山東省滕州市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題含解析

滕州一中高一期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)選項(xiàng)要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合、，由此求得.【詳解】，，所以.故選：B2.記，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】,,從而，，那么，故選B．3.使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）.A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，進(jìn)而可判斷出其一個(gè)充分不必要條件．【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個(gè)充分不必要條件可以是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．4.已知函數(shù)，記，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的性質(zhì)，再比較的大小關(guān)系，從而利用單調(diào)性比較，，的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，，因?yàn)椋?，即又因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性比較函數(shù)值的大小，本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的性質(zhì)，后面的問題迎刃而解.5.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號(hào)使用，后來英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】將分離常數(shù)為，由，可得，且，，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，又，所以，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為6.故選：A.6.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖像的特征，函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除D；當(dāng)時(shí)，，可排除C；由，可排除B.【詳解】函數(shù)，由，即且且，故函數(shù)的定義域?yàn)?，由，所以函?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除D；當(dāng)時(shí)，，，所以，可排除C；由，，，即，可排除B.故選：A.7.已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)對(duì)于任意的x都滿足f(x＋1)＝－f(x)，當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，f(x)＝x3，若函數(shù)g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.∪(5，＋∞) B.∪C.∪(5，7) D.∪[5，7)【答案】A【解析】【詳解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)．函數(shù)g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化成y＝f(x)與h(x)＝loga|x|兩函數(shù)圖象交點(diǎn)至少有6個(gè)，需對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論．若a＞1，則h(5)＝loga5＜1，即a＞5.若0＜a＜1，則h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤.所以a的取值范圍是∪(5，＋∞)．故選A.點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.與為同一函數(shù)B.已知為非零實(shí)數(shù)，且，則恒成立C.若等式的左、右兩邊都有意義，則恒成立D.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，分別利用函數(shù)的概念，不等式的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和零點(diǎn)存在性定理逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)與的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，所以是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)閍，b為非零實(shí)數(shù)，且，所以，故選項(xiàng)B成立；對(duì)于C，因，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象易知，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.10.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A. B.C.m的值可能是4 D.m的值可能是6【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式，求得的取值范圍.【詳解】由題意可得，則．所以A選項(xiàng)正確.的定義域?yàn)?，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以，或，解得或．所以D選項(xiàng)符合.故選：AD11.已知函數(shù)，下述正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，代入，由余弦函數(shù)的奇偶性可判斷；對(duì)于B，由函數(shù)的周期，求得函數(shù)的最小正周期；對(duì)于C，由已知求得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值；對(duì)于D，由，求解即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：因?yàn)椋詫?duì)于A，，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故B不正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，故C正確；對(duì)于D，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確，故選：ACD.12.（多選題）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可以是（）A.1 B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】令轉(zhuǎn)化為，采用數(shù)形結(jié)合法可求參數(shù)范圍，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】令得，令，由畫出圖象得：由圖可知，要使恰有2個(gè)零點(diǎn)，則直線與要有兩個(gè)交點(diǎn)，或，故ABC都符合.故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.線上誠(chéng)信考試，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置處.13.函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】由題意得，解得即可.【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，則，即，解得，所以所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.14.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義可判斷出為定義在上的偶函數(shù)，從而將所求不等式化為；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及單調(diào)性的性質(zhì)可確定在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，由此可得，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)?，，為定義在上偶函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在上單調(diào)遞減；則由得：，即，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數(shù)，則的值為___________.【答案】5.25【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足即可求解.【詳解】因?yàn)?所以,故答案為:.16.函數(shù)的圖象在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】首先求出，根據(jù)題意則有，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，的圖象在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn),.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置處.17.（1）計(jì)算（2）計(jì)算.【答案】（1）0；（2）3【解析】【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)以及運(yùn)算法則求解；（2）利用對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則求解.【詳解】（1）.（2）.18.設(shè)，函數(shù)的最小正周期為，且．（1）求和的值；（2）在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖像；（3）若，求的取值范圍．【答案】（1），（2）作圖見解析（3）【解析】【分析】（1）利用最小正周期和解即可；（2）利用列表，描點(diǎn)畫出圖像即可；（3）由余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)解不等式即可.【小問1詳解】∵函數(shù)的最小正周期，∴．∵，且，∴．【小問2詳解】由（1）知，列表如下：0010－10在上的圖像如圖所示：【小問3詳解】∵，即，∴，則，即．∴的取值范圍是19.已知，不等式的解集是.（1）求的解析式；（2）不等式組的正整數(shù)解僅有2個(gè)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）若對(duì)于任意，，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得，；（2）根據(jù)不等式組的正整數(shù)解僅有2個(gè)，可得到，即可求解；（3）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋坏仁降慕饧?，所?，3是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得，解得，所以；【小問2詳解】不等式，即，解得，因?yàn)檎麛?shù)解僅有2個(gè)，可得該正整數(shù)解為6?7，可得到，解得，則實(shí)數(shù)取值范圍是，；【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)于任意，，不等式恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以只需滿足，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以只需滿足（1），解得，綜上，的取值范圍是.20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求此時(shí)x的值．【答案】（1）增區(qū)間，；減區(qū)間，（2）最大值為，；最小值為，【解析】【分析】（1）將整體代入的單調(diào)區(qū)間，求出的范圍即可；（2）通過x的范圍，求出的范圍，然后利用的最值的取值求解即可.【小問1詳解】，令，，得，，令，，得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．21.截至2022年12月12日，全國(guó)新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破44200000人.疫情嚴(yán)峻，請(qǐng)同學(xué)們利用的數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題.【主題一】【科學(xué)抗疫，新藥研發(fā)】（1）我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時(shí)間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h【主題二】【及時(shí)隔離，避免感染】（2）為了抗擊新冠，李滄區(qū)需要建造隔離房間．如圖，每個(gè)房間是長(zhǎng)方體，且有一面靠墻，底面積為48a平方米，側(cè)面長(zhǎng)為x米，且x不超過8，房高為4米．房屋正面造價(jià)400元/平方米，側(cè)面造價(jià)150元/平方米．如果不計(jì)房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，則側(cè)面長(zhǎng)為多少時(shí)，總價(jià)最低．【答案】（1）C（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)總價(jià)最低；當(dāng)時(shí)，時(shí)總價(jià)最低【解析】【分析】（1）利用已知條件，求解指數(shù)不等式得答案．（2）根據(jù)題意表達(dá)出總造價(jià)，再根據(jù)基本不等式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分類討論分析即可.【小問1詳解】解：由題意得，，設(shè)該藥在病人體內(nèi)的血藥含量變?yōu)闀r(shí)需要是時(shí)間為，由，得，故，．該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為．故選：C．【小問2詳解】解：由題意，正面長(zhǎng)為米，故總造價(jià)，即.由基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故當(dāng)，即，時(shí)總價(jià)最低；當(dāng)，即時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，時(shí)總價(jià)最低；綜上，當(dāng)時(shí)，時(shí)總價(jià)最低；當(dāng)時(shí)，時(shí)總價(jià)最低.22.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒有．（1）求的表達(dá)式及定義域；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）若方程的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由已知中函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒有，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于方程組，解方程組求出的值，進(jìn)而得到的表達(dá)式；（2）轉(zhuǎn)化為，解得，可求出滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的分式方程組，進(jìn)而根據(jù)方程解