廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

廣東省深圳市寶安區(qū)2024屆高一數(shù)學第一學期期末綜合測試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

TT

1.設函數(shù)f(x)=asinx+bcosx,其中a,b￡R,abW0,若f(x)2f(一)對一切x￡R恒成立，則下列結論中正確

6

的是()

B.點不,0是函數(shù)f(x)的一個對稱中心

(：.￡伍)在0個上是增函數(shù)

D.存在直線經(jīng)過點(a,b)且與函數(shù)f(x)的圖象有無數(shù)多個交點

2.如圖，三棱柱44。1-A3C中，側棱44，底面二WC，底面三角形X3C是正三角形，E是中點，則下列

敘述正確的是

4

B.CG與gE是異面直線

c.AG/IBXE

D.AELBB,

7t7t1+sinB

3.設ee(0,—),尸e(0,—),且tana=-------則()

22cos/3

4.已知定義在R上的函數(shù)/(%)是奇函數(shù)且滿足，/1萬一,=/(%)，/(-2)=-3,數(shù)列｛4｝滿足％=T,且

S,=2%+〃，(其中S“為㈤}的前n項和).則/(%)+/(4)=

A.3B.-2

C.-3D.2

5.已知〃龍)為偶函數(shù)，當0Wx<4時，/(%)=2A-3,當x1時，/(%)=21-：次，則滿足不等式〃尤）＞5的

整數(shù)x的個數(shù)為()

A.4B.6

C.8D.10

6.已知函數(shù)”到=加—2%+1,若對一切工￡1,2,〃力>。都成立，則實數(shù)c

的取值范圍為（）

A-［iHB.［，+0

C.(l,+℃)D.(-co,l)

7.若募函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點［4,：］,則=

A.lB.2

C.3D.4

Q

8.已知2、=3/。84§=%貝卜+2丁的值為

A.3B.8

C.4D.log48

9.設集合A={%|%2—4元+3<0},B={X\2X-3>0}9則AB=

33

A.(-3,--)B.(-3,—)

Cd,］)D.(5,3)

10.要想得到函數(shù)y=sin2x+l的圖像，只需將函數(shù)y=cos2x的圖象

TTjr

A.向左平移。個單位，再向上平移1個單位B.向右平移了個單位，再向上平移1個單位

44

1T

C.向左平移一個單位，再向下平移1個單位D.向右平移二個單位，再向上平移1個單位

22

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分,共30分。

11.已知兩點A(-l,-3),3(3,a),以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點,則該圓的標準方程為

12.Ig4+lg25=.

13.若坐標原點在圓f+_/-2mx+2my+24-4m=0的外部，則實數(shù)，”的取值范圍是一

14.由于德國著名數(shù)學家狄利克雷對數(shù)論、數(shù)學分析和物理學的突出貢獻，人們將函數(shù)

fQX是無理數(shù)

D(x)=〈'曰上,用她命名狄利克雷函數(shù)，已知函數(shù)/(%)=x-DO)，下列說法中:

''\1,X是有理數(shù)

①函數(shù)"X)的定義域和值域都是A；②函數(shù)/(X)是奇函數(shù)；③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)/(X)在區(qū)間［2,3］上是

單調(diào)函數(shù).

正確結論是

15.已知向量;=(3,4),慟=2,若q.b=5，則a與8的夾角為

16.函數(shù)〃力=立三的定義域為.

X1

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/(x)=4tanxsin(^-x)cos(x-W)-G；

(1)求/a)的定義域與最小正周期；

(2)求/⑺在區(qū)間［-工，工］上的單調(diào)性與最值.

44

18.化簡求值:

1

⑴,(乃+［］T°g2夜-2；

(2)sin(TT-?)cos+cos(2^--?)sin+a

19.已知定義域為R的奇函數(shù)/(x)=l—不乙,“6A.

3+1

(1)求。的值；

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)/'(x)在R上是增函數(shù).

20.已知二次函數(shù)/(1)=以2+法+c(qwO)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).

(1)求/(X)表達式；

(2)設函數(shù)/(x)=/(x)-若E(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)加的取值范圍

(3)設函數(shù)g(x)=〃x)-紅2,2],記此函數(shù)的最小值為力(左),求以左)的解析式.

21.已知函數(shù)/(x)=J^cos'x-?]

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間；

7171

(2)求函數(shù)/⑺在區(qū)間一上的最小值和最大值.

o2

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、D

7Ejr

【解析】根據(jù)f(x)>f(-)對一切x￡R恒成立，那么x=：取得最小值.結合周期判斷各選項即可

66

【詳解】函數(shù)f(x)=asinx+bcosx=J。'+/sin(x+°),sincp—,2j周期T=2元

jrJTjr7T7T27r

由題意x=一取得最小值，a,bGR,ab/),.?/(一)=0不正確；x=—取得最小值，那么一+—=—就是相鄰的對稱

636623

中心，.?.點(手,0)不是函數(shù)f(x)的一個對稱中心；因為x=￡取得最小值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在0,5

66I6

是減函數(shù)

故選D

【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)應用，排除法求解，考查轉化思想以及計算能力

2、D

【解析】因為三棱柱ABG-ABC中，側棱AAi,底面A3C,底面三角形ABC是正三角形，E是5c中點,

所以對于4AC與A3夾角為60。,即兩直線不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABBA;故A錯誤；

對于5,CG與HE都在平面CGBB1中不平行，故相交；所以5錯誤；

對于GA1C1,51E是異面直線；故C錯誤；

對于。，因為幾何體是三棱柱，并且側棱44,底面ABC,底面三角形ABC是正三角形，E是3c中點，所以5?，底

面A5C,所以BBi_LAEaE_L3C,得至!!AE_L平面BCG",所以AE±BBi；

故選D.

3、C

sina1+sinB.八.八

【解析】試題分析：由已知得，tana=----=.....-,去分母得，sinacos)3=cos+cossinJ3,所以

cosacosp

sinacosB-cososin/=cosa.sin(a-0=cosa-sin(--a),又因為一萬<戊一/?<萬，

TTTTTTTC

0<——a<—,所以a—/?=——cr,即2a—/?=—,選C

2222

考點：同角間的三角函數(shù)關系，兩角和與差的正弦公式

4、A

【解析】由奇函數(shù)滿足/一x]=/(X)可知該函數(shù)是周期為T=3的奇函數(shù)，

由遞推關系可得：S“=2??+n,S.+i=2a,i+n-l,

兩式做差有：a“=2%-2an_「l,即(4—1)=2(%—1),

即數(shù)列｛q―1｝構成首項為4-1=-2,公比為q=2的等比數(shù)列，

故：4-1=(-2)x2。.“=-2"+1,綜上有：

5

/(?5)=/(-2+1)=/(-31)=/(2)=-/(-2)=3,

6

/(?6)=f(-2+l)=/(-63)=/(O)=O,

則：f(a5)+f(a6)=3.

本題選擇A選項.

5、C

【解析】由x之0時的解析式，可先求得不等式/(X)>5的解集.再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，即可求得整個定義域內(nèi)滿足不等式

/(%)>5的解集，即可確定整數(shù)解x的個數(shù).

【詳解】當0WX<4時,/(x)=2'—3>5,解得％>3,所以3<%<4；

當xN4時,/(X)=21—2%>5,解得》<8,所以44％<8.

因為/(%)為偶函數(shù)，

所以不等式/(九)>5的解集為(-8-3)o(3,8).

故整數(shù)x的個數(shù)為8.

故選:C

【點睛】本題考查了不等式的解法，偶函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

6、C

【解析】將-,2,/(x)>0成立，轉化為。>—了+7對一切X6-,2成立，由，求解即

可.

【詳解】解：因為函數(shù)/(%)=改2-2%+1,若對一切工￡1,2,/(力>0都成立,

…12

所以。＞一一z-+—，對一切工￡大,2成立,

XX2

令"--y+—=-f—-1^1+1G[0,1],

XX\xJ

所以a>l,

故選：C

【點睛】方法點睛：恒(能)成立問題的解法：

若/(兀)在區(qū)間D上有最值，則

⑴恒成立：VxeD,/(x)>0o/(x)min>0；VxeD,/(x)<0o/(x)max<0；

(2)能成立：3xeJD,/(x)>0o/(x)max>0；3xe￡),/(x)<0o/(x)11dli<。.

若能分離常數(shù)，即將問題轉化為：a>/(X)(或a</(工))，則

⑴恒成立：a>/(x)oa>/(x)inax；a<f(x)^a<f(x)ain；

(2)能成立：a>/(x)oa>/(x)n.n；a<f(x)<^a<

7、B

【解析】由題意可設/(X)=x"，將點[4,代入可得4“=g,則=(￥[=2,故選B.

8、A

【解析】主要考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化和對數(shù)運算

解：x=log23,y=log4J=-log2-x+2y=log23+21og4§

8

=log23+log2-=log28=3.

9、D

*j<力

【解析】詳解】試題分析：集合A={x|(尤—1)(%-3)<0}="|1<%<3},集合正=電歸".),所以

AnB=|x|-|<x<3j，故選D.

考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.

10、B

TTTTTT

【解析】y=cos2%=sin(2x+-)=sin2(%+-),因此把函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移一個單位，再向上平移1

-244

個單位可得y=sin2x+l的圖象，故選B.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、(x-l)2+(y+2)2=5

【解析】由以線段A5為直徑的圓經(jīng)過原點，則可得。4.。3=0,

求得參數(shù)。的值，然后由中點坐標公式求所求圓的圓心，用兩點距離公式求所求圓的直徑,

再運算即可.

【詳解】解：由題意有。4=(一1,—3),08=(3,。)，

又以線段A5為直徑的圓經(jīng)過原點，

則0403=0,

則(-l)x3+(-3)xa=0,解得。=_[,

即3(3,-1),

則的中點坐標為(士即為(L-2),

又I人卻=J(-l-3)2+(-3+1)2=275，

即該圓的標準方程為(X—1產(chǎn)+(y+2)2=5,

故答案為(x—l)2+(y+2)2=5.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)及以兩定點為直徑的圓的方程的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.

12、2

【解析】由對數(shù)的運算法則直接求解.

【詳解】1g4+1g25=1g(4x25)=1g100=2

故答案為：2

13、m>2

【解析】方程f+y2—2刃％+2my+2源-4m=0表示圓，得加>0,根據(jù)點在圓外，得不等式

(O-m)2+(O+m)2>4m,解不等式可得結果.

【詳解】圓爐+y2—2Mx+2my+24-4根=0的標準方程為m)2+(y+m)2=癡,則根>0,

若坐標原點在圓加J+(丁+m)2=4根的外部，貝［|(0一mJ+(0+加J>4根，解得機>2,則實數(shù)機的取值范圍

是m>2,

故答案為：m>2

【點睛】本題考查圓的一般方程，考查點與圓的位置關系的應用，屬于簡單題.

14、①

XX是無理數(shù)

【解析】由題意知/a)=x—o(x)=曰七由朋，所以①正確；根據(jù)奇函數(shù)的定義，X是無理數(shù)時，顯然不成

X-1,X是有理數(shù)

立，故②錯誤；當X是有理數(shù)時，顯然不符合周期函數(shù)的定義故③錯誤；函數(shù)/(%)在區(qū)間［2,3］上是既不是增函數(shù)也

不是減函數(shù)，故④錯誤；綜上填①.

7C

15、-##60°

3

【解析】先求向量a的模，根據(jù)向量積，即可求夾角.

a-b51

【詳解】解：卜|=斤才=5,cos<a.b>=

\a\-\b\5^2-2

TT

所以a與b的夾角為了.

7T

故答案為：y

16、{x|x?2且xwl}

【解析】由根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.

2-x>0

【詳解】由,八，解得尤<2且xw1,

x-1^0

所以函數(shù)/(x)=金土的定義域為{九IXK2且％w1}

X1

故答案為：{九|%K2且xwl}

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7C

17>(1)定義域{%|犬W4兀+于％￡Z},T=71;

(2)單調(diào)遞增：單調(diào)遞減：最大值為1,最小值為-2；

124412

【解析】(1)簡化原函數(shù)，/(x)=2sin[2x-結合定義域求最小正周期;(2)在給定區(qū)間上結合正弦曲線，求單調(diào)性

與最值.

試題解析：

/(x)=4tanxsing-x］cos［x-3一6=4tan_xcosxcos1x—m-百二4sinxcos(x一3-6

=sin2x+2^sin2x-G=sin2x—若cos2x=2sin12x—三］；

(1)/(X)的定義域：{x|xwZ:〃+//eZ},最小正周期T=m=

二兀；

乃乃］c?！?兀兀］.(c兀、「r

(2)xe---=>2x--------e----=>sin2x--e-1,—=>f(x)e[-2,l，即最大值為L最小值為—2,

L44J3L66jI3)L2J

單調(diào)遞增：一二，￡，單調(diào)遞減：一'

\_124J412J

18、(1)一萬

(2)-1

【解析】(1)根據(jù)根式的性質(zhì)，指數(shù)運算公式，對數(shù)運算公式化簡計算;⑵根據(jù)誘導公式和同角關系化簡.

【小問1詳解】

原式=|萬一4|+------22=4-TZ--4=-TZ-.

22

【小問2詳解】

原式=sintz(-sincr)+cosa(-costz)=-sin2?-cos2?=-1.

19、(1)2；(2)見解析

【解析】：(1)利用奇函數(shù)定義f(-x)=-f(x)中特殊值求a的值;

（2）按按取點，作差，變形，判斷的過程來即可

試題解析：⑴???/（%）是定義域為R的奇函數(shù),

f(r)=~f(x)，即1-3T+]1—七

a日口〃?3%a

即-----+-----=2

3一,+131+1'3X+13X+1

解得：〃=2.

（2）由（1）知，=,

3+1

任取和％2eR,且占＜%2，

則/(6小2)=11-扁卜[1-高]

222(3』-3*)

-3^+132+]—(3為+1)(3*+1)

由石<%,可知：3*>3』>0

，3巧+1>0，3f+1>0，3為—3迎<0,

2（3』-3迎）

<。，即/(%)</(%).

（3為+1）（3*叫

2

二函數(shù)/（x）=l-手口在R上是增函數(shù).

點晴:本題屬于對函數(shù)單調(diào)性應用的考察，若函數(shù)/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則為,々6。,月/（西）＞/（々）時，有

西〉々，事實上，若占V%,則/（%）＜/（々），這與/（凡）〉/（馬）矛盾，類似地，若/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當

馬,々6。,田&）＞/（々）時有%＜當；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關

系.本題中可以利用對稱性數(shù)形結合即可.

20、（1）y（x）=x2+2x+l（2）加（一2或加之6（3）見解析

【解析】（1）由已知條件分別求出”,仇c的值，得出解析式；（2）求出函數(shù)尸（%）的表達式，由已知得出區(qū)間［-2,2］在

k-7

對稱軸的一側，進而求出用的范圍；（3）函數(shù)8。）=必+（2-左）x+l,對稱軸x=《一，圖象開口向上，討論不同

情況下g（x）在［-2,2］上的單調(diào)性，可得函數(shù)g（x）的最小值h（k）的解析式

b

試題解析：(1)依題意得c=l,--=-1,b2-4ac=0

2a

解得ci=l9b=29c=l9從而f(x)=x2+2x+1；

(2)F(x)=x2+(2-m)x+l,對稱軸為工="——,圖象開口向上

2

當‘工＜—2即mW—2時，E(x)在［—2,2］上單調(diào)遞增，

2

當22即77后6時，/(九)在［—2,2］上單調(diào)遞減，

綜上，加工一2或加26

(3)g(x)=x2+(2-Zr)x+l,對稱軸為％=》，圖象開口向上

當一4-2即ZW—2時，g(x)在［—2,2］上單調(diào)遞增，

此時函數(shù)g(力的最小值以左)=g(-2)=2左+1

當—2＜勺2＜2即—2＜女＜6時，g(x)在一2,與2上遞減，

22

k-2

在F，2上遞增

此時函數(shù)g(%)的最小值h(k)=g［;一J=-

當3-22即左之6時，g(x)在［—2,2］上單調(diào)遞減,

此時函數(shù)/(%)的最小值/#0=g(2)=9-2k；

2k+l,k<-2

后2_AK

綜上，函數(shù)g(x)的最小值M左)=<--------,-2<k<6.

9~2k,k>6

點睛：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，屬于中檔

題.解答時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉換

51冗冗h

21、(1)7=4,增區(qū)間是-----卜ki,—卜kjr,ke