2023年高考數(shù)學全真模擬熱身測試卷03卷(新高考專用)原卷及解析

2023屆高考數(shù)學?備戰(zhàn)熱身卷3

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題

給出的選項中，有一項符合題目要求。）

1.（2022?河北?模擬預測）已知集合八=

{y|y>-4},3={尤|3xW4-2x},貝必c3=（）

A.|x|-4<x<||B.|x|-4<x<||c.{x|xWT或X*

D.R

2.（2022?河北?模擬預測）已知復數(shù)2=4+歷（。，女:》）,若崗+2=6+1,

則z=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

3.（2022?河北?模擬預測）一質(zhì)點在單位圓上作勻速圓周運動，

其位移滿足的方程為〃=sin2r,其中/）表示位移（單位：m）,t表示時

間（單位：S）,則質(zhì)點在，=1時的瞬時速度為（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

4.（2022?全國?高三專題練習）在等差數(shù)列{差中,am=n,an=m,

則）

A.0B.mC.nD.m+n

5.（2022?河北?模擬預測）函數(shù)/（x）=x.（31g5+；lg64r*（xe[-萬,句）

的圖象大致是

c.D.

:1一

-v17）>J

6.（2022?河北?模擬預測）已知向量a與。的夾角為120。,且。包=-2,

向量c滿足。=%+（1-幾）”0<4<1）,Ka-c=b-c,記向量c在向量。與方方

向上的投影分別為八九x、y2+町的最大值為（）

1ccC3c5

AAD

-4B-2C-4-4

7.（重慶市西南大學附屬中學校2021-2022學年高二下學期第三

次月考數(shù)學試題）已知數(shù)列｛叫滿足4=一，%+232%=0,則下列結(jié)

論錯誤的是（）

A.｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列B.存在“eN*,

使得%>。

c111_91c39

C-—b…+-—2工D,生=-*

8.（2022?河北?模擬預測）已知與是方程〃x）=e，+x-2的零點（其

中e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)），下列說法錯誤的是（）

A.%?。，1）B.ln（2—%）=/c.>eD.Xo-e^<0

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題

給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的

得。分，部分選對的得2分。）

9.（2022?河北?模擬預測）下列函數(shù)中，以兀為最小正周期，且

在］臼上單調(diào)遞減的為（）

A.y=cos2xB.J=|sinA-|C.y=|cosx|D.y=|tanx|

10.（江西省新余市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題）

下列命題是真命題的為（）

A.V+函數(shù)/（x）=a'T+logax+2恒過定點（1,2）

B.若c>a>6>0,則'-A“7

c-ac-b

C.已知一個樣本為：1,3,4,a,7,且它的平均數(shù)是4,則這

個樣本的方差是4

D.數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175的60%分位數(shù)是

11.（2022?河北?模擬預測）下列結(jié)論正確的有（）

A.若log“3<l,則a>3B.若"Sing,

Z?=-log2sin-,c=2-嗎，則6>c>a

C.若孫W。，2，=18，=9",貝h-y=lD.若。=殍，b=-,c=孚,

則a<c<b

12.（廣東省汕頭市2022屆高三上學期期末數(shù)學試題）在棱長為

1的正方體A8CZ）-中，M為底面A3C。的中心,

〃0=34，&（0,1）,N為線段4Q的中點，則（）

A.CN與共面

B.三棱錐A-OVW的體積跟2的取值無關(guān)

C.彳=：時，過4Q，M三點的平面截正方體所得截

面的周長為逑”

D.2=—時，AMYQM

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.（2022?河北?模擬預測）已知向量”（1,加），6=（3,-2）,且儂+6）,6,

貝|］機=.

14.（2022?河北?模擬預測）如果函數(shù)y=/（x）同時滿足下列兩個條

件：①函數(shù)圖象關(guān)于直線尤=2對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點（4,。）對稱，那

么我們稱它為"點軸對稱型函數(shù)〃.請寫出一個這樣的"點軸對稱函數(shù)〃

〃x）=.

22

15.（2022?河北?模擬預測）已知過橢圓￡：土+-=1（心5）上的動

點尸作圓C（C為圓心）：Y_2x+y2=o的兩條切線，切點分別為若

B8的最小值為:則橢圓E的離心率為.

16.（2022?浙江浙江?高三階段練習）如圖，點P是半徑―

為2的圓O上一點,現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形ABCD（/P

（頂點八與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點A離開圓周\

的這一刻開始，正方形滾動至使點八再次回到圓周上為止，

稱為正方形滾動了一輪，則當點A第一次回到點P的位置時，正方形

滾動了輪，此時點X走過的路徑的長度為.

四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每

題12分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.（2022?云南?昆明一中高一期末）如圖，已知直線〃4,A是1/

之間的一定點，并且點八到的距離分別為正和2.B,C分別是直

線/人上的動點，且的C=q,設(shè)ZABD=X,f(x)=AB-AC.

⑴寫出關(guān)于X的函數(shù)解析式A');

⑵求函數(shù)Ax)的最小值及相對應的X的值.

18.(山東省煙臺市2022屆高三一模數(shù)學試題)己知等差數(shù)列｛叫

的前n項和為九q=九S3=15.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵保持數(shù)列M中各項先后順序不變，在應與%優(yōu)=L2,…)之間插

入下個1,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列出｝,記也｝的前n

項和為T,，求和的值.

19.(2022?北京一^L一中高三階段練習)如圖，在

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱陽，底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中點，作瓦」尸5交尸3于點F.

(1).證明：叢〃平面￡/切；

(2)證明：心，平面硒)；

⑶求二面角?C的余弦值.

20.（2022?廣東江門?模擬預測）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最

大果形的楊梅，有“乒乓楊梅"、"楊梅之皇”的美譽.東魁楊梅始于浙江

黃巖區(qū)江口街道東看村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岳村

和白龍看村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊

梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟

收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗，可以認為東魁楊梅果實的果徑

x~N出口（單位：mm）,但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的〃和

都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊梅果實

中隨機取出1000顆，并測量這1000顆果實的果徑，得到如下頻率分

⑴用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)于近似代替〃，標準差s

近似代替*已知s=0.3.根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與〃的差的絕對值在2b

內(nèi)的果實稱為“標準果〃.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好

有一顆不是"標準果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）

⑵隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進.網(wǎng)絡銷售在大大提

升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款"9A20”的主

打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時

如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知

若采用A款包裝盒，成本。(1<心5)元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)4滿足

出,i=l,2,3,4

pe=i)=A"=。，若采用8款包裝盒，成本冬元，且每盒出現(xiàn)壞

0,i=5,6,…,20

果個數(shù)〃滿足Pm』"？』〉』’"，(機為常數(shù))，請運用概率統(tǒng)計的

0,/=0,4,5,6,,,,,20

相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤？

參考數(shù)據(jù)：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；P(^-a<X<=0.6826；

P(//-2CT<X<〃+2b)=0.9544.P(//-3cr<X<〃+3cr)=0.9974.Q,954419?0.412；

O.954420x0.393.

21.(2022?河北唐山?一模)已知橢圓C：《+\=l(a>6>0)經(jīng)過點(I3

離心率為1

（I）求橢圓C的方程;

（2）如圖，橢圓C的左、右頂點為A,4,不與坐標軸垂直且不過

原點的直線/與C交于M,/V兩點（異于A,4）,點M關(guān)于原點0

的對稱點為點P,直線4P與直線&N交于點Q,直線。。與直線/交于

點R.證明：點/?在定直線上.

22.（2022?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=f_a_2e/nr（aeR），且

用x）是函數(shù)"力的導函數(shù)，

⑴求函數(shù)/（元）的極值；

⑵當”1時，若方程/（x）=。有兩個不等實根占（占＞%）.

%一工

I1n%]—I1n%2<一/2?

（回）證明:J玉X2，

（0）證明：（'a動＜0.

2023屆高考數(shù)學?備戰(zhàn)熱身卷3

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，有一項符合

題目要求。）

1.（2022,河北?模擬預測）已知集合4={例>2>4},3={x|3x44-2x},則Ac3=（）

A.jx|-4<x<||B.|x|-4<x<||C.{x|x<T或D.R

【答案】A

【分析】先求出集合B,再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為集合4=匕1）^-4},B={x|3x<4-2x}=|x|x<||,所以

AnB=jx|-4<x<!|.

2.（2022?河北?模擬預測）已矢口復數(shù)z=a+bi（?,人wR）,若禹+2=b+i,貝ljz=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

【答案】A

【分析】利用復數(shù)相等的條件求出。、b,即可得到答案.

【詳解】因為昌+2=b+i,所以_qi+2=6+i.所以a=-l,6=2.所以z=_l+2i.

3.（2022?河北?模擬預測）一質(zhì)點在單位圓上作勻速圓周運動,其位移滿足的方程為h=sin2t,

其中人表示位移（單位：m）,t表示時間（單位：s）,則質(zhì)點在f=l時的瞬時速度為（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

【答案】D

【分析】求出"可求質(zhì)點在f=l時的瞬時速度，從而可得正確的選項.

【詳解】因為/z=sin2/=2sinf-cosf,所以〃=2cosf?cosr+2sinr（-sin。=2cos2r,

所以質(zhì)點在r=l時的瞬時速度為2cos2m/s.

4.（2022?全國?高三專題練習）在等差數(shù)列{%}中，am=n,an=m,則〃…=（）

A.0B.mC.nD.m-\-n

【答案】A

【分析】選擇題可以用特殊值法，簡便又快捷.

【詳解】構(gòu)造等差數(shù)列{%}使得4=2,?2=1,這里機=1,”=2,于是%+,=43=。，排

除B、C、D.

5.（2022?河北?模擬預測）函數(shù)“尤）=十（3愴5+；館64嚴，行目-》,句）的圖象大致是

【答案】B

【詳解】由題意可知/（T）=r-（31g5+；lg64嚴…=_/⑺，

所以函數(shù)“X）是奇函數(shù)，依據(jù)圖象排除A和C選項，

由于/（9=己"⑺=-3-'。即/（9>〃勿）,排除D選項，故選B.

6.（2022?河北?模擬預測）已知向量d與6的夾角為120。，且42=_2，向量c滿足

c=2a+（l-2）Z?（O<A<1）,B.a-c=b-c>記向量c在向量。與6方向上的投影分別為x、

尤、丁+孫的最大值為（）

1c35

A.—B.2C.-D.一

444

【答案】C

【分析】由數(shù)量積的定義得卜帆=4,由向量共線定理得C在線段A3上，由=得

ABLOC,利用投影公式計算出一+丁+孫=計算SQA是常數(shù)，因此只要|A4最小

即可得。最大，利用余弦定理和基本不等式可得結(jié)論.

【詳解】由=同忸際120。=一2得耶|=4,

設(shè)。4=a，OB=b，OC=c，因為c=2a+（l-由向量共線定理知C在線

段上，如圖,

設(shè)<〃,c>=a,則<b,c>=120°-a，

因為〃竟=/?々，所以忖卜|cosa=|/?||c|cos(120°-a),即忖cosa=|^|cos(120°-a),

故。在c方向上的投影與〃在c方向上的投影相等，因此。

又兀=卜卜。51,y=|c|cos(120°-cr),所以

x2+y2+A7=|c|cos2cr+|c|cos2(120°-6Z)+|c|cosacos(120°-a),

又cos2a+cos2(l20°-a)+cosacos(l20°-a)

=c°s%+(二8sa+gina)2+cosa(二8sa+gina)

2222

212>/3,3.212.3

=coscr+—cosa----sinacoscr+—sina——cosaH----sinacosa=—^

424224

所以爐+_/+孫=;卜］,

51.8=；卜小卜m120。=4*4=后為常數(shù),因此要使得E|最大,只要|A到最小,

由余弦定理|A.2=忖+忖帆COS120。：”+網(wǎng)+卜帆22KM+卜帆=12,當且僅當

口=忖時等號成立，

所以\AB\的最小值為2代，因此f|的最大值為卡第=1,

故/+玉2的最大值為:

4114

7.(重慶市西南大學附屬中學校2021-2022學年高二下學期第三次月考數(shù)學試題)已知數(shù)列

{4}滿足4=-＜，a；+2tz?-2a?+1=0,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.{q}是單調(diào)遞增數(shù)列B.存在〃eN*,使得%＞。

111cl39

C------1------F…H-------=-2-----D氏=----

?〃1+2%+24+2an+i*128

【答案】B

1191

【分析】根據(jù)an+l=-a?(?K+2)=-(a?+1)---可推導得到當%e(-2,0)時,%＜。，結(jié)合生

可求得a“d，。］，由此可得1211

%+i—>。，知AB正誤；由a

?+l%S“+2)anan+2

采用裂項相消法可知C正確；根據(jù)遞推關(guān)系式計算出的即可知D正確.

【詳解】對于A,由片+2%-2%=°得：%=：a；+a,=ga“（a“+2）=g（a“+iy_；,

,%e(-2,0)時，an+i<0；

-:,。'（-劣。），:一；,0上（—2,0）,依次類推可得:

Qq=_萬w(-2,0),%￡

44

%=：吊>，，｛｝是單調(diào)遞增數(shù)歹，正確;

「?％04UA

對于B,由A中推導可知：ae不存在neN*,使得%>。，B錯誤;

n44

12211

,12說+2q

對于C,由a=萬?！??！?得：---=2-

n+la?！??！?)

2?！?1n+2%2anan+2

111

an+2anan+l

11111111111c1

------+-------+…+—=-2-------，C正確;

aaa

4+2%+2nn+l"1n+\4+1

對于D,由?！?i。1=一；得：%=：131339C

『X----,D

Z2o288128

正確.

8.（2022?河北,模擬預測）已知與是方程〃x）=e*+x-2的零點（其中e=2.71828為自然

對數(shù)的底數(shù)），下列說法錯誤的是（）

2-Jb

A.￡（0,1）B.ln（2-x0）=x0C.x0>eD.x0-e-'°<0

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件確定號所在區(qū)間，再逐一分析各個選項即可判斷作答.

【詳解】函數(shù)〃x）=e'+x—2在R上單調(diào)遞增，而〃0）=e°-2=-l<0,

/（^）=e2+^-2=A/e-^>0,

而與是方程/（x）=e*+x-2的零點，則不€（0,4），即5e（O,l）,A正確；

由〃%）=0得：2-x°=e』，整理得：ln（2-x0）=x。，B正確;

因。<<不，2—x0>1,貝I[x。-“<1,C不正確；

]1r

e

因0<Xo<7，則有Yx0Q^-12^~ye，D正確.

2X。-e-------—<------—<u

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）

9.（2022?河北?模擬預測）下列函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在［',兀］上單調(diào)遞減的為

A.y-cos2xB.y=|sin.r|C.y=|cosx|D.y=|tanx|

【答案】BD

【分析】根據(jù)圖象的周期變換和翻折變換作出函數(shù)圖象，然后可得.

【詳解】作出函數(shù)y=??2龍的圖象，如圖1,顯然A錯誤；

作函數(shù)y=Mnx|圖象，如圖2,故B正確；

作函數(shù)V=|cosx|圖象，如圖3,故C錯誤;

作函數(shù)y=|tanx|圖象，如圖4,故D正確.

10.（江西省新余市2021-2022學年高一上學期期末數(shù)學試題）下列命題是真命題的為（）

A.Vae（0,l）u（l,+oo）,函數(shù)/（彳）=。1+1。8小+2恒過定點（1,2）

B.若c>a>b>0,貝!］---->----

c—ac—b

C.已知一個樣本為：1,3,4,a,1,且它的平均數(shù)是4,則這個樣本的方差是4

D.數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175的60%分位數(shù)是175

【答案】BCD

【分析】求出函數(shù)/(x)的圖象所過定點即可判斷A;利用作差法比較，可判斷B;根據(jù)平均數(shù)

求出即可求得方差，可判斷C;將數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175從小到大排列,

求得其60%分位數(shù)，即可判斷D.

【詳解】因為a0=l,log“l(fā)=0,故/⑴=a°+log/+2=3,

故Ve(0,1)1(1,田)，函數(shù)/(力=優(yōu)7+1幅》+2恒過定點(1,3),故A錯誤;

ab_(a-b)cab_(a-b)c

之一』=(c-a)(c-6)'由于c>0>6>°，故之一』=(-次山)>°，

即，>_」，故B正確；

c-ac-b

樣本為：1,3,4,a,7,且它的平均數(shù)是4,即l+3+4+a+7=20,a=5,

其方差為3(1-4)2+(3-4戶+(4-4)2+(5-4-+(7-4力=4,故C正確；

數(shù)據(jù)170,168,172,172,176,178,175從小到大排列為：168,170,172,172,175,176,178,

而7x60%=4.2,故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)時175,故D正確，

11.(2022?河北?模擬預測)下列結(jié)論正確的有()

A.若log“3<l,則。>3

什.1,,-1si,n1nl,

B.^*67=sin-,Z?=-log2sm-,c=2-i,貝！

C.若孫w0,2、=18，=9*,則x-y=l

r什In271In3皿,

D.右a=----,b=—,c=-----,則avcv〃

2e3

【答案】BCD

【分析】對于A,分和0<。<1兩種情況分析判斷即可，對于B,利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)和三角函數(shù)的單調(diào)性判斷，對于C,令2，=18>=9?=/>0,則

x=log2t,y=log18t,xy=log,t,則log?加log”」=loggt,化簡，再求工一丁可得答案，對于D,

Inx

構(gòu)造函數(shù)/(x)=UY(x>0),由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性比較大小

X

【詳解】對于A,當a>l時，由k)g“3<l,得log“3<log",則a>3,當OvaV1時,由log〃3<l,

得log^vloga。，貝！Ja<3,因為Ovavl,所以O(shè)vavl,綜上，〃>3或Ovavl,所以A錯

誤,

對于B,因為所以0<sin：<sinJ=:，所以log,sin：<log2：=-1,所以

3636232

n

-log2sin1>l,因為-g<—sing<0,所以2T<2一幅<2°=「即￥<2f'3<l,所以

Sm

sin-<—<<2^<1<-logosin—,所以6>c>a,所以B正確，

322*3

Xv

對于C,令2=18=9葉=f>0,貝I)x=log2t,y=log18t,xy=log91,所以log?t-log181=log,t,

IgfIgf=9，所以…

所以記嬴一蔽

Igrigf=Igf(lgl8-lg2)

所以了一蚱幅/一啕公豆一贏-—1g21gl8

lg21gl81g187g21gl87g2Jg9=]

lg9,lg21gl8-lg9-Ig9-所以C正確,

對于D,4/W=—(x>0),則廣(無)=1^(》>0),

XX

當0<x<e時，/V)>0,當X>e時，f'(x)<0,所以”X)在(0,e)上遞增,在(e,+s)上遞

減，因為e<3<4,所以/(e)>/(3)>/(4),所以處>塔>學，

e34

E、rIn42In2In2”…1In3In2”…

因為丁=1一=一1，所以—><><，所以a<c<〃，所以D正確.

442e32

12.(廣東省汕頭市2022屆高三上學期期末數(shù)學試題)在棱長為1的正方體ABC。-A瓦GR

中，/為底面ABCD的中心，D12=2Z)14,2e(0,l),N為線段AQ的中點，則()

A.CN與共面

B.三棱錐A-DAW的體積跟X的取值無關(guān)

C.九=:時，過4Q,M三點的平面截正方體所得截面的周長為拽上馬后

33

D./1=!時，AMA.QM

4

【答案】ABC

【分析】由KN為AC,AQ的中點，得到MN//C。，可判定A正確；由N到平面鉆⑦的

距離為定值;，且AAD暇的面積為定值根據(jù)匕可得判定B正確，由彳=:

時，得到A，Q，M三點的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正確；當彳=：時，根據(jù)

AM2+AQ2>QM2,可判定D不正確.

【詳解】在ACQ中，因為M,N為AC,AQ的中點，所以MN//CQ,

所以CN與QW共面，所以A正確；

由%因為N到平面ABCD的距離為定值;，且AADM的面積為定值;，

24

所以三棱錐A-OVW的體積跟4的取值無關(guān)，所以B正確;

當2時，過三點的正方體的截面ACE。是等腰梯形，」洋

所以平面截正方體所得截面的周長為』五生空通，!八、'

+￥J+2X、V「W9=Jlyr1\

K_J._、

所以C正確；；二二'

2

當時，OT^AM=1AQ2=i+-1=1|,eM2=4）2+A2=1j,"一二，

則4河2+4。2>。河2,所以不成，所以D不正確.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.（2022?河北?模擬預測）己知向量。=（1,根），6=（3,-2）,且（2a+6）_L6,plljm=

19

【答案】—：4.75

4

【詳解】因為a=（l,m），6=（3,-2）,所以2。+。=2（1,〃。+（3,-2）=（5,2根一2）,因為

（2。+6）_1_6,所以（2a+b〉6=5x3+（2加一2）*（-2）=0,解得〃？=7.

14.（2022?河北?模擬預測）如果函數(shù)y=/（x）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)圖象關(guān)于直

線x=2對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點（4,0）對稱，那么我們稱它為“點軸對稱型函數(shù)”.請寫出一個

這樣的"點軸對稱函數(shù)""X）=.

【答案】Asin生x（AwO）或Acos（工尤+工）（420）

442

【詳解】根據(jù)題意,設(shè)〃x）=Asin（5+0）（AHO）,

sin（2°+0）=±1

由于/（X）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且關(guān)于點（4,0）對稱，貝卜

sin（40+0）=O'

+夕=一+kn,keZ

*2,

4a）+（p=k7i,kwZ

當％=1時，解得：0=je=0,所以〃x）=Asin%（ArO辿〃x）=Acos（5+g）（AHO）.

22

15.（2022?河北?模擬預測）已知過橢圓E:土+^^=1（加＞5）上的動點尸作圓C（C為圓

mm—1

心）：x2-2x+V=0的兩條切線，切點分別為48,若ZACB的最小值為點，則橢圓E的

離心率為.

【答案】|

【詳解】由橢圓E方程知其右焦點為。,0）；由圓C的方程知：圓心為C（l,0）,半徑為1；

當ZACB最小時，則ZACP最小，即NACP=q,此時|PC|最小;

AC11..

此時cosNACP==1——7=-,/.pd.=2；

JPC\PC\211mm'

尸為橢圓右頂點時，|PC1mhi=J^—1=2，解得：機=9,

，橢圓E的離心率e=、/=L

Vm3

16.（2022?浙江浙江?高三階段練習）如圖，點P是半徑為2的圓。上一點，現(xiàn)

將如圖放置的邊長為2的正方形ABCD（頂點A與P重合）沿圓周逆時針滾動.

若從點A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點A再次回到圓周上為止，

稱為正方形滾動了一輪，則當點A第一次回到點P的位置時，正方形滾動了

輪，此時點八走過的路徑的長度為.

【答案】3；（及+2）萬

【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點為BfCfDfA,

頂點兩次回到點P時，正方形頂點將圓周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍數(shù)：3x4=2x6=12,所以到點A首次與P重合時，正方形滾動了3輪.

這一輪中，點A路徑A-A-A是圓心角為半徑分別為2,2及，2的三段弧,

O

故路徑長弓。+2員2)=史產(chǎn),

回點A與P重合時總路徑長為(72+2)%.

四、解答題(本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟。)

17.(2022?云南?昆明一中高一期末)如圖，已知直線A是4之間的一定點，并且點

A到,的距離分別為&和2.B,C分別是直線//上的動點，且ABAC=1，設(shè)ZABD=x,

f(尤)=A8-AC.

⑴寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式/(x)；

(2)求函數(shù)/(無)的最小值及相對應的x的值.

_2A/2_

【答案】"smxc°s(x+W)'一吟；⑵A%時，小)皿=8也

77"TTTT7T

【解析】(1)依題意，DE_L，2,而，^ABD=x,ZBAC=—,則Z.CAE=TI———(——X)=X+—,

3326

由4隹=?知，點B,C在直線DE同側(cè)，均為銳角，則有0＜工＜(,

2*=

在RtZWO中，AB=——,在RtACE中,則

sinx

f(x)=AB-AC=^-

/兀、，

sinxcos(x+—)

20

所以〃x)=A0AC=

sin尤8s(尤啟xe(0,—).

〃一2叵_2桓80

⑵由⑴得：/⑺一7r1飛11.71

——sinxcosx——sinx——sin2x+—cos2x——2sin(2%+—)-1

224446

因xe(0,勺，即2x+ge(/￥),當2X+￡=W，即x=J時，sin(2x+￡)取最大值1,所以

36666266

/(x)1nL8夜.

18.（山東省煙臺市2022屆高三一模數(shù)學試題）己知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S,，4=9,

9=15.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）保持數(shù)列也,｝中各項先后順序不變，在軟與歿M仕=12…）之間插入24個1,使它們和原

數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列｛2｝,記也,｝的前。項和為I,求幾。的值.

【答案】⑴?！?2〃+1；⑵142.

【解析】（1）設(shè)｛4｝的公差為d,由已知q+3d=9,3%+3d=15.

解得4=3,d=2.所以?！?2〃+1：

（2）因為須與4+"左=1,2,…）之間插入2*個1,

所以％在也｝中對應的項數(shù)為〃=左+2]+22+23+…+2皿=左+寧：=2上+左一2,

當k=6時，2上+"2=68,當k=7時，2上+"2=133,

所以“6=48，。7=仿33，且4?=2。=…=仿00=1?

=03+13)+^^-+32=142.

因止匕10G='+(2x1+22x1+23x1+…+25x1)+32x1

2''1-2

19.（2022?北京一^B一中高三階段練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，

底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABC。，PD=DC,E是PC的中

點，作EFLPB交PB于點F.

（1）.證明：上4〃平面EDB；

（2）證明：28_1平面瓦7）；

⑶求二面角/—C的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵證明見解析；（3）cos萼

【解析】（1）如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設(shè)。C=a.

（1）證明：連接AC,AC交8。于G,連接EG.

依題意得4（。，0,0），尸（0,0,。），￡0,|）|

:底面A8CD是正方形,

故點G的坐標為（萬,],。）

；.G是此正方形的中心,J.PA=(a,O,-a),EG=

0PA=2EG，故R4回EG.

而EGu平面EOB且力仁平面EDB,回力〃平面EDB.

(2)依題意得B(a,a,0),PB=(a,a,-a).

又。石=(0,二,父，HPB-DE=0+—-—=Q.

I22；22

0PB團DE.

由已知E用P8,且EFCDE=E,所以P8_L平面EFD.

⑶設(shè)點F的坐標為(xo,y0,zo),PF=APB，

貝!J(xo,yo,zo-a)=入(a,a,-a).

從而刈=入0,%=入0,zo—(1-入)a.所以

由條件E用PB知，F(xiàn)EPB=0,

即—Act2+―丸）q2—（丸——=0,解得2二;

一々〃2a^\廠（aa2a\

???點F的坐標為,且0尸=[了3可）

易知AG_LBD,AG_LPD,又50PD=D,

-11

所以AG_L平面尸DB,故AG=a（-5Q,0）是平面BC4的法向量,

設(shè)平面CDF的法向量;=（x,y,z），又。C=（O,a,O）,

n?DC=ay=0

所以cl〃a2a八,令z=1,貝！Jy=。,％=—2,z=1,所以〃=(-2,0,1)，

n-DF=—x+—yH-----z=0

333

—>—>

幾?AG]M

所以cos<n,AG>=

\n\\AG\

故二面角3-止-C的大小為cos巫.

5

20.（2022?廣東江門?模擬預測）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊

梅"、"楊梅之皇"的美譽.東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岳村一棵樹齡約120多年的野

楊梅樹，經(jīng)過東番村和白龍番村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅

一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟收入具有積極意義.根據(jù)

多年的經(jīng)驗，可以認為東魁楊梅果實的果徑X~N（〃Q2）（單位：mm）,但因氣候、施肥

和技術(shù)的不同，每年的〃和。都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊

梅果實中隨機取出1000顆，并測量這1000顆果實的果徑，得到如下頻率分布直方圖.

（1）用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)元近似代替〃，標準差s近似代替已知s=0.3.

根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與〃的差的絕對值在2b內(nèi)的果實稱為"標準果".現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆

果，請問這20顆果恰好有一顆不是"標準果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）

⑵隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進.網(wǎng)絡銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞

果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款"9A20”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80

元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若

出,/=1,2,3,4

采用A款包裝盒，成本“（14aV5）元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)J滿足=i）=[,i=。

lo

0,/=5,6,，,,,20

若采用8款包裝盒，成本—元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)〃滿足尸①=i)=V⑸"=123

’0,i=0,4,5,6,...,20

(機為常數(shù))，請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤？

參考數(shù)據(jù)：36.2x0.2+36.4x0.25+36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；尸。4XW〃+。)=0.6826；

—2cr<X</J+2cr)=0.9544；P(/z—3cr<X<//+3cr)=0.9974；0.954419a；0.412;

O.954420x0.393.

【答案】(1)0.38；(2)當。=|時，采用兩種包裝利潤一樣，當ae時，采用B款包裝盒，

當時，采用A款包裝盒.

【解析】(1)由題意得：x=185x0.2=37，所以〃=37,<y=s=0.3,貝U〃-2cr=37—0.6=36.4,

/z+2a=37+0.6=37.6,所以P(36.44X437.6)=0.9544,設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20

顆果恰好有一顆不是"標準果"為事件4則

P(A)=Cox(1-0.9544)x0.954419=20x0.0456x0.41270.38

(2)由5根+)加+耳根=1,解得：m=~所以=i)=,i=1,2,3,米用A款包裝盒獲

得利潤的數(shù)學期望

Ej=80-4￡(