中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題6.1圓的基本性質(zhì)重難點(diǎn)題型講練(4大題型105題)(講練)(原卷版+解析)

專題6.1圓的基本性質(zhì)重難點(diǎn)題型講練題型1：垂徑定理的應(yīng)用類型1-利用垂徑定理進(jìn)行證明（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，A、B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接、點(diǎn)C，D是、上靠近圓心O的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F是的三等分點(diǎn)，連接，，(1)求證：(2)連接，，請(qǐng)你判斷，的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．類型2-利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，求弦的長(zhǎng)．類型3-垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．(1)求圓弧所在的圓的半徑的長(zhǎng)；(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有米，即米時(shí)，是否要采取緊急措施？類型4-利用垂徑定理作圖（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中的圓上找到格點(diǎn)D，使得；(2)在圖2中的圓上找到點(diǎn)E，使點(diǎn)E平分弦所對(duì)的弧．綜合訓(xùn)練1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分2．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或44．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，直徑弦，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤56．（2021·廣東珠海·九年級(jí)珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（

）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC7．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．158．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，直徑過(guò)弦的中點(diǎn)G，，則等于（

）A． B． C． D．9．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)縱截面為半圓的容器水平放置，然后向其中倒入部分液體，測(cè)得數(shù)據(jù)如圖（單位：cm），則液面寬度（

）A．8cm B．4cm C． D．10．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是弧的中點(diǎn)，弦，，且，則弧所在圓的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．1011．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了測(cè)量圓形工件的直徑．甲：如圖1，在工作臺(tái)上用邊長(zhǎng)相同的兩個(gè)立方體小木塊頂在圓形工件的兩側(cè)，測(cè)得兩木塊間的距離b和小木塊的邊長(zhǎng)a即可；乙：如圖2，把兩個(gè)小木塊換成兩個(gè)相同的小圓柱，量得圓柱半徑n和兩個(gè)圓心之間的距離m即可．下面的說(shuō)法正確的是（

）A．甲對(duì)乙不對(duì) B．甲不對(duì)乙對(duì) C．兩人都不對(duì) D．兩人都對(duì)12．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條排水管的截面半徑dm，水面寬dm，則排水管中水的最大深度為（

）A．4dm B．3dm C．2dm D．1dm13．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的圓柱形輸油管道的截面半徑是，油面寬為，則截面上有油部分的面積為（

）A． B． C． D．14．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高cm，底面直徑cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為cm，則球的半徑為（

）cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．A．7.5 B．7 C．6.5 D．615．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與相切于點(diǎn)，且，則________．16．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦切小圓于點(diǎn)，若，則圓環(huán)的面積是________．17．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑作半圓，為的中點(diǎn)，連接，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．18．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．測(cè)得米，米，米，則所在圓的半徑為_(kāi)____________米，所在圓的半徑為_(kāi)_________米．19．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是______寸．20．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，發(fā)明于唐，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，若盛水桶P到水面AB的距離為2m，則的度數(shù)為_(kāi)________．21．（2023秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是博物館展出的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期車輪實(shí)物，《周禮·考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，為驗(yàn)證博物館展出車輪類型，我們可以通過(guò)計(jì)算車輪的半徑推斷．如圖2所示，在車輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，經(jīng)測(cè)量，，，則此車輪半徑為_(kāi)_____．通過(guò)單位換算（在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，一尺大約是左右），得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為兵車之輪．22．（2023·天津和平·天津市第五十五中學(xué)校考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，上的點(diǎn)，圓心均在格點(diǎn)上，（1）_____________；（2）若點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)，，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)，的位置是如何找到的（不要求證明）____________________．23．（2021秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在以AB為直徑的圓中，弦CD⊥AB，M是AB上一點(diǎn)，射線DM，CM分別交圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，求證EF⊥AB．24．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)E的直徑MN與CD交于F點(diǎn)，求證：CF＝DF25．（2021春·福建廈門·九年級(jí)廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，且為直徑，為上一點(diǎn)且，求證：為等腰三角形．26．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．27．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．28．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，半徑，垂足為點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．29．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，是的一條弦，且于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．30．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的長(zhǎng)．31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過(guò)圓心O的線段于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，已知半徑為5．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）若，且，求弦的長(zhǎng)；32．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)，，．(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)求弧ABC的長(zhǎng)．33．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖，已知A，B，C均在⊙O上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作圖．(1)如圖1，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，試畫出的平分線；(2)若，點(diǎn)D在弦上，在圖2中畫出一個(gè)含角的直角三角形．34．（2023·陜西西安·?？级＃締?wèn)題提出】（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)__________；【問(wèn)題解決】（2）如圖②，在等腰直角中，，以AC為直徑作半圓O，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)B、D之間的最大距離；【問(wèn)題探究】（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角以及弓形BDC組成，其中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，，這時(shí)候小明和小麗在討論這個(gè)部件，其中小麗說(shuō)點(diǎn)A到的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離，小明說(shuō)不對(duì)，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出點(diǎn)A到的最大距離．35．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明所在學(xué)習(xí)興趣小組在探究“如何測(cè)量環(huán)形花壇面積（陰影部分）”的方法，準(zhǔn)備了下列工具：①卷尺；②直木條（足夠長(zhǎng)）；③T型尺（EF所在的直線垂直平分線段CD）．(1)在圖1中，請(qǐng)你用T形尺的原理畫出大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．(2)如圖2，小明說(shuō)：“我只用一根直木條和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直木條放留到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直木條與大圓兩交點(diǎn)G，H之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積．”如果測(cè)得，請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積．36．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）(1)如圖，①在線段上找一點(diǎn)，使；②過(guò)點(diǎn)作直線將四邊形的面積二等分；(2)如圖，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過(guò)了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，，請(qǐng)畫出這個(gè)圓的圓心．37．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖已知收線的圓片上有三點(diǎn)，，．(1)作出這個(gè)圓片的圓心（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，，，設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求該圓片的半徑．38．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知劣弧，如何等分？下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補(bǔ)全證明過(guò)程．方法一：①作射線、；②作的平分線，與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵平分，∴∴___（_____）（填推理的依據(jù)）．方法二：①連接；②作線段的垂直平分線，直線與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過(guò)圓心O，∴___（___）（填推理的依據(jù)）．39．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A、、三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留連線痕跡）(1)在圖（1）中的上畫一點(diǎn)，使；(2)在圖（2）中過(guò)A、、的圓上找一點(diǎn)，使平分．40．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊上．(1)線段的長(zhǎng)等于__________；(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的圓上，畫出一個(gè)點(diǎn)D，使其滿足的度數(shù)小于的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）______________________________________________．41．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示．(1)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上．畫出該圓的圓心E，并畫出的中點(diǎn)F；(2)如圖，點(diǎn)O為網(wǎng)格點(diǎn)，和為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，畫出點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)I，連接交于K，在上畫點(diǎn)Q，使得．42．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的66網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖(畫圖過(guò)程用虛線，結(jié)果用實(shí)線）．(1)在圖1中畫出圓心點(diǎn)O；(2)在圖2中的圓上畫一點(diǎn)E，使平分弧；(3)在圖3中的圓上畫一點(diǎn)M，使平分．43．（2022秋·吉林延邊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，則（

）A． B． C． D．題型2：弦、弧、圓心角之間的關(guān)系類型-1利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系求解（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在上，B是的中點(diǎn)，，則等于________．類型-2利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系證明（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，C為弧上一點(diǎn)，于M，于N，．求證：．綜合訓(xùn)練1．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，是直徑，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若弦長(zhǎng)等于半徑，則弦所對(duì)弧的度數(shù)是__________．3．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是______．-4．（2022秋·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在扇形中，已知，，過(guò)弧的中點(diǎn)C作，，垂足分別為點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________．5．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．分別求和的度數(shù)．6．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)接四邊形為正方形，P為弧的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)連接，求證：；（從“”、“”中選擇一個(gè)填入，并完成證明）．7．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D是圓O上的點(diǎn)，，，分別交，，OC于點(diǎn)N，M．求證：(1)；(2)．8．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，為的弦，，，的平分線交于點(diǎn)D．(1)若，求的度數(shù)；(2)求四邊形的面積．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于，交于，連接．試判斷，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，且，是的三等分點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．求證：．題型3：圓周角定理及其推論類型1-圓周角定理（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．類型2-同弧、等弧所對(duì)的圓周角（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，若是的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．類型3-90°的圓周角與直徑（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ形膱@中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是半圓的半徑，點(diǎn)，在半圓上，若，則的度數(shù)為_(kāi)________．綜合訓(xùn)練1．（2022秋·寧夏吳忠·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，，是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，均在上，若，則的大小是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，，C、D為上兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，等腰內(nèi)接于，點(diǎn)D是圓中優(yōu)孤上一點(diǎn)，連接，已知，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，，C為劣弧上一點(diǎn)，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓(xùn)練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷TPQ，僅從射門角度大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門較好（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（2023·安徽合肥·一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．9．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，，都是上的點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．11．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀⒁粋€(gè)含角的直角三角板和一個(gè)量角器按如圖所示的方式放置，，其中點(diǎn)所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為，連接交于點(diǎn)，則圖中的度數(shù)是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，外角的平分線交于點(diǎn)，射線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．13．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一塊圓形飛鏢游戲板，是的直徑，弦，，假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（沒(méi)有投中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，投中游戲板陰影部分（含陰影邊界）的概率是________．14．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，四邊形是平行四邊形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則_____度．15．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖，量角器的刻度線的兩端，分別在軸正半軸與軸負(fù)半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)位于該量角器上刻度處．（1）若點(diǎn)在靠近點(diǎn)處，連接，則______；（2）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大時(shí)，______．16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知、是的兩條弦，且、，分別連結(jié)、并延長(zhǎng)，兩線相交于點(diǎn)P，若，則的半徑為_(kāi)__________．17．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．(1)求證；(2)若的度數(shù)為，求的度數(shù)．18．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓O，為直徑，的平分線交于點(diǎn)F，交半圓O于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)P，連接．求證：(1)；(2)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)．19．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在中，弦與直徑交于點(diǎn)，弦的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的的切線交于點(diǎn)．連接，，，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．題型4：與園有關(guān)的最值問(wèn)題類型1-最長(zhǎng)弦問(wèn)題（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的弦，，點(diǎn)B是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，則的最大值是_____．類型2-定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知，，，點(diǎn)A在中軸線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且．（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到時(shí)，與相切，則___________dm．（2）在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的最短距離為_(kāi)__________dm．類型3-隱圓問(wèn)題（2022秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為_(kāi)_____．綜合訓(xùn)練1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C(-2，0)為圓心，1為半徑的圓C上，Q是AP的中點(diǎn)，則OQ長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心的半徑為2，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則的最大值與最小值和為（）A． B． C． D．54．（2023春·安徽黃山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．45．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，，，以為圓心，為半徑畫圓，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（）A．2 B． C．4 D．36．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，的面積為，點(diǎn)M，N分別在、線段上運(yùn)動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值等于（

）A． B． C． D．7．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知為等腰直角三角形，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，并繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是(

)A． B． C． D．8．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，連接，，已知始終為直角，則線段長(zhǎng)的最大值為（）A．6 B． C． D．59．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在中，弦，點(diǎn)為圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，為上一點(diǎn)，且，，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____．10．（2023春·北京豐臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等邊中，E，F(xiàn)分別是邊，上一點(diǎn)，且，若，則________，的最小值為_(kāi)__________．11．（2023·廣東云浮·?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)P是平行四邊形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為_(kāi)______．12．（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，其中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為_(kāi)_____．13．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是________．14．（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為2，E為邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，連接，若點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為，的中點(diǎn)，，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的最大值為_(kāi)__________．16．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B在第一象限，且，，若以為直徑的與相切于點(diǎn)O，與相切于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，連接，則線段的最小值是______．17．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)執(zhí)信中學(xué)校考期末）如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，于，點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____________．20．21．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題解決：(1)如圖①，半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積最大值是______．(2)如圖②，在扇形中，，，點(diǎn)、分別在和上，且，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．連接、，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖③，四邊形中，，，，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，求面積的最大值．19．（2020秋·江蘇·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖：已知P是半徑為10cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問(wèn)題：（1）用尺規(guī)作圖作出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫作法）（2）用三角板分別畫出過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦AB和最短弦CD．（3）已知OP=6cm，過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有條．20．（2022·河北保定·保定十三中?？级＃┦仪f市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點(diǎn)距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開(kāi)始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周．(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為

m；(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)），①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長(zhǎng)）；②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差；(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時(shí)間有多長(zhǎng)（不足一分鐘按一分鐘記）．專題6.1圓的基本性質(zhì)重難點(diǎn)題型講練題型1：垂徑定理的應(yīng)用類型1-利用垂徑定理進(jìn)行證明（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，A、B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接、點(diǎn)C，D是、上靠近圓心O的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F是的三等分點(diǎn)，連接，，(1)求證：(2)連接，，請(qǐng)你判斷，的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接、，根據(jù)同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到，證明即可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)M，連接，根據(jù)垂徑定理的推論和同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定可作出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接、，則，∵C、D為、三等分點(diǎn)，∴，∵E、F為的三等分點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）解：．理由如下：取的中點(diǎn)M，連接，則，∴，，∴，∵為等腰三角形，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等、垂徑定理的推論、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．類型2-利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，求弦的長(zhǎng)．【答案】8【分析】由題意可得，，根據(jù)勾股定理可得，可得．【詳解】解：直徑，．，．，，．．．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理和勾股定理．類型3-垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．(1)求圓弧所在的圓的半徑的長(zhǎng)；(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有米，即米時(shí)，是否要采取緊急措施？【答案】(1)(2)不需要采取緊急措施【分析】（1）連接，利用表示出的長(zhǎng)，在中根據(jù)勾股定理求出的值即可；（2）連接，在中，由勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．【詳解】（1）連接，由題意得：，在中，由勾股定理得：，解得，；（2）連接，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：．．，不需要采取緊急措施．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．類型4-利用垂徑定理作圖（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中的圓上找到格點(diǎn)D，使得；(2)在圖2中的圓上找到點(diǎn)E，使點(diǎn)E平分弦所對(duì)的?。敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是找到滿足條件的格點(diǎn)；（2）根據(jù)垂徑定理，過(guò)點(diǎn)O和弦的中點(diǎn)作直線與相交，交點(diǎn)滿足要求．【詳解】（1）滿足條件的點(diǎn)有、、，如圖1所示，（2）過(guò)點(diǎn)O和弦的中點(diǎn)作直線與相交于點(diǎn)和點(diǎn)，據(jù)垂徑定理，則點(diǎn)和點(diǎn)滿足要求．【點(diǎn)睛】此題通過(guò)作圖考查了圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是正確作圖的關(guān)鍵．綜合訓(xùn)練1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心，原說(shuō)法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說(shuō)法不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．2．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點(diǎn)，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點(diǎn)B為劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，但不能證明，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?．（2023秋·天津和平·九年級(jí)校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理以及分類討論的思想的運(yùn)用．4．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，直徑弦，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由垂徑定理得，由“等弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半”推知，由三角形內(nèi)角和定理求得，代入即可得到答案．【詳解】在中，直徑弦，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．5．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最小．當(dāng)A′B′與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)可知A′B′最?。划?dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，∴，∴A′B′=8；當(dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB=10，所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個(gè)半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．6．（2021·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（

）A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根據(jù)∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，又∵∠COD＝∠AOB，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，∴CD＝AE＝BE，∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，∴2CD＞AB，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和圓心角定理，根據(jù)∠AOB＝2∠COD利用垂徑定理將角平分，從而根據(jù)圓心角定理得出答案是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．15【答案】D【分析】連接，，根據(jù)，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，得到，，從而得到H、I分別是、的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，∵，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，∴，，∴H、I分別是、的中點(diǎn)，∴∵，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，根據(jù)垂徑定理得到，．8．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，直徑過(guò)弦的中點(diǎn)G，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，得到，利用圓周角定理即可得解．【詳解】解：∵直徑過(guò)弦的中點(diǎn)G，∴，∵，∴的度數(shù)均為，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑，平分弦所對(duì)的弧，是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)縱截面為半圓的容器水平放置，然后向其中倒入部分液體，測(cè)得數(shù)據(jù)如圖（單位：cm），則液面寬度（

）A．8cm B．4cm C． D．【答案】D【分析】過(guò)圓心，作，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)圖示得出，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)圓心，作，則在中，，，∴，∴,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是弧的中點(diǎn)，弦，，且，則弧所在圓的半徑為（

）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】設(shè)弧所在的圓的圓心為點(diǎn)O，連接，設(shè)圓O的半徑為r，可得點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)共線，，再由勾股定理得到關(guān)于r的方程，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)弧所在的圓的圓心為點(diǎn)O，連接，設(shè)圓O的半徑為r，∵C是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)共線，，∵，，∴，解得：．即弧所在圓的半徑為5．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是定出圓心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．11．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了測(cè)量圓形工件的直徑．甲：如圖1，在工作臺(tái)上用邊長(zhǎng)相同的兩個(gè)立方體小木塊頂在圓形工件的兩側(cè)，測(cè)得兩木塊間的距離b和小木塊的邊長(zhǎng)a即可；乙：如圖2，把兩個(gè)小木塊換成兩個(gè)相同的小圓柱，量得圓柱半徑n和兩個(gè)圓心之間的距離m即可．下面的說(shuō)法正確的是（

）A．甲對(duì)乙不對(duì) B．甲不對(duì)乙對(duì) C．兩人都不對(duì) D．兩人都對(duì)【答案】D【分析】甲：如圖1，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如圖2，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．【詳解】甲：如圖1，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，∵，∴，設(shè)圓O的半徑為r，∴，在中，有：，∴，解方程即可求出r，即甲的說(shuō)法正確；乙：如圖2，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，根據(jù)圖形可知：，，設(shè)圓O的半徑為r，同理可得：，解方程即可求出r，即乙的說(shuō)法正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條排水管的截面半徑dm，水面寬dm，則排水管中水的最大深度為（

）A．4dm B．3dm C．2dm D．1dm【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂徑定理求出，的值，即為所求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，，∴，∴排水管中水的最大深度為；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的圓柱形輸油管道的截面半徑是，油面寬為，則截面上有油部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，過(guò)點(diǎn)O作，根據(jù)題意得出為等邊三角形，利用三角函數(shù)得出，結(jié)合圖形得出，，兩個(gè)面積作差即可得出結(jié)果．【詳解】如圖，連接、，過(guò)點(diǎn)O作，∵，∴為等邊三角形，∴，．∵，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查不規(guī)則圖形的面積及等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，作出圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．14．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高cm，底面直徑cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為cm，則球的半徑為（

）cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．A．7.5 B．7 C．6.5 D．6【答案】A【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來(lái)，用垂徑定理、勾股定理計(jì)算即可.【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，∵EG過(guò)圓心，且垂直于AD，∴G為AD的中點(diǎn)，則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，在中，由勾股定理可得，，即，解方程得r=7.5，則球的半徑為7.5cm．故選擇：A【點(diǎn)睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，準(zhǔn)確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與相切于點(diǎn)，且，則________．【答案】##【分析】連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)垂徑定理，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)余弦的定義，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵直線與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線．16．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦切小圓于點(diǎn)，若，則圓環(huán)的面積是________．【答案】【分析】如圖，連接、，設(shè)，，由切線的性質(zhì)得，，由垂徑定理得，，由勾股定理得，，由即可求出圓環(huán)的面積．【詳解】如圖，連接、，設(shè)，，大圓的弦切小圓于點(diǎn)，，，，在中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及圓與圓環(huán)的面積計(jì)算，掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑作半圓，為的中點(diǎn)，連接，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】##【分析】如圖，連接，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵以為直徑作半圓，為的中點(diǎn)，∴，，∵是小圓的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算，垂徑定理，垂徑定理的推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求面積．垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．18．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．測(cè)得米，米，米，則所在圓的半徑為_(kāi)____________米，所在圓的半徑為_(kāi)_________米．【答案】

5

##【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，根據(jù)圓的對(duì)稱性，可知∶所在圓的圓心、所在圓的圓心都在上，設(shè)所在圓的圓心為O、所在圓的圓心為，過(guò)作于點(diǎn)P，連接，，，則四邊形是矩形，得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求，利用勾股定理可求，在中，利用勾股定理得出，然后求解即可；證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，在和中，利用勾股定理可得出，求出，進(jìn)而求出即可．【詳解】解∶過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，根據(jù)圓的對(duì)稱性，可知∶所在圓的圓心、所在圓的圓心都在上，設(shè)所在圓的圓心為O、所在圓的圓心為，過(guò)作于點(diǎn)P，連接，，，則四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，在中，，在中，，∴，即，解得，∵，，

∴，∴，∴，即，解得，在中，，在中，，∴，解得，∴，

∴．故答案為：5，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是______寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，發(fā)明于唐，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，若盛水桶P到水面AB的距離為2m，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】或【分析】過(guò)點(diǎn)作半徑于，連接，根據(jù)垂徑定理得出，解得出，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，分類討論即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)作半徑于，連接，如圖，∴在中，∴,則∵到水面的距離為到∴,∴或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，垂徑定理，勾股定理，得出是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是博物館展出的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期車輪實(shí)物，《周禮·考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，為驗(yàn)證博物館展出車輪類型，我們可以通過(guò)計(jì)算車輪的半徑推斷．如圖2所示，在車輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，經(jīng)測(cè)量，，，則此車輪半徑為_(kāi)_____．通過(guò)單位換算（在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，一尺大約是左右），得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為兵車之輪．【答案】75【分析】由垂徑定理得，利用勾股定理得，解得．【詳解】解：，，，由題意得：，在中，由勾股定理得：，解得：，即車輪半徑為．故答案為：75．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．22．（2023·天津和平·天津市第五十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，上的點(diǎn)，圓心均在格點(diǎn)上，（1）_____________；（2）若點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)，，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)，的位置是如何找到的（不要求證明）____________________．【答案】

作直徑的垂直平分線交半圓于，連接，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理確定圓心，連接，由勾股定理可求出的長(zhǎng)；（2）作直徑的垂直平分線交半圓于，連接，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)【詳解】解：（1）如圖，，故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)，，即為所畫，作直徑的垂直平分線交半圓于，連接則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．理由如下：由作圖可得：，∴，∴，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，是的垂直平分線，∴，，∴，∴當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．故答案為：作直徑的垂直平分線交半圓于，連接則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心的確定，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理以及在網(wǎng)格中確定三角形外接圓圓心，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．23．（2021秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在以AB為直徑的圓中，弦CD⊥AB，M是AB上一點(diǎn)，射線DM，CM分別交圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，求證EF⊥AB．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證得∠C＝∠D，再根據(jù)圓周角定理和平行線的判定證明EF∥CD，即可得結(jié)論．【詳解】證明：∵AB是直徑，CD⊥AB，∴AB垂直平分CD，∴MC＝MD，∴∠C＝∠D，∵∠C＝∠E，∴∠E＝∠D，∴CD∥EF，∵CD⊥AB，∴EF⊥AB．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．24．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)E的直徑MN與CD交于F點(diǎn)，求證：CF＝DF【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)垂徑定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵E為AB中點(diǎn)，MN過(guò)圓心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。?5．（2021春·福建廈門·九年級(jí)廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，且為直徑，為上一點(diǎn)且，求證：為等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角可得∠ACB=90°，然后證明OD⊥AC，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∴△ADC為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定，掌握垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．26．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．27．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵是的外接圓，，∴，∵，∴，，在中，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，半徑，垂足為點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，證明，即可得到．(2)利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（2）由題意知圓的半徑為4，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，是的一條弦，且于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）由等邊對(duì)等角可得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，最后根據(jù)等量代換即可解答；（2）根據(jù)垂徑定理可得，設(shè)的半徑為r，則、結(jié)合可得，最后在中運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴．（2）解：∵是的直徑，且于點(diǎn)E，，∴．設(shè)的半徑為r，則，．∵，∴．在中，，∴，解得，∴的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理成為解答本題的關(guān)鍵．30．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接AC，運(yùn)用圓周角定理和垂徑定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，證得結(jié)論；（2）連接OC，構(gòu)造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，設(shè)DE=x，則OE=5-x．利用勾股定理列出方程，通過(guò)解方程求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∴；（2）解：如圖，連接OC，連接AC，交OD于E，由（1）可得，OD⊥AC，∴AC=2AE=2CE．∵AB＝10，∴OC＝OD＝5，∴設(shè)DE＝x，則OE＝5﹣x．在Rt△CDE中，．在Rt△OCE中，，∴，解得．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，垂徑定理以及勾股定理．根據(jù)勾股定理列出方程是關(guān)鍵．31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過(guò)圓心O的線段于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，已知半徑為5．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）若，且，求弦的長(zhǎng)；【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得，再由勾股定理求出OF的長(zhǎng)，同理求出OE的長(zhǎng)，即可求出EF的長(zhǎng)；（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長(zhǎng)，設(shè)，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵，且EF過(guò)圓心，∴，∵，∴，∵，∴，同理，，∴；（2）如圖，連接BO和DO，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，，解得，（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進(jìn)行運(yùn)用求解．32．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)，，．(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)求弧ABC的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)可得答案；（2）借助網(wǎng)格求出圓心角度數(shù)和半徑，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點(diǎn)，由網(wǎng)格可得該點(diǎn)P(2，0)，故答案為：(2，0)；（2）解：連接AC，根據(jù)網(wǎng)格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，∠AOP=∠PQC=90°，由勾股定理得，AP==PC，∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，∴AP2+CP2=AC2，∴∠APC=90°，∴弧ABC的長(zhǎng)為，答：弧ABC的長(zhǎng)為π．【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、垂徑定理，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，掌握垂徑定理以及網(wǎng)格特征是確定圓心坐標(biāo)的關(guān)鍵，求出弧所在圓的半徑和相應(yīng)圓心角度數(shù)是求弧長(zhǎng)的前提．33．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖，已知A，B，C均在⊙O上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作圖．(1)如圖1，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，試畫出的平分線；(2)若，點(diǎn)D在弦上，在圖2中畫出一個(gè)含角的直角三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接并延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)E，連接即為所求；（2）連接并延長(zhǎng)交圓O于N，延長(zhǎng)交圓O于M，連接，，則即為所求；【詳解】（1）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)E，連接即為所求；∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，即平分；（2）如圖所示，連接并延長(zhǎng)交圓O于N，延長(zhǎng)交圓O于M，連接，則即為所求；∵，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，∴是含的直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓周角定理等等；解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)．34．（2023·陜西西安·?？级＃締?wèn)題提出】（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)__________；【問(wèn)題解決】（2）如圖②，在等腰直角中，，以AC為直徑作半圓O，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)B、D之間的最大距離；【問(wèn)題探究】（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角以及弓形BDC組成，其中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，，這時(shí)候小明和小麗在討論這個(gè)部件，其中小麗說(shuō)點(diǎn)A到的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離，小明說(shuō)不對(duì)，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出點(diǎn)A到的最大距離．【答案】（1）；（2）；（3）小明的說(shuō)法正確，見(jiàn)解析，【分析】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)E，根據(jù)題意BD是AC的垂直平分線，通過(guò)解直角三角形解出BE與DE的長(zhǎng)，兩者相加即可解題．（2）結(jié)合圖形，可知B，O，D三點(diǎn)共線時(shí)，BD有最大值，根據(jù)解直角三角形解出BO的長(zhǎng)，加上半圓的半徑，即可解答．（3）作輔助線如圖，證明，即說(shuō)明小明的說(shuō)法正確；可知弓形的圓心在上，當(dāng)通過(guò)勾股定理求出半徑的長(zhǎng)度，再算出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：（1）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)E，是等腰直角三角形，為等邊三角形，，,在與中，

，，，，根據(jù)三線合一，可得垂直平分，，，，，，．（2）如圖②，連接BO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則此時(shí)BD最大．在上取一點(diǎn)異于點(diǎn)D的點(diǎn)，連接、．在中，，，，即．最大在等腰直角中，，O為AC的中點(diǎn)，且．．．點(diǎn)B、D之間的最大距離為．

（3）小明的說(shuō)法正確．

如圖③，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AF，延長(zhǎng)DE交AF于點(diǎn)F．點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，，所在的圓的圓心O在直線DF上．設(shè)圓O半徑為r，連接BO．在中，，且，，得．連接AO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為最大距離．在中，，且，小明的說(shuō)法正確．

在中，．．．點(diǎn)A到的最大距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．35．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明所在學(xué)習(xí)興趣小組在探究“如何測(cè)量環(huán)形花壇面積（陰影部分）”的方法，準(zhǔn)備了下列工具：①卷尺；②直木條（足夠長(zhǎng)）；③T型尺（EF所在的直線垂直平分線段CD）．(1)在圖1中，請(qǐng)你用T形尺的原理畫出大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．(2)如圖2，小明說(shuō)：“我只用一根直木條和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直木條放留到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直木條與大圓兩交點(diǎn)G，H之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積．”如果測(cè)得，請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）直線的交點(diǎn)即為所求（2）設(shè)切點(diǎn)為，連接，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，（2）如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，連接，∵是切線，∴，∴，在中，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．36．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）(1)如圖，①在線段上找一點(diǎn)，使；②過(guò)點(diǎn)作直線將四邊形的面積二等分；(2)如圖，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過(guò)了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，，請(qǐng)畫出這個(gè)圓的圓心．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①在上取點(diǎn)，使為等腰直角三角形即可．連接，，相交于點(diǎn)，作直線即可．（2）設(shè)點(diǎn)下方圓所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，作線段，的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求．如圖，直線即為所求．（2）如圖，圓心即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練掌握等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．37．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖已知收線的圓片上有三點(diǎn)，，．(1)作出這個(gè)圓片的圓心（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)連接，，，設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求該圓片的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）連接交于，連接，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，則，設(shè)半徑為，勾股定理得：，解方程即可求解．【詳解】（1）解：分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，（2）解：如圖，連接交于，連接，．是等腰三角形，，，，，，，，，，設(shè)半徑為，，根據(jù)勾股定理得：，，答：圓片的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，作垂直平分線，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．38．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知劣弧，如何等分？下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補(bǔ)全證明過(guò)程．方法一：①作射線、；②作的平分線，與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵平分，∴∴___（_____）（填推理的依據(jù)）．方法二：①連接；②作線段的垂直平分線，直線與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過(guò)圓心O，∴___（___）（填推理的依據(jù)）．【答案】方法一：畫圖見(jiàn)解析，，，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；方法二：畫圖見(jiàn)解析，，，垂徑定理．【分析】方法一：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進(jìn)行證明即可；方法二：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明即可；【詳解】解：方法一：如圖，點(diǎn)C即為所求作．證明：∵平分，∴∴（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等）．方法二：如圖，點(diǎn)C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過(guò)圓心O，∴（垂徑定理）．【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì)．39．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A、、三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留連線痕跡）(1)在圖（1）中的上畫一點(diǎn)，使；(2)在圖（2）中過(guò)A、、的圓上找一點(diǎn)，使平分．【答案】(1)圖見(jiàn)詳解(2)圖見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，即可求得點(diǎn)；（2）作線段的垂直平分線，交圓于點(diǎn)，連接即可．【詳解】（1）解：找到格點(diǎn)，使得，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖：則點(diǎn)即為所求；（2）解：連接，找到格點(diǎn)、，使得、，連接，交圓于點(diǎn)．連接，則即為所求，如圖：【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，幾何作圖，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，幾何作圖是解題的關(guān)鍵．40．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊上．(1)線段的長(zhǎng)等于__________；(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的圓上，畫出一個(gè)點(diǎn)D，使其滿足的度數(shù)小于的度數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）______________________________________________．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）在直線上方的弧上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)C在內(nèi)，連接，，延長(zhǎng)，與交于E，根據(jù)外角的性質(zhì)可得大??；（3）取圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)，，連接與交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心，與網(wǎng)格線相交于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與，的連線相交于點(diǎn)，連接，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由勾股定理可得：；故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)D即為所求；連接，，延長(zhǎng)，與交于E，∵，∴，∵，∴；（3）如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，，連接與交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心，與網(wǎng)格線相交于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與點(diǎn)，的連線相交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)滿足．理由：第一步：連接得圓心，因?yàn)?，所以是直徑．第二步：點(diǎn)根據(jù)網(wǎng)格相似比，可以知道為的中點(diǎn)，所以是垂徑．第三步：連接并延長(zhǎng)，交于，是半徑等于，所以，，，，又，，，，，，又，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，外角的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．41．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過(guò)程用虛線表示．(1)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上．畫出該圓的圓心E，并畫出的中點(diǎn)F；(2)如圖，點(diǎn)O為網(wǎng)格點(diǎn)，和為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，畫出點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)I，連接交于K，在上畫點(diǎn)Q，使得．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）如圖，連接、交于點(diǎn)E，由、可知、是直徑，則交點(diǎn)E為該圓的圓心；在矩形中，連接、交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為的中點(diǎn)；（2）如圖，連接交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于I，則點(diǎn)I為點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于K，可得，同理作點(diǎn)I關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)J，則，是的中位線，所以，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，結(jié)合可得，所以是直徑，則，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，可得，即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，圓心E，的中點(diǎn)F即為所求；（2）解：如圖所示，，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，利用了圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，矩形的性質(zhì)，作軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將復(fù)雜作圖逐步轉(zhuǎn)化為基本作圖是解題的關(guān)鍵．42．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的66網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖(畫圖過(guò)程用虛線，結(jié)果用實(shí)線）．(1)在圖1中畫出圓心點(diǎn)O；(2)在圖2中的圓上畫一點(diǎn)E，使平分??；(3)在圖3中的圓上畫一點(diǎn)M，使平分．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)，連接，則，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為O點(diǎn)；（2）連接，則，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)P；（3）連接并延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)M．【詳解】（1）解：如圖，連接，交于一點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心；（2）解：連接，交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)；（3）解：連接并延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，連接，根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握垂徑定理．43．（2022秋·吉林延邊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選：B．題型2：弦、弧、圓心角之間的關(guān)系類型-1利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系求解（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在上，B是的中點(diǎn)，，則等于________．【答案】##80度【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出，然后根據(jù)圓心角、弧的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵B是的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧的的關(guān)系，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．類型-2利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系證明（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，C為弧上一點(diǎn)，于M，于N，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】連接,根據(jù)已知可證明，得，再根據(jù)相等的圓心角所對(duì)的弧相等，即可證明．【詳解】證明：連接．∵，，∴．∵，．∴，∵，∴．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的性質(zhì)，三角形全等的證明，熟練掌握同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．綜合訓(xùn)練1．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，是直徑，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求出的度數(shù)，連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，，∴，連接，∵是直徑，，∴，，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中