五］的展開(kāi)式通項(xiàng)為4+1=c；?尤亍?(—3廣一=(—3)'V〉龍k-

Yl—9r

因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以廠=3時(shí)，-^―=0,解得"=6.

(2)由(1)可知”=6,

6—2r

令一^=2,解得r=0.

3

所以含/項(xiàng)的系數(shù)為(-3)°?屋=1.

18.已知函數(shù)=丁+加-x在1=—1處取得極大值.

(1)求實(shí)數(shù)。的值，并求函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求曲線y=/(九)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.

解：⑴由題意/''(%)=3*+2分-1,

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)在x=—1處取得極大值，所以/'(—1)=0即3—2a—1=0,解得。=1,

經(jīng)檢驗(yàn)，尸―1是函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)，所以。=1.

當(dāng)a=l時(shí)，/(X)=3X2+2X-1=(3X-1)(X+1)，

由可得1<—1或x〉；，

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-s,T),\,+f；

(2)由(1)知=廣(％)=3d+2%-l,

貝!="⑴=4,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線的斜率％=/>'⑴=4,

所以切線的方程為丁―1=4(X—1),即4x—y—3=0,

3

令x=0,可得y=-3；令y=0可得x=—；

4

139

所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=—x3x—=—

248

1(工一〃)2

19.我們認(rèn)為燈泡壽命的總體密度曲線是正態(tài)分布曲線/(x)=^^e2/,其中〃為

飛2兀o

總體平均數(shù)，。為總體標(biāo)準(zhǔn)差，某品牌燈泡的總體壽命平均數(shù)〃=260。小時(shí).

函數(shù)歹=/(x)的大致圖像

(1)隨機(jī)取三個(gè)該品牌燈泡，求三個(gè)燈泡中恰有兩個(gè)壽命超過(guò)2600小時(shí)的概率;

(2)該品牌燈泡壽命超過(guò)2800小時(shí)的概率為我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法解決“隨機(jī)

取三個(gè)該品牌燈泡，求三個(gè)燈泡中恰有兩個(gè)壽命超過(guò)2800小時(shí)的概率”問(wèn)題.利用計(jì)算器可

以產(chǎn)生。到9十個(gè)隨機(jī)數(shù)，我們用1,2,3,4表示壽命超過(guò)2800小時(shí)，用5,6,7,8,9,

0表示壽命沒(méi)有超過(guò)2800小時(shí).因?yàn)槭侨齻€(gè)燈泡，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)一組.例如，產(chǎn)生20

組隨機(jī)數(shù)

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn).估計(jì)三個(gè)燈泡中恰有兩個(gè)壽命超過(guò)2800小時(shí)的概率.

解：(1)由題知平均數(shù)〃=2600,所以每個(gè)燈泡壽命超過(guò)2600小時(shí)的概率都是J,這個(gè)

隨機(jī)試驗(yàn)滿足古典概型條件：有限性，等可能性.

設(shè)三個(gè)燈泡壽命超過(guò)2600小時(shí)分別為A,B,C；

沒(méi)有超過(guò)2600小時(shí)分別為入，~B，C-

則樣本空間。={ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,ABC,,

三個(gè)燈泡中恰有兩個(gè)壽命超過(guò)2600小時(shí)的事件M=[ABC,ABC,ABC],

所以P(.昨、n(焉M)w3；

(2)20組隨機(jī)數(shù)中滿足恰有兩燈泡壽命超過(guò)2800小時(shí)的有191,271,932,812,393共

計(jì)5組，所以三個(gè)燈泡中恰有兩個(gè)燈泡壽命超過(guò)2800小時(shí)的概率估計(jì)值尸=』=」.

204

20.已知函數(shù)/'(x)=e*-at+a,aeR

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)討論函數(shù)/(無(wú))的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：(1)由題意,

在/(%)=e*—ta+a中,/f(x)=eA-a

當(dāng)aWO時(shí)，用或>0,則在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=0,解得：x=lna,

當(dāng)x<lna時(shí)，當(dāng)(x)<0"(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>lna時(shí)，當(dāng)(x)>0"(x)單調(diào)遞增.

綜上所述,

當(dāng)aWO時(shí)，/(%)R上單調(diào)遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，/(尤)在(-e,Ina)上單調(diào)遞減，在(lna,+“)上單調(diào)遞增.

(2)在/(x)=e"—雙+a中，

當(dāng)/(x)=。時(shí),e*=a(x—I),

當(dāng)a=0時(shí)，e*=a(x-l)無(wú)解，

.?"(X)無(wú)零點(diǎn).

x-1

當(dāng)aw0時(shí)，—

ae%

x-1

令9（x）=

ex

x-1中，9'（x）=『

在9（x）=

exc

當(dāng)xe(yo,2)時(shí)，/'(%)>0；

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，°'(尤)<0,

°(月在(—,2)上單調(diào)遞增，在(2,+s)上單調(diào)遞減，

且。(X)max=0⑵=!,

e

?.,當(dāng)Xf+00時(shí)，0,%——8時(shí)，

.?.當(dāng)即Ovave?時(shí)，“X)無(wú)零點(diǎn),

ae

當(dāng)』=!即a=e?時(shí)，/(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

ae

當(dāng)0<工<±即a>e2時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)；

ae

當(dāng):<0,即a<0時(shí)，/(無(wú))有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，

當(dāng)ae[Od)時(shí)，/(九)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)ae(口,。)或者弓=02時(shí),I")有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)ae(e\+8)時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

21.甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從7道備選題中一次性隨機(jī)抽

取3道題，按照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知7道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正

4

確完成，3道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是一，且每題正確完成與否互

7

不影響.

（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)分布列；

（2）請(qǐng)從均值和方差的角度分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性較大?

解：（1）設(shè)X為甲正確完成面試題的數(shù)量，

y為乙正確完成面試題的數(shù)量，

由題意可得X的可能取值為：0,1,2,3,

c31C2C119

所以p（x=0）=不|=行,P（X=1）=-^-=—>

小=2）=等=j|,P（X=3）=*$,

JJX-?YJJ

所以X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

由題意隨機(jī)變量Y的可能值為0,1,2,3,可得y~

所以p(y=o)=c[i—=條，2a=1)=1

P『2）=C；x（4y（一4、小1事44。（『）=C；（04v64

343

所以y的分布列為:

Y0123

2710814464

P

343343343343

（2）由（1）可得,

12

E（X）=Ox----F1x----F2x----F3x—

35353535T

T7(\文

E(yv)=n/?=3x4-=1—2

424

D(X)=X——二——

3549

D(y)=^(l-Jp)=3x|x|=||,

因?yàn)镋(X)=￡(F),D(X)<D(Y),

所以甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強(qiáng)，則甲通過(guò)面試的概率較大.

22.已知函數(shù)=⑺=a(x+lnx),且g(x)恒成立(。>0).

(1)求實(shí)數(shù)〃值；

(2)證明：>(/+3)1nx+2sin%.

解：(1)令/z(