（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教師用書

第八章立體幾何與空間向量8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)教師

用書理蘇教版

基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)

H知識梳理--------------------------

1.直線與平面垂直

(1)定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

a,/x=o]

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩1aCb=0

判定>=

條相交直線都垂直,那么這條直IVa

定理7

線垂直于這個(gè)平面IX-b」

71。

ab

性質(zhì)如果兩條直線垂直于同一個(gè)平a_Lo

二\^a//b

定理面，那么這兩條直線平行7?J-a

2.直線和平面所成的角

(1)定義

平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角.

若一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角,若一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，它們所

成的角是0°的角.

(2)范圍：[0,-y].

3.平面與平面垂直

(1)二面角的有關(guān)概念

①二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角:

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,

這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義

如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面

判定47±。

的一條垂線,那么這兩個(gè)平面/今U￡

定理7c￡

互相垂直力Z」

q_L￡、

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么7c￡

性質(zhì)

在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線/anB=a

定理

的直線垂直于另一個(gè)平面力J1.La/

a

【知識拓展】

重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一

個(gè)重要方法).

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉盎颉癤”)

(1)直線/與平面"內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/_L".(X)

(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.(X)

(3)直線a_La,8J.。，貝ija〃b.(V)

⑷若。J_￡,a_L￡=a〃a.(X)

(5)若直線a,平面。，直線6〃%則直線a與。垂直.(V)

2考點(diǎn)自測

i.(教材改編)下列命題中正確的是.

①如果平面。，平面￡,且直線/〃平面a,則直線AL平面8;

②如果平面平面B,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面￡；

③如果平面。不垂直于平面￡,那么平面。內(nèi)一定不存在直線垂直于平面￡；

④如果平面aJ_平面y,平面￡1.平面y,aQ￡=/,那么y.

答案②③④

解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，知①不正確，直線,可能平行平面￡,也可能在平面月內(nèi),

②③④正確.

2.設(shè)平面a與平面B相交于直線m,直線a在平面a內(nèi)，直線b在平面月內(nèi)，且bLm,

則“a_L￡”是“a_L8”的條件.

答案充分不必要

解析若a_L￡,因?yàn)閍nfi—m,6u￡,bLm,所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得

bLa,又aua,所以a_L6；反過來，當(dāng)a〃小時(shí)，因?yàn)?。_1_皿，且a,必共面，一定有6J_a,

但不能保證bla,所以不能推出。J.￡.

3.（2016?宿遷質(zhì)檢）對于四面體/靦，給出下列四個(gè)命題:

①若4B=AC,BD=CD,則BCLAD-,

②若AB=CD,AC=BD,則5CL49；

③若/員L/C,BDVCD,則

④若ACA.BD,則

其中為真命題的是.

答案①④

解析①如圖，取8c的中點(diǎn)M連結(jié)DM,由/人比；同理〃d咫＞融人平面

AMD,而ADcz平面AMD,故BCLAD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為0,連結(jié)BO,CO,DO,由ABLCD

nBOLCD,由ACLBgCOLBg0為ABCD的垂心nDOLBCnADLBC

4.（2016?徐州模擬）a、B是兩個(gè)不同的平面，m、〃是平面a及平面B之外的兩條不同的

直線，給出四個(gè)論斷：①九L〃；②aJ_￡；③〃，￡；@mLa,以其中三個(gè)論斷作為條件，

剩余的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:.

答案可填①③④=②與②③④=①中的一個(gè)

5.（教材改編）在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)/在平面/8C中的射影為點(diǎn)0.

八）若PA=PB=PC,則點(diǎn)0是MABC的心.

②若PALPB,PBVPC,PCYPA,則點(diǎn)。是的心.

答案⑴外⑵垂

解析（1）如圖1,連結(jié)勿，OB,OC,OP,

在口△加、和中，PA=PC=PB,

所以O(shè)A=OAOC,即。為△48C的外心.

圖1圖2

⑵如圖2,延長40,BO,C0,分別交比；AC,AB于-H,D,G.

,：PCVPA,PBLPC,PAC\PB=P,

.?./T_L平面片反48u平面必8,：.PCLAB,

又ABIPO,POCPC=P,

...四，平面PGC,

又。比平面PGC,

：.ABLCG,即CG為邊AB的高.

同理可證BD,力〃為△[a1底邊上的高，

即0為△4%的垂心.

題型分類深度剖析

題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1如圖，菱形4%/的對角線與切交于點(diǎn)0,AB=5,AC=Q,點(diǎn)E,尸分別在/〃CD

5

上，AE=CF=~,廝交劭于點(diǎn)〃將△龍F(tuán)沿3折到△〃牙'的位置.

4

D1

BC卜

0D'=VTo.

證明：D'"L平面4?徵.

證明由已知得UBD,AD=CD.

又由AE=）得霄=%，故AC//EF.

fiUOZz

因此硝_物，從而所H.

由AB=5,AC=&得DO=BO=^A^~ACf=^.

出由匕EfF"http://icA付C^D-O-=A-D--4'

所以a/=1,D'〃=Z￥/=3.

于是〃#+就=32+12=10=〃G,故〃HLOH.

又ffUVEF,而OHCEF="且OH,EFu平面ABCD,

所以〃平面ABCD.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃Aa，。

n6_L。)；③面面平行的性質(zhì)(a_La,a〃￡=a_L￡)；④面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判

定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

跟蹤訓(xùn)練1(2015?江蘇)如圖，在直三棱柱中，已知47_L8G勿=8.設(shè)科的

中點(diǎn)為〃&CCBC=E.

求證：(1)龍〃平面/4GG

證明(1)由題意知，6為8c的中點(diǎn)，

又〃為45的中點(diǎn)，因此如■〃/(C

又因?yàn)殛R平面AAGC,/Ct平面AAGC,

所以應(yīng)‘〃平面AAyCxC.

(2)因?yàn)槔庵鵄BC-AxBxQ是直三棱柱，

所以d_L平面四C

因?yàn)镮比平面ABC,

所以4ACG.

又因?yàn)锳CLBC,CCc平面BCCB,

8位平面8CG5,BCC\CC\=C,

所以平面BCCB.

又因?yàn)锽&U平面BCCB,

所以BQLAC.

因?yàn)镽CG,所以矩形6s5是正方形,

因此因，笈c

因?yàn)镮C,5化平面BxAC,ACPIB\C=C,

所以平面反/C

又因?yàn)??iU平面ByAC,

所以6GJ_M.

題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2如圖，四棱錐產(chǎn)一/閱9中，ABVAC,ABVPA,AB//CD,AB=2CD,E,F,G,M,A'分別

為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn).

(1)求證：四〃平面必〃；

(2)求證：平面析立平面后眥

證明⑴方法一取為的中點(diǎn)〃連結(jié)外DH.

又E為陽的中點(diǎn)，

所以EH彩AB.

又CD^AB,

所以掰觸CD.

所以四邊形〃第7是平行四邊形，所以四〃以

又DHc.平面PAD,困平面PAD.

所以四〃平面PAD.

方法二連結(jié)CF.

因?yàn)槭瑸?8的中點(diǎn),

所以"三矢區(qū)

又CD=^AB,

所以AF=CD.

又”1〃5，所以四邊形"我為平行四邊形.

因此CF//AD,又澗平面PAD,A上平面PAD,

所以的/平面PAD.

因?yàn)榉词謩e為陽，四的中點(diǎn)，所以環(huán)'〃必.

又原I平面PAD,用u平面PAD,

所以哥'〃平面PAD.

因?yàn)镃FCEF=F,故平面儀尸〃平面PAD.

又CEu平面CEF,所以龍〃平面PAD.

⑵因?yàn)椤闒分別為PB、46的中點(diǎn)，所以跖〃序.

又因?yàn)?反1_序，

所以￡7」相，同理可證46，網(wǎng)?.

又因?yàn)镋FCFG=F,EFu平面EFG,Fg平面EFG.

所以/ZLL平面EFG.

又因?yàn)镸,/V分別為陽，0C的中點(diǎn)，

版以MN〃CD,又AB"CD,所以砌V〃/8,

所以物V，平面EFG.

又因?yàn)榍绕矫鍱MN,所以平面￡)%工平面EMN.

引申探究

L在本例條件下，證明：平面0邢，平面為C

證明因?yàn)?員L序，ABVAC,

且PAOAC=A,PAc.平面PAC,ACc.平面PAC,

所以力從L平面PAC.

又的/CD,CD//AB,所以」邠〃M?,

所以加CL平面PAC.

又網(wǎng)匕平面EMN,

所以平面物ML平面PAC.

2.在本例條件下，證明：平面砒；〃平面為C

證明因?yàn)轶臚,C分別為必，AB,a1的中點(diǎn)，

所以EF//PA,FG//AC,

又成I平面為G/u平面為G

所以跖〃平面PAC.

同理，/心〃平面為C

又EFCFG=F，

所以平面￡7&〃平面PAC.

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(a_L￡,aua=a_L￡).

(2)在己知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

跟蹤訓(xùn)練2(2016?江蘇)如圖，在直三棱柱中，D,6分別為46,6c的中點(diǎn)，點(diǎn)

廠在側(cè)棱8歸上，KBxDVA.F,46J_4氏

求證：(1)直線如〃平面4G凡

(2)平面氏膽平面AxQF.

證明(D由己知，應(yīng)為的中位線，

：.DE//AC,又由三棱柱的性質(zhì)可得力加4G,

：.DE//AxG,

又平面4GE4Gu平面4G產(chǎn)，

；.瓦〃平面AxCxF.

(2)在直三棱柱/8C-45G中，加」平面45G,

44_L4G,

又且45cA4尸4,

AB,A4iu平面儂4,

J_平面ABB\A\,

平面:.ACL&D,

又“：AF1RD,且4戶n4G=4,

AiF,4Gu平面4GF,

平面ACF,

又YBg平面B、DE,

，平面笈應(yīng)工平面4GC

題型三垂直關(guān)系中的探索性問題

例3如圖，在三棱臺ABC—DEF中,”平面場五，ABLBC.

(1)設(shè)平面4四n平面龐7，=a,求證：DFHa：

②若EF=CF=2BC,試問在線段應(yīng)?上是否存在點(diǎn)G,使得平面〃%，平面口應(yīng)？若存在，請

確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

(1)證明在三棱臺ABC-DEF中,AC//DF,4Gz平面M平面/綏；.小〃平面水近

又DFu平面DEF,平面ACEQ平面DEF=a,

：.DF//a.

⑵解線段緲上存在點(diǎn)G,且BG=〈BE,使得平面力&_L平面CDE.

?J

證明如下：

取位的中點(diǎn)。，連結(jié)尸。并延長交監(jiān)于點(diǎn)G,

連結(jié)切，GF'：CF=EF,：.GFLCE.

在三棱臺/60-。*中，AB1BC〉DE1EF.

由"平面DEFaCF'DE,

又CFCEF=F,：.DEL平面CBEF,：.DEVGF.

GFVCE'

GFYDE卜血平面CDE.

CECDE=E,

又GFu平面DFG,

，平面分'GJ_平面CDE.

此時(shí)，如平面圖所示，延長6/心交于點(diǎn)//,

為磔的中點(diǎn)，EF=CF=2BC,

由平面幾何知識易證△〃g的，

BG]?

由△的可知K；=K，EPBG=-BE.

(JL,ZO

思維升華同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為

線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.

跟蹤訓(xùn)練3(2016?北京東城區(qū)模擬)如圖，在三棱柱/及7—48￡中，側(cè)棱加」底面/6G

"為棱/C的中點(diǎn)4c=2,44=木.

(1)求證：8c〃平面48%

(2)求證：陽_1_平面4腿

BN

(3)在棱陽上是否存在點(diǎn)兒使得平面4G/U平面A44。如果存在，求此時(shí)年的值；如果

DD\

不存在，請說明理由.

⑴證明連結(jié)4A與46,兩線交于。點(diǎn)，連結(jié)。優(yōu)

在△笈47中，,：M,。分別為力G48中點(diǎn),

：?0M〃BC

又?:平面AM3R平面AM

，EC〃平面46M

⑵證明???側(cè)棱加」底面ABC,的憶平面ABC,

：.AAXLBM9

又："為棱力。中點(diǎn)，AB=BC,J.BMA.AC,

*：AAiQAC=A,??."_!_平面然C4,

C.BMLACx.

?.?力。=2,：.AM=\,

又?.,44=筐，，在RtZX/ICG和中，

tanZJCiC=tanZ4M4=木.

：.ZAGC=ZAM,

即N/GC+NG〃=N4."+NG<C=90°,

■:BMCA】M=M,???力GJ■平面44%

BN1

⑶解當(dāng)點(diǎn)N為/?中點(diǎn)，即五時(shí)，

DD\Z

平面4GA工平面AAiCiC.

證明如下：

設(shè)4G中點(diǎn)為〃連結(jié)〃”，DN.

???〃，"分別為"G,/C中點(diǎn)，

：.DM//CCx,且〃仁^⑶.

又,：N為BB內(nèi)點(diǎn),：.DM//BN,KDM=BN,

：.MBND為平行四邊形，；.BM//DN,

,：81人平面ACQAx,；.平面ACGAt.

又〃化平面AGN,：.平面4GML平面AAtGC.

思想與方法系列

17.立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想

典例(14分)如圖所示，機(jī)N,｛分別是正方體4比7—的棱49,CD,G4的中點(diǎn).

求證：⑴孫〃平面4,監(jiān)

(2)平面48C_L平面AxMK.

思想方法指導(dǎo)(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相

互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；

(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ).證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證

明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；

(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對照條件、步驟書寫要規(guī)范.

規(guī)范解答

證明⑴如圖所示，連結(jié)施

在正方體ABCD-Ai&C、從中,

■：四邊形AAMD,ZW4C都為正方形，

：.AAt//m,A4=映,

C\DJ/CD,CD=CD.[2分]

,:N,4分別為切，G4的中點(diǎn)，

：.DN//DxK,DN^DyK,

四邊形9為平行四邊形，[3分]

：.KN//DIX,KN^DD,,J.AAJ/KN,AA^KN,

四邊形為平行四邊形，...加〃/區(qū)[4分]

；4忙平面4站，4W平面4"，

〃平面4就[6分]

(2)如圖所示，連結(jié)陽.在正方體力6"一464a中，ABZ/GDx,A4c隊(duì)

V.I/,K分別為48,G4的中點(diǎn)，

'.BM//GK,BM=C\K,

，四邊形的％獷為平行四邊形，陰〃6G.［8分］

在正方體ABCD-A、&C\仄中,48，平面BRCC

6Gu平面胡GG，4A_L8G.

'：MK//BQ,：.A^XLMK.

?.?四邊形做GC為正方形，.?.6GJ_8C

:.MKLBC［12分］

；48u平面46C,A&:平面48C,45nbe=5,...朗口平面48C

又,：MKu平面&MK,

平面46K_L平面4物［14分］

課時(shí)作業(yè)

1.若平面平面B,平面an平面￡=直線］,則下列命題正確的有_.

①垂直于平面￡的平面一定平行于平面。；

②垂直于直線，的直線一定垂直于平面。；

③垂直于平面￡的平面一定平行于直線7；

④垂直于直線/的平面一定與平面。，萬都垂直.

答案④

解析對于①，垂直于平面￡的平面與平面。平行或相交，故①錯(cuò)誤；

對于②，垂直于直線/的直線與平面。垂直、斜交、平行或在平面。內(nèi)，故②錯(cuò)誤；

對于③，垂直于平面￡的平面與直線/平行或相交，故③錯(cuò)誤；易知④正確.

2.（2016?常州模擬）設(shè)勿、〃是兩條不同的直線，。、￡是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的是.

①若mLn,n//a,則a；

②若加〃￡,Bia,則加，。；

③若ml.B,nX.B,nA.a,則ml.a；

④若ml.n,AJ_B,￡J_a,則ml.a.

答案③

解析①中，由mln,n//a,可得"匚a或加〃?；虮嘏ca相交，錯(cuò)誤；②中，由小〃￡,

￡J.a,可得ga或小〃a或勿與a相交，錯(cuò)誤；③中，由ml.B￡,可得加〃"，

又"J_。，則m±a,正確；④中，由0_L〃,〃_L￡,￡_La,可得而與a相交或maa或小〃a,

錯(cuò)誤.

3.（2016?無錫模擬）如圖，在斜三棱柱49C-43G中，N陰。=90°,BQLAC,則G在底面

力面上的射影〃必在直線上.

Ai

答案AB

解析ACYAB,ACLBQ,."C_L平面"G.

又ACci平面ABC,：.平面ABC±平面ABC.

：.G在平面1比1上的射影〃必在兩平面交線48上.

4.如圖，三棱柱49C—4AG中，側(cè)棱44垂直底面43G,底面三角形45G是正三角形，E

是第中點(diǎn)，則下列敘述正確的是—

①⑶與是異面直線；

②/d平面ABBA；

③熊與64是異面直線，且AELBxCx-.

④4G〃平面

答案③

解析①不正確，因?yàn)榱优c尻?在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線；②不正確，由題意知，

上底面1回是一個(gè)正三角形，故不可能存在Id平面4物4；③正確，因?yàn)?G為在兩

個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；④不正確，因?yàn)?G所在的平面與

平面13店相交，且4G與交線有公共點(diǎn)，故4G〃平面48避不正確.

5.如圖，以等腰直角三角形/%的斜邊8。上的高｛。為折痕，把△/劭和△/徵折成互相垂直

的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：

①BUAC；

②△加C是等邊三角形；

③三棱錐人力窈是正三棱錐;

④平面四人平面ABC.

其中正確的是.

答案①②③

解析由題意知，劭，平面C,故即工AC,①正確；為等腰直角三角形斜邊a1上的高，

平面｛劭，平面ACD,所以AB=AC=BC,△胡C是等邊三角形，②正確；易知DA=DB=DC,

又由②知③正確；由①知④錯(cuò).

6.如圖所示，直線為垂直于。。所在的平面，比'內(nèi)接于。。，且46為。。的直徑，點(diǎn)M

為線段陽的中點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：QBC1PC；②的/〃平面4c③點(diǎn)8到平面為。的距離等于線

段比、的長.其中正確的是.

P

答案①②③

解析對于①，平面四C,...必_L6C,

：43為。。的直徑，，比上/。，...8UL平面打C,

又PCu平面PAC,：.BCLPC-,

對于②，：點(diǎn)"為線段外的中點(diǎn)，???〃》〃必，

:必u平面PAC,〃城平面PAC,

：.a/〃平面PAC-,

對于③，由①知6人平面為C,...線段落的長即是點(diǎn)8到平面為。的距離，故①②③都正確.

7.（2016?鎮(zhèn)江模擬）已知a、b、/表示三條不同的直線，a、8、2表示三個(gè)不同的平面，

有下列四個(gè)命題：

①若an￡=a,￡P(guān)Iy=8,且a〃6,則。〃y；

②若a、6相交，且都在a、￡外，a//a,a〃￡,b//a,b"B,則?！ā辏?/p>

③若a_L￡,Aj3—a,ZxzJ3,aJ_b,則bl.a；

④若aua,仁a,/J_a,l±b,則/J,a.

其中正確命題的序號是.

答案②③

解析在三棱柱中，三條側(cè)棱互相平行，但三個(gè)側(cè)面所在平面兩兩相交，故①錯(cuò)誤；因?yàn)閍、

6相交，假設(shè)其確定的平面為Y，根據(jù)a〃。，b//a,可得y//a,同理可得y//,因

此?！ā?②正確；由兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直，易

知③正確；當(dāng)且僅當(dāng)a、6相交時(shí)結(jié)論正確，④錯(cuò)誤.

8.如圖，直三棱柱45G中，側(cè)棱長為2,AC=BC=\,NACB=90°,〃是/山的中點(diǎn),

少是阿上的動(dòng)點(diǎn)，AB、,〃尸交于點(diǎn)后要使46」平面則線段8尸的長為

c

答案2

解析設(shè)B\F=x,

因?yàn)?8,平面G加DFu平面CDF,

所以ABxLDF.

由已知可得4方=*,

設(shè)瓜斜邊A區(qū)上的高為4

貝ljDE=g.

又2X鏡二八/爐+木北

所以方=￥，應(yīng)三坐

在Rt△陽￡中，

嚕7號一號邛

由面積相等得乎X、卜+平三平不

0ZZ

后1

得X=-

9.如圖，為，圓。所在的平面，4?是圓。的直徑，C是圓。上的一點(diǎn)，反尸分別是點(diǎn)4在加,

/右上的射影，給出下列結(jié)論：

p

①AFLPB；②)EF,PB；③/足LK7；④4￡1平面外C

其中正確結(jié)論的序號是.

答案①②③

解析由題意知力_L平面46G.?.為_L6c

又水二8C,且為C4C=4

，加二平面為C,J.BCLAF.

'：AFVPC,且6CT1/V=C,

"JL平面PBC,

：.AFVPB,又AELPB,AECAF=A,

.,.陽_L平面4跖，：.PBLEF.

故①②③正確.

10.如圖，在直二面角a-MN-P中，等腰直角三角形49C的斜邊BCua,一直角邊B,

BC與￡所成角的正弦值為亍，則AB與8所成的角是—

z^yH

答案V

解析如圖所示，作皮叱,肺于點(diǎn)〃連結(jié)力〃，

則BHL￡,NBCH為BC與B所成的角.

.../“〃亞BH

?sin/BCH—.—“

4DC

設(shè)BC=1,則仍?乎.

???△/阿為等腰直角三角形，4?—斗，

四與B所成的角為/胡〃

亞

BH4m

：.sinZSA//=-=-r=^

AByj229

2

n

ABAH=—.

?J

11.（2016?四川）如圖，在四棱錐為8⑦中，PAVCD,AD//BC,ZADC=ZPAB=^°,BC=CD

p

⑴在平面必〃內(nèi)找一點(diǎn)M使得直線。/〃平面分8并說明理由；

（2）證明：平面為6_L平面如〃

⑴解取棱的中點(diǎn)做』上平面為〃），點(diǎn)"即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下:

連結(jié)5隊(duì)CM.

因?yàn)?〃〃8GBC=^AD,

所以8C〃4M,且8C=4肌

所以四邊形4峻是平行四邊形，從而CM//AB.

又ABc:平面PAB,。施平面PAB.

所以◎/〃平面PAB.

（說明：取棱加的中點(diǎn)M則所找的點(diǎn)可以是直線椒'上任意一點(diǎn)）

⑵證明由已知，PA±AB,PALCD.

因?yàn)?〃〃比?,BC^CD=^AD,

所以直線的與切相交，

所以胡，平面ABCD,

從而PALBD.

又BC//MD,QBC=MD.

所以四邊形況。/是平行四邊形，

所以向/=%=%〃，所以劭J_/8.

又AB^AP^A,所以劭，平面PAB.

又Bg平面PBD,

所以平面/%8_L平面PBD.

12.如圖所示，四邊形4灰力是平行四邊形，平面平面4?（力，EF//AB,AB=2,BC=E