2023-2024學(xué)年湖南省邵東縣一中高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南省邵東縣一中高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若向量，則A． B． C． D．2．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且、、成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．不確定4．在四邊形中，若，且，則四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形5．設(shè)在中,角所對的邊分別為,若,則的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定6．若三個球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．527．的內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則()A． B． C． D．8．已知函數(shù)，點(diǎn)A、B分別為圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)和第一個最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB為銳角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．9．若向量，且，則等于（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列滿足，，，則的值為（）A．12 B．15 C．39 D．42二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，為單位向量，且，若向量滿足，則的最小值為_____.12．已知數(shù)列滿足：（），設(shè)的前項(xiàng)和為，則______；13．若是等比數(shù)列，，，則________14．已知為直線上一點(diǎn)，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．15．已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①若，則；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③的圖象與圖象關(guān)于軸對稱；④設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論為__________．16．如圖1，動點(diǎn)在以為圓心，半徑為1米的圓周上運(yùn)動，從最低點(diǎn)開始計時，用時4分鐘逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一圈后停止.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)（米）關(guān)于時間（分）的函數(shù)為，則該函數(shù)的圖像大致為________.（請注明關(guān)鍵點(diǎn)）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求的前項(xiàng)和為.（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)分別是的圖像與軸、軸的交點(diǎn)，分別是的圖像上橫坐標(biāo)為的兩點(diǎn),軸，共線．（1）求的值；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足：的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.設(shè)，，如圖，試用，表示向量.20．某醫(yī)學(xué)院讀書協(xié)會欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，該協(xié)會分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．該協(xié)會確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．（Ⅰ）已知選取的是1月至6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程；（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問（Ⅰ）中該協(xié)會所得線性回歸方程是否理想？參考公式：回歸直線的方程，其中，．21．如圖，是平行四邊形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)得出與的等量關(guān)系，即可計算出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由于、、成等比數(shù)列，則有，所以，，化簡得，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和中基本量的計算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項(xiàng)與公差的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

通過正弦定理可得可得三角形為等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故的形狀是等腰直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力，難度中等.4、A【解析】

根據(jù)向量相等可知四邊形為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【詳解】，可知且四邊形為平行四邊形由可知：四邊形為矩形本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查相等向量、垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用正弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，，所以，所以是直角三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.6、D【解析】

設(shè)最小球的半徑為R，根據(jù)比例關(guān)系即可得到另外兩個球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個球的體積，即可得到結(jié)論?！驹斀狻吭O(shè)最小球的半徑為R，由三個球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【點(diǎn)睛】本題主要考查球體積的計算公式，屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿足內(nèi)角和定理，排除.【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分類討論思想.當(dāng)求出后，要及時判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時給出了或，會增大出錯率.8、B【解析】

△OAB為銳角三角形等價于,再運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意可得,,由△OAB為銳角三角形，則,即，解得：，即的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.9、B【解析】

根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行對應(yīng)的等量關(guān)系，即可計算出的值，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的加法即可求解出的坐標(biāo)表示.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的平行求解參數(shù)以及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，難度較易.已知，若則有.10、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【詳解】由題意得所以為等差數(shù)列，，，選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷是否為等差數(shù)列以及等差數(shù)列通項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

由題意設(shè)，，，由得出，它表示圓，由，利用向量的模的幾何意義從而得到最小值.【詳解】由題意設(shè)，，，因，即，所以，它表示圓心為，半徑的圓，又，所以，而表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，由，所以，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了圓的方程與應(yīng)用問題，屬于中檔題.12、130【解析】

先利用遞推公式計算出的通項(xiàng)公式，然后利用錯位相減法可求得的表達(dá)式，即可完成的求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，又因?yàn)椋环蠒r的通項(xiàng)公式，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式以及錯位相減法的使用，難度一般.利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時，若出現(xiàn)了的形式，一定要注意標(biāo)注，同時要驗(yàn)證是否滿足的情況，這決定了通項(xiàng)公式是否需要分段去寫.13、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解公比再求和即可.【詳解】設(shè)公比為,則.故故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題型.14、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點(diǎn)：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點(diǎn)．就切線的斜率是否存在分類討論，結(jié)合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設(shè)切線長為，則，所以當(dāng)切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點(diǎn)為垂足點(diǎn)，此時，直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查過點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關(guān)問題，在過點(diǎn)引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．15、②③④【解析】

首先化簡函數(shù)解析式，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】①當(dāng)時，函數(shù)的周期為，，或，所以①不正確；②時，，所以是增函數(shù)，②正確；③函數(shù)還可以化簡為，所以與關(guān)于軸對稱，正確；④，當(dāng)時，，，④正確故選②③④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題型.16、【解析】

根據(jù)題意先得出，再畫圖．【詳解】解：設(shè)，，，，，則當(dāng)時，處于最低點(diǎn)，則，，可畫圖為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角模型的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意建立函數(shù)模型，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）將所給條件式子兩邊同時平方,利用遞推法可得的表達(dá)式,由兩式相減,變形即可證明數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而結(jié)合首項(xiàng)與公差求得的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）中可求得.將與代入即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)法即可求得前項(xiàng)和.（Ⅲ）先求得的取值范圍,結(jié)合不等式,即可求得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且化簡可得由遞推公式可得兩式相減可得,變形可得即,由正項(xiàng)等比數(shù)列可得所以而當(dāng)時,解得所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列因而（Ⅱ）由（Ⅰ）可知則代入中可得所以（Ⅲ）由（Ⅱ）可知則,所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列,則且當(dāng)時,,即所以因?yàn)閷σ磺械暮愠闪t滿足,解不等式組可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用,裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性與不等式關(guān)系,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.18、（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】試題分析：解：（Ⅰ）建立，.（Ⅱ），結(jié)合圖象可知或．試題解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因?yàn)闀r，，由方程恰有唯一實(shí)根，結(jié)合圖象可知或．19、【解析】

由為的中點(diǎn)，則可得,為的中點(diǎn),則可得,從中可以求出向量,得到答案.【詳解】由為的中點(diǎn)，則可得.又為的中點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理和向量的加減法的法則，屬于中檔題.20、（1）（2）該協(xié)會所得線性回歸方程是理想的【解析】試題分析:（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出x,y的平均數(shù),根據(jù)求線性回歸系數(shù)的方法,求出系數(shù),把和,代入公式,求出的值,寫出線性回歸方程;（2）根據(jù)所求的線性回歸方程,預(yù)報當(dāng)自變量為10和6時的值,把預(yù)報的值同原來表中所給的10和6對應(yīng)的值作差,差的絕對值不超過2,得到線性回歸方程理想.試題解析:解：（Ⅰ）由數(shù)據(jù)求得，，，由公式求得，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.（Ⅱ）當(dāng)時，，；同樣，當(dāng)時，，.所以，該協(xié)會所得線性回歸方程是理想的.點(diǎn)睛:求線性回歸方程的步驟:(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出的值;(2)計算回歸系數(shù);(3)寫出線性回歸方程.進(jìn)行線性回歸分析時，要先畫出散點(diǎn)圖確定兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系，然后利用公式求回歸系數(shù),得到回歸直線方程，最后再進(jìn)行有關(guān)的線性分析．21、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）