數(shù)學(xué)（選修45）練習(xí)1.2比較法證不等式

第1章1.2一、選擇題1．下列命題中不正確的是()A．若eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)，則a＞bB．若a＞b，c＞d，則a－d＞b－cC．若a＞b＞0，c＞d＞0，則eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)D．若a＞b＞0，ac＞bd，則c＞d解析：當(dāng)c＞0，d＞0時，才有a＞b＞0，ac＞bd?c＞d.答案：D2．設(shè)a＞b＞1，c＜0，給出下列三個結(jié)論：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中，正確結(jié)論的序號是()A．① B．①②C．②③ D．①②③解析：由a＞b＞1，c＜0，得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；∵冪函數(shù)y＝xc(c＜0)是減函數(shù)，∴ac＜bc；∵a－c＞b－c，∴l(xiāng)ogb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)．故①②③均正確．答案：D3．若2－m與|m|－3異號，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m＞3B．－3＜m＜3C．2＜m＜3D．－3＜m＜2或m＞3解法一：∵2－m與|m|－3異號，∴(2－m)·(|m|－3)＜0.∴(m－2)(|m|－3)＞0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m－2m－3＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,m－2－m－3＞0，))解得m＞3或0≤m＜2或－3＜m＜0.解法二：m＝4符合題意，排除B，C兩項；取m＝0可排除A項．答案：D4．下列命題：①若a＞b且a，b同號，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若eq\f(1,a)＞1，則0＜a＜1；③若a≥b且ac≥bc，則c≥0；④若a＞b，n∈N*，則a2n－1＞b2n－1.其中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵ab＞0，a＞b，∴eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).故①正確．②顯然成立．∵ac≥bc，∴(a－b)c≥0.又a≥b，∴當(dāng)a＝b時，c為R.故③錯誤．∵n∈N*，∴2n－1為奇數(shù)．又a＞b，∴a2n－1＞b2n－1.故④正確．答案：C二、填空題5．把下列各題中的“＝”全部改成“＜”，結(jié)論仍然成立的是__________.(填序號)①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d；②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)；④如果a＝b，那么a3＝b3.解析：冪函數(shù)y＝x3在R上是增加的，因此④成立．答案：④6．若1＜a＜4,3＜b＜5，則eq\f(a,b)的取值范圍是__________.解析：由3＜b＜5，得eq\f(1,5)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,3).又1＜a＜4，∴eq\f(1,5)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(4,3)))三、解答題7．已知a，b，x，y都是正數(shù)，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，求證：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).證明：∵a，b，x，y都是正數(shù)，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，∴eq\f(x,a)＞eq\f(y,b).∴eq\f(a,x)＜eq\f(b,y).∴eq\f(a,x)＋1＜eq\f(b,y)＋1，即0＜eq\f(x＋a,x)＜eq\f(y＋b,y).∴eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).8．設(shè)a＞b＞0，求證：eq\f(a2－b2,a2＋b2)＞eq\f(a－b,a＋b).證法一：∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0.故不等式左邊＞0，不等式右邊＞0.∴eq\f(左邊,右邊)＝eq\f(a＋b2,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)＞1.∴原不等式成立．證法二：eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f(a－b[a＋b2－a2＋b2],a2＋b2a＋b)＝eq\f(2aba－b,a2＋b2a＋b)＞0，∴原不等式成立．一、選擇題1．若a＞b＞0，則下列各式中恒成立的是()A．eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b) B．eq\f(b2＋1,a2＋1)＞eq\f(b2,a2)C．a(chǎn)＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b) D．a(chǎn)a＞bb解析：選取適當(dāng)?shù)奶厥庵?，若a＝2，b＝1，可知eq\f(2a＋b,a＋2b)＝eq\f(5,4)，eq\f(a,b)＝2，由此可知選項A不成立．利用不等式的性質(zhì)可知，當(dāng)a＞b＞0時，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，由此可知，選項C不恒成立．取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)滿足a＞b＞0，則aa＝bb，故選項D不恒成立．答案：B2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式中成立的是()A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|解析：∵x＞y＞z，x＋y＋z＝0，∴3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0.∴x＞0，z＜0.又y＞z，∴xy＞xz.答案：C二、填空題3．若0＜x＜eq\f(π,2)，則2x與3sinx的大小關(guān)系是否確定？答：__________(填“是”或“否”)．解析：令f(x)＝2x－3sinx，則f′(x)＝2－3cosx.當(dāng)cosx＜eq\f(2,3)時，f′(x)＞0；當(dāng)cosx＝eq\f(2,3)時，f′(x)＝0；當(dāng)cosx＞eq\f(2,3)時，f′(x)＜0.即當(dāng)0＜x＜eq\f(π,2)時，f(x)先減后增．而f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝π－3＞0，故f(x)的值與0的關(guān)系與x取值有關(guān)，即2x與3sinx的大小關(guān)系不確定．答案：否4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，則lgeq\f(x2,y)的取值范圍是__________.解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2.∵lgeq\f(x2,y)＝2lgx－lgy＝eq\f(1,2)(lgx＋lgy)＋eq\f(3,2)(lgx－lgy)，∴－1≤lgeq\f(x2,y)≤5.答案：[－1,5]三、解答題5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范圍．解：設(shè)2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2，,m－n＝－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(3,2).))又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤\f(1,2)α＋β≤2，,－3≤\f(3,2)α－β≤－\f(3,2)，))解得－eq\f(5,2)≤2α－β≤eq\f(1,2).∴2α－β的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2))).6．已知a，b∈R＋，n∈N*，求證：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).證明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝a(bn－an)＋b(an