江西省等七省聯(lián)考2024屆高三年級上冊最后一卷數(shù)學(xué)猜題卷（一）（解析版）

2024年七省聯(lián)考最后一卷（猜題卷一）

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.已知集合4={°，1，2},B={y|y=2x,xeA},則中的元素個數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合表示意義和并集含義即可.

【詳解】???集合4={0,1,2},8={y|y=2x,xeA},

??.6={0,2,4}；

AuB={0,l,2,4}；

二中的元素個數(shù)為4.

故選：C.

2.已知命題P：中有一個內(nèi)角為是_ABC的三個內(nèi)角成等差數(shù)列充要條件；命題夕：

“tana=tan4”是“a=/3”的必要不充分條件，則下列命題正確的是（）

A.PdqB.p人（―C.（-!〃）△（―q）D.（-p）八q

【答案】B

【解析】

【分析】首先分別判斷出命題〃和命題夕的真假性，然后可得答案.

■7T

【詳解】由_ABC中有一個內(nèi)角為2,可得一ABC的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，反之也成立

故命題。為真命題

JI

由tana=tan/推不出。=夕，反過來，當(dāng)。=/=萬■時，也推不出tana=tan/

所以“tana=tan4”是“。=尸”的既不充分也不必要條件，

故命題夕為假命題

所以pA(—q)正確

故選：B

【點睛】本題主要考查了命題真假性的判斷和邏輯聯(lián)結(jié)詞，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知公差不為0的等差數(shù)列的第4,7,16項恰好分別是某等比數(shù)列的第4,6,8項，則該等比數(shù)列的

公比是()

A.6B.C.右,或-垂)D.五

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比中項公式，得到齒=446,利用等差數(shù)列的通項公式，求得力=-3",

進(jìn)而利用如=」，即可求解.

%

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d(dxO),

因為等差數(shù)列的第4,7,16項恰好分別是某等比數(shù)列的第4,6,8項，

3

可得而二%。%，即(％+6d)2=(4+3d)?(4+15"),解得^二一］］,

39

所以q=q+3d=萬d,%=q+6〃=萬〃，

2d

所以等比數(shù)列的公比為42=及=4一=3,所以4=±JJ.

q-d

2

故選：C.

4.已知函數(shù)/(x)=ln(Jl+x2一幻+1，則/(lg3)+f(lg$=

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析］推導(dǎo)出〃/g3)+/1/g；卜/nCjl+(/g3)2_/g3)+/〃(Jl+(/g3)2+/g3)+2=/〃l+2,由此能求

出結(jié)果.

【詳解】?.?函數(shù)I(x)=ln(Jl+d—x)+i,

/(lg3)+/1lg￡|=/〃(Jl+(/g3)2—/g3)+/〃(Jl+，g￡|—/gg)+2

=/〃(Jl+(/g3)2-lg3)+/〃(Jl+(/g3)2+lg3))+2=+2=2.

故選D.

【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

5.水平放置的正三棱錐V—ABC的正視圖如圖所示，則正三棱錐V—ABC的體積為（）

C.3715D.3行

【答案】A

【解析】

【分析】看圖，由圖知立4=VB=3,于是，利用正三棱錐的性質(zhì)，列出三棱錐的體積公式求解即可

【詳解】由圖知L4=UB=3,于是OB7VB2—VO?=6,所以，A5=AC=BC=2/，

進(jìn)而S2BC=gx（26）2x立=3百，三棱錐的高為h=y/5（因為頂點V在底面的射影為,ABC的重

心)，所以V=；xS^ABCx/?=V15

故答案選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：由圖知M4="B=3,利用勾股定理和正三角形的性質(zhì)求解，屬于中檔題

6.一束光線從點A（2,3）射出，經(jīng)x軸上一點C反射后到達(dá)圓（x+3『+（y-2）2=2上一點B,則

|4C|+|B。的最大值為（）

A.372B.4A/2C.5拒D.60

【答案】D

【解析】

【分析】確定圓心為M（—3,2）,r=6,A（2,3）關(guān)于x軸的對稱點為A（2,—3）,

|AC|+|BC|<|AM|+r,計算得到答案.

【詳解】圓（尢+3）2+（）-2）2=2的圓心為“（一3,2）,

4（2,3）關(guān)于》軸的對稱點為4（2,-3）,

|AC|+|BC|=|A,C|+|BC|=\AtB\<\AtM\+r=J（2+3,+（2+3）?+夜=6夜.

故選：D

7.已知向量滿足|4|=2|。b0,且關(guān)于x的函數(shù)Wx+7實數(shù)集R上單調(diào)

遞增，則向量的夾角的取值范圍是（）

八乃八乃八乃幾兀

A.0,—B.0,—C.0,—D.一,一

_3J4」L6」164_

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)向量0、的夾角為。，求出函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)r（x）=6/+6ax+6ab,由題意得出

A<0,求出cos。的取值范圍，可得出角6的取值范圍.

IF,rr

【詳解】設(shè)向量a、b的夾角為小由題意可得/'("=6尤2+耳中+6。”,

由于函數(shù)/(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，則不等式/'(同20在R上恒成立，

即不等式/+卜卜+。山20在R上恒成立，則△=4一4。2<0,

又|d|=2]〃快0,即4MZ-q^cosewO,.,.cosON；.

jrJi

QO<0<^-,.-.0<6?<-,因此，向量“、b的夾角的取值范圍是0，-，

DJ

故選：A.

2

8.已知函數(shù)/(x)=lnx——+2-m(0v〃z<3)有兩個不同的零點為，巧(不<々)，下列關(guān)于為，

x

演的說法正確的有()個

m3

①尸"②"去(3)ey<x,<--------④玉々>1

-3—m

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

2

【分析】函數(shù)〃x)=lnx--+2-m(0<加<3)有兩個不同零點%,%(3<%),轉(zhuǎn)化為

2?

lnx-t+2=加有兩個交點，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln.L'+2,判斷單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合，判斷①，再根

據(jù)①判斷②，再根據(jù)零點，構(gòu)造函數(shù)，判斷選項③,根據(jù)零點判斷④.

2

【詳解】由函數(shù)/(X)=lnx--+2一，"(o<m<3)有兩個不同零點小工2(玉<x2)>

2

轉(zhuǎn)化為\nx---F2=m(0<〃2<3)有兩個交點%,%(%<%2)，

x

，/、2I2,、/

構(gòu)造函數(shù)g(x)=如％-一+2,〃(x)=Inx---h2，則g'(x)=-+-r，故g'(x)>0,所以g(x)在

(0,+“)單調(diào)遞增，而g(l)=0,可得〃(x)圖象如圖所示

故〃（X）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+8）單調(diào)遞增,

所以0<玉<1<X2,

22

對于①，m=—InXjH------2=In-------2

玉%2

\

22x

所以2根=-Inx+In%+--------->In2

%”

所以上＜e2”‘，故①正確;

玉

12「

對于②，由①可知m=一m%+----2,故+2%一2=-xJnX]>0,

x\

2

因此x,>-----,故②正確;

m+2

m-3

對于③，因為0＜加＜3,所以0＜一＜1,故1＜/＜自一二＞1,

33-m

所以ge）?32（3-m）c32m

=In-----------------------F2=iIn--------1------

3-m33-m3f

3

則g-=-In（3-m）--4-In3,

3-m

構(gòu)造函數(shù)。（x）=-ln（3-加）一~—+In3,

則?！叮?六4=啟鏟。，而°（。）=。，

3

所以g>/n=g（x）,

3-m2

3

所以尤2-----

3-m

々“2cI-1m1

因為ge=7一一匯+2,所以機(jī)—ge3=2—一一-+1,

?「I1(3

令g=f(O<f<l),構(gòu)造/(f)=/_5+l,顯然/⑺單調(diào)遞增，且/(())=(),

所以〃Z=g(X2)>gg3

m7

所以e3<x,<上一，故③正確;

~3-m

22_>4

對于④，由①可知，仙百赴二+4一4,

%x2

4

所以In%%一—y=+4>0,

VX1X2

令”/=n,W(?)=21nn---F4,顯然W(〃)單調(diào)遞增，且W(1)=O,

所以％入2>1，故④正確.

故選：D

二、多選題

9.已知函數(shù)/（x）=；sin（2x-，）,則下列說法中正確的是（）

A.“X）的最小正周期為乃

B./（x）在春，卷上單調(diào)遞增

C.已。）是/（x）的一個對稱中心

jr1

D.當(dāng)XG0,—時，“X）的最大值為q

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心、最值的求法，確定正確選項.

27r

【詳解】對于A選項，T=—=71,故A選項正確.

2

+爭&wZ),

對于B選項，由2人燈一工42x-工+工（AwZ）,解得）hr—土<x<k7l

232'’12

jr\冗

所以“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是版■一方，版■+言（ZeZ）,

71171.7T1,5不%

.—,——<Zk兀------.K7C+——（ZwZ）,所以B選項錯誤.

12121212

對于C選項，/5=軻0=0,所以C選項正確.

對于D選項，y嘮

nn?萬??i

所以，當(dāng)2x-§=%■時，函數(shù)〃x）取得最大值，即/⑴x所以D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：求函數(shù)/（x）=Asin（5+0）在區(qū)間［a,b］上最值的一般步驟：

第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如y=Asin（a）x+o）+Z的形式或丁=Acos（a）x+o）+左的形

式；

第二步：由x的取值范圍確定。x+夕的取值范圍，再確定sin（5+0）（或cos（。比+°））的取值范圍；

第三步：求出所求函數(shù)的最值.

10.帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（）

A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法

B.放進(jìn)不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有4種放法

C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個（另一個球不投入），共有20種放法

D.全部投入3個不同的盒子里，沒有空盒，共有140種不同的放法

【答案】AC

【解析】

【分析】利用分步計數(shù)原理直接判斷選項A,利用組合、排列的結(jié)合判斷選項BCD.

【詳解】對于A：由分步計數(shù)原理，

五個球全部投入4個不同的盒子里共有45種放法，故A正確；

對于B：由排列數(shù)公式，

五個不同的球放進(jìn)不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有C；A：種放法，故B錯誤;

對于C：將其中的4個球投入一個盒子里共有C；c；=2()種放法，故C正確;

對于D：全部投入3個不同的盒子里，沒有空盒，

C2c2

共有：C；A；+—^A：=150種不同的放法，故D錯誤.

故選：AC

11.在圓錐S。中，C是母線SA上靠近點S的三等分點，SA=l,底面圓的半徑為r,圓錐S。的側(cè)面積為

3兀，貝(J()

A.當(dāng)r=l時，從點A到點C繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為舊

B.當(dāng)r=2時，過頂點S和兩母線的截面三角形的最大面積為邁

24

Q1冗

C.當(dāng)/=3時，圓錐so的外接球表面積為一

O

D.當(dāng)/=3時，棱長為辿的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出圓錐母線/與底面圓半徑r的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開圖判斷A；求出圓錐軸截面頂角的大

小，計算判斷B；求出圓錐外接球半徑判斷C；求出圓錐內(nèi)切球半徑，棱長為2叵的正四面體外接球半徑

3

判斷D作答.

【詳解】依題意，lr=3,

對于A,當(dāng)r=1時，1=3,CS=1,圓錐的側(cè)面展開圖，如圖,

側(cè)面展開圖扇形弧長即為圓錐的底面圓周長2?，則NASC=q-,在一A5c中，由余弦定理得:

AC2=AS2+CS2-2AS-CScosZASC=13.即4。=后，A正確；

3o24-?2-32

對于B,當(dāng)尸=不時，有1=2,令圓錐SO的軸截面等腰三角形頂角為e,COS0=±Z±__-<0，

22x2x2

。為鈍角，令P,Q是圓錐S。的底面圓周上任意的不同兩點，則OvNPSQW。，

則有PSQ的面積5/sinNPSQW/x22=2,當(dāng)且僅當(dāng)NPSQ=90時取“="，B不正確；

對于C,當(dāng)/=3時，r=1,圓錐SO的外接球球心在直線S。上，圓錐的底面圓是球的截面小圓，而圓錐

的高50=，/一/=20,

設(shè)外接球半徑為R,則有(R-SO)2+，=R2,即(R—2/>+1=/?2,解得R=￡1,其表面積為

8

4兀R*=見工，C正確;

8

對于D,棱長為空的正四面體BOMN可以補(bǔ)形成正方體GB”￡>-MENE,如圖,

則正方體棱長==g，其外接球即正四面體BDMN的外接球直徑為血，球半徑

心也，

12

當(dāng)/=3時，r=b圓錐SO的內(nèi)切球球心在線段SO上，圓錐的軸截面截內(nèi)切球得大圓，是圓錐軸截面等

腰三角形內(nèi)切圓，

設(shè)其半徑為由三角形面積得：；｛(3+3+2)=gx2x2血，解得(=等，鳥=八,

因此，半徑為之的球在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，

2

而棱長為2巨的正四面體的外接球的半徑為幽x底=變，

3342

故棱長為拽的正四面體在半徑為也的球內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，

32

所以當(dāng)/=3時，棱長為迎的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，D正確.

3

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.

12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論

證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：

f+y2=|幻+|就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，如下結(jié)論中正確的是()

A.曲線C圍成圖形的周長是2071；

B.曲線C圍成的圖形的面積是2兀；

C.曲線C上的任意兩點間的距離不超過2；

D.若P(m,〃)是曲線C上任意一點，|3』+4〃-12|的最小值是I7一；立.

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)方程分析曲線C的性質(zhì)以及圖象，根據(jù)曲線C的性質(zhì)和圖象結(jié)合直線與圓的相關(guān)知識逐項分

析判斷.

【詳解】對于曲線C:x2+y2=|x|+1y|上任一點P(m,n),則加+,加?十??,

點P(〃?,〃)關(guān)于y軸對稱的點為P[,則(一根7+*=7n2+〃2_|m?+1H|-|_m|+1〃|,

即點6(一〃?,〃)在曲線C上，故曲線C關(guān)于y軸對稱；

點P(〃2,")關(guān)于X軸對稱點為鳥("?,一〃)，則加2+(_〃)2=裙+“2■川+|川=)“|+|一川，

即點￡(〃?,-〃)在曲線C上，故曲線C關(guān)于X軸對稱；

點名〃?,〃)關(guān)于原點對稱的點為《(一加,一〃),

則+(-"))=加+”?=|加|+|〃|=|,即點鳥(一加,一〃)在曲線C上，

故曲線C關(guān)于原點對稱；綜上所述：曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱.

對于方程V+y2+令y=0,則％2=國，解得x=()或尤=±1,

即曲線C與X軸的交點坐標(biāo)為A(l,o),(9(0,0),C(-l,0),

同理可得：曲線C與y軸的交點坐標(biāo)為3(0,1)。(0,0),。(0,-1),

當(dāng)時XNO,y^O,則+卜2=|幻+|田=》+卜,

整理得(x-g)+(y-J)=；,-0-ZAOB=90>

故曲線C在第一象限內(nèi)為以為圓心，半徑r=豐的半圓,

由對稱性可得曲線C為四個半圓外加坐標(biāo)原點,

對A：曲線C圍成的圖形的周長是L=4x,x2乃x

2

/

對B：曲線C圍成的圖形的面積S=4lxlxl+i

B錯誤;

22

(iy(iY_ir_cr

對C：聯(lián)立方程I2)L2)2,解得八或,

[y=0[y=l

Iy=x

即曲線c與直線y=x在第一象限內(nèi)的交點坐標(biāo)為"(U),

由對稱可知曲線c與直線y=x在第三象限內(nèi)的交點坐標(biāo)為N(-

則IMNh^(1+1)2+(1+1)2=2行>2，c錯誤；

對D：由圖結(jié)合對稱性可知：當(dāng)p(a,〃)在第一象限時，

,13m+4n-121|3m+4〃-12|

點P(m,n)到直線/:3x+4y—12=0的距離d=6+42=--------5-----相對較小，

?.?。/!力到直線/：3x+4y—12=0的距離“J3x；+4x：—121J,

l22j"5l=lo

則點P(m,n)到直線l:3x+4y-12=0的距離d24—r="—立，

1102

?'?I3〃z+4〃-12|=5d>'7-56,

故|3加+4〃-12|的最小值是“一5夜,口正確.

【點睛】（1）通過方程研究曲線的對稱性時，往往通過點的對稱證明曲線的對稱性；

（2）研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)

是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較.

第n卷（非選擇題）

三、填空題

13.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=」-,則在復(fù)平面上復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點坐標(biāo).

z-1

【答案】（1,1）.

【解析】

【分析】先化復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再根據(jù)共輾復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)幾何意義求結(jié)果.

【詳解】因為z=—=」——=l—=l+對應(yīng)點坐標(biāo)為（1,1）.

z-12

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運算，共甑復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

14.二項式（?—展開式中V項的系數(shù)是.

【答案】-9

【解析】

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得展開式中V項的系數(shù).

【詳解】解：二項式（、6-'）9展開式的通項公式為：

X

9-3r

2

可得廠=1,

展開式中V項的系數(shù)是<=-9,

故答案為：-9.

【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì).

7T

15.在RAABC中，NA=—,BC=9,以BC的中點為圓心，作直徑為3的圓，分別交BC于點P、

2

Q,則|+|+|+|AC『=

【答案】126

【解析】

【分析】

Q

由條件可得|A5|2+|AC|2=8i,AO=一,在AOP中，根據(jù)余弦定理得：

2

\APf=\AOf+\OPf-2\AO\-\OP\-cosZAOP,同理在△AOQ中，

|A2|2=|AO|2+1C)e|2-21A0|?|C)e|?cos,兩式相加得|+|AQr=45,然后即可算出答案.

【詳解】設(shè)BC的中點為。

71

因為在HAABC中，NA=—,BC=9

2

9

所以|+|AC『=81,=-

在4.AOP中，根據(jù)余弦定理得：|A/f=|AO『+|OP|2-2|AOHOP|-COSNAOP

同理在△A。。中，|AQ「=|AO『+|OQ「—2|AOHOQ|.COSZAOQ

因AAOP+/-AOQ=7V,所以cosZAQP=-cosNAOQ

99

,,,QI+

所以IA尸|2+1AQ『=21Aoi+|以P|+|以。|=2x—144-

所以|+|AQ『+1AC『=81+45=126

故答案為：126

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.已知xeR,符合國表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)/(x)=區(qū)-“有且僅有8個零點，則實數(shù)。的

X

取值范圍是.

【答案】、(，89]1“,98)、

【解析】

【分析】討論〃<0、〃>0研究〃?x<”+l且〃eZ、x#(),fM值域，再將原問題轉(zhuǎn)化為曠=區(qū)

x

與y=。恰好有8個交點，結(jié)合/(X)的值域端點值判斷a的取值范圍.

【詳解】設(shè)〃4x<〃+l且〃wZ、XHO,

當(dāng)〃<0時，一1W尤<0有g(shù)(x)=^=-^e[l,+8)；—2Wx<-l有g(shù)(x)=-2w[l,2)；—3<x<-2

XXx

有g(shù)(x)二一"?〃4x<〃+l有且(工)二:￡;

當(dāng)〃20時，Ovxvl有g(shù)(x)=0；1KXV2有g(shù)(x)=，￡[；,l；2<x<3有

g(")=H到一芯xo+i有g(shù)(x)=會〔缶琲

???要使/(%)=—~a有且僅有8個零點，即y=區(qū)與y=a恰好有8個交點,

Xx

8

當(dāng)“<0時，保證在一8<x<—7上g(x)w有交點，而在一94x<—8上g(x)e無交點，此

98

時只需一4a<—；

87

當(dāng)〃>0時，保證在8<x<9上g(x)eg,l有交點，而在94x<10上g(x)e[^,l無交點，此時只

8,9

需77<。<—；

910

綜上，“4臺嗎9

8998

-3

故答案為:9-W

8-7-

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)“Wx<〃+1且〃eZ、xoO,討論參數(shù)〃研究/(x)的值域，并將問題轉(zhuǎn)化為

/(x)與y=a恰好有8個交點的問題.

四、解答題

17.為進(jìn)一步保護(hù)環(huán)境，加強(qiáng)治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測部門對市區(qū)空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了市

區(qū)300天的空氣質(zhì)量等級與當(dāng)天空氣中SO?的濃度（單位：「ig/m”，整理數(shù)據(jù)得到下表:

SO2的濃度

[0,50](50,150](150475]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）84186

2（良）152124

3（輕度污染）92427

4（中度污染）33633

若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱這天“空

氣質(zhì)量不好”.

n^ad-bey

附：K2

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

冗）3.8416.63510.828

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表:

so2的濃度

[0,150](150475]合計

空氣質(zhì)量

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

合計

（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO?的濃度有關(guān)?

【答案】（1）表格見解析

（2）有99.9%的把握認(rèn)為該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO?的濃度有關(guān)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可得到列聯(lián)表:

(2)求出K?與臨界值比較即可判斷.

【小問1詳解】

由表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：

so2的濃度

[0,150](150475]合計

空氣質(zhì)量

空氣質(zhì)量好13830168

空氣質(zhì)量不好7260132

合計21090300

【小問2詳解】由⑴知300(138x6。-72,3。)二6.8>[0.828,

210x90x168x132

所以有99.9%的把握認(rèn)為該市一天的空氣質(zhì)量與當(dāng)天SO?的濃度有關(guān).

18.在.ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c.已知A=—,a=b=3c.

3

(1)求。的值；

(2)求sinB的值.

【答案】(1)c=l

6.*3月

(2)sinB------

26

【解析】

分析】(1)根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求解.

(2)由第一問知。=3c=3,再運用正弦定理求得sin8.

【小問1詳解】

因為合=/+。2-28ccosA，所以13=加+，2+匕小

因為6=3c,所以13=(3c)2+c?+3c?,解得c=l.

【小問2詳解】

ba，所以亮=解得sinB=芻M

由（1）可得Z?=3c=3.因為

sinBsinAsiny26

19.已知數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，其前”項和為S“.滿足§5-2生=25,且6,%，外恰為等比

數(shù)列｛〃｝的前三項.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛〃,｝的通項公式;

1"的前〃項和.是否存在keN*，使得等式1-2[=[成立，若存在，求出人的

（2）設(shè)）是數(shù)列

4

值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）%=2〃+1,2=3"；（

，』1

（2）不存在ZwN*，使得等式1一24=不成立.

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和前〃項和可得q=3,d=2,所以。，=2〃+1,由此求得%,%,63

即得等比數(shù)列的前三項，據(jù)此可得｛〃,｝的通項公式;

121311

（2）根據(jù)裂項求和法求得（，整理1-2或=獷可得§<1一2（《不，即丁二鏟^°5,因此不存

在左GN*,使得等式1—21=，?成立.

bk

【小問1詳解】

75x4、

5^+--d-2（4+d）=25

設(shè)等差數(shù)列｛”,｝的公差為4（［。0），所以八2）

（q+3-）2=4（%+12d）

解得q=3,d=2,所以a“=2〃+l,

<4=q=3,4=。4=9,，bn=3".

【小問2詳解】

1_1Jj1______

a〃a“+i（2H+1）（2H+3）2（2〃+12〃+3）'

2213

所以1-2T=—+單調(diào)遞減，得*<1—27；

k-2kM+3，[-2kM+3]315

所以不存在keN*，使得等式1-27；=—成立

20.如圖，ABC。與都是邊長為2的正三角形，平面MCD_L平面BCD,A3上平面BC。，

AB=26

（1）求點A到平面MBC的距離；

（2）求平面ACM與平面8c。所成二面角的正弦值.

【答案】（1）d=->J\5,（2）sin^=-

55

【解析】

【詳解】解法一：（1）等體積法.

取CO中點。，連。8,OM,則08=0例=6，OBLCD,M01CD.

又平面MCDL平面6CO,則M0,平面BCD,所以M0〃AB,M0〃平面ABC.M、0到平面ABC的距

離相等.

作。H_LBC于H,連MH,則

求得OH=OGcos30°=走，

2

即、2?叵4=石?立，

32322

解得d=2后.

(2)延長AM、8。相交于E,連CE、DE,CE是平面ACM與平面BCD的交線.

由(1)知，。是BE的中點，則BCEO是菱形.

作8ELEC于尸，連AF,則AFJ_EC,NAFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為夕

因為NBCE=120°,所以NBC尸=60°.

BF—2sin60=V3,

tan"*'sin°W

則所求二面角的正弦值為sin0=—

5

解法二：取CO中點O,連OB,OM,則

OBLCD,OMVCD.又平面MCD平面3。。,則MO_L平面BCD.

取。為原點，直線OC、BO、0M為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

由已知得。B=OM=G，則各點坐標(biāo)分別為c(1,0,0),M(0,0,拒)，B(0,一0，0),A(0,-

5/3，-垂))?

(1)設(shè)〃=(x,y,z)是平面MBC的法向量,則BC=(1,73,0),BM=(0,瓜百).

由〃J.BC得x+6y=0；

由〃_1_涿/得50=(1,6,0)?

取BA=(0,0,273),則

._\BA'n\_2y/3_2y/i5

(2)CM=(-1,0,73),CA=(-1,-73,273).

%J_CM-x+\/3z—0

設(shè)平面ACM的法向量為4=(x,y,z)，由｛得｛解得x二百z,y=Z,取

々_LCA~x-+2>/3z=0

“二(V3,U).又平面BCD的法向量為%=(0,0,1).

所以3伍/\'"%麗"=看1,

設(shè)所求二面角為e,則sine=￡￡

5

22

21.已知在。：0+方=1(。＞。＞0)上任意一點"(x0,九)處的切線為答+芳'=1，若過右焦點產(chǎn)

X2y-

的直線/交橢圓C:二+二=1于P,。兩點，已知在點P,Q處切線相交于G.

43

（1）求G點的軌跡方程；

（2）①若過點/且與直線/垂直的直線（斜率存在且不為零）交橢圓C于耳〃兩點，證明

11

|P01十|E"|為‘工值?

②四邊形EQHP的面積是否有最小值，若有請求出最小值：若沒有請說明理由.

【答案】（1）x=4；（2）①見解析；②亍.

【解析】

【分析】

（1）當(dāng)直線/的斜率不存在時，可直接求出點G,當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/：y=?x-1）,

。（斗弘）,。（孫必），6（玉），%），聯(lián)立丁,可得韋達(dá)定理，在根據(jù)題目直接求出切線方程，利

—I-=1

143

用根于系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡消元，即可得G點的軌跡方程；

（2）①利用弦長公式可得|PQ|,同理可得|附|,進(jìn)而化簡計算二；+丁工即可；②變形可得

|PQ|\EH\

1717

=

SEQ〃P=萬1PQ"EHl2_2'12F+12+25,利用基本不等式可得最值.

k2

【詳解】（1）由已知Q=2,/?==1,

當(dāng)直線/的斜率不存在，即直線/：X=1時,

過點—1，1］的切線為：即；+1=1⑴，

I2J43=42

過點的切線為：x~^2y1，即

I2ja42

聯(lián)立⑴⑵解得G（4,0）；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/：）=然》-1）,。（X|,y）,。（X2，%），6（玉）,％），

)=左(％_1)

聯(lián)立)2,消去y得（3+以2卜2一842工+必2-12=0,

—+^-=1

43

8公,z/8女21-6k

則為+%2=----（）------2=-----,

,-3+4/-,y5.+y%.=k\x,i+x..-2）=k（3+4/7J3+4/r

過點尸（看,yj的切線為：芋+掾=1,.?.竽+乎=1（3）,

過點Q（/,%）的切線為：子+管=1,.?.竽+號=1（4）,

⑶+⑷得&+々蟲+（獷功迎=2,

43

一6q

2

,Skx0,3+4?！?整理得22%—2軌=6+8/⑸,

4+4公3

⑶—⑷得（工巧）電+生=0,

43

整理得21二&

西一馬

區(qū)一21=0,因為當(dāng)+4。0,

2JVn

則號—2=0,