《3.4圓錐曲線的綜合問題》同步練習(xí)及答案

《3.4圓錐曲線的綜合問題》同步練習(xí)一、單選題1．若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則()A．2 B．4 C．8 D．162．拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則的值為()A． B． C． D．3．橢圓與雙曲線有公共點(diǎn)P，則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的面積為()A．48 B．24 C．2 D．4．若，則方程與所表示的曲線可能是圖中的（）A． B．C． D．5．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，與直線相切，則（）A．或 B．或 C．或 D．-3或6．已知方程的曲線為C，下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是①當(dāng)時(shí)，曲線C不一定是橢圓；②當(dāng)時(shí)，曲線C一定是雙曲線；③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則；④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則.A．1 B．2 C．3 D．47．已知拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長為6，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A． B． C． D．8．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)若雙曲線的離心率是，那么（）A． B． C． D．9．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則的值等于A． B．C． D．10．如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是()A． B． C． D．二、多選題11．若方程所表示的曲線為，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．若為橢圓，則 B．若是雙曲線，則其離心率有C．若為雙曲線，則或 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則12．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在點(diǎn)使得13．已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的準(zhǔn)線方程為 B．線段的長度最小為4C．的坐標(biāo)可能為 D．恒成立三、填空題14．設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程是___________．15．若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______16．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是__________17．已知直線，橢圓，點(diǎn)，若直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則周長是_____，的重心縱坐標(biāo)的最大值是______四、解答題18．已知橢圓過點(diǎn)且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．20．已知拋物線.（1）若是拋物線上任一點(diǎn)，，求點(diǎn)到和軸距離之和的最小值；（2）若的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其重心恰好為的焦點(diǎn)，求三邊所在直線的斜率的倒數(shù)之和.21.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，點(diǎn)是橢圓的下項(xiàng)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點(diǎn)，已知，求直線的斜率.22．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為銳角，求與直線平行且與拋物線相切的直線方程.23.已知點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為2（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，，且，求的值.答案解析一、單選題1．若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則()A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)是，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，由條件得解得.故選：D.2．拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則的值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的兩條漸近線為，可得兩交點(diǎn)為，即有三角形的面積為，解得，故選A．3．橢圓與雙曲線有公共點(diǎn)P，則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成三角形的面積為()A．48 B．24 C．2 D．【答案】B【解析】結(jié)合橢圓性質(zhì),可以得到建立方程,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為,故,故選B.4．若，則方程與所表示的曲線可能是圖中的（）A． B．C． D．【答案】C【解析】即為直線，即為曲線，.對(duì)于A選項(xiàng)，由直線方程可知，，，則曲線，表示圓或橢圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由直線方程可知，，，則曲線，不存在，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由直線方程可知，，，則曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由直線方程可知，，，則曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，與直線相切，則（）A．或 B．或 C．或 D．-3或【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,為半徑的圓可得:圓心為,半徑，由直線與圓相切,可得:圓心到直線的距離,解得或.故選:.6．已知方程的曲線為C，下面四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是①當(dāng)時(shí)，曲線C不一定是橢圓；②當(dāng)時(shí)，曲線C一定是雙曲線；③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則；④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，曲線表示為圓，所以不一定是橢圓，所以①正確對(duì)于②，當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以一定是雙曲線，所以②正確對(duì)于③若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得，所以③正確對(duì)于④若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，解得，所以④正確綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確所以選D7．已知拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長為6，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長為6所以該準(zhǔn)線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)表示為，代入雙曲線中得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：D8．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)若雙曲線的離心率是，那么（）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線.，，因此雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的一條漸近線方程與拋物線準(zhǔn)線方程聯(lián)立得：，得根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知：故選：A9．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),則的值等于A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），解方程組，得．取P點(diǎn)坐標(biāo)為，，，cos∠F1PF2==．故選A．10．如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn),分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，圓（y﹣1）2+x2＝4的圓心為（0，1），與拋物線的焦點(diǎn)重合，且半徑r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y(tǒng)A+1，|AB|＝y(tǒng)B﹣yA，∴三角形ABF的周長＝2+yA+1+yB﹣yA＝y(tǒng)B+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周長的取值范圍是（4，6）．故選：B．二、多選題11．若方程所表示的曲線為，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．若為橢圓，則 B．若是雙曲線，則其離心率有C．若為雙曲線，則或 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】AD【解析】若，方程即為，它表示圓，A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，若，則方程可變形為，它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；，若，則方程可變形為，它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；，，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則方程可變形為，它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；若，則方程可變形為，它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若，則，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；若，則，故表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則錯(cuò)；故選：12．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率C．橢圓上不存在點(diǎn)使得 D．雙曲線上存在點(diǎn)使得【答案】ABD【解析】如圖，設(shè)，則由正六邊形性質(zhì)可得點(diǎn)，由點(diǎn)在橢圓上可得，結(jié)合可得，橢圓離心率，當(dāng)點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)；點(diǎn)在雙曲線的漸近線上可得即,雙曲線的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，易知.故選：ABD.13．已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的準(zhǔn)線方程為 B．線段的長度最小為4C．的坐標(biāo)可能為 D．恒成立【答案】BCD【解析】焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離即為，所以拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，A項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)垂直于軸時(shí)長度最小，此時(shí)，，所以，B項(xiàng)正確.設(shè)，，直線的方程為.聯(lián)立，消去可得，消去可得，所以，，當(dāng)時(shí)，可得，所以C正確，又，，所以，所以D正確.故選：BCD三、填空題14．設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程是___________．【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為在軸上,故雙曲線,又,故.故雙曲線的方程為.故答案為：15．若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______【答案】0或【解析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得：，①若，則，滿足題意；②若，則，解得.綜上所述，0或.故答案為：0或16．過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條恰好被點(diǎn)平分的弦，則這條弦所在直線的方程是_____________【答案】【解析】由題意知，該直線斜率存在，設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，斜率為，則，兩式相減得，即，所以，所以所求直線方程為，即.故答案為：.17．已知直線，橢圓，點(diǎn)，若直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則周長是___________，的重心縱坐標(biāo)的最大值是___________【答案】【解析】由題意知，可知恒過定點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，記為.則.所以的周長為.設(shè)設(shè)的重心縱坐標(biāo)為.則.聯(lián)立直線與橢圓方程得，整理得.則，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí).綜上所述：.所以的重心縱坐標(biāo)的最大值是.故答案為:;.四、解答題18．已知橢圓過點(diǎn)且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在這樣的直線，直線方程為：.【解析】（1）由已知點(diǎn)代入橢圓方程得由得可轉(zhuǎn)化為由以上兩式解得所以橢圓C的方程為：.（2）存在這樣的直線.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足,所以設(shè)所求直線方程代入橢圓方程化簡得：①.②,設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)由已知條件可得,③綜合上述①②③式子可解得符合題意,所以所求直線方程為：.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試探究是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）是定值，7【解析】（1）由離心率，得a∶b∶c＝2∶∶1，則可設(shè)橢圓C的方程為，由點(diǎn)在橢圓C上，得，即c2＝1，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)直線l的方程為y＝x＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以O(shè)A2＋OB2＝＋3－+＋3－＝(＋)＋6.由消去y得3x2＋2nx＋2n2－6＝0.當(dāng)Δ＞0時(shí)，x1＋x2＝－n，x1x2＝，從而＝4，所以O(shè)A2＋OB2＝7，為定值．20．已知拋物線.（1）若是拋物線上任一點(diǎn)，，求點(diǎn)到和軸距離之和的最小值；（2）若的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其重心恰好為的焦點(diǎn)，求三邊所在直線的斜率的倒數(shù)之和.【答案】（1）（2）0【解析】（1）由拋物線定義可知：到和軸距離之和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值.（2）設(shè)，，，∵∴.又，同理：，∴21.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，點(diǎn)是橢圓的下項(xiàng)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點(diǎn)，已知，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零，設(shè)直線，與直線聯(lián)立方程有，得.設(shè)直線，同理，因?yàn)椋?，①無實(shí)數(shù)解；②，解得，綜上可得，直線的斜率為.22．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）若直線的傾斜角為銳角，求與直線平行且與拋物線相切的直線方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）設(shè)，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以.根據(jù)拋物線定義知.所以