2023-2024學(xué)年江蘇南京江浦高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇南京江浦高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，則該三棱柱外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則（）A．6 B．5 C．4 D．33．在△ABC中，，,．的值為()A． B． C． D．4．在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為．若，則是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形6．已知m，n表示兩條不同直線(xiàn)，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢． B． C． D．8．用區(qū)間表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，設(shè)，若方程有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若,則角的值為（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．36二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓的圓心在直線(xiàn)上，半徑為，若圓上存在點(diǎn)，它到定點(diǎn)的距離與到原點(diǎn)的距離之比為，則圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是__________．12．執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的是，則輸出的值是．13．如圖是甲、乙兩人在10天中每天加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖，若這10天甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則______.14．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.15．?dāng)?shù)列中，，以后各項(xiàng)由公式給出，則等于_____.16．已知平行四邊形的周長(zhǎng)為，，則平行四邊形的面積是_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)（其中）.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.18．已知函數(shù)(1)求的最值、單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的值.19．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求;（2）若，求.20．向量，，，函數(shù)．（1）求的表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)中畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的草圖；（2）若方程在上有兩個(gè)根、，求的取值范圍及的值．21．在中，已知點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，邊上的高所在直線(xiàn)的方程為.（1）求直線(xiàn)的方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

設(shè)球心為，的中心為，求出與，利用勾股定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】設(shè)球心為，的中心為，則，，球的半徑，所以球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球問(wèn)題，球的表面積公式，屬于中檔題.2、D【解析】

由眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可確定，題中中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這樣可計(jì)算出．【詳解】由甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，得，乙組數(shù)據(jù)中間兩個(gè)數(shù)分別為6和，所以中位數(shù)是，得到，因此.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握眾數(shù)與中位數(shù)的定義是解題基礎(chǔ)．3、B【解析】

由正弦定理列方程求解?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜傻茫海裕獾茫?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題。4、D【解析】

根據(jù)正弦定理，將等式中的邊a,b消去，化為關(guān)于角A,B的等式，整理化簡(jiǎn)可得角A,B的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形．【詳解】由題得，整理得，因此有，可得或，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，有，為直角三角形，故選D．【點(diǎn)睛】這一類(lèi)題目給出的等式中既含有角又含有邊的關(guān)系，通常利用正弦定理將其都化為關(guān)于角或者都化為關(guān)于邊的等式，再根據(jù)題目要求求解．5、A【解析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，則，即，即，解得，所以為等腰三角形，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，以及三角形形狀的判定，其中解答中熟練應(yīng)用正弦定理的邊角互化，合理利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】試題分析：線(xiàn)面垂直，則有該直線(xiàn)和平面內(nèi)所有的直線(xiàn)都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系．7、B【解析】

依次判斷各個(gè)函數(shù)的值域，從而得到結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)：值域?yàn)?，錯(cuò)誤選項(xiàng)：值域?yàn)椋_選項(xiàng)：值域?yàn)椋e(cuò)誤選項(xiàng)：值域?yàn)?，錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查初等函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由方程的根與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，作圖觀察y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，即可得解.【詳解】方程{x}+kx﹣1＝0有且只有3個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于y＝{x}的圖象與y＝﹣kx+1的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}＝x，當(dāng)1≤x＜2時(shí)，{x}＝x﹣1，當(dāng)2≤x＜3時(shí)，{x}＝x﹣2，當(dāng)3≤x＜4時(shí)，{x}＝x﹣3，以此類(lèi)推如上圖所示，實(shí)數(shù)k的取值范圍為：k，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（，]，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根與函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．9、C【解析】

根據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，根據(jù)的范圍求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求n【詳解】因?yàn)镾3而a1所以6Snn【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因?yàn)閳A心在直線(xiàn)上，設(shè)圓心，則圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查了圓的方程，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、兩圓的位置關(guān)系、解不等式等知識(shí)的綜合運(yùn)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，解答中根據(jù)題設(shè)條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，列出不等式上解答的關(guān)鍵.對(duì)于直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，要熟記有關(guān)圓的性質(zhì)，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用.12、24【解析】

試題分析：根據(jù)框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，依次；；；．跳出循環(huán)輸出．考點(diǎn)：算法程序框圖．13、44.5【解析】

由莖葉圖直接可以求出甲的中位數(shù)和乙的平均數(shù)，求和即可．【詳解】由莖葉圖知，甲加工零件個(gè)數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)．14、.【解析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，15、【解析】

可以利用前項(xiàng)的積與前項(xiàng)的積的關(guān)系，分別求得第三項(xiàng)和第五項(xiàng)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，數(shù)列中，，且，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中熟練的應(yīng)用遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)，根據(jù)條件可以求出，兩邊平方可以得到關(guān)系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的關(guān)系式，聯(lián)立求出的值，過(guò)作垂直于，設(shè)，則可以表示，利用勾股定理，求出的值，確定長(zhǎng)，即求出平行四邊形的面積【詳解】設(shè)又，由余弦定理將代入，得到將（2）代入（1）得到可以解得：(另一種情況不影響結(jié)果)，過(guò)作垂直于，設(shè),則，所以填寫(xiě)【點(diǎn)睛】幾何題如果關(guān)系量理清不了，可以嘗試作圖，引入相鄰邊的參數(shù)，通過(guò)方程把參數(shù)求出，平行四邊形問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)槿切螁?wèn)題，進(jìn)而把問(wèn)題簡(jiǎn)單化.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）先由，將不等式化為，直接求解，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到恒成立，根據(jù)含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理，得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，求不等式，即為，所以，即或，原不等式的解集為或.（2）不等式,即為，即關(guān)于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，熟記不等式的解法，以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.18、（1），，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）函數(shù)，得最大值為，并解不等式，得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由平移變換、伸縮變換得到函數(shù)，再把代入求值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）的圖象向左平移個(gè)單位得：，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得：，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象變換等知識(shí)，對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行綜合考查.19、（1）；（2）.【解析】

（1）對(duì)等式兩邊同時(shí)平方，利用平面向量數(shù)量積的定義以及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可以求出；（2）根據(jù)兩個(gè)非零向量互相垂直等價(jià)于它們的數(shù)量積為零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【詳解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【點(diǎn)睛】本題考查了求平面向量模的問(wèn)題，考查了兩個(gè)非零平面向量互相垂直的性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算性質(zhì).20、（1），見(jiàn)解析（2）或，或．【解析】

（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式，輔助角公式即可求出的表達(dá)式，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法或者平移法即可作出其在上的草圖；（2）依題意知，函數(shù)在上的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可求出的取值范圍及的值．【詳解】（1）依題知，．將正弦函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即可得到的圖象，截取的部分即得，如圖所示：（2）依題可知，函數(shù)在上的圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，可知，或，當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以；當(dāng)時(shí)，兩交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以．故或，或．【點(diǎn)睛】本題主