自動(dòng)控制原理 課件全套 王軍 第1-7章 緒論、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散控制系統(tǒng)

1《自動(dòng)控制原理》

第一章緒論2參考資料王軍，劉棟博，宋瀟瀟，舒欣梅，侯思穎，高秀梅.自動(dòng)控制原理（第2版）.機(jī)械工業(yè)出版社，2024年.胡壽松主編.自動(dòng)控制原理（第7版）.科學(xué)出版社，2019年.鄭大鐘主編.線性系統(tǒng)理論基本教程.清華大學(xué)出版社，2022年.KatsuhikoOgata著，盧伯英等譯，現(xiàn)代控制工程（ModernControlEngineering）（第5版），電子工業(yè)出版社出版，2011年.鄒伯敏主編，自動(dòng)控制理論，機(jī)械工業(yè)出版社，2020.自動(dòng)控制原理相關(guān)習(xí)題集等.31.1自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念

1.3開環(huán)控制與閉環(huán)控制系統(tǒng)

1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類1.5對(duì)控制系統(tǒng)的性能要求1.2自動(dòng)控制理論的發(fā)展41.1自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念“標(biāo)準(zhǔn)清晰度”大腦手收音機(jī)“實(shí)際清晰度”耳收聽電臺(tái)節(jié)目時(shí)人的控制過程一、控制

為達(dá)到某一目的而施加的作用。5液面位置的人工控制過程第一節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念6Desiredtemperaturefurnacethermometergasmixervalveairoperator第一節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念7第一節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念二、自動(dòng)控制就是指在脫離人的直接干預(yù)，利用控制裝置（簡(jiǎn)稱控制器）使被控對(duì)象（或生產(chǎn)過程等）的某一物理量（如溫度、壓力、PH值等）準(zhǔn)確地按照預(yù)期的規(guī)律運(yùn)行。8三、自動(dòng)控制系統(tǒng)是指實(shí)現(xiàn)上述控制目的，由相互制約的各部分按一定規(guī)律組成的具有特定功能的整體。第一節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念液面位置的自動(dòng)控制過程﹣U﹢U減速器水位H水槽入水量出水量電機(jī)浮子9GasMixerAirValveMotorAmplifierUTPotentiometerURAmplifierFurnaceThermocouple第一節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)一般概念101.2自動(dòng)控制理論的發(fā)展和應(yīng)用1、經(jīng)典控制理論

2、現(xiàn)代控制理論

3、大系統(tǒng)理論

4、智能控制理論線性控制系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)自動(dòng)控制理論是研究自動(dòng)控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。既是一門古老的、已臻成熟的學(xué)科，又是一門正在發(fā)展的、具有強(qiáng)大生命力的新興學(xué)科。從1868年馬克斯威爾（J.C.Maxwell）提出低階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)至今一百多年里，自動(dòng)控制理論的發(fā)展可分為四個(gè)主要階段：111、經(jīng)典控制理論

研究的主要對(duì)象是單輸入、單輸出——單變量系統(tǒng)。如：調(diào)節(jié)電壓改變電機(jī)的速度；調(diào)整方向盤改變工程汽車的運(yùn)動(dòng)軌跡等。

2、現(xiàn)代控制理論研究的主要對(duì)象是多輸入、多輸出——多變量系統(tǒng)。

如，汽車看成是一個(gè)具有兩個(gè)輸入（駕駛盤和加速踏板）和兩個(gè)輸出（方向和速度）的控制系統(tǒng)。計(jì)算機(jī)科學(xué)地發(fā)展，極大地促進(jìn)了控制科學(xué)地發(fā)展。12

3、大系統(tǒng)控制理論

大系統(tǒng)控制理論是一種過程控制與信息處理相結(jié)合的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)工程理論，研究的對(duì)象具有規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、功能綜合、目標(biāo)多樣、因素眾多等特點(diǎn)。它是一個(gè)多輸入、多輸出、多干擾、多變量的系統(tǒng)。

如：人體，我們就可以看作為一個(gè)大系統(tǒng)，其中有體溫的控制、情感的控制、人體血液中各種成分的控制等等。

大系統(tǒng)控制理論目前仍處于發(fā)展階段。

134、智能控制這是近年來(lái)新發(fā)展起來(lái)的一種控制技術(shù)，是人工智能在控制上的應(yīng)用。它的指導(dǎo)思想是依據(jù)人的思維方式和處理問題的技巧，解決那些目前需要人的智能才能解決的復(fù)雜的控制問題。 學(xué)派：結(jié)構(gòu)派和功能派它是一門新興的控制學(xué)科，有些問題尚存有爭(zhēng)議，然而由于它實(shí)用性強(qiáng)，能運(yùn)用人們的經(jīng)驗(yàn)與技巧解決許多以往控制中難以解決的棘手問題（如建模等），因此得到了人們極大的重視。

14自動(dòng)控制理論應(yīng)用航空過程控制航天日常生活運(yùn)動(dòng)控制無(wú)處不在提高產(chǎn)量，降低成本提高精度、可靠性151.3開環(huán)控制與閉環(huán)控制系統(tǒng)輸出不影響輸入，對(duì)輸出不需要測(cè)量，通常容易實(shí)現(xiàn)；組成系統(tǒng)的元部件精度高，系統(tǒng)的精度才能高；系統(tǒng)的穩(wěn)定性不是主要問題；一、開環(huán)控制：開環(huán)控制是指控制器與被控對(duì)象之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系的控制過程。主要特點(diǎn)：控制方式：按給定值操縱。信號(hào)由給定值至輸出量單向傳遞。一定的給定值對(duì)應(yīng)一定的輸出量。系統(tǒng)的控制精度取決于系統(tǒng)事先的調(diào)整精度。對(duì)于工作過程中受到的擾動(dòng)或特性參數(shù)的變化無(wú)法自動(dòng)補(bǔ)償。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉，多用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)穩(wěn)定和擾動(dòng)信號(hào)較弱的場(chǎng)合,如自動(dòng)售貨機(jī)，自動(dòng)報(bào)警器，自動(dòng)流水線等。

控制器被控制對(duì)象給定值輸出量按給定值控制的原理方框圖16閉環(huán)控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)17輸出影響輸入，所以能削弱或抑制干擾；低精度元件可組成高精度系統(tǒng)；因?yàn)榭赡馨l(fā)生超調(diào)，振蕩，所以穩(wěn)定性很重要。二、閉環(huán)控制：是指控制器與控制對(duì)象之間既有順向作用又有反向聯(lián)系的控制過程。主要特點(diǎn)：控制方式：反饋控制，反饋按反饋極性的不同分成兩種形式：正反饋，負(fù)反饋。我們所講述的反饋系統(tǒng)如果無(wú)特殊說明，一般都指負(fù)反饋?？刂破鞅豢刂茖?duì)象輸入量輸出量閉環(huán)控制典型方框圖擾動(dòng)-18被控對(duì)象：要求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的機(jī)器，設(shè)備或生產(chǎn)過程。控制器：對(duì)被控對(duì)象起控制作用裝置的總體。比較元件：將輸入量與反饋量進(jìn)行比較，得到偏差信號(hào)。檢測(cè)元件（測(cè)量元件）：檢測(cè)輸出量，并轉(zhuǎn)化成與輸入量同一物理量信號(hào)?？刂破鞅豢貙?duì)象測(cè)量元件-擾動(dòng)N(s)三、閉環(huán)系統(tǒng)的組成基本的物理量：輸出量：表現(xiàn)于控制對(duì)象或系統(tǒng)輸出端，并要求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的物理量。輸入量：作用于控制對(duì)象或系統(tǒng)輸入端，并可使系統(tǒng)具有預(yù)定功能或預(yù)定輸出的物理量。擾動(dòng)：所有妨礙控制量對(duì)被控量按要求進(jìn)行正?？刂频囊蛩?，稱為干擾量或擾動(dòng)量。19三、閉環(huán)系統(tǒng)的組成由上述舉例表明，盡管控制系統(tǒng)不同，復(fù)雜各異，但基本組成是類同的，即閉環(huán)系統(tǒng)的基本組成為：(1)比較元件；(2)放大元件；(3)執(zhí)行元件；(4)校正元件；(5)被控對(duì)象；(6)測(cè)量元件。放大器串聯(lián)校正變換放大執(zhí)行元件被控對(duì)象測(cè)量元件并聯(lián)校正--20舉例1:溫控系統(tǒng)——自動(dòng)控制

控制目標(biāo)：要求爐子的溫度恒定在期望的數(shù)值上。電壓放大器功率放大器Eru+_+_爐子熱電偶電熱絲給定信號(hào)電動(dòng)機(jī)減速器調(diào)壓器220+_電壓放大器功率放大器電機(jī)、減速器、調(diào)壓器爐子熱電偶_實(shí)際溫度期望溫度控制過程：211.4自動(dòng)控制系統(tǒng)的分類一、按描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不同來(lái)分類

1、線性系統(tǒng)

特點(diǎn)：系統(tǒng)由線性元件構(gòu)成，描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為線性微分方程。運(yùn)動(dòng)方程一般形式：

式中：r(t)——系統(tǒng)輸入量；c(t)——系統(tǒng)輸出量

主要特點(diǎn)是具有疊加性和齊次性。222、非線性系統(tǒng)

特點(diǎn)：在構(gòu)成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)中有一個(gè)或一個(gè)以上的非線性環(huán)節(jié)。

非線性的理論研究遠(yuǎn)不如線性系統(tǒng)那么完整，目前尚無(wú)通用的方法可以解決各類非線性系統(tǒng)。

二、系統(tǒng)按給定信號(hào)的特點(diǎn)分類

1、恒值控制系統(tǒng)

特點(diǎn)：輸入信號(hào)是一個(gè)恒定的數(shù)值。如工業(yè)過程中恒溫、恒壓、恒速等控制系統(tǒng)。

2、程序控制系統(tǒng)

系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)不是常值，而是事先確定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，編成程序裝在輸入裝置中，即控制輸入信號(hào)是事先確定的程序信號(hào)，控制的目的是使被控對(duì)象的被控量按照要求的程序動(dòng)作。如數(shù)控車床就屬此類系統(tǒng)。253、隨動(dòng)系統(tǒng)（或稱伺服系統(tǒng)）25如雷達(dá)天線的自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)和高炮自動(dòng)描準(zhǔn)系統(tǒng)就是典型的隨動(dòng)系統(tǒng)。輸入量是一個(gè)事先無(wú)法確定的任意變化的量，要求系統(tǒng)的輸出量能迅速平穩(wěn)地復(fù)現(xiàn)或跟蹤輸入信號(hào)的變化。26三、按系統(tǒng)傳輸信號(hào)的性質(zhì)來(lái)分類

1、連續(xù)系統(tǒng)

特點(diǎn)：系統(tǒng)各部分信號(hào)都是模擬的連續(xù)函數(shù)。目前工業(yè)中普遍采用的常規(guī)儀表PID調(diào)節(jié)器控制的系統(tǒng)。

2、離散系統(tǒng)

特點(diǎn)：系統(tǒng)的某一處或幾處信號(hào)以脈沖序列或數(shù)碼形式傳遞的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)中用脈沖開關(guān)或采樣開關(guān)，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散信號(hào)。其中離散信號(hào)以脈沖形式傳遞的系統(tǒng)又叫脈沖控制系統(tǒng)，離散信號(hào)以數(shù)碼形式傳遞的系統(tǒng)又叫數(shù)字控制系統(tǒng)。27蒸汽發(fā)電機(jī)協(xié)調(diào)控制（計(jì)算機(jī)控制）預(yù)期的氧氣含量、溫度、壓力、發(fā)電量給水燃料空氣28其他的分類方法：

按功能來(lái)分：溫度控制系統(tǒng)、速度控制系統(tǒng)、位置控系統(tǒng)等。

按元件組成分：機(jī)電系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等。291.5對(duì)控制系統(tǒng)的性能要求對(duì)控制系統(tǒng)性能的要求概括為三方面:1、穩(wěn)定性控制系統(tǒng)運(yùn)行的必要條件，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能工作的。2、穩(wěn)態(tài)性能過渡過程結(jié)束，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)的控制精度的度量。3、瞬態(tài)（暫態(tài)）性能

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的快速性，系統(tǒng)的過渡過程越短越好。為了實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的基本任務(wù)，必須對(duì)系統(tǒng)在控制過程中表現(xiàn)出來(lái)的行為提出要求。對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求，通常是通過系統(tǒng)對(duì)特定輸入信號(hào)的響應(yīng)來(lái)滿足的。例如，用單位階躍信號(hào)的過渡過程及穩(wěn)態(tài)的一些特征值來(lái)表示。30

系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用后自動(dòng)返回原來(lái)的平衡狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用（系統(tǒng)內(nèi)或系統(tǒng)外）后，能自動(dòng)返回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特征是其輸出量具有非發(fā)散性；反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。

一、穩(wěn)定性31二、穩(wěn)態(tài)誤差

指穩(wěn)定系統(tǒng)在完成過渡過程后的穩(wěn)態(tài)輸出偏離希望值的程度。開環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常與系統(tǒng)的增益或放大倍數(shù)有關(guān)，而反饋控制系統(tǒng)（閉環(huán)系統(tǒng)）的控制精度主要取決于它的反饋深度。穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)的精度越高，它由系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映出來(lái)。穩(wěn)態(tài)誤差=輸出希望值-實(shí)際值

32單位階躍響應(yīng)仿真MATLAB模型仿真輸出1+△1-△

ts

tp

tr

三、瞬態(tài)（暫態(tài)）性能33

超調(diào)量

它是說明系統(tǒng)阻尼性即振蕩性的，阻尼大則振蕩小。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)而言，第一次超調(diào)量為輸出最大超調(diào)量，取其為性能指標(biāo)之一，即：

過渡過程時(shí)間ts

系統(tǒng)達(dá)到給定△區(qū)所需的時(shí)間。這個(gè)指標(biāo)反映系統(tǒng)的慣性，即暫態(tài)響應(yīng)速度。三、瞬態(tài)（暫態(tài)）性能34謝謝大家！35《自動(dòng)控制原理》

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型362.1控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程式

2.3結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.4信號(hào)流圖自動(dòng)控制理論以自動(dòng)控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，無(wú)論是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析還是對(duì)校正裝置進(jìn)行綜合，都需要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。所謂數(shù)學(xué)模型是指能夠描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是惟一的。線性定常連續(xù)系統(tǒng)，常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程和傳遞函數(shù)。2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.1.1建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

實(shí)驗(yàn)法：通過實(shí)驗(yàn)對(duì)系統(tǒng)在已知輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量，利用模型辨識(shí)方法，來(lái)建立反映輸入量和輸出量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。解析法：通過分析控制系統(tǒng)的工作原理，利用系統(tǒng)各組成部分所遵循的物理學(xué)基本定律來(lái)建立變量之間的關(guān)系式。建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有解析法和實(shí)驗(yàn)法兩種用解析法建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1、確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2、根據(jù)各環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的工作要求及其所遵循的基本客觀規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組；3、消除中間變量，并將方程標(biāo)準(zhǔn)化。例2.1確定下圖中RCL電路的微分方程。2.1.2舉例

解：（1）確定輸入和輸出量（2）建立微分方程（3）消除中間變量，使方程標(biāo)準(zhǔn)化，得到這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。2.1.2舉例

例2.2確定力學(xué)系統(tǒng)的微分方程2.1.2舉例

（1）確定輸入量和輸出量（2）創(chuàng)建微分方程組：根據(jù)牛頓第二定律得到其中2.1.2舉例

（3）消除中間變量得到，使方程標(biāo)準(zhǔn)化。該機(jī)械模型也是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程。2.1.2舉例

兩個(gè)例題屬于不同類型系統(tǒng)，但可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型，這些具有形式相同數(shù)學(xué)模型的相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，當(dāng)這些相似系統(tǒng)中相似的參數(shù)取同樣的數(shù)值、輸入變量具有相同的函數(shù)形式時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)輸出量的變化規(guī)律是相同的。我們將此類系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。2.1.2舉例

練習(xí)1如圖所示由質(zhì)量、彈簧和阻尼器構(gòu)成得機(jī)械位移系統(tǒng)。其中m為物體的質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的阻尼系數(shù)。要求確定外力F(t)為輸入量，位移y(t)為輸出量時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)m2.1.2舉例

解：消去中間變量并將所得方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，有根據(jù)牛頓第二定律，可以寫出物體的受力平衡方程為2.1.2舉例

2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)經(jīng)典控制理論的重要研究方法——根軌跡分析法和頻域分析法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的。傳遞函數(shù)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)最重要的數(shù)學(xué)模型之一，是數(shù)學(xué)模型在復(fù)頻域內(nèi)的表示形式。利用傳遞函數(shù)，不必求解微分方程就可以求取零初始條件下的系統(tǒng)在任意形式輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，還可以研究結(jié)構(gòu)和參數(shù)的變化對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2.2.1傳遞函數(shù)的定義n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為得到例2.4求解例2.1中RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：微分方程為：對(duì)其進(jìn)行拉氏變化，得到：則傳遞函數(shù)為：2.2.1傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)把輸入轉(zhuǎn)換為輸出的傳遞關(guān)系。傳遞函數(shù)和微分方程可以相互轉(zhuǎn)換。Laplace變量s可以看成是微分算子，即同理積分算子是2.2.1傳遞函數(shù)的定義練習(xí)2將例2.2中的微分方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)的形式。2.2.1傳遞函數(shù)的定義解：對(duì)其進(jìn)行拉氏變化，得到：則傳遞函數(shù)為：2.2.1傳遞函數(shù)的定義練習(xí)3已知控制系統(tǒng)的微分方程為求出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在零初始條件下，對(duì)微分方程式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，可求得故控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：2.2.1傳遞函數(shù)的定義2.2.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)1、傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，只適用于線性定常系統(tǒng)。2、傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的中間變量。3、傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的內(nèi)部固有動(dòng)態(tài)特性。4、傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的物理性質(zhì)。5、傳遞函數(shù)的分母部分決定著系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。6、傳遞函數(shù)可用零-極點(diǎn)的方式進(jìn)行表示是傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的零點(diǎn);是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也稱環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在很大程度上決定了系統(tǒng)的性能。2.2.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)自動(dòng)控制系統(tǒng)是由一些元件或裝置組合而成的，這些有著不同物理結(jié)構(gòu)和作用原理的元件裝置卻可能具有相同的傳遞函數(shù)，也就具有了相同的動(dòng)態(tài)性能。從方便研究控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的角度考慮，我們可以按照傳遞函數(shù)的形式去劃分環(huán)節(jié)。線性定常系統(tǒng)中的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成一定比例，時(shí)域中的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)代數(shù)方程比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)應(yīng)用廣泛，實(shí)際中線性電位器，旋轉(zhuǎn)變壓器等都可以近似地認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)不失真，輸出信號(hào)成正比的復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。實(shí)現(xiàn)的電路一階慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系為一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

2、慣性環(huán)節(jié)urR0R1u1CR0實(shí)現(xiàn)的電路

慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是具有一個(gè)儲(chǔ)能元件，輸出信號(hào)不能瞬時(shí)完成與輸入信號(hào)完全一致的變換。在單位階躍輸入信號(hào)，輸出信號(hào)將按照指數(shù)曲線上升。

慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的，是非周期過程，因而也稱慣性環(huán)節(jié)為非周期環(huán)節(jié)。積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的積分。時(shí)域中輸出量和輸入量之間的關(guān)系表示為積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)T

為積分時(shí)間常數(shù)3、積分環(huán)節(jié)urR0u1C實(shí)現(xiàn)的電路在單位階躍輸入信號(hào)，輸出信號(hào)如圖所示：積分環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的積分成正比，當(dāng)輸入突變時(shí)，輸入要延遲時(shí)間后才等于輸入；若輸入為零，輸出將保持輸入變成零時(shí)刻的值不變。純微分環(huán)節(jié)的微分方程為純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

是微分時(shí)間常數(shù)4、微分環(huán)節(jié)當(dāng)輸入量為單位階躍響應(yīng)時(shí)，理想的純微分環(huán)節(jié)是當(dāng)t=0

時(shí)，其微分環(huán)節(jié)輸出為一個(gè)面積為，幅值為無(wú)窮大，寬度為零的理想脈沖。純微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中是得不到的，因?yàn)樵趯?shí)際系統(tǒng)或元件中慣性是普遍存在的，所以實(shí)際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性。其傳遞函數(shù)為實(shí)用的一階微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為純微分環(huán)節(jié)是輸出與輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的響應(yīng)成正比，反映了輸入信號(hào)的變化率。振蕩環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系為振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)ξ-阻尼系數(shù)或阻尼比；T-時(shí)間常數(shù)

為無(wú)阻尼自然振蕩頻率5、振蕩環(huán)節(jié)當(dāng)輸入量為單位階躍響應(yīng)時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)具有振蕩的特點(diǎn)，因阻尼系數(shù)的不同，而具有不同的振蕩形式。例2.1中的RLC網(wǎng)絡(luò)為振蕩環(huán)節(jié)的例子。純滯后環(huán)節(jié)的輸出量在經(jīng)過延遲時(shí)間后復(fù)現(xiàn)輸入量，其動(dòng)態(tài)方程為純滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

是滯后時(shí)間常數(shù)6、純滯后環(huán)節(jié)輸入為階躍響應(yīng)時(shí)，純滯后環(huán)節(jié)的響應(yīng)曲線如圖純滯后環(huán)節(jié)的輸出在延遲了時(shí)間后，與輸入具有相同的波形。2.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)稱，也稱方框圖等。結(jié)構(gòu)圖利用方框、信號(hào)線、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)等符號(hào)直觀地反映控制系統(tǒng)的組成、控制系統(tǒng)各組成部分之間的連接關(guān)系以及系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞方向和運(yùn)算關(guān)系等。通過結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化，可以獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，也可以求取系統(tǒng)在任意輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。1、基本圖形符號(hào)信號(hào)流線：帶箭頭的有向線段，箭頭方向表示信號(hào)的傳遞方向。方框圖：表示環(huán)節(jié)輸入與輸出之間信號(hào)傳遞關(guān)系。2.3.1動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成與建立分支點(diǎn)：把一個(gè)信號(hào)分成多路進(jìn)行輸出。相加點(diǎn)：進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)的代數(shù)和運(yùn)算。2、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的步驟利用系統(tǒng)各組成部分的微分方程得到，步驟一般為：（1）列寫控制系統(tǒng)各組成部分的微分方程，零初始條件進(jìn)行拉氏變換，寫出表示各環(huán)節(jié)輸出量與輸入量之間關(guān)系的方程式。（2）根據(jù)上述關(guān)系繪制結(jié)構(gòu)圖的基本單元。（3）將各結(jié)構(gòu)圖基本單元相同的信號(hào)線連接起來(lái)，即可獲得控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。需要注意的是：結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形化表示，只反映信號(hào)的傳遞和運(yùn)算關(guān)系，并不代表真實(shí)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)。建模過程中，中間變量選擇不同，將導(dǎo)致系統(tǒng)有不同的結(jié)構(gòu)圖，但由結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化得到的系統(tǒng)輸入量輸出量之間的關(guān)系是相同的。例2.5繪制下圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：每一個(gè)元件代表一個(gè)環(huán)節(jié)，建立各關(guān)節(jié)的方框圖。對(duì)于電阻R1對(duì)于電容對(duì)于電感對(duì)于電阻得到動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖為：2.3.2動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換結(jié)構(gòu)圖清楚地反映了控制系統(tǒng)中各變量之間的關(guān)系，利用結(jié)構(gòu)圖求其系統(tǒng)傳遞函數(shù)時(shí)，總是要對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化到一個(gè)輸入量和一個(gè)輸出量之間只剩一個(gè)函數(shù)方框時(shí)，方框里的傳遞函數(shù)就是對(duì)應(yīng)輸入量和輸出量之間的傳遞函數(shù)。結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化應(yīng)遵循等效原則，即變換前后各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變。結(jié)構(gòu)圖等效變換的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是在結(jié)構(gòu)圖上進(jìn)行運(yùn)算，消去中間變量。簡(jiǎn)化的過程表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)圖上是環(huán)節(jié)的合并以及相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的消除。所以，串聯(lián)連接的環(huán)節(jié)合并成為一個(gè)環(huán)節(jié)，等效的傳遞函數(shù)為1、多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖中幾個(gè)環(huán)節(jié)按照信號(hào)流向首尾相連，前一環(huán)節(jié)的輸出作為后一環(huán)節(jié)的輸入，這種連接方式稱為串聯(lián)連接。由于此結(jié)論可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的輸入量，而總輸出量為各環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和時(shí)，稱環(huán)節(jié)為并聯(lián)連接。因?yàn)椋核裕?、多個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)由此可見，兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

此結(jié)論可推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，即n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)后的等效傳遞函數(shù)為并聯(lián)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。將環(huán)節(jié)的輸出量反送到輸入端與輸入信號(hào)進(jìn)行比較后作為環(huán)節(jié)的輸入量，就構(gòu)成了反饋連接。3、反饋連接環(huán)節(jié)反饋連接后，信號(hào)的傳遞形成了閉合回路。通常把信號(hào)輸入點(diǎn)R(s)到信號(hào)輸出點(diǎn)C(s)的通道稱為前向通道，前向通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為前向通道傳遞函數(shù)；把輸出信號(hào)C(s)到反饋信號(hào)B(s)的通道稱為反饋通道，反饋通道上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為反饋通道傳遞函數(shù)。把偏差信號(hào)E(s)到輸出信號(hào)C(s)再經(jīng)反饋信號(hào)B(s)到偏差信號(hào)E(s)的封閉通道稱為回路，回路上所有環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積定義為回路傳遞函數(shù)。負(fù)反饋是自動(dòng)控制系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)反饋極性為負(fù)時(shí)，偏差信號(hào)等于輸入信號(hào)與反饋信號(hào)之差，有

整理可得系統(tǒng)反饋后的閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)為4、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的變換很多系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中會(huì)出現(xiàn)環(huán)路相扣的情況，導(dǎo)致無(wú)法利用上述等價(jià)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化。通過信號(hào)相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換可以使得環(huán)節(jié)之間具有典型的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接形式，最終將結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化為一個(gè)輸入量和一個(gè)輸出量之間只有一個(gè)傳遞函數(shù)方框的形式，獲得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換也必須遵循等效原則。（1）信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)相加點(diǎn)前移相加點(diǎn)后移（2）信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)分支點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移（3）相鄰的信號(hào)相加點(diǎn)和相鄰的信號(hào)分支點(diǎn)的位置交換相鄰分支點(diǎn)間移動(dòng)相鄰相加點(diǎn)間移動(dòng)相加點(diǎn)與分支點(diǎn)間的移動(dòng)相加點(diǎn)與分支點(diǎn)間的移動(dòng)例2.6求解下圖的傳遞函數(shù)

解：例2.7具有針對(duì)給定補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，Y(s)/R(s)。練習(xí)5：具有多反饋回路的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)玫刃ё儞Q的方法簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖，求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Y(s)/R(s)。解：結(jié)構(gòu)圖具有多重反饋連接，反饋連接不存在交叉現(xiàn)象，可采用由內(nèi)而外的辦法，逐級(jí)合并反饋連接的環(huán)節(jié)。（1）內(nèi)環(huán)正反饋連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示（2）串聯(lián)連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示（3）并聯(lián)連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示

（4）反饋連接環(huán)節(jié)合并如下圖所示5、梅遜公式對(duì)于復(fù)雜的控制系統(tǒng)往往含有多個(gè)相互交叉的回路，對(duì)于這樣的系統(tǒng)可利用梅遜公式求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而無(wú)須進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖等效變換。梅森增益公式n：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)前向通道的個(gè)數(shù)：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通道的各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積

：特征式，計(jì)算公式為：

：所有回路增益之和：所有兩兩互不接觸回路的增益乘積之和：所有三個(gè)互不接觸回路的增益乘積之和

：第k條前向通道的的特征余子式，即除去與第k條前向通道相接觸回路后的特征式解：如圖所示，系統(tǒng)有兩條前向通道和一個(gè)閉環(huán)回路。則：回路有：前向通道有：例2.7通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。根據(jù)梅遜公式，則有解：系統(tǒng)有5個(gè)閉環(huán)回路：例2.8通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。系統(tǒng)沒有兩兩不接觸的回路，因此四條前向通道：根據(jù)梅遜公式得到練習(xí)6：通過梅遜公式求解傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)有2個(gè)閉環(huán)回路：系統(tǒng)沒有兩兩不接觸的回路，因此兩條前向通道：根據(jù)梅遜公式得到2.3.3反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在實(shí)際控制中，控制系統(tǒng)通常受到兩種信號(hào)的影響：輸入信號(hào)，擾動(dòng)信號(hào)1、開環(huán)傳遞函數(shù)定義：系統(tǒng)反饋信號(hào)與誤差信號(hào)之比，即：注意閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，與開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是不同的。區(qū)分開環(huán)傳遞函數(shù)和回路傳遞函數(shù)。2、閉環(huán)傳遞函數(shù)（1）輸入信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的比值，即（2）擾動(dòng)信號(hào)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)定義：輸出信號(hào)與擾動(dòng)信號(hào)的比值，即（3）系統(tǒng)的總輸出定義：同時(shí)受到輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用時(shí)的傳遞函數(shù)。由疊加原理可知，系統(tǒng)的輸出是兩種信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的輸出之和。3、系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)（1）輸入信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)定義：誤差信號(hào)與輸入信號(hào)的比值，即（2）擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差傳遞函數(shù)定義：誤差信號(hào)與擾動(dòng)信號(hào)的比值，即（3）系統(tǒng)總誤差定義：同時(shí)受到輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用時(shí)的誤差。由疊加原理可知，系統(tǒng)的輸出是兩種信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的誤差之和。2.4信號(hào)流圖信號(hào)流圖是一種表示線性代數(shù)方程組的圖示方法。用來(lái)描述線性控制系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)流圖和結(jié)構(gòu)圖一樣，它也是一種描述系統(tǒng)各部分之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖示模型，具有直觀形象的特點(diǎn)。但信號(hào)流圖又與結(jié)構(gòu)圖不同，它只能用來(lái)描述線性系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)圖通過等價(jià)變換可以得到控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，但對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化過程是一件很復(fù)雜的事，甚至?xí)霈F(xiàn)找不到有效辦法可以解除的交叉環(huán)路。對(duì)于信號(hào)流圖，可以利用梅遜（Mason）公式直接求取系統(tǒng)輸入輸出變量之間的傳遞函數(shù)而不必對(duì)信號(hào)流圖進(jìn)行簡(jiǎn)化。2.4.1信號(hào)流圖的概念信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路兩種基本元素組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。其中，節(jié)點(diǎn)代表信號(hào)或變量用符號(hào)“o”表示，節(jié)點(diǎn)之間用有向線段連接，稱為支路，支路具有有向性和有權(quán)性。信號(hào)流圖的基本單元與結(jié)構(gòu)圖中的函數(shù)框等價(jià)，如圖所示，它們表示了同樣的變量變換關(guān)系，即1、節(jié)點(diǎn)的類型

（1）輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，代表自變量或外部輸入變量，也稱源節(jié)點(diǎn)，如圖中的節(jié)點(diǎn)X0（2）輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，代表被控量或輸出變量，也稱匯節(jié)點(diǎn)，如圖中的X6。（3）混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，代表中間變量，如圖中的節(jié)點(diǎn)X1~X5。

混合節(jié)點(diǎn)兼有結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)相加點(diǎn)和信號(hào)分支點(diǎn)的功能?；旌瞎?jié)點(diǎn)處的信號(hào)是所有輸入支路信號(hào)的和，而由混合節(jié)點(diǎn)引出的所有信號(hào)是同一個(gè)信號(hào)。任何一個(gè)混合節(jié)點(diǎn)都可以通過增加一條單位傳輸?shù)妮敵鲋?，而變成輸出?jié)點(diǎn)如圖中的節(jié)點(diǎn)X6。2、通道及通道傳輸（1）通道：從一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著支路箭頭方向通過各個(gè)相連支路到達(dá)另外一個(gè)節(jié)點(diǎn)的路徑，通道經(jīng)過各支路傳輸?shù)某朔e稱為通道的傳輸或增益。（2）前向通道：從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)、且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次的通道，前向通道上各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通道傳輸或增益。3、

回路及回路增益（1）回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)為同一個(gè)節(jié)點(diǎn)、且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次的通道，也稱回環(huán)或反饋環(huán)，回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。（2）不接觸回路：沒有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。2.4.2信號(hào)流圖的繪制

信號(hào)流圖可以由結(jié)構(gòu)圖繪制，也可以由系統(tǒng)的微分方程繪制。

從結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖時(shí)，可把結(jié)構(gòu)圖中的變量和函數(shù)方框分別對(duì)應(yīng)為信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)和支路，傳遞函數(shù)就是支路的傳輸。一般應(yīng)先確定節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)輸入變量設(shè)一個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)輸出變量設(shè)一個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)，然后在結(jié)構(gòu)圖的每個(gè)分支點(diǎn)處和每個(gè)相加點(diǎn)之后各設(shè)一個(gè)節(jié)點(diǎn)，按照與結(jié)構(gòu)圖上的位置相對(duì)應(yīng)的原則排列；再根據(jù)變量之間的關(guān)系把連接節(jié)點(diǎn)的支路畫出來(lái)。

由系統(tǒng)的微分方程式繪制信號(hào)流圖時(shí)，首先經(jīng)拉氏變換將微分方程化成s域中的代數(shù)方程，再給每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右按順序排列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式用標(biāo)明了方向和增益的支路將各個(gè)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，系統(tǒng)的信號(hào)流圖就繪制完成了。畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖后，就可以利用梅遜公式直接求出各變量之間的傳遞函數(shù)。例2.9根據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制系統(tǒng)的信號(hào)流圖例2.10控制系統(tǒng)信號(hào)流圖如圖所示，輸入節(jié)點(diǎn)R代表系統(tǒng)的輸入量R(s)，輸出節(jié)點(diǎn)Y代表系統(tǒng)的輸出量Y(s)，試用梅森公式計(jì)算R(s)與Y(s)之間的傳遞函數(shù)G(s)。解：輸入節(jié)點(diǎn)R和輸出節(jié)點(diǎn)Y之間只有一條前向通道，前向通道的增益為信號(hào)流圖中有四個(gè)回路，這些回路的增益分別為其中L1和L3是不接觸回路，不接觸回路增益的乘積為特征式為沒有與前向通道不接觸的回路，所以對(duì)于這條前向通道，特征式的余子式為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為124謝謝大家！125《自動(dòng)控制原理》

第三章時(shí)域分析法3.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6系統(tǒng)的穩(wěn)定特性分析3.1典型輸入信號(hào)的時(shí)域性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號(hào)1、單位階躍信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

它表示一個(gè)在t=0時(shí)出現(xiàn)的，幅值為1的階躍變化函數(shù)，如圖所示。在實(shí)際系統(tǒng)中，如指令的突然轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、符號(hào)的突變等，均可以近似看成階躍函數(shù)的形式。單位階躍信號(hào)的拉氏變換為2、單位斜坡信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：斜坡函數(shù)從t=0時(shí)刻開始，隨時(shí)間以恒定速度增加，如圖所示。單位斜坡信號(hào)的拉氏變換為3、單位加速度信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

該信號(hào)相當(dāng)于系統(tǒng)中加入一個(gè)按定加速度變化的信號(hào)。單位加速度信號(hào)的拉氏變換為4、單位脈沖信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：?jiǎn)挝幻}沖信號(hào)的積分面積為1。理想的單位脈沖信號(hào)在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，只在數(shù)學(xué)上有意義。實(shí)際中有很多信號(hào)與脈沖信號(hào)相似，如脈沖電壓信號(hào)、沖擊力和陣風(fēng)等。單位脈沖信號(hào)的拉氏變換為15、正弦信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中A為振幅，為角頻率。

用正弦信號(hào)作輸入信號(hào)，可以求得系統(tǒng)在不同頻率下正弦信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可間接判斷系統(tǒng)的性能。正弦信號(hào)的拉氏變換為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，可分為暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個(gè)過程。時(shí)域中評(píng)價(jià)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。此時(shí)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)曲線稱為單位階躍響應(yīng)或單位過渡特性。3.1.2階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)為了評(píng)價(jià)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，規(guī)定指標(biāo)如下：1、延遲時(shí)間

：指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從零時(shí)刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值一半所需的時(shí)間。2、上升時(shí)間

：指系統(tǒng)響應(yīng)從零時(shí)刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間（振蕩系統(tǒng)）。3、峰值時(shí)間

：指系統(tǒng)響應(yīng)從零時(shí)刻到達(dá)峰值的時(shí)間，即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。4、調(diào)節(jié)時(shí)間

ts

：指系統(tǒng)響應(yīng)曲線進(jìn)入允許的誤差帶，并不再超出此范圍的最小時(shí)間，稱為調(diào)節(jié)時(shí)間（或過渡過程時(shí)間）。5、最大超調(diào)量Mp

：指系統(tǒng)響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù)，即6、振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時(shí)間ts

內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。7、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)只有一個(gè)，即穩(wěn)態(tài)誤差ess

：系統(tǒng)輸出實(shí)際值與期望值之差。以上各性能指標(biāo)中，峰值時(shí)間tp、上升時(shí)間tr和延遲時(shí)間td評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度，反映了動(dòng)態(tài)過程的快速性；調(diào)節(jié)時(shí)間ts是同時(shí)反映系統(tǒng)快速性和平穩(wěn)性的綜合指標(biāo)；最大超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼特性或相對(duì)穩(wěn)定程度，反映了動(dòng)態(tài)過程的平穩(wěn)性；穩(wěn)態(tài)誤差ess反應(yīng)了系統(tǒng)的準(zhǔn)確性。

3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：式中，T

為時(shí)間常數(shù)，表征系統(tǒng)慣性的重要參數(shù)，一階系統(tǒng)就是典型環(huán)節(jié)中的慣性環(huán)節(jié)。3.2.1單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入為信號(hào)時(shí)，，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：則單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值為1。由系統(tǒng)輸出響應(yīng)可得到如下性能：1、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0；2、當(dāng)t=T時(shí)，；3、根據(jù)暫態(tài)性能指標(biāo)的定義可以求得：調(diào)節(jié)時(shí)間為：（的誤差帶）

（的誤差帶）延遲時(shí)間為：上升時(shí)間為：3.2.2單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入信號(hào)，時(shí)，則系統(tǒng)輸出的拉氏變換為：對(duì)其進(jìn)行反拉氏變換，得單位斜坡響應(yīng)為：第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為暫態(tài)分量。由一階單位斜坡響應(yīng)可得，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。其穩(wěn)態(tài)誤差為。因此為了提高斜坡響應(yīng)的精度，應(yīng)要求一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T要小。3.2.3單位脈沖響應(yīng)對(duì)于單位脈沖輸入，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：進(jìn)行反拉氏變換，對(duì)應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為：對(duì)于單位脈沖響應(yīng)，時(shí)間常數(shù)T越小，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快。沒有穩(wěn)態(tài)誤差。3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3.1典型的二階系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)輸出與輸入之間特性由二階微分方程描述時(shí)，稱為二階系統(tǒng)。從理論上講，二階系統(tǒng)總包含兩個(gè)儲(chǔ)能元件，能量在兩個(gè)元件之間交換，當(dāng)阻尼不大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩特性，故二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。

它在控制工程中應(yīng)用極為廣泛，例如，RLC網(wǎng)絡(luò)、電樞電壓控制的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速系統(tǒng)等。此外，許多高階系統(tǒng)，在一定條件下，常?？梢越茷槎A系統(tǒng)來(lái)研究。典型二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下。其開環(huán)傳遞函數(shù)為：或

其中，

為系統(tǒng)的阻尼比；

為無(wú)阻尼自然振蕩頻率；

為時(shí)間常數(shù)。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：是什么？系統(tǒng)的特征方程為：其特征根是：當(dāng)

，稱為欠阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根：當(dāng)

，稱為臨界阻尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根：當(dāng)

，稱為過阻尼狀態(tài)，特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根：當(dāng)

，稱為無(wú)阻尼狀態(tài)，特征根為一對(duì)純虛根：系統(tǒng)的特征根完全由和兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述，下面就不同參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)加以討論。特別注意3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼情況在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，即其中，稱為阻尼振蕩頻率。系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：

欠阻尼時(shí)的極點(diǎn)分布0進(jìn)行反拉氏變換，得到欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：其中該響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成，是一個(gè)幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的有阻尼的正弦信號(hào)，振蕩角頻率為。152Time(sec)05101520253000.20.40.60.811.21.41.61.8StepResponseAmplitude典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1532、臨界阻尼情況在臨界阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：臨界阻尼時(shí)極點(diǎn)的分布0進(jìn)行反拉氏變換，得到臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的非周期上升過程，響應(yīng)特性不產(chǎn)生振蕩。3、過阻尼情況在過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：j0過阻尼時(shí)極點(diǎn)分布進(jìn)行反拉氏變換，得到過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)含有兩個(gè)單調(diào)衰減的指數(shù)項(xiàng)，響應(yīng)為非振蕩的。C(t)t01

過阻尼響應(yīng)4、無(wú)阻尼情況在無(wú)阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)純虛根，即系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：0無(wú)阻尼時(shí)的極點(diǎn)分布進(jìn)行反拉氏變換，得到無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：無(wú)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為不衰減振蕩，其振蕩頻率為，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.3.3系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)對(duì)于二階系統(tǒng)，欠阻尼情況是最有意義的，因此我們重點(diǎn)討論其暫態(tài)特性指標(biāo)。1、上升時(shí)間tr根據(jù)定義，令c(tr)=1，得由于所以于是上升時(shí)間為由上式可知，增大或減小均能減小，從而加快系統(tǒng)的初始響應(yīng)速度。2、峰值時(shí)間tp

令c(t)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并令其為零，可得峰值時(shí)間tp

則必有即所以又因峰值時(shí)間tp

對(duì)應(yīng)于出現(xiàn)第一個(gè)峰值的時(shí)間，所以峰值時(shí)間恰好等于阻尼振蕩周期的一半，當(dāng)一定時(shí)，極點(diǎn)距離實(shí)軸越遠(yuǎn)，越小。3、最大超調(diào)量Mp將峰值時(shí)間表達(dá)式代入欠阻尼情況的單位階躍響應(yīng)中，得輸出的最大值所以最大超調(diào)量為由上式可見，超調(diào)量Mp僅與阻尼比ξ

有關(guān)，ξ

越大，則

Mp越小。4、調(diào)節(jié)時(shí)間ts根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，得采用近似的方法，忽略正弦函數(shù)的影響，認(rèn)為指數(shù)函數(shù)衰減到或時(shí)，暫態(tài)過程結(jié)束。得到：即：解出：可見，近似與成反比。通常在設(shè)計(jì)過程中，由決定，而調(diào)節(jié)時(shí)間由決定。即在不改變超調(diào)量得條件下，通過改變來(lái)改變調(diào)節(jié)時(shí)間。參數(shù)對(duì)性能的影響分析阻尼比ξ

越大，超調(diào)量越小，響應(yīng)的平穩(wěn)性越好。反之，阻尼比ξ越小，振蕩越強(qiáng)，平穩(wěn)性越差。當(dāng)ξ

=0時(shí)，系統(tǒng)為具有頻率為

n的等幅振蕩。過阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)遲緩，過渡過程時(shí)間長(zhǎng)，系統(tǒng)快速性差；ξ

過小，響應(yīng)的起始速度較快，但因振蕩強(qiáng)烈，衰減緩慢，所以調(diào)節(jié)時(shí)間ts

亦長(zhǎng)，快速性差。當(dāng)ξ=0.707時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量Mp<5％，調(diào)節(jié)時(shí)間ts也相對(duì)較短，即平穩(wěn)性和快速性最佳，故稱ξ=0.707為最佳阻尼比。當(dāng)阻尼比ξ為常數(shù)時(shí)，

n越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts就越短，快速性越好。系統(tǒng)的超調(diào)量Mp僅由阻尼比ξ

決定，它們反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。工程實(shí)際中，二階系統(tǒng)多數(shù)設(shè)計(jì)成0<ξ<l的欠阻尼情況，并且經(jīng)驗(yàn)取ξ=0.4

0.8之間。例3.1開環(huán)傳遞函數(shù)的單位反饋隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示。若求：（1）典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和（2）暫態(tài)特性指標(biāo)和（3）欲使，當(dāng)不變時(shí)，應(yīng)取何值。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：比較上式得到：且：為使，由求得因此即K應(yīng)減少4倍。減小系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K（也稱開環(huán)增益），可以降低系統(tǒng)的超調(diào)量。例3.2

當(dāng)，滿足單位階躍響應(yīng)下系統(tǒng)超調(diào)量為的要求，令加入微分負(fù)反饋。求微分時(shí)間常數(shù)。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了使得，令則求得此時(shí)的開環(huán)放大系數(shù)由例題可以看出，當(dāng)系統(tǒng)加入局部微分負(fù)反饋時(shí)，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性，并降低了系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。例3.3系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，確定其的值。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，輸入為：穩(wěn)態(tài)輸出為：因此根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線可得：解得因此寫出二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：求得3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是用高階微分方程描述的，即所謂的高階系統(tǒng)。對(duì)于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來(lái)說，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確是比較復(fù)雜的。工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算公式。n階（冗余）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為如果分子和分母可分解因式，則可以寫成當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出為部分分式展開式中，q+2r=n。對(duì)其進(jìn)行拉氏反變化得由上式可以看出，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由閉環(huán)極點(diǎn)pi及系數(shù)Ai、Bk、Ck決定，而系數(shù)Ai、Bk、Ck也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。

如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于根s平面左半平面，則階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量將隨時(shí)間而衰減，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)將是發(fā)散的，系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行。結(jié)論：1、高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由決定，即由閉環(huán)極點(diǎn)在s

平面左半平面離虛軸的距離決定。2、高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點(diǎn)的位置有關(guān)，還和零點(diǎn)的位置有關(guān)。3、如果所有的閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。4、高階系統(tǒng)的極點(diǎn)離虛軸越近，對(duì)系統(tǒng)的影響越大，主導(dǎo)極點(diǎn)在很大程度上決定系統(tǒng)的暫態(tài)性能。3.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一個(gè)控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件；穩(wěn)定的直觀理解：由于控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，不可避免地會(huì)受到外界或內(nèi)部一些擾動(dòng)因素的影響，從而會(huì)使系統(tǒng)偏離原來(lái)的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的各物理量就會(huì)恢復(fù)到原來(lái)的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，即使擾動(dòng)很微弱，也會(huì)使系統(tǒng)中的各物理量隨著時(shí)間的推移而發(fā)散；

不穩(wěn)定的系統(tǒng)無(wú)法正常工作。3.5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性的定義：系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用后，其輸出量會(huì)偏離原來(lái)的工作狀態(tài)產(chǎn)生偏差，而當(dāng)擾動(dòng)消除后，隨著時(shí)間的推移，該偏差逐漸減小并趨于零，即輸出量又能逐漸回到原來(lái)的工作狀態(tài)，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定；

從上節(jié)的分析看：如果所有的極點(diǎn)都在s平面的左側(cè)，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量將逐漸衰減到零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.5.2勞斯判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求解特征方程的解將會(huì)非常困難。于是人們希望尋求一種不必求解系統(tǒng)的特征方程，而直接根據(jù)特征方程的根與其系數(shù)間的關(guān)系，來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否的方法；根據(jù)特征方程的根與其系數(shù)間的關(guān)系，產(chǎn)生了一系列代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)勞斯判據(jù)（Routh判據(jù)）和古爾維茨判據(jù)（Hurwitz判據(jù)）。勞斯判據(jù)的步驟1、首先列出系統(tǒng)特征方程式其中，各式系數(shù)均為實(shí)數(shù)，且2、根據(jù)特征方程式列出勞斯數(shù)組表勞斯陣列中的前兩行元素直接根據(jù)特征方程式中的系數(shù)而得，第三行及以下各行的元素均由其上兩行的參數(shù)根據(jù)公式計(jì)算得到，且各行一直要計(jì)算到值等于零時(shí)為止。這種過程一直進(jìn)行到第行的元素被計(jì)算出為止。3、若勞斯表第一列中的系數(shù)均為正，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若第一列符號(hào)發(fā)生了變化，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素正負(fù)號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程的根在s平面右半平面的個(gè)數(shù)。例3.4三階系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。解：列出勞斯表得因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是例3.5設(shè)系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表勞斯表第一列中有負(fù)數(shù)，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列的符號(hào)變動(dòng)了兩次，因此系統(tǒng)有兩個(gè)根在s平面的右半部分。練習(xí)1假設(shè)系統(tǒng)的特征方程為試?yán)脛谒古袚?jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4、兩種特殊情況（1）如勞斯陣列中某一行的第一個(gè)元素為零，而該行其它元素并不全為零，則在計(jì)算下一行第一個(gè)元素時(shí)，該元素必將趨于無(wú)窮大，以至勞斯陣列的計(jì)算無(wú)法進(jìn)行。為了解決這一問題，可用一個(gè)無(wú)窮小正數(shù)

來(lái)代替第一列的零元素，使勞斯陣列可繼續(xù)下去。若

上面的元素和下面的元素符號(hào)相反，則表示第一列元素的符號(hào)改變了一次。例3.6設(shè)系統(tǒng)的特征方程為使用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表由于是很小的正數(shù)，因此勞斯表得第一列符號(hào)變換了兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)位于右半s平面的根。練習(xí)2假設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

試?yán)脛谒古袚?jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）

如果勞斯陣列中某一行的元素全為零，則表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或一些大小相等而實(shí)部符號(hào)相反的共軛復(fù)根或共軛純虛根，此時(shí)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的或臨界穩(wěn)定的。為了將勞斯陣列繼續(xù)列下去，則可用該零行的上一行的各元素構(gòu)成輔助多項(xiàng)式P(s)，并利用這個(gè)多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)來(lái)代替全零一行的各元素，使勞斯陣列可繼續(xù)下去。系統(tǒng)大小相等而方向位置相反的這些根，可以由輔助方程P(s)=0求出。輔助方程的階數(shù)通常為偶數(shù)，并且等于那些大小相等而方向位置相反根的個(gè)數(shù)。例3.7系統(tǒng)的特征方程為：試?yán)脛谒古袚?jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)的勞斯表如下：表中出現(xiàn)了全零行。為了求出s

各行的元素，將行的各行組成輔助方程式：對(duì)其求導(dǎo)，得到：因此得到新的勞斯表為：勞斯表第一列沒有變號(hào)，說明系統(tǒng)沒有特征根在s平面右半平面。由輔助方程求得系統(tǒng)有兩對(duì)共軛虛根，因此系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.5.3代數(shù)判別的應(yīng)用1、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)個(gè)別參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響，以及為使系統(tǒng)穩(wěn)定，這些參數(shù)應(yīng)取值的范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)放大系統(tǒng)的臨界值稱為臨界方法系數(shù)，用Kl

表示。例3.8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，是確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程為勞斯表為：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使得因此，K的取值范圍是而臨界方法系數(shù)為：2、穩(wěn)定裕量上面所討論的穩(wěn)定性，指的是系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，具有絕對(duì)穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，還可以用相對(duì)穩(wěn)定性來(lái)進(jìn)一步衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。

如果一個(gè)系統(tǒng)的特征根具有負(fù)實(shí)部，且非?？拷撦S，盡管系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件，但動(dòng)態(tài)過程將具有過大的超調(diào)量或過于緩慢的響應(yīng)，甚至?xí)捎谙到y(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化，使特征根轉(zhuǎn)移到s平面的右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。為此，需研究系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性的大小，用系統(tǒng)的特征根在s左半平面與虛軸的距離，也稱為穩(wěn)定裕量來(lái)衡量。

穩(wěn)定裕量越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越低，系統(tǒng)的靈敏性和快速性越強(qiáng)，當(dāng)然系統(tǒng)的振蕩也越激烈。勞斯判據(jù)或赫爾維茨判據(jù)不僅可以判定系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且也可以判定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。為了能應(yīng)用上述的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，通常將s平面的虛軸左移一個(gè)距離

，得新的復(fù)平面s1，即令s=s1-

得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性，若新特征方程式D(s1)的所有根均在s1平面的左半平面，則說明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-

的左側(cè)，

稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。例3.9已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中，如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部落在垂線的左側(cè)，求的取值范圍？解：系統(tǒng)的特征方程為令，代入方程得到：整理得到勞斯表為：因此求得取值范圍是：3.6系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度（控制精度）的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的技術(shù)指標(biāo)。

只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。因此，在計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差之前，必須判斷系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差是沒有意義的。3.6.1

誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義

對(duì)于如圖所示的反饋控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差一般定義為系統(tǒng)被控量的期望值與實(shí)際值之差，即或

但是實(shí)際控制系統(tǒng)的參考輸入信號(hào)R(s)與輸出信號(hào)C(s)通常是不同量綱或不同量程的物理量。比如在溫度控制系統(tǒng)中，輸入信號(hào)為電壓或電流量綱，而輸出信號(hào)為溫度量綱。有些時(shí)候，實(shí)際系統(tǒng)中的輸出無(wú)法有效測(cè)量，因此只有數(shù)學(xué)上的意義。從輸出端定義從輸入端定義對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，這兩種定義是相同的。本書中采用從系統(tǒng)輸入端定義系統(tǒng)的誤差，因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為則誤差傳遞函數(shù)為由此誤差的拉氏變換為：則穩(wěn)態(tài)誤差為：由此可見，決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素包括開環(huán)傳遞函數(shù)和輸入信號(hào)。系統(tǒng)的的結(jié)構(gòu)以及輸入信號(hào)的差異，都會(huì)引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化。下面就從這兩個(gè)方面對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行研究。3.6.2系統(tǒng)的分類

假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)可表示為式中，K為開環(huán)增益（開環(huán)放大倍數(shù)）；v為積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。

系統(tǒng)常按開環(huán)傳遞函數(shù)中所含有的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v來(lái)定義系統(tǒng)的類型。即，當(dāng)v=0時(shí)，稱為0型系統(tǒng)；v=1時(shí)，稱為I型系統(tǒng)；v=2時(shí)，稱為II型系統(tǒng)；等等。3.6.3給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差1、單位階躍輸入當(dāng)輸入時(shí)，得到的穩(wěn)態(tài)誤差為：定義Kp為位置誤差系統(tǒng)函數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)：Kp=K，ess=1/(1+K)；對(duì)于I型系統(tǒng)：Kp=

，ess=0；對(duì)于II型系統(tǒng)：Kp=

，ess=0。由此可見，對(duì)于單位階躍響應(yīng)，只有0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比。而I型以及以上的系統(tǒng)，系統(tǒng)的位置誤差系統(tǒng)均為無(wú)窮大，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由上面分析可以看出：（1）Kp的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下消除誤差的能力。Kp越大，穩(wěn)態(tài)誤差越?。?/p>

（2）0型系統(tǒng)對(duì)階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差為一常值，其大小與K有關(guān)，K越大，ess越小，但總有差，所以把0型系統(tǒng)常稱為有差系統(tǒng)；（3）在階躍輸入時(shí)，若要求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)至少為I型或高于I型的系統(tǒng)。2、單位斜坡輸入當(dāng)輸入為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定義Kv為速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)：Kv=0，ess=

I型系統(tǒng)：Kv=K，ess=1/K；

II型或II型以上系統(tǒng)：Kv=，ess=0。由此可見，對(duì)于單位斜坡輸入，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮大，I型系統(tǒng)可以跟蹤輸入信號(hào)但有穩(wěn)態(tài)誤差，II以及以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由上述結(jié)果可得：（1）Kv的大小反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的能力，Kv越大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差越??；（2）0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，無(wú)法跟蹤斜坡輸入信號(hào)；（3）I型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出與輸入在速度上相等，但有一個(gè)與K成反比的常值位置誤差；（4）II型或II型以上系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，可完全跟蹤斜坡信號(hào)。3、單位加速度輸入當(dāng)輸入為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：定義Ka為加速度誤差系數(shù)。對(duì)于0型系統(tǒng)：Ka=0，ess=

；對(duì)于I型系統(tǒng)：Ka=0，ess=；對(duì)于II型系統(tǒng)：Ka=K，ess=1/K；對(duì)于III型以及以上系統(tǒng)：Ka=，ess=0。由此可見，0型和I型系統(tǒng)都不能跟蹤加速度輸入；II型系統(tǒng)可以跟蹤加速度輸入，但存在誤差；III型以及以上系統(tǒng)，能準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號(hào)。上述分析表明：（1）Ka的大小反映了系統(tǒng)跟蹤加速度輸入信號(hào)的能力。Ka越大，系統(tǒng)跟蹤精度越高；（2）0型和I型系統(tǒng)輸出不能跟蹤加速度輸入信號(hào)，在跟蹤過程中誤差越來(lái)越大，穩(wěn)態(tài)時(shí)達(dá)到無(wú)限大；（3）II型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入，但有一常值誤差，其大小與K成反比；（4）要想準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入，系統(tǒng)應(yīng)為III型或高于III型的系統(tǒng)。下表概括了0型、I型和II型系統(tǒng)在各種輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。在對(duì)角線以上，穩(wěn)態(tài)誤差為0；在對(duì)角線以下，穩(wěn)態(tài)誤差則為無(wú)窮大。誤差系數(shù)Kp，Kv和Ka反映了系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系統(tǒng)型號(hào)越高，消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力越強(qiáng)，但型號(hào)增大卻使系統(tǒng)難以穩(wěn)定。應(yīng)注意，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法僅適用于給定信號(hào)作用下求穩(wěn)態(tài)誤差。另外，上述穩(wěn)態(tài)誤差中的K必須是系統(tǒng)的開環(huán)增益(或開環(huán)放大倍數(shù))。回顧、比較一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例3.10設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，試求當(dāng)K分別為1和0.1的時(shí)候，系統(tǒng)的輸入量的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于是0型系統(tǒng)，故位置誤差系數(shù)為因此當(dāng)K=1時(shí)，當(dāng)K=0.1時(shí)，可見當(dāng)K增加時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差下降。例3.11已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求當(dāng)參考輸入為時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由于系統(tǒng)是II型系統(tǒng)，因此對(duì)階躍輸入和斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差均有零，對(duì)加速度輸入有穩(wěn)態(tài)誤差。所以穩(wěn)態(tài)誤差為例3.12一個(gè)單位反饋系統(tǒng)，要求：（1）跟蹤單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為2；（2）設(shè)系統(tǒng)為三階，其中一對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)為-1+j和-1-j。求滿足以上要求的開環(huán)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)要求，得知系統(tǒng)為I型三階系統(tǒng)，設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為因?yàn)椋呵蟮茫洪]環(huán)傳遞函數(shù)為：由上式解得：因此開環(huán)傳遞函數(shù)為：練習(xí)3：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=2t+t2時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。3.6.4擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)除受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)信號(hào)作用之下。由于輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用于系統(tǒng)的不同位置，因此即使系統(tǒng)對(duì)于某種形式輸入信號(hào)作用的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對(duì)于同一形式的擾動(dòng)作用，其穩(wěn)態(tài)誤差未必為零。討論擾動(dòng)作用下的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，將輸入r(t)=0，用en(t)表示擾動(dòng)導(dǎo)致的問題誤差。因此其拉氏變換為：擾動(dòng)作用下系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為而擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：因此，系統(tǒng)擾動(dòng)誤差決定于系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)和擾動(dòng)量。例3.13設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，為使起其穩(wěn)態(tài)誤差，試求K1的數(shù)值范圍。解：擾動(dòng)傳遞函數(shù)為因而而根據(jù)勞斯判據(jù)可計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)候K的取值范圍是根據(jù)題目的要求，有：240謝謝大家！241《自動(dòng)控制原理》

第四章根軌跡分析法4.1根軌跡法的基本概念4.2繪制根軌跡的基本條件和規(guī)則4.3特殊根軌跡4.4用根軌跡法分析系統(tǒng)性能4.1根軌跡法的基本概念對(duì)于如圖所示單位反饋系統(tǒng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中K稱為根軌跡增益（注意和開環(huán)增益不同）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根或閉環(huán)極點(diǎn)為閉環(huán)極點(diǎn)隨變量K的變化而變化，從而影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)具有不同的動(dòng)態(tài)過程。因?yàn)橄到y(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及品質(zhì)指標(biāo)。

1、當(dāng)K=0時(shí)；系統(tǒng)特征根s1=0，s2=-2，與開環(huán)極點(diǎn)重合。2、當(dāng)0<K<1時(shí)，系統(tǒng)特征根s1、s2均為負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)單調(diào)變化。3、

當(dāng)K=1時(shí)，s1=s2=-1，兩根重合，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為等幅振蕩過程。4、當(dāng)1<K<

時(shí)，系統(tǒng)特征根sl、s2為一對(duì)共軛復(fù)根，且實(shí)部為負(fù)，虛部隨K增大而增大。系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。當(dāng)K從0

變化時(shí)，系統(tǒng)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡如圖所示，箭頭表示K增大的方向。由此可見，當(dāng)K由0至

變化時(shí)，特征根s1、s2均在s平面的左半平面，因此，系統(tǒng)對(duì)所有K值均是穩(wěn)定的。但是系統(tǒng)在不同的K值下，其動(dòng)態(tài)特性不同，為了使系統(tǒng)盡可能達(dá)到穩(wěn)、準(zhǔn)、快的要求，應(yīng)多次改變K值，以調(diào)節(jié)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的位置，達(dá)到尋求理想的輸出特性曲線的目的。但每改變一次K值，需重新求解一次閉環(huán)特征方程，這使得系統(tǒng)的分析、計(jì)算工作量很大，特別是當(dāng)系統(tǒng)高于三階時(shí)，求解特征根是非常困難的；特別是當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，要求出特征方程的根就更加困難了。4.2繪制根軌跡的基本條件和規(guī)則4.2.1根軌跡方程

所謂根軌跡就是當(dāng)系統(tǒng)的某個(gè)參數(shù)從0

+

變化時(shí)，系統(tǒng)特征根在s平面上移動(dòng)所形成的軌跡。而用圖解的方法繪制根軌跡的依據(jù)是根軌跡方程。如圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

因此，滿足開環(huán)傳遞函數(shù)等于-1的s，即為閉環(huán)特征根，也就是根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。一般系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示成如下形式為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，為根軌跡增益。因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)為復(fù)變量s的函數(shù)，所以可以將其用幅值和相角表示，根據(jù)等式兩邊幅值和相角相等的條件，可將特征方程式表示成幅值條件和相角條件。幅值條件：相角條件：對(duì)于系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)從0

+

變化時(shí)，滿足以上兩式的所有s點(diǎn)，均為閉環(huán)極點(diǎn)，也就是根軌跡上的所有點(diǎn)。以上兩式是繪制系統(tǒng)根軌跡及應(yīng)用根軌跡分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的重要依據(jù)。

復(fù)平面上的s點(diǎn)如果是閉環(huán)極點(diǎn)，那么它與開環(huán)零、極點(diǎn)所組成的向量必須滿足幅值條件和相角條件。由于根軌跡的幅值條件與根軌跡增益K有關(guān)，而相角條件與K無(wú)關(guān)。所以在繪制根軌跡時(shí)，一般先用相角條件（充分必要條件）確定軌跡上的點(diǎn)；然后利用幅值條件（必要條件）確定根軌跡上該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值；最后將復(fù)平面上所有滿足相角條件的s點(diǎn)順序連成曲線，這種方法被稱為試探法。根據(jù)幅值條件與相角條件，采用試探法盡管可逐點(diǎn)精確繪制根軌跡，但它很麻煩，需要在s平面上任選足夠多的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，來(lái)根據(jù)相角條件判斷是否為根軌跡上的點(diǎn)，計(jì)算量大，不便于人工繪制，僅適用于計(jì)算機(jī)繪制。所以，人們根據(jù)相角條件和幅值條件推導(dǎo)出了若干繪制根軌跡的規(guī)則，利用這些規(guī)則可以簡(jiǎn)捷繪出根軌跡的大致圖形，并為精確繪制根軌跡指明方向。4.2.2繪制根軌跡的基本規(guī)則1、根軌跡的分支數(shù)

根據(jù)根軌跡方程可得：

由于n

m，特征方程的階次等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n

，而n階特征方程就對(duì)應(yīng)有n個(gè)特征根或n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，所以其根軌跡的分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n

。當(dāng)K從0

+

變化時(shí)，每個(gè)特征根都由起點(diǎn)向終點(diǎn)連續(xù)移動(dòng)，形成一條根軌跡。2、根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)是指根軌跡上對(duì)應(yīng)于K=0的點(diǎn)；終點(diǎn)是指根軌跡上對(duì)應(yīng)K=+

的點(diǎn)。根據(jù)幅值條件式，可得當(dāng)K=0時(shí)，上式的右邊1/K

+

。上式的左邊，只有s

pi(i=1,2,…,n)時(shí)為無(wú)窮大。也就是說，當(dāng)K=0時(shí)，只有spi(i=1,2,…,n)時(shí)，等式才成立。所以，根軌跡的起點(diǎn)一定位于系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處。當(dāng)K+時(shí)，上式的右邊1/K=0。而等式的左邊，當(dāng)szj時(shí)為0，即根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。另外，當(dāng)n>m時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即s+時(shí)，等式故當(dāng)n>m時(shí)，有m支根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)，其余(n-m)支根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。由此可見，n階系統(tǒng)的n支根軌跡（n個(gè)分支）分別起始于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，其中m支終止于m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，其余(n-m)支終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。如果把趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處根軌跡的終點(diǎn)稱為無(wú)限開環(huán)零點(diǎn)，有限數(shù)值的開環(huán)零點(diǎn)稱為有限開環(huán)零點(diǎn)，那么可以說根軌跡必終止于開環(huán)零點(diǎn)處。3、根軌跡的對(duì)稱性

由于系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式是一實(shí)系數(shù)方程，其特征根為實(shí)根或共軛復(fù)根，所以當(dāng)K從0

+

連續(xù)變化時(shí)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸，且連續(xù)變化。例4.1

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)的根軌跡。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知：n=3、m=2，因此系統(tǒng)有3條根軌跡；根軌跡的起點(diǎn)為p1=0，p2=-1，p3=-3；根軌跡的終點(diǎn)為z1=-1+j，z2=-1-j；另外n-m=1條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。其中，“X”表示開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)（根軌跡的起點(diǎn)）；“O”表示開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)（根軌跡的終點(diǎn)）。是否存在另一種畫法呢？4、實(shí)軸上的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布如圖所示，其零極點(diǎn)將實(shí)軸分成了若干個(gè)區(qū)間段。（1）在區(qū)間上取一點(diǎn)，由各開環(huán)零極點(diǎn)向該點(diǎn)分別引矢量，如圖所示。設(shè)，則有：此時(shí)：可見滿足相角方程，是根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。（2）在區(qū)間上取一點(diǎn)，由各開環(huán)零極點(diǎn)向改點(diǎn)分別引矢量，如圖所示。設(shè)，則有：此時(shí)：可見不滿足相角方程，不是根軌跡上的一個(gè)點(diǎn)。綜上所述，實(shí)軸上的根軌跡只能是那些其右側(cè)實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)的區(qū)間段。而s平面上的共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)確定實(shí)軸上的根軌跡沒有影響。5、根軌跡的漸近線當(dāng)n>m時(shí)，有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，其方向需要由根軌跡的漸近線來(lái)確定。（1）漸近線與實(shí)軸的夾角

設(shè)某無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是根軌跡上的點(diǎn)，記為s，則其到各開環(huán)零極點(diǎn)與實(shí)軸正方向的夾角都可看做相等，記為θ。則s應(yīng)該滿足相角方程：即則顯然，漸近線的數(shù)目等于終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根軌跡的數(shù)目。（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)

假設(shè)在根軌跡上無(wú)窮遠(yuǎn)處有一點(diǎn)s，即當(dāng)s

時(shí),由于系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)到根軌跡上無(wú)限遠(yuǎn)s點(diǎn)構(gòu)成的向量差別很小，幾乎重合。因而,可以將從各個(gè)不同的開環(huán)零、極點(diǎn)指向s

點(diǎn)的向量,用從同一點(diǎn)

A處指向無(wú)限遠(yuǎn)s點(diǎn)的向量來(lái)代替,即用向量(s-

A)來(lái)代替向