2024屆浙江省寧波市“十校”高三年級(jí)下冊(cè)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★考試結(jié)束前

寧波“十校”2024屆高三3月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題卷

考生須知：

1,本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘：

2.答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙

規(guī)定的地方。

3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙

上答題一律無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷。

第I卷

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求)

1.集合M={H-24x43},JV={x|lnr^l],則M|JN=

A.(0,e]B.[-2,e]C,(7,3]D,[-2,3]

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=5i—z,則3=

z-i

A.3B.2C.72D.1

3.已知平面向量Z,石滿足了=(1,2)邛一2目=4且0-241.1，則同=

A.I5B.5C.娓.D.6

4.某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中,3個(gè)不同的商業(yè)產(chǎn)告和3個(gè)不同的公

益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則不同

的播放方式有

A.144種B.72種C.36種D.24種

5.學(xué)校某生物老師指導(dǎo)學(xué)生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個(gè)圓臺(tái)，圓臺(tái)

的上、下底面半徑之比為5:3,母線長為8cm,其母線與底面所成的角為60。，則這個(gè)圓臺(tái)的體

積為一

A392百378473「1568百,3136人,

A.--------7tcmnB.--------ncm3C.----------ncmDn.----------ncm

3333

6.過直線y=3x上的點(diǎn)尸作圓C:(X+2)2+(J-4)2=4的兩條切線/”如當(dāng)直線44關(guān)于直線y=3x

對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

7.已知S,是公比不為1的等比數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和，貝曠號(hào),56，5成等差數(shù)列”是“存在不相等

的正整敢》,〃，使得■成等差數(shù)列”的

A.充分不必要條件卬，B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

寧波“十校"數(shù)學(xué)試題卷第1頁共4頁

8.若函數(shù)/(x)=a，+從在(0,8)上單訓(xùn)遞增，則a和6的可能取值為

A.a=lnl,2,6=5B.a=lnl5>b=0,2

C.a=ea2?d=0.8D,a=e",6=0.2

二選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.)

9已知一組樣本數(shù)據(jù)內(nèi)(1=1,2,3,…,10),其中為。=1,2,3,…,10)為正實(shí)數(shù).

滿足石0±4七4…4.%,下列說法正確的是

A,樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為A

B.去掉樣本的一個(gè)數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變

C,若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于

中位數(shù)

D.若樣本數(shù)據(jù)的方差S2=片-4,則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2

10.將函數(shù)/(x)=sin(0<0<6)的圖象向右平移2個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

若0:|是g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則

A.f(x)的最小正周期為5B./(x)在伍期上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x)=/(x)+g(x)的最大值為1D.方程/(力=-/在［0,句上有5個(gè)實(shí)數(shù)根

1L已知直四棱柱XBCQ-4片441=迅，‘底面是邊長為1的菱形，且加。=120。，

點(diǎn)E,F,G分別為44，￡>A，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是棱4A上的動(dòng)點(diǎn).以《為球心作半徑為/?的球,

」.下列說法正確的是

A.直線期與直線BE所成角的正切值的最小值為正

7

B.用過用F,G±點(diǎn)的平面截直四棱柱，得到的截面面積為把史

-8

c.當(dāng)&=1時(shí)，球4與直四棱柱的四個(gè)側(cè)面均有交線

D.在直四棱柱內(nèi)，球/外放置一個(gè)小球,當(dāng)小球體積最大時(shí)，球4直徑的最大值為走

2

第II卷

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

jr貝！lcos(26+率)=

12.若sin。*卜▲

已知正實(shí)數(shù)a，b,c滿足6+c=I,則誓+指的限小值為一

13.

寧波"十校"數(shù)學(xué)試期卷第2頁共4頁

點(diǎn)-，=。>朽>斜率為的直線與的左右兩支分別交于兩點(diǎn),

14.已知雙曲線E：?1(00),E43

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(TJ),直線月尸交E于另一點(diǎn)C,直線BP交E于另一點(diǎn)。,若直線。的斜率

為-1，則E的離心率為▲.

9

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(13分)△4SC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,且sin(4-B)cosC=cos8sin(4-C).

(1)判斷△念(7的形狀；

?,t

(2)若AABC'為銳角三角形,sin<=1,‘求馬+'+工的最大值.

ba12b2c

16.(15分).已知四棱錐尸-"CD的底面忿CO是直角梯形，ADUBC,ABA.BC,AB=6,

BC~2AD=2,E為CD的中點(diǎn)，PBLAE.

(1)證明：平面尸EDJ■平面ECO；

'Z??,

<2)若PB=PD,PC與平面4BCD所成的角為三，過點(diǎn)B作平面

'3

PCD的垂線，垂足為N,求點(diǎn)N到平面"CO的距離.

17.(15分)已知函數(shù)￡(x)=4"-Z(2+lnx),neN+,k>0.

(1)討論工(切的單調(diào)區(qū)間：

(2)若工(切有三個(gè)極值點(diǎn)，求正數(shù)2的取值范圍.

寧波“十校”數(shù)學(xué)區(qū)題卷第3頁共4頁

18.(17分)為了驗(yàn)證某款電池的安全性，小明在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行試驗(yàn)，假設(shè)小明每次試驗(yàn)成功的概

率為p(O<p<l),且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立.

(1)若進(jìn)行5次試驗(yàn)，且P=；，求試驗(yàn)成功次數(shù)矛的分布列以及期望；

(2)若恰好成功2次后停止試驗(yàn)，p=->記事件4：停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)次數(shù)不超過〃(〃22)次，

3

事件8：停止試驗(yàn)時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為偶數(shù)，求尸(45).(結(jié)果用含有"的式子表示)

19.(17分)已知拋物線C"=4'-4與雙曲線g歲-5r=【(a>。)相交于兩點(diǎn)48，F(xiàn)是G

的右焦點(diǎn)，直線XT分別交G.G于C,。兩點(diǎn)(不同F(xiàn)as點(diǎn))，直線8C,8。分別交x軸于P,。

兩點(diǎn).

(1)求。的取值范國；

(2)記下的面積為§,AC0尸的面積為S「當(dāng)，=3S浮九求a的值.

命題：北侖中學(xué)張?jiān)菲椤⒈眮鲋袑W(xué)王加白

審題：寧海中學(xué)胡余澤、寧波中學(xué)倪蕾

寧波"十校"數(shù)學(xué)H題作第4頁共4貝

寧波“十?！?024屆高三3月聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求）

12345678

DCDBBCAD

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.）

91011

BCDABDABC

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.—13.1614.—

253

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.(本題共13分)解：

(1)由題意：(sinAcosB-cosAsinB)cosC=cosB?(sinAcosC-cosAsinC),------------2分

整理得cosA(cos5sinC-sin3cosc)=cosAsin3)=0,

故cosA=0或sin(C-3)=0,

當(dāng)cosA=0時(shí)，A=~,A5C為直角三角形，--------------------------------3分

2

當(dāng)sin(C-3)=0時(shí)，B=C,ABC為等腰三角形.---------------------------5分

(2)由正弦定理&"-得asin5=Z7sinA=1,---------------------------------------------7分

sinAsinB

a=--—,-^-+—+—=2sin2B+sinA-------------------------------------------------9分

sinBa22b2c

又B=C,A+B+C=7i,

/.2sin2B+sinA=1-cos2B+sin2B=1+V2sin(2B-^-),----------------------------11分

0<B<-

因?yàn)槎嗀BC為銳角三角形，所以，/,解得

42

0<A=TI-2B「

2

.?.當(dāng)22一工=工時(shí)，即2=紅時(shí)取最大值，最大值為拒+1.

428

綜上，最大值為四+1.-------------------------------------------------------------------------------13分

16.（本題共15分）解：

（1）證明：由四邊形ABCD是直角梯形，AB=M,3c=2A￡)=2,AB±BC,

可得OC=2,ZBCD=-,從而△BCD是等邊三角形，BD=2,BD^ZADC.

3

為CD的中點(diǎn)，：.DE=AD=1,：.BD±AE,-------------------------3分

XVPBXAE,PBCBD=B,PBD.

又平面ABCD平面尸8D_L平面ABCD.--------------------------------6分

(2)在平面PBD內(nèi)作PO_LBD于O,連接OC,又\?平面P&D_L平面ABCD,平面P8DA平面

ABCD=BD,

：.PO±nABCD,二/尸。。為PC與平面ABC。所成的角，則NPCO=H

3

二易得OP=3.-----------------------------------------------------------------8分

又OC=VLPB=PD,POLBD,所以。為8。的中點(diǎn)，OCLBD.

以O(shè)BQCQP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),C(0,73,0)

0(-1,0,0),尸(0,0,3)-----------------------------------------------------------10分

設(shè)PN=2PO+〃尸C,易得N(-ZV3/z,-3(2+〃一1))

上BNPC=06

rb<得2=滿足題意,

\BNPD=Q13

所以N點(diǎn)到平面ABC。的距離為-3(2+〃-1)=[---------------------------15分

17.(本題共15分)解：

(1)力(x)=J—左(4+lnx],貝.<，(無)=e(二D=_4)——[分

X\X)XyxX)X

當(dāng)上>0時(shí)，/'(x)=0的兩根為%=1,x2=\nk.

①若k=e,力(x)在(0,+◎上單調(diào)遞增；----------------------------------2分

②若k>e,則%=ln左>1=王，則力(尤)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,In處上單調(diào)遞減，在

(Ink,+oo)上單調(diào)遞增；----------------------------------------4分

③若0”<e,則%=lnk<l=々,則力(刈在(O,lnA)上單調(diào)遞增，在(In左,1)上單調(diào)遞減，

在(1,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)％=e時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)—>e時(shí),單調(diào)減區(qū)間為(LlnZ),單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(Ink,+劃；

當(dāng)0〈人<e時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為(In匕1),單調(diào)增區(qū)間為(0,Ink)和(1,+oo).--------6分

(2)根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

/eex-kx2

貝L巴三

kxx

e*-kx2

由函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)三12，%可知尸（x）=（x-3）?=0在（0,+8）上至少有三個(gè)

實(shí)數(shù)根；顯然/'⑶=0,則需方程吐管=0,

X

也即e“-日2=0有兩個(gè)不等于3的不相等的實(shí)數(shù)根；--------8分

x

e

由e無一Ax?=o可得左二二，xG（0,+00）,

xe%(x-2)

☆g(x)=ye,xe(0,+co),則g〈x)=,xe(0,+oo),10分

x3

顯然當(dāng)X￡（O,2）時(shí)，g<x）<0,即g（x）在（0,2）上單調(diào)遞減;

當(dāng)XW（2,+8）時(shí),gr（x）>0,即g⑺在（2,+8）上單調(diào)遞增;

2

e

所以g（x"g（2）=],-----------------------------------------------------------12分

x

,e

畫出函數(shù)g（x）=二,x?0,+8）與函數(shù)y=%在同一坐標(biāo)系下的圖象,

23…

由圖可得且％w?時(shí)，&=亍在（o,+8）上有兩個(gè)不等于3的相異的實(shí)數(shù)根,

e2e3e3QX-kx2

經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)人￡9U——,+oo時(shí)，導(dǎo)函數(shù)/（力=（尤-3>=0在%,為2，工3左右

~4~99x4

符號(hào)不同，即%,馬，%均是尸（x）=。的變號(hào)零點(diǎn)，滿足題意;

p,+8

因此實(shí)數(shù)%的取值范圍是左e15分

~4'~99

（注：未去掉一，扣1分）

9

18.（本題共17分）解：

（1）依題意，X~B15,￡|,

4

5

貝UP(X=0)=—,P(X=1)=C'

325I32

2

尸(X=2)=C；—=—,P(X=3)=Cl1

3216I1

1

P(X=4)=C；—,P(X=5)=

3232,

故X的分布列為:

X012345

155551

p

323216163232

?5分

故E(X)=5x：=；.---------------------------------------------7分

(2)事件"卜="”表示前n-l次試驗(yàn)只成功了1次,且第〃次試驗(yàn)成功，

故P(Y=")=C"x|x(|)"-2xg=7x(|)--2,--------------------------------------------9分

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

所以P(AB)=P(2)+P(4)+……+尸(〃)=1[1-(|)°+3.(|)2+-+(?-l).(|r2],

令S“=1?(1)°+3.(|)2+…+(w-1)?(1)--2

4

則：S,=1?($2+3-(|)+-+(?-1).(1)",

242

兩式相減得：|Sn=1+2[(1)+(1)+?--+(|)"]-(?-1)-(1)"-----------------------13分

.H11721179131312

則S.=年一(W)n?(年+三〃)?HWnP(AB)=-n

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，同理可得

129?[3]82

P(AB)=尸(2)+尸(4)+……+P(?-l)=-[l(-)°+3-(-)2+…+(〃-2)弋尸]=

12_4+與.（2尸,〃為奇數(shù)

255253

綜上，P(AB)=>17分

12-（。+當(dāng)（2）”』為偶數(shù)

1255253

（注：只考慮〃是奇數(shù)或偶數(shù)，且答案正確扣2分）

19.（本題共17分）解:

X22(a2>0

⑴由雙曲線方程「-一。v=1,貝U,,得到〃e(0,2),

a-4-a4-a->0

R-7

2

聯(lián)立拋物線與雙曲線方程L4_〃2,得到(4-/)工2一4/%+/=0,.——2分

y2=4x-4

2

記/(%)=(4-a2)x2-4a2x+a4=[(2+a)x-a2][(2-a)x-a2],可知/(x)=0有兩個(gè)I艮一^—

4+2

222

和二，其中—〈I，則—>1，解得ae(l,2).------------------------------6分

2—a。+22—a

又直線AF分別交G，C?于C,r>(不同于A,8點(diǎn))，即AB,下三點(diǎn)不共線，當(dāng)x=2時(shí)，代入

拋物線方程得到42,2）,將A（2,2）代入雙曲線方程得到2-一二=1,解得/=6-2石,

a4—a

故4=V5—1.

綜上，^G（l,V5-l）u（V5-l,2）---------------------------------------------------------------------7分

c

AF2

由A(X1,%),C(%,必)是直線與拋物線Ct:y=4.x-4的兩個(gè)交點(diǎn),顯然直線AF不垂直

y軸，點(diǎn)產(chǎn)(2,0),故設(shè)直線4歹的方程為苫=相7+2,

由[尤,=叫+2消去x并整理得4%一4=0,所以％%=7為定值.

[y=4x-4

%+y=%+一=4

設(shè)5(再,一yj,直線5c的斜率%2-玉￡+4y；+4

4

方程為y+必=------(1一再),