2024屆江蘇省南通等六市高三第一次模擬考試數學試題含答案

南通市2024川高三第一次調研測試

數學

注意事項：

1,■也前,號生務必和口己的姓名、準物E外加”在答的卡一匕

2.同答選界趣時，選小句小題答案后，川鉗地把答題卡上對應題II的答案標“徐

M.如需改動,用橡皮擦干凈后,川選涂其他外案標”?回答非選擇題時，將答案4在

答典卡上指定位置上，花共他位W.作答一?律無效。

3.本卷滿分為150分，考出時間為120分仲。與優(yōu)納火后，將本試卷和答題卡一

井交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|-2<x<3},5={0,1,2,3},則4nB=

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3）

2.已知z+f=8,z-z=6i,貝!!z==

A.25B.16C.9D.5

3.若向量a=（34）,6=（2，〃）,貝/"切=8"是"a〃方”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設{3}為等比數列，a2=2a4+3a6,則%二生=

02~~05

A.|B.|C.3D.9

5.從正方體的八個頂點中選擇四個頂點構成空間四面體，則該四面體不可熊

A.每個面都是等邊三角形

B.每個面都是直角三角形

C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形

D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形

數學試卷第1頁（共6頁）

6,已知削物"「*'2步<〃>o)川切于“點，則M到c的焦點距離為

A,1?1-2C.3D,4

7.己切臉數/(.，)ANVM數/'(x)的小義城均為(0,+s),芯*'(x)〈2/(x),則

A.4c?.f(2)<l6/(c)<c,/(4)H,cJ/(4)<4c2/(2)<16/(c)

C.c'/(4)<16/(c)<4c”2)I).I6/(C)<C2/(4)<4C2/(2)

8.某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形機架的工藝品，要求將一個邊長分別為10cm和

20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大

值為

A.20>/2cmB.306cmC.40VlemD.60-72cm

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次成績(單位：環(huán))，得到如下數據：

運動員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

則

A.甲成績的樣本極差小于乙成績的樣本極差

B.甲成績的樣本平均值等于乙成績的樣本平均值

C.甲成績的樣本中位數等于乙成績的樣本中位數

D.甲成績的樣本標準差小于乙成績的樣本標準差

10.設函數/(x)的定義域為R，/(x)為奇函數，/(l+x)=/(l-x),/(3)=1,則

A./(-1)=1B./(x)=/(4+x)

C./(x)=/(4-x)D.￡/(A)=-l

hl

數學試卷第2頁(共6頁)

UW/XAf+/+2.V-3-OI-.,點〃(0,1),0(1,2),則

A.存花點“，便訓A〃1?lII./MQpuq

C,存在點M,他川加/上“電|D,/僅卜何”/]

12.我國古代數學家川陽姓山?條胤州"-1B[網,則積不容外“，叩兩個等府的幾何體若

在所行凈高處的水平放血的而加川等，則這兩個幾何體的體枳相等，利川該原理可以

證明?一個底而半徑和高都等于K的I川柱，佗去一個以上底而為底而，下底面例心為

頂點的覘椎后，所得的幾何體的體積與一個半徑為火的半球的體枳相等，現行一個半

徑為/?的球，被一個跖離球心為d（d>0）的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別

為?，匕（匕<匕），則

A.K=?￡-d）2（2K+d）B.V2=^（R+2d）（2R-d）（3R+d）

C.當d=4時，尊=三D.當dW等時，萃》工

2V2213V220

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數/（x）=[等（：+2），x》T，則/（噫扣______.

[2-1,x<-l,3

14.已知。-1）（工+2）4=%+4/+?2/+。3丁+4/+。5工5，貝必2=，

al+a2+a3+a4+a5=.（注：第一空2分，第二空3分）

15.已知函數/（勸=2制0*+9（0>0）,若/（占）=/（々）=-6,|再-引的最小值為今，

則/6）=.

16.已知橢圓E:芋+[=1（°>6>0）的左、右焦點分別為耳，瑪，設尸,。是E上位于x軸

ab

上方的兩點，且直線尸6與然平行.若用，2|「闖=5|。段，則E的離心

率為_______.

數學試卷第3頁（共6頁）

四，解答，電本勵共6小共70分.解誓應寫出文字說明，證明過程或演算步賽。

17.（10分）

己知”兄1網恤/”的忒制汽儡CMMClhllWMl-.fttjA,PC-AB=2,4C=&，

e

平面ZMCfUTffilI'HC將凱你做人部分后的幾何體如圖所示.

（I）證明IOCJ.平

（2）求二面角”-/，8-C的余弦位.

18.(12分)

在ZU5C中，角4,3,C的對邊分別為a,6,c.已知tanB=±,tanC=\,fe=6.

54

(1)求4和c；

(2)若點。在4c邊上，S.BD2=AD2+CD1,求40.

於

數學試卷第4頁（共6頁）

19.(12分)

記正項數列{“J的而”型W為，￡,淌足I,四，為成等力數列,

(I)求的通訓公式?

(2)iQ集介4=,AeN',"eN'},求集合/f.

20.(12分)

已知雙曲線。：［-4=13>0,6>0)的左、右頂點分別為4(-2,0),8(2,0),離心率為

ab

坐.過點(4,0)的直線/與C的右支交于M,N兩點，設直線4M，BM,BN的斜率分別

"i'：r-ty.*■：

為匕，為,色?

⑴若令冬求6

(2)證明：—-+&)為定值.

數學試卷第5頁(共6頁)

21.（12分）

某桶場在元iiwinwiMj但球中箕桿功，度則加卜,,個相中〃大小和歷地相同的3個

紅球W5個門球，旬?他，州改從加中葡機MillJ個竦，為收出的3個球中至少盯2個

紅玲則依帆富中《.

⑴M:位一（俄次?加加即,求僅打外八位顧客中獎的概率，

（2）現〃偏1}為IF的"位顧內恢偏“順序依次參加M動，id*比比"位跌％中第一

「中獎#的偏I}.若無人中獎，則記￥=0,w.iyhK（X）＜1.

22.(12分)

?r*&；；?cir；fU?S/

已知函數/(x)=lnx-J.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若。>0，記9為/(x)的零點，m=J2a+1,〃=。+1?

①證明：m<xQ<n；

②探究/與"衛(wèi)的大小關系.

2

數學試卷第6頁（共6頁）

南通市2024屆高三第一次調研測試

數字2024.01.24

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上

指定位置上，在其他位置作答一律無效。

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交

回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|—2<x<3},5={0,1,2,3},則

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

2.己知z+z=8,z—z=6i,則z-z=

A.25B.16C.9D.5

3.若向量a=?,4）,b=（2,洶），則“川=8”是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設{斯}為等比數列,。2=2。4+3。6,則----=

a2—a5

11

A.-B.-C.3D.9

93

5.從正方體的八個頂點中選擇四個頂點構成空間四面體，則該四面體不可能

A.每個面都是等邊三角形

B.每個面都是直角三角形

C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形

D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形

6.已知直線y=x—1與拋物線C：x2=2處3>0）相切于M點，則"到C的焦點距離為

A.1B.2C.3D.4

數學試卷第1頁（共6頁）

7.已知函數加)及其導函數了(x)的定義域均為(0,+oo),若J(x)〈次C),則

A.4洌2)<1欣e)<e%4)B.e?<4e2/(2)<16Ae)

C.e^4)<16^e)<4e^2)D.16Ae)<e?<4eW)

8.某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品.要求將一個邊長分別為10cm

和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最

小值為

A.20A/^cmB.30-75cmC.40-75cmD.60y2cm

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次成績(單位：環(huán))，得到如下數據:

運動員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

則

A.甲成績的樣本極差小于乙成績的樣本極差

B.甲成績的樣本平均值等于乙成績的樣本平均值

C.甲成績的樣本中位數等于乙成績的樣本中位數

D.甲成績的樣本標準差小于乙成績的樣本標準差

10.設函數｛x)的定義域為R,於)為奇函數，｛1+幻=/(1—x),次3)=1,則

A.八一1)=1B.?=/(4+x)

18

C.?=y(4-x)D.E1AB=_1

11.已知點〃在圓N+儼+2x—3=0上，點尸(0,1),2(1,2),則

71

A.存在點使得=1B.NMQPW-

4

C.存在點使得=D.\MQ\=4i\MP\

12.我國古代數學家祖曬提出一條原理：“累勢既同，則積不容異”，即兩個等高的幾何體

若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.利用該原理可以

證明：一個底面半徑和高都等于尺的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為

頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等.現有一個半

徑為R的球，被一個距離球心為d(d>0)的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別為

數學試卷第2頁(共6頁)

%，%(%<%),則

7171

2

A.V\一d)(2R+d)B.V2=~(R+2d)(2R-d)(3R+d)

R—V5,R,%7

C.當rd=一時，—x=一D.當dW一時，」2—

2y2273匕20

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數加)=［粵廣2),工展汁，)則與哂；)=.

14.已知(％—貝九做=,。1+。2+的+

a4+a5=.(注：第一空2分，第二空3分)

15.已知函數人x)=2sin(ox+3(o>0)，若大XI)=#M)=-Ji，%一瀏的最小值為3則人3

428

xv

16.已知橢圓氏-+乙=1(46>0)的左、右焦點分別為尸1，尸2，設尸，。是E上位于x軸

ab

上方的兩點，且直線尸外與06平行.若4|尸分|=|°為，2\PF^=5\QF^,則￡的離心率

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知48是圓錐P。的底面直徑，C是底面圓周上的一點，PC=AB=2,/C=JI,平面

尸/C和平面尸8c將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

(1)證明：OCL平面尸48；

(2)求二面角A-PB-C的余弦值.

數學試卷第3頁(共6頁)

18.（12分）

31

在△48。中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c.已知taa8=—,tanC=-,b=6.

54

⑴求/和c；

(2)若點。在邊上，且+求/D

19.(12分)

記正項數列｛斯｝的前〃項和為S”，滿足1，心，?！俺傻炔顢盗?

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設集合/=｛川*=-------,左GN*,"GN*｝,求集合4

20.(12分)

XV

已知雙曲線C：一一乙=1(。>0,6>0)的左、右頂點分別為4(—2,0),5(2,0),禺心率

ab

為日.過點(4,0)的直線/與C的右支交于跖N兩點，設直線/跖BM,2N的斜率分別

為k\,后，/3?

(1)若后=彳，求心；

(2)證明：后肉+左3)為定值.

數學試卷第4頁(共6頁)

21.(12分)

某商場在元旦期間舉行摸球中獎活動，規(guī)則如下：一個箱中有大小和質地相同的3個紅

球和5個白球，每一位參與顧客從箱中隨機摸出3個球，若摸出的3個球中至少有2個紅球,

則該顧客中獎.

(1)若有三位顧客依次參加活動，求僅有最后一位顧客中獎的概率；

(2)現有編號為l~n的〃位顧客按編號順序依次參加活動，記X是這n位顧客中第一個

7

中獎者的編號，若無人中獎，則記X=0.證明：E^X)<~.

22.(12分)

已知函數7(x)=lnx—.

尤

(1)討論人x)的單調性；

(2)若a>0,記刈為./(無)的零點，加=，2。+1,?=?+1.

①證明：m<x0<n；

②探究x0與"U的大小關系.

2

數學試卷第5頁(共6頁)

南通市2024屆高三第一次調研測試

灼「mt

數字2024.01.24

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上

指定位置上，在其他位置作答一律無效。

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交

回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|—2<x<3},8={0,1,2,3},則/A8=

A.{-2,-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3)

【答案】C

【解析】JAB={0,1,2)，選析

2.已知z+z=8,z—z=6i,則2?z=

A.25B.16C.9D.5

【答案】A

【解析】2==8+6i,==4+3i,二?三=(4+3i)(4—3i)=25,選A.

3.若向量。=?,4),6=(2,么),則，〃=8"是ua//bn的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】￡〃石=沏=8,充要條件，選C.

6/4—6Z7

4.設{斯}為等比數列，°2=2。4+3。6，則----=

。2一。5

數學試卷第1頁(共6頁)

11

A.-B.-C.3D.9

93

【答案】B

【解析】a,=2%+3%，，l=2/+3/,；./=!,^^=^^-=/=:，選B.

3%-%-q3

5.從正方體的八個頂點中選擇四個頂點構成空間四面體，則該四面體不可能

A.每個面都是等邊三角形

B.每個面都是直角三角形

C.有一個面是等邊三角形，另外三個面都是直角三角形

D.有兩個面是等邊三角形，另外兩個面是直角三角形

【答案】D

【解析】D-84G每個面都是等邊三角形，A不選;

A-ORC；每個面都是直角三角形，B不選；

D-ABC.三個面直角，一個面等邊，C不選，選D.

6.已知直線y=x—1與拋物線C：x2=2加磔＞0)相切于"點，則M到C的焦點距離為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

[y=A--1,

【解析】2，消y可得f—2px+2P=0,

[x=2py

直線與拋物線相切，則4P2—陰=0,

：.p=2,A/(2,l),MF=yu+^-=l+\=2

7.己知函數段)及其導函數/(x)的定義域均為(0,+oo),若?、椤创蝐),則

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e汛4)<46漢2)<1卵)

數學試卷第2頁(共6頁)

c.e漢4)<1欣e)<4e漢2)D-1卿)—漢4)<4啾2)

【答案】C

【解析】方法一：礦(x)<2/(x)，[寫)<0,鼠刈=孝-g(x)在(0,+8)/

g(2)>g(e)>g(4)，，孥>至1>華，.?.4e2〃2)>16/(e)>e2/(4),選C

4e*16

方法二：/(x)=l,e2<16<4e2,選C

8.某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品.要求將一個邊長分別為10cm

和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最

小值為

A.20A/^cmB.300cmC.40-75cmD.60及cm

【答案】D

【解析】如圖￡F=10,FG=20

令NAEF=a，則/F=10sina,ZAFE=--a，則N8FG=a,

2

BF=20cosa,BG=20sina,Z.BGF=--a，貝!]NCG〃=a,CG=lOcostz

2

周長=2/1B+2BC=2(10sina+20cosa)+2(20sina+lOcosa)

=60sina+60cosa<60\/2，選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次成績(單位：環(huán))，得到如下數據：

運動員第1次第2次第3次第4次第5次

甲8791908993

乙8990918892

數學試卷第3頁(共6頁)

則

A.甲成績的樣本極差小于乙成績的樣本極差

B.甲成績的樣本平均值等于乙成績的樣本平均值

C.甲成績的樣本中位數等于乙成績的樣本中位數

D.甲成績的樣本標準差小于乙成績的樣本標準差

【答案】BC

【解析】甲的極差6,乙的極差4,A錯.

甲的平均數90,乙的平均數90,B對.

甲的中位數90,乙的中位數90,C對.

甲的標準差2,乙的標準差加,口錯，選BC.

10.設函數人X)的定義域為R,y(X)為奇函數，yu+x)=#l—X),{3)=1,貝|

A./-1)=1B.火x)=/(4+x)

18

c./x)=A4—x)D.E八左)=一1

【答案】ABD

【解析】/(X)為奇函數關于(0,0)對稱，/(l+x)=/(l-x)，則/(x)關于x=l對稱，

T

.??/(X)為周期函數上=1,.?.7=4,B對.

4

/(3)=/(-1)=1,A對J(x)關于(2,0)對稱，C錯.

18

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=-/(-I)+0+1+0=0,￡/(A)=/(l)+/(2)=-l,D對.

k=l

選ABD.

11.己知點M在圓x2+/+2x—3=0上，點尸(0,1),。(1,2),貝IJ

兀

A.存在點使得=1B.NMQPW-

4

C.存在點使得|必=圈。D.\MQ\=4i\MP\

【答案】ABD

【解析】圓：(x+l>+r=4,C(-l,0),r=2,CP=y[2,MPe[2-y/2,2+^2],

MP可取1,A對.

數學試卷第4頁(共6頁)

當。時與圓。相切時，NMQ尸取最大值，此時/時。p=工,:.￡MOP<-,B對.

~~4~4

對于D,MQ=yilMP=MQ2=2MP20(1)?+(y-2)2=2[x2+(j-l)2]

<=>x2+y2+2x-3=0,/.MQ=01MP一定成立，D對，C錯，選ABD.

12.我國古代數學家祖曬提出一條原理：“嘉勢既同，則積不容異”，即兩個等高的幾何體

若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.利用該原理可以

證明：一個底面半徑和高都等于五的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為

頂點的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個半徑為R的半球的體積相等.現有一個半

徑為R的球，被一個距離球心為d(d>0)的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別為

%,%(以<%),則

71兀

2

A.Ki="(7?-rf)(27?+t/)B.V2=~^R+2d)(2R-d)(3R+d)

R5RV1

C.當td=一時，一=——D.當tdW一時，一x2一

2%273y220

【答案】ACD

【解析】方法一：由祖暄原理知距離球心為d的平面截球錘子數學網課的下半部分的體積為圖

1中的距離。。2,為d的平面截圓柱挖掉圓錐后所得下半部分幾何體的體積

K=兀R?d--7rd2-d

卜K3

。1

\\=~-R3-7rR2d+g?！?鼻._3R2d+/)=A—d)2(2R+d),A正確.

數學試卷第5頁(共6頁)

對于B,K=-TTR3-—R3+兀R’d-=^-+兀R2d-0/,I;微/系數,

33333

顯然D錯.

R55459

乃33

寸

「

r于2R-n

汗

C乃

，/?-

-/=4-一---A

x213-238

2424

58

=——x—=W，C正確.

24927

D,F2=y(27?3+3R^d-J3)=1(7?+6/)2(2/?-1/),

.匕二(R—d)2(2R+d)I/[CRJ空=X

??匕(R+d)\2R-d)。+吟2(2-《)”A，

IR)I~~R)

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3

.丘_(l-xf(2+x)_X3-3X+2_-(3x-f+2)+4__^4

"v[~(l+xf(2-x)-3x+2-x3--3x-/+2—一―3x-f+2

f(x)=3x-x3+2,f'(x)=3-3x2>0,/(x)/

Af(x)</[=-+2=—,.-A>-l+^-=—,D正確.

(3)2727K8020

27

選:ACD.

方法二：IQ=TTR.'d——TTd3(同底等高)

Q1

匕=—乃川一兀Nd+_兀，=-(27?3-3Kd+/)=工(A—dp(2R+d),A對

數學試卷第6頁（共6頁）

217E

上冗3

V2=R+TTR2d--7rd^-(R+2d)(2R-d)(3R+d),B錯.

339

16

二十一枚2)

32

匕-7rR3+7rR2d--^d3R

2|-I+3--1

33

1x5

對于C二—fc對

16+12-127

對于D,公［,.亭3時,〃“：:1華+1）（第3）

3a2x+3r一1

/(X)=2X：―31+1/(0=工史】二!1>0

2x3+3x2-1'(2X3+3X2-1)2

7

/⑶在⑶+⑼/,/U)>/(3)=—,D^.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

臂+2）,七工，）則川舊尸

13.已知函數/（x）=

2

【答案】一4

J2

【解析】二3一1/一1二一￡

33

14.已知(％—1)(%+2)4=40+[1%+〃2%2+的％3+。4/+Q5r5,貝lj念,41+。2+的+

。4+。5.（注：第一空2分，第二空3分）

數學試卷第7頁（共6頁）

【答案】8;16

【解析】（x+2）*234=x4+8f+24M+32x+16,V的系數32-24=8（第一空）

x=0,-1x16=%，即/=-16;x-1,0=%+q+/+4+%+%.

二q+/+%+。4+%=16（第二空）

15.已知函數加)=2sin(ox+3(o>0)，若人工1)=人必)=一石，河一冽的最小值為,，則人3

428

【答案】G

【解析】2sin(/x,+：)=-VJ，,sin(0x,.+()=，“菁+3=：乃+2女乃或

<y=f0=

^7r+2k7r,k€Z,<y|x,-x2|>y,"',yy,"^'/(》)=2sin(|'X+￡)

/(i)=2sinfe+7)=2siny=7J-

XV

16.已知橢圓氏-+乙=l(4b>0)的左、右焦點分別為尸1，尸2，設尸，。是片上位于x軸

ab

上方的兩點，且直線尸Q與。B平行.若4|尸碎=10碎，2\PF2\=5\QF2\,則￡的離心率

為.

【答案】y

【解析】

54

PF2=-a,QF{=—a,cos/P￡&+cos/QEG=0,

,i416,”，

4c--a-+—er-4c~腐

.99_9____9_________￡=X1

+=0，

r15924°q3

Z--ci—ci2?—Q■—Cl

3333

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知48是圓錐P。的底面直徑，C是底面圓周上的一點，PC=AB=2,/C=JL平面

尸/C和平面P8C將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

數學試卷第8頁(共6頁)

(1)證明：OC，平面尸48；

(2)求二面角A-PB-C的余弦值.

【解析】

(1)證明：?,,c為底面圓周上一點，

/.CA1CB,又???dC=0,AB=2,:.BC=42

又；0為AB中點,:.OC1AB

又：POJL底面/8C,PO1OC,AB[}PO=O，二。CJ?平面P/18.

(2)如圖建系，?.?PO=V^T=百，二尸(0,0,百),8(0,1,0),C(l,0,0)

.?.麗=(o』,-G),5c=(i-i,o),

設平面P8C的一個法向量*=(xj,二)，.,」匚管=3.⑸)

而平面力尸5的一個法向量%=(1，°，°),

設二面角力-尸8-。平面角為0,顯然0為銳角，

同周V77

數學試卷第9頁(共6頁)

18.(12分)

31

在△45C中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c.己知tanB=-,tanC=-,6=6.

54

⑴求/和c；

(2)若點。在/C邊上，S.BD2=AD2+CD2,求ND

【解析】

數學試卷第10頁（共6頁）

17

,、，，-一、tanB+tan。on,

(1)tan/=-tan(8+C)=--------------=---^-=T

1-tan5tanC]_』

20

,37r.-1.?3

/.A=—,sine=-)=,sinB=-5=,

4V17V34

在中，——=—^―c=6xx—^==2\fl.

sinCsinB3J17

(2)設月。=x,:.CD=6-x,

BD2=8+.V2-2-2X&-^-^=X2+(6-X)2

n.v1-16x+28=0=x=2或14

?.10<x<6,:.x=2,即4。=2.

19.(12分)

記正項數列｛?！埃那啊椇蜑镾“，滿足1,6，即成等差數列.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設集合/=｛左底=-------,左CN*,"GN*｝,求集合力.

【解析】

(1)V1,后，凡成等差數列，:.4+1=2區(qū),4s.=4+1)2①,

4s向=(一+1)2②，

數學試卷第11頁（共6頁）

②-①=>4an+l=點-a；+2an+l-2an,：.-2an+l-2an=0,

(%+%)-2(%+a,,)=0,

?.q>0,.,?％-4“=2且4q=(q+l)2,=1,

〃”=1+2(/?—1)=2/7—1.

(2)由4=^1=(2〃+建2〃+5)=(2〃-1)2+8(2〃一1)+12=2〃+7+_11_

*an2//-12n-\2n-\

???4為正奇數，.??只需7rJ為正偶函數即可.

2/?-1

12

-------=2,4,6,12，,〃=2或〃=1

2/7-1

當〃=1時，2&-1=21,衣=11;〃=2時，2A-1=15,女=8

.-./<={8,11}.

20.(12分)

XV

已知雙曲線C：一一-=1(67>O,6>0)的左、右頂點分別為力(-2,0),8(2,0),離心率

ab

過點(4,0)的直線/與C的右支交于M,N兩點，設直線NN,BM,8N的斜率分別

為k\,左2,人3.

(1)若左2=￥，求左3；

(2)證明：句為+左3)為定值.

【解析】

a=2

(1)由題意知￡=至：，雙曲線：。V=L

a2[Z>=14

2

Q2+/=C

設直線MV的方程為x=〃?y+4,M(X],y}),N(x2ty2),

x=my+4

=>(m2-4)y2+8〃9+12=0

x2-4y2=4

數學試卷第12頁(共6頁)

g_Ji%

?,八'/t?一'—_K—

■-V)-2.V,-2(〃沙|+2)(my2+2)nry{y2+2/〃(7+%)+4

12

二________“戶-4__________2■-L=3?k=--

⑵〃2.一8〃？/4，?22'32'

----+2m■-----+4

nr-4nr-4

、￡1__|

(2)3=上.人=4右」

-X[+2X]—2X]-4玉一44

131

.*.k、(k\+肚3)=---------=----為定值.

442

21.(12分)

某商場在元旦