專題19 線段和角的定值問題課堂學案及配套作業(yè)（原卷版）

專題19線段和角的定值問題（原卷版）教學案類型一線段中的定值問題1．（2019秋?北侖區(qū)期末）如圖，C為射線AB上一點，AB＝30，AC比BC的14多5，P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，分別以2個單位/秒和1個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，當點P運動到點B時，兩點同時停止運動，運動時間為t（s），M為BP的中點，N為MQ的中點，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當BP=12BQ時，t＝12；④M，N兩點之間的距離是定值．其中正確的結(jié)論2．（2020秋?東西湖區(qū)期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動的線段：AB＝a，CD＝b，且a，b滿足|a﹣2|+（b﹣6）2＝0．M為線段AB的中點，N為線段CD中點．（1）求線段AB、CD的長；（2）若線段AB以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時線段CD以每秒1個單位長的速度也向右運動，在運動前A點表示的數(shù)為﹣2．BC＝6，設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，MN＝4；（3）若將線段CD固定不動，線段AB以每秒2個單位長度的速度向右運動，在運動前AD＝36，在線段AB向右運動的某一個時間段內(nèi)，始終有MN+BC為定值，求出這個定值，并求出t的取值范圍．

3．（2020秋?遵化市期末）如圖，已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（點A在點B的左側(cè)，點C在點D的左側(cè)），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．（1）求線段AB，CD的長；（2）若點M，N分別為線段AC，BD的中點，BC＝4，求線段MN的長；（3）當CD運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段AB的延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①PA?PBPC是定值，②PA+PB4．（2018秋?江夏區(qū)期末）已知，如圖所示，一條直線上依次有A、B、C三個點．（1）若BC＝10，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD中點，點N為CD中點，求BCMN（3）當點P在線段BC的延長線上運動時，點E是AP的中點，點F是BC的中點（E，F(xiàn)不重合）．下列結(jié)論中：①EFAC+BP是定值；②EF5．（越秀區(qū)期末）已知線段AB＝8（點A在點B的左側(cè)）（1）若在直線AB上取一點C，使得AC＝3CB，點D是CB的中點，求AD的長；（2）若M是線段AB的中點，點P是線段AB延長線上任意一點，請說明PA+PB﹣2PM是一個定值．

6．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知直線l有兩條可以左右移動的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．（1）求線段AB，CD的長；（2）線段AB的中點為M，線段CD中點為N，線段AB以每秒4個單位長度向右運動，線段CD以每秒1個單位長度也向右運動，若運動6秒后，MN＝4，求線段BC的長；（3）將線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運動，M、N分別為AB、CD中點，BC＝24，在線段AB向右運動的某一個時間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個定值，并直接寫出t在哪一個時間段內(nèi)．7．（2022秋?平南縣月考）如圖AB＝48，C為線段AB的延長線上一點，M，N分別是AC，BC的中點．（1）若BC＝10，求MN的長；（2）若BC的長度為不定值，其它條件不變，MN的長還是定值嗎？若是，請求出MN的長；若不是，請說明理由．

類型二角中的定值問題8．（2017秋?寧?？h期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)OA⊥OB，OC是OA繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)α（α＜90°）度得到，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若α＝60即∠AOC＝60°時，則∠BOC＝°，∠DOE＝°．（2）在α的變化過程中，∠DOE的度數(shù)是一個定值嗎？若是定值，請求出這個值；若不是定值，請說明理由．9．（2020秋?平山區(qū)校級期中）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當OB、OC重合時，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如圖2，當∠COD從圖1所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10），在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由．10．、如圖，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）如圖1，當OC與OB重合時，求∠MON的度數(shù)；（2）如圖2，當∠BOD從圖1位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜90）時，∠BOM﹣∠DON的值是否為定值？若是定值，求出∠BOM﹣∠DON的值；若不是定值，請說明理由；（3）如圖2，當∠BOD從圖1位置開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)m（30＜m＜70）時，滿足∠AOD+∠MON＝7∠BOD，求m的值．11．（2022秋?沁陽市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當OB、OC重合時，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如圖2，當∠COD從圖1所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10），在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由．（3）在（2）的條件下，當∠COF＝17°時，t＝秒．12．（2021秋?宿豫區(qū)期末）如圖，將兩塊直角三角尺的60°角和90°角的頂點A疊放在一起．將三角尺ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中三角尺ADE的邊AD始終在∠BAC的內(nèi)部在旋轉(zhuǎn)過程中，探索：（1）∠BAE與∠CAD的度數(shù)有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）試說明∠CAE﹣∠BAD＝30°；（3）作∠BAD和∠CAE的平分線AM、AN，在旋轉(zhuǎn)過程中∠MAN的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值；若變化，請求出變化范圍．13．（2022秋?晉州市期中）如圖所示，以直線AB上的一點O為端點，在直線AB的上方作射線OP，使∠BOP＝68°，將一塊直角三角尺（∠MON＝90°）的直角頂點放在點O處，且直角三角尺在直線AB的上方．設(shè)∠BOM＝n°（0＜n＜90）．（1）當n＝30時，求∠PON的大??；（2）當OP恰好平分∠MON時，求n的值；（3）當n≠68時，嘉嘉認為∠AON與∠POM的差為定值，淇淇認為∠AON與∠POM的和為定值，且二人求得的定值相同，均為22°，老師說，要使兩人的說法都正確，需要對n分別附加條件．請你補充這個條件：當n滿足時，∠AON﹣∠POM＝22°；當n滿足時，∠AON+∠POM＝22°．14．（2021秋?遷安市期末）如圖1，把∠APB放置在量角器上，P與量角器的中心重合，射線PA、PB分別對準刻度117°和153°，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到射線PC．（1）∠APB＝度；（2）求出∠CPB的度數(shù)；（3）小紅在圖1的基礎(chǔ)上，在∠CPB內(nèi)部任意做一條射線PD，并分別做出了∠CPD和∠BPD的平分線PE和PF，如圖2，發(fā)現(xiàn)PD在∠CPB內(nèi)部的不同位置，∠EPF的度數(shù)都是一個定值，請你求出這個定值．15．（2022秋?硚口區(qū)期末）∠AOB與它的補角的差正好等于∠AOB的一半（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖1，過點O作射線OC，使∠AOC＝4∠BOC，OD是∠BOC的平分線，求∠AOD的度數(shù)；（3）如圖2，射線OM與OB重合，射線ON在∠AOB外部，且∠MON＝40°，現(xiàn)將∠MON繞O順時針旋轉(zhuǎn)n°，0＜n＜50，若在此過程中，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，試問∠AOP?∠BOQ∠POQ

16．（2019秋?莆田期末）定義：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，則我們稱β是α的差余角．例如：若α＝110°，則α的差余角β＝20°．（1）如圖1，點O在直線AB上，射線OE是∠BOC的角平分線，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度數(shù)；（2）如圖2，點O在直線AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC與∠BOE有什么數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點O在直線AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE與OC在直線AB的同側(cè)，∠AOC?∠BOC∠COE17．（2022秋?荔城區(qū)期末）如圖∠AOB＝120°，把三角板60°的角的頂點放在O處．轉(zhuǎn)動三角板（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），OE始終平分∠AOD．（1）【特殊發(fā)現(xiàn)】如圖1，若OC邊與OA邊重合時，求出∠COE與∠BOD的度數(shù)．（2）【類比探究】如圖2，當三角板繞O點旋轉(zhuǎn)的過程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），∠COE與∠BOD的度數(shù)比是否為定值？若為定值，請求出這個定值；若不為定值，請說明理由．（3）【拓展延伸】如圖3，在轉(zhuǎn)動三角板的過程中（其中OC邊始終在∠AOB內(nèi)部），若OP平分∠COB，請畫出圖形，直接寫出∠EOP的度數(shù)（無需證明）

配套作業(yè)1．（2022秋?成都期末）已知點O為數(shù)軸原點，點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為a，點B對應的數(shù)為b，A、B之間的距離記作AB，且|a+4|+（b﹣10）2＝0．（1）求線段AB的長；（2）設(shè)點P在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，當PA+PB＝20時，求x的值；（3）如圖，M、N兩點分別從O、B出發(fā)以v1、v2的速度同時沿數(shù)軸負方向運動（M在線段AO上，N在線段BO上），P是線段AN的中點，若M、N運動到任一時刻時，總有PM為定值，下列結(jié)論：①v2v1的值不變；②v1+2．（2022秋?江岸區(qū)校級月考）已知：如圖，一條直線上依次有A、B、C三點．（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的長；（2）若點D是射線CB上一點，點M為BD的中點，點N為CD的中點，求BCMN（3）當點P在線段BC的延長線上運動時，點E是AP中點，點F是BC中點，下列結(jié)論中：①AC+BPEF②|AC?BP3．（2016秋?啟東市校級月考）如圖，線段AB＝24，動點P從A出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM；（2）當P在線段AB上運動時，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當P在AB延長線上運動，N為BP的中點，下列兩個結(jié)論：①MN長度不變；②MN+PN的值不變．選出一個正確的結(jié)論，并求其值．4．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，線段AB＝12，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．（1）出發(fā)多少秒后，PB＝2AM？（2）當P在線段AB上運動時，試說明2BM﹣BP為定值．（3）當P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，下列兩個結(jié)論：①MN長度不變；②MA+PN的值不變，選擇一個正確的結(jié)論，并求出其值．5．（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，已知直線l上有兩條可以左右移動的線段：AB＝m，CD＝n，且m，n滿足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，點M，N分別為AB，CD中點．（1）求線段AB，CD的長；（2）線段AB以每秒4個單位長度向右運動，線段CD以每秒1個單位長度也向右運動．若運動6秒后，MN＝4，求此時線段BC的長；（3）若BC＝24，將線段CD固定不動，線段AB以每秒4個單位速度向右運動，在線段AB向右運動的某一個時間段t內(nèi)，始終有MN+AD為定值．求出這個定值，并直接寫出t在哪一個時間段內(nèi)．6．（2021秋?洛川縣校級期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖①，當OB、OC重合時，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）當∠COD從圖①所示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10）；在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由．

7．（2021秋?侯馬市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖，當OB、OC重合時，求∠AOE﹣∠BOF的值；（3）當∠COD從圖示位置繞點O以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)t秒（0＜t＜10）；在旋轉(zhuǎn)過程中∠AOE﹣∠BOF的值是否會因t的變化而變化？若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由．8．（2019秋?玄武區(qū)校級期末）已知∠AOB＝150°，OC為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠BOC＝60°．（1）如圖1，若OE平分∠AOB，OD為∠BOC內(nèi)部的一條射線，∠COD=12∠BOD，求∠（2）如圖2，若射線OE繞著O點從OA開始以15度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束、OF繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至OA結(jié)束，運動時間為t秒，當∠EOC＝∠FOC時，求t的值：（3）若射線OM繞著O點從OA開始以15度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，ON平分∠AOM，試問2∠BON﹣∠BOM在某時間段內(nèi)是否為定值，若不是，請說明理由；若是請補全圖形，求出這個定值并寫出t所在的時間段．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）9．（2022秋?云夢縣期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數(shù)．（2）當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜＜90）時，如圖2，∠AOE﹣∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值，若不是，請說明理由．

10．（2020秋?江岸區(qū)期末）已知如圖1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC＝（2）如圖2，∠AOC＝20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條直線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如圖3，∠AOC＝20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON＝∠NOM，當t在某個范圍內(nèi)4∠AON+∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．11．（2020秋?渝中區(qū)校級期末）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運動時間為t秒．①當OC′平分∠BON′時，求出對應的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存