四川省德陽(yáng)五中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

四川省德陽(yáng)五中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率是()A．32π-3 B．34π-232．若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．1 B．5 C．9 D．43．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為π，最大值為B．fx的最小正周期為π，最大值為C．fx的最小正周期為2πD．fx的最小正周期為2π4．已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．5．已知向量，滿足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為（）A． B．10 C． D．86．如圖，各棱長(zhǎng)均為的正三棱柱，、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，，中點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，則正三棱柱的體積為（）A． B． C．3 D．7．矩形ABCD中，，，則實(shí)數(shù)（）A．-16 B．-6 C．4 D．8．點(diǎn)到直線的距離是（）A． B． C．3 D．9．已知直線，，若，則（）A．2 B． C． D．110．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第六章“均輸”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數(shù)列；“錢”是古代的一種計(jì)量單位），則分得最少的一個(gè)得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為_____________12．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________.13．設(shè)滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為,則的最小值為_________．14．將角度化為弧度：________.15．已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為__________．16．________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．18．已知向量是夾角為的單位向量，，（1）求；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，與平行？19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)于一切的恒成立？若存在請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且PA=AD．（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．21．已知函數(shù)，的部分圖像如圖所示，點(diǎn)，，都在的圖象上.（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

求出以A為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積，根據(jù)圖形的性質(zhì)，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形ABC【詳解】設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，設(shè)以A為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積為S1，則S1=萊洛三角形面積為S，則S=3S在此圖形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形內(nèi)的概率為P,P=S【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關(guān)鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運(yùn)算能力.2、C【解析】試題分析：由韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，，綜上所述，，所以．考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．3、B【解析】

首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將解析式化簡(jiǎn)為fx【詳解】根據(jù)題意有fx所以函數(shù)fx的最小正周期為T=且最大值為fx【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，并且通過(guò)余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡(jiǎn)結(jié)果.4、A【解析】

根據(jù)題意可知的值，從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，，則.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的基本計(jì)算，難度較易.若終邊與單位圓交于點(diǎn)，則.5、D【解析】

在上的投影（正射影的數(shù)量）為可知，可求出，求的最小值即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队埃ㄕ溆暗臄?shù)量）為，所以，即，而，所以，因?yàn)樗?，即，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在向量上的正射影，向量的數(shù)量積，屬于難題.6、D【解析】

設(shè)的中點(diǎn)分別為，判斷出中點(diǎn)的軌跡是等邊三角形的高，由此計(jì)算出正三棱柱的邊長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.由于平面，所以.當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)為平面的中心，即的中點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)）處.當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)為的中點(diǎn).所以點(diǎn)的軌跡是三角形的高.由于三角形是等邊三角形，而，所以.故正三棱柱的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的有關(guān)性質(zhì)，考查棱柱的體積計(jì)算，考查空間想象能力，考查分析與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)題意即可得出，從而得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出實(shí)數(shù)．【詳解】據(jù)題意知，,,．故選：．【點(diǎn)睛】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題．8、D【解析】

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

當(dāng)為,為,若,則,由此求解即可【詳解】由題,因?yàn)?所以,即,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查已知直線垂直求參數(shù)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】

設(shè)所成等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得出答案．【詳解】由題意五人所分錢成等差數(shù)列，設(shè)得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個(gè)得到.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用和差化積公式將兩式化簡(jiǎn)，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應(yīng)用．12、【解析】

假設(shè)正方體棱長(zhǎng)，根據(jù)//，得到異面直線與所成角，計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】假設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)?/，所以異面直線與所成角即與所成角則角為如圖，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，屬基礎(chǔ)題.13、【解析】

試題分析：試題分析：由得，平移直線由圖象可知，當(dāng)過(guò)時(shí)目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為．考點(diǎn)：1、利用可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查可行域、含參數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解和均值不等式求最值，屬于難題．含參變量的線性規(guī)劃問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，由于參數(shù)的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問(wèn)題的存在增加了探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開放性，此類問(wèn)題一般從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位，是求最優(yōu)解的關(guān)鍵．14、【解析】

根據(jù)角度和弧度的互化公式求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查角度和弧度的互化公式，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

根據(jù)極限的運(yùn)算法則，合理化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由極限的運(yùn)算，可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，其中解答熟記極限的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.18、（1）1；（2）﹣6【解析】

（1）利用單位向量的定義，直接運(yùn)算即可；（2）利用，有，得出，然后列方程求解即可【詳解】解：（1）；（2）當(dāng)，則存在實(shí)數(shù)使，所以不共線，得，【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的定義，注意列方程運(yùn)算即可，屬于簡(jiǎn)單題19、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的關(guān)系，求解；倒序相加求。（2）先用錯(cuò)位相減求，分離參數(shù)，使得對(duì)于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時(shí)滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對(duì)于一切的恒成立，即，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故所以為所求.點(diǎn)睛：1、，一定要注意，當(dāng)時(shí)要驗(yàn)證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯(cuò)位相減。3、數(shù)列中的恒成立問(wèn)題與函數(shù)中的恒成立問(wèn)題解法一致。20、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需證明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【詳解】證明：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，∴FG為△CDP的中位線，F(xiàn)G∥CD，F(xiàn)G=CD．∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，F(xiàn)G∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因?yàn)镃D⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG?平面PCE，∴平