甘肅省武威市民勤縣第三中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

甘肅省武威市民勤縣第三中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是內(nèi)（不含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．3．直線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對(duì)任意的正整數(shù)均成立，則（）A．162 B．54 C．32 D．165．己知ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若A=45°,B=30°,a=2，則bA．3-1 B．1 C．2 D．6．若關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)總有4個(gè)解，則可以是（）A． B． C． D．7．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A． B． C． D．8．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：①與平行②與是異面直線(xiàn)③與成角

④與是異面直線(xiàn)以上四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．若曲線(xiàn)表示橢圓，則的取值范圍是()A． B． C． D．或10．已知是不同的直線(xiàn)，是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，正方形中，分別為邊上點(diǎn)，且，，則________.12．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則________．13．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____．14．若正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為_(kāi)___.15．從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人到一個(gè)單位實(shí)習(xí)，余下的兩人到另一單位實(shí)習(xí)，則甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的概率為_(kāi)_______.16．已知sin＝，則cos＝________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某校為了了解學(xué)生每天平均課外閱讀的時(shí)間（單位：分鐘)，從本校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天課外閱讀時(shí)間不超過(guò)30分鐘的有45人.（Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).18．已知函數(shù)，其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)，在上的單調(diào)區(qū)間.19．設(shè)向量，，其中，，且．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的值．20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值．21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），且滿(mǎn)足，（）．（1）求證是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先判斷是正四面體，可得正四面體的棱長(zhǎng)為，則的最大值為的長(zhǎng)，的最小值是到平面的距離，結(jié)合不在三角形的邊上，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，是正四面體，且正四面體的棱長(zhǎng)為，在內(nèi)，的最大值為，的最小值是到平面的距離，設(shè)在平面的射影為,則為正三角形的中心，，，的最小值為，又因?yàn)椴辉谌切蔚倪吷希缘姆秶?，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)及立體幾何求最值，屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義以及平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.2、B【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體挖去一個(gè)圓錐的組合體，正方體體積為，圓錐體積為幾何體的體積為，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線(xiàn)與虛線(xiàn)以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.3、D【解析】

利用直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)可知，要求，只要求解圓心到直線(xiàn)的距離.【詳解】由題意圓，可得圓心，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離.則由圓的性質(zhì)可得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了求弦長(zhǎng)、圓的性質(zhì)，同時(shí)考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由，得到數(shù)列表示公比為3的等比數(shù)列，求得，進(jìn)而利用，即可求解.【詳解】由，可得，所以數(shù)列表示公比為3的等比數(shù)列，又由，，得，解得，所以，所以故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列中與之間的關(guān)系，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和與之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由正弦定理可得．【詳解】∵asinA=故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，解題時(shí)直接應(yīng)用正弦定理可解題，本題屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫(xiě)出與的解析式，再判斷對(duì)應(yīng)方程在時(shí)解的個(gè)數(shù)．【詳解】對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)有4個(gè)解，當(dāng)時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)有2個(gè)解，不符合；對(duì)，，，；方程，當(dāng)時(shí)恒有4個(gè)解，符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，對(duì)綜合能力的要求較高．7、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A8、B【解析】

把平面展開(kāi)圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線(xiàn)定義、異面直線(xiàn)所成角逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【詳解】把平面展開(kāi)圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質(zhì)可知，與異面且垂直，故①錯(cuò)誤；與平行，故②錯(cuò)誤；連接，則，為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；由異面直線(xiàn)的定義可知，與是異面直線(xiàn)，故④正確．∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查異面直線(xiàn)定義及異面直線(xiàn)所成角，是中檔題．9、D【解析】

根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，解不等式組可得結(jié)果.【詳解】曲線(xiàn)表示橢圓，，解得，且，的取值范圍是或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及不等式的解法，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于簡(jiǎn)單題.10、D【解析】

由線(xiàn)面平行的判定定理即可判斷A；由線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷B；由面面垂直的性質(zhì)可判斷C；由空間中垂直于同一條直線(xiàn)的兩平面平行可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，加上條件“”結(jié)論才成立；對(duì)于B選項(xiàng)，加上條件“直線(xiàn)和相交”結(jié)論才成立；對(duì)于C選項(xiàng)，加上條件“”結(jié)論才成立.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，涉及線(xiàn)面平行的判定、線(xiàn)面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（或）【解析】

先設(shè)，根據(jù)題意得到，再由兩角和的正切公式求出，得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以，所以，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.12、【解析】

利用等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，求出a1，即可求出a1．【詳解】∵等差數(shù)列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數(shù)列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.．13、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】根據(jù)圖形，因?yàn)槎际侵苯侨切危?是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于與中檔題.14、【解析】

先作出線(xiàn)面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，作出線(xiàn)面角是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

求得從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人的總數(shù)和甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的方法數(shù)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得所求值．【詳解】解：從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中任選兩人的方法數(shù)為種，甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的方法數(shù)為種，則甲、乙兩人不在同一單位實(shí)習(xí)的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，即cos＝，所以cos＝cos＝，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ)；（Ⅱ)中位數(shù)估計(jì)值為32，平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出，；（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計(jì)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)及平均值．【詳解】（Ⅰ)由題意得，解得（Ⅱ)設(shè)該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為，則解得：.該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)估計(jì)值為：.答：該校學(xué)生每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)估計(jì)值為32，平均數(shù)估計(jì)值為32.5.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式，降冪公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)其圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，得出周期，利用周期公式得出，即可得出該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)平移變換得出，再由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的最小值，進(jìn)而得出，利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：（1）由已知函數(shù)的周期，，∴.（2）將的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到的圖象∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴，即∴，∴，∵，∴當(dāng)，取最小值，此時(shí)最小值為此時(shí)，.令，則當(dāng)或，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.∴在上的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定解析式以及正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用向量模的坐標(biāo)求法可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及兩角差的余弦公式的逆應(yīng)用可得，進(jìn)而求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由知所以．又因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)?，所以．?）由（1）知．由，得，即．因?yàn)椋?，所以．所以，因此．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角差的余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）從第27項(xiàng)開(kāi)始（2）【解析】

（1）寫(xiě)出通項(xiàng)公式解不等式即可；（2）由（1）得數(shù)列最后一個(gè)負(fù)項(xiàng)為取得最大值處即可求解【詳解】（1）．解得．所以從第27項(xiàng)開(kāi)始．（2）由上可知當(dāng)時(shí)，最大，最大為．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n