自動(dòng)控制原理 課件 王軍 第6、7章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的校正、離散控制系統(tǒng)

1《自動(dòng)控制原理》

第六章自動(dòng)控制系統(tǒng)的校正6.1系統(tǒng)校正的基本概念6.2常用控制規(guī)律6.3串聯(lián)超前校正6.4串聯(lián)滯后校正6.5串聯(lián)超前-滯后校正3.1典型輸入信號(hào)的時(shí)域性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號(hào)1、單位階躍信號(hào)數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

它表示一個(gè)在t=0時(shí)出現(xiàn)的，幅值為1的階躍變化函數(shù)，如圖所示。在實(shí)際系統(tǒng)中，如指令的突然轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、符號(hào)的突變等，均可以近似看成階躍函數(shù)的形式。單位階躍信號(hào)的拉氏變換為6.1系統(tǒng)校正的基本概念6.1.1校正的定義性能指標(biāo)是衡量控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的尺度，也是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的技術(shù)依據(jù)。校正裝置的設(shè)計(jì)通常是針對(duì)某些具體性能指標(biāo)來進(jìn)行的。系統(tǒng)常用的性能指標(biāo)有以下兩類。1、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)有：靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp、靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka和穩(wěn)態(tài)誤差ess，它們能反映出系統(tǒng)的控制精度。2、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)時(shí)域性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、最大超調(diào)量(或最大百分比超調(diào)量)Mp；頻域性能指標(biāo)包括開環(huán)頻域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)。

正確選擇各項(xiàng)性能指標(biāo)，是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)最為重要的工作，不同系統(tǒng)對(duì)指標(biāo)的要求應(yīng)有所側(cè)重。性能指標(biāo)的提出應(yīng)切合實(shí)際，滿足生產(chǎn)要求，切忌盲目追求高指標(biāo)而忽視經(jīng)濟(jì)性，甚至脫離實(shí)際。6.1.2校正的方法校正裝置的設(shè)計(jì)是自動(dòng)控制系統(tǒng)全局設(shè)計(jì)中的重要組成部分。設(shè)計(jì)者的任務(wù)是在不改變系統(tǒng)被控對(duì)象的情況下，選擇合適的校正裝置，并計(jì)算和確定其參數(shù)，以使系統(tǒng)滿足所要求的各項(xiàng)性能指標(biāo)。按照校正裝置在系統(tǒng)中的聯(lián)接方式，控制系統(tǒng)的校正方式可以分為串聯(lián)校正、反饋（并聯(lián)）校正兩種方式。如果校正裝置Gc(s)串聯(lián)在系統(tǒng)的前向通道中，則稱其為串聯(lián)校正。如果校正裝置Gc(s)設(shè)置在系統(tǒng)的局部反饋回路的反饋通道上，則稱其為反饋校正。本章主要討論串聯(lián)校正。6.2串聯(lián)超前校正6.2.1典型超前校正裝置典型無源超前裝置如圖所示。該校正裝置的傳遞函數(shù)可表達(dá)為：其中采用該無源超前校正裝置進(jìn)行串聯(lián)校正后，會(huì)使得系統(tǒng)的開環(huán)增益下降β倍，因此需要進(jìn)行補(bǔ)償。補(bǔ)償后的無源超前校正裝置的傳遞函數(shù)為：根據(jù)上式畫出超前校正的對(duì)數(shù)頻率特性。由圖可知，超前校正裝置對(duì)頻率在和的輸入信號(hào)有明顯的微分作用，其相角曲線上相角總是超前的，即輸出信號(hào)的相角超前于輸入信號(hào)的相角。在曲線上有一個(gè)最大值，即處最大超前相角。正好處于和的幾何中心。僅與β

有關(guān)，β

值越大，則超前校正裝置的微分效應(yīng)越強(qiáng)，使系統(tǒng)的抗干擾能力明顯下降。為了保持較高的信噪比，實(shí)際用的β一般不大于20，而處得對(duì)數(shù)值為6.2.2串聯(lián)超前校正設(shè)計(jì)

超前校正裝置的主要作用是通過其相位超前效應(yīng)來改變頻率響應(yīng)曲線的形狀，產(chǎn)生足夠大的相位超前角，以補(bǔ)償原來系統(tǒng)中元件造成的過大的相位滯后。因此校正時(shí)應(yīng)使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的幅值穿越頻率)ωc處。串聯(lián)超前校正是利用超前校正裝置的正相角來增加系統(tǒng)的相位裕量，以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。利用頻率法設(shè)計(jì)超前校正裝置的步驟:1、根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；2、利用確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、確定為使相位裕量達(dá)到要求值，所需增加的超前相位角

，即，式中，

0為要求的相位裕量；

是因?yàn)榭紤]到校正裝置影響剪切頻率的位置而附加的相位裕量，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段的斜率為-40dB/dec時(shí)，取

=50

150，當(dāng)未校正系統(tǒng)中頻段斜率為-60dB/dec時(shí)，取

=150

200；4、由下式可求出校正裝置的參數(shù)β；5、若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率ωｍ作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c

，則有可見，未校正系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性幅值等于時(shí)的頻率，即為校正后系統(tǒng)的剪切頻率ω’c；6、根據(jù)ωｍ=ω’c，利用下式求超前校正裝置的參數(shù)T2由此可得，超前校正裝置加放大器Kｃ=β

后的傳遞函數(shù)為7、畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε

值，從第三步起重新計(jì)算。例6.1某汽車的方向控制系統(tǒng)如圖所示要求對(duì)其方向控制系統(tǒng)進(jìn)行校正，使控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，相位裕量不小于400。解：(1)求開環(huán)增益為(2)畫出未校正的伯德圖，計(jì)算未校正系統(tǒng)的相位裕量γ

可由對(duì)數(shù)幅頻中ωc=11.7rad/s求得(3)根據(jù)題意，至少需要超前相角為400-23.10=16.90。為了消除串聯(lián)超前校正后幅頻特性的剪切頻率右移的情況，增加50的超前相角，故則則因?yàn)?/p>

求出ωm=ωc’=15.4rad/s（4）通過求得T2=0.039得到超前校正裝置的傳遞函數(shù)為其中將其放大β倍，得到其中校正后的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(5)當(dāng)ωc=15.4rad/s時(shí)，驗(yàn)證γ校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定預(yù)量超過了要求，需降低增補(bǔ)的超前相角ε，以降低成本。6.3串聯(lián)滯后校正6.3.1典型滯后校正裝置典型無源滯后裝置如圖所示。該校正裝置的傳遞函數(shù)可表達(dá)為：其中與超前校正裝置的計(jì)算方法相同，6.3.2串聯(lián)滯后校正設(shè)計(jì)滯后校正裝置的主要作用是在高頻段造成幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量，但應(yīng)同時(shí)保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性曲線變化不大。利用頻率法設(shè)計(jì)滯后校正裝置的步驟為：1、根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；2、

利用已確定的開環(huán)增益K，畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、如未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，尋找一新的剪切頻率ω’c，在ω’c處的相位角應(yīng)滿足下式∠GK(jω’c)=-180°+r0+ε式中，r0為要求的相位裕量；ε是為補(bǔ)償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取ε=50

120；4、

為使滯后校正裝置Gc(s)對(duì)系統(tǒng)的相位滯后影響較?。ㄒ话阆拗圃?0

120），其最大滯后相角處的頻率ωm應(yīng)遠(yuǎn)小于ω’c（即ωm<<ω’c）。因此，一般取滯后校正裝置的第二個(gè)穿越頻率：ω2=1/T=(1/2

1/10)ω’c，ω2取得愈小，對(duì)系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時(shí)間常數(shù)T將很大，這也是不允許的；5、確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻率ω’c處下降到0dB所需的衰減量20lg|GK(jω’c)|因ωm<<ω’c，所以滯后校正裝置在新的剪切頻率ω’c處有20lg|Gc(jω’c)|≈-20lgα

根據(jù)在新的剪切頻率ω’c處，校正后系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值必為零，即20lg|GK(jω’c)Gc(jω’c)|=20lg|GK(jω’c)|+20lg|Gc(jω’c)|=0

由此可得，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為6、畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計(jì)算。例6.2設(shè)有一單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為要求穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)，相位裕量不小于350，增益裕量不小于10dB，試設(shè)計(jì)一個(gè)滯后校正裝置，滿足要求的性能指標(biāo)。解：(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)指標(biāo)求出K=20，并求出相位裕量為-30.60，增益裕量為-12dB。(2)取γ

=350，相角裕量為350+120=470，相角應(yīng)為-1800+470=-1330，此時(shí)為了使ω=ωc時(shí)，系統(tǒng)的伯德圖為0dB，因此滯后校正必須產(chǎn)生的幅值衰減為-24.73dB，因此并根據(jù)求得此時(shí)的滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)同的開環(huán)傳遞函數(shù)為最后驗(yàn)證校正后的系統(tǒng)滿足系統(tǒng)要求的穩(wěn)定和動(dòng)態(tài)指標(biāo)。超前校正和滯后校正的區(qū)別與聯(lián)系超前校正滯后校正原理利用超前網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性，改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。利用滯后網(wǎng)絡(luò)的高頻幅值衰減特性，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。效果(1)在ωc附近，原系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率變小，相角裕量γ與幅值裕量Kg變大。(2)系統(tǒng)的頻帶寬度增加。(3)由于γ增加，超調(diào)量下降。(4)不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，即校正前后ess不變。(1)在相對(duì)穩(wěn)定性不變的情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度提高了。(2)系統(tǒng)的增益剪切頻率ωc下降，閉環(huán)帶寬減小。(3)對(duì)于給定的開環(huán)放大系數(shù)，由于ωc附近幅值衰減，使γ、Kg及諧振峰值Mr均得到改善。超前校正滯后校正缺點(diǎn)(1)頻帶加寬，對(duì)高頻抗干擾能力下降。(2)用無源網(wǎng)絡(luò)時(shí)，為了補(bǔ)償校正裝置的幅值衰減，需附加一個(gè)放大器。頻帶變窄，使動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間變大。應(yīng)用范圍(1)ωc附近，原系統(tǒng)的相位滯后變化緩慢，超前相位一般要求小于550，對(duì)于多級(jí)串聯(lián)超前校正則無此要求。(2)要求有大的頻寬和快的瞬態(tài)響應(yīng)。(3)高頻干擾不是主要問題(1)ωc附近，原系統(tǒng)的相位變化急劇，以致難于采用串聯(lián)超前校正。(2)適于頻寬與瞬態(tài)響應(yīng)要求不高的情況。(3)對(duì)高頻抗干擾有一定的要求(4)低頻段能找到所需要的相位裕量。

超前校正和滯后校正的區(qū)別與聯(lián)系6.4串聯(lián)超前-滯后校正6.4.1串聯(lián)超前-滯后校正裝置典型無源超前-滯前裝置如圖所示。該校正裝置的傳遞函數(shù)可表達(dá)為：其中令分母多項(xiàng)式具有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，可寫為由此可見，式子前半部分是滯后作用，后半部分是超前作用，圖形的形狀由參數(shù)決定。6.4.2串聯(lián)超前-滯后校正裝置校正設(shè)計(jì)超前-滯后校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率(剪切頻率)上增大了相位裕量，提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產(chǎn)生顯著的衰減，因此在確保系統(tǒng)有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性的前提下，容許在低頻段上大大提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。利用頻率法設(shè)計(jì)滯后-超前校正裝置的步驟為：1、根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益K；2、畫出未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的Bode圖，并求出其相位裕量

和幅值裕量Kg；3、如果未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，選擇未校正系統(tǒng)斜率從-20dB/dec轉(zhuǎn)為-40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率為校正環(huán)節(jié)超前部分的轉(zhuǎn)折頻率。4、根據(jù)響應(yīng)速度的要求求出校正后系統(tǒng)的剪切頻率，并以求出β。(也可將原系統(tǒng)相位穿越頻率ωg作為校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ω’c)5、根據(jù)校正后系統(tǒng)相位裕量的要求，估算校正轉(zhuǎn)置滯后部分的轉(zhuǎn)折頻率；6、畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，并檢驗(yàn)系統(tǒng)的性能指標(biāo)是否已全部滿足要求。6.5常用控制規(guī)律6.5.1P控制規(guī)律在系統(tǒng)校正中引入P控制規(guī)律來增大系統(tǒng)開環(huán)增益，可提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，但系統(tǒng)的穩(wěn)定程度會(huì)受到破壞，甚至出現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象。6.5.2PD控制規(guī)律PD控制中的微分控制規(guī)律反映的是輸入信號(hào)變化的趨勢，因此PD控制能夠在輸入信號(hào)（偏差）變得過大之前“超前”感知輸入信號(hào)的變化，提前進(jìn)行控制，對(duì)于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性、減小系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、縮短調(diào)節(jié)時(shí)間有較好的效果。6.5.3PI控制規(guī)律PI控制中的積分控制規(guī)律反映的是輸入信號(hào)對(duì)時(shí)間的積分，當(dāng)輸入信號(hào)（偏差）為零時(shí)，輸出信號(hào)m(t)仍然存在，因此積分作用與P

控制和PD

控制不同，不依賴于偏差存在，控制作用的結(jié)果可以實(shí)現(xiàn)無殘差。6.5.4PID控制規(guī)律與PI控制相比，PID控制除了可以提高穩(wěn)態(tài)精度外，還由于增加了D控制作用，控制器輸出能根據(jù)偏差的變化趨勢進(jìn)行“超前”調(diào)節(jié)，在動(dòng)態(tài)特性上大大改善，因?yàn)閷?duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)與動(dòng)態(tài)性能都有較好的控制效果，PID控制在工程實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。42謝謝大家！43《自動(dòng)控制原理》

第七章離散控制系統(tǒng)7.1信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)7.2z變換與z反變換7.3采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.4采樣系統(tǒng)性能分析

在連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)各處的信號(hào)都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，這種在時(shí)間上連續(xù)，在幅值上也連續(xù)的信號(hào)稱為連續(xù)信號(hào)或模擬信號(hào)。近年來，隨著脈沖技術(shù)和數(shù)字計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，離散控制系統(tǒng)的應(yīng)用越來越廣泛。與連續(xù)系統(tǒng)顯著不同的特點(diǎn)是離散系統(tǒng)中至少有一處或幾處信號(hào)在時(shí)間上為離散的脈沖或數(shù)字信號(hào)。實(shí)際中，當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)中的信號(hào)以間斷方式獲得時(shí)，該連續(xù)系統(tǒng)也就變成離散系統(tǒng)。圖中的A/D和D/A轉(zhuǎn)換器起著模擬量與數(shù)字量之間的轉(zhuǎn)換作用。A/D轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開關(guān)，D/A相當(dāng)于一個(gè)保持器。由于這類系統(tǒng)中有采樣脈沖或數(shù)碼信號(hào)，因此對(duì)這類系統(tǒng)的研究雖然可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)中應(yīng)用的方法，但還需要研究它本身的特殊性。7.1信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn)7.1.1信號(hào)的采樣將連續(xù)信號(hào)加到采樣開關(guān)K的輸入端，采樣開關(guān)以周期T秒閉合一次，閉合的持續(xù)時(shí)間為τ秒，在閉合期間，截取被采樣的幅值，作為采樣開關(guān)的輸出。開關(guān)閉合的持續(xù)時(shí)間τ很短，遠(yuǎn)小于采樣周期T和裝置的時(shí)間常數(shù)，因而τ可近似地認(rèn)為趨于零，即把實(shí)際的窄脈沖視為理想脈沖。

7.1.2信號(hào)的復(fù)現(xiàn)1、采樣定理系統(tǒng)中通常要把采樣信號(hào)恢復(fù)成原連續(xù)信號(hào)。但是信號(hào)能否恢復(fù)到原來的形狀，主要決定于采樣信號(hào)是否包含反映原信號(hào)的全部信息。香農(nóng)采樣定理：假設(shè)原信號(hào)的最高次諧波的角頻率為，采樣信號(hào)的采樣角頻率為，如果采樣周期滿足下列條件，即則可無失真地再恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)。2、保持器若采樣頻率滿足采樣定理，把采樣后的信號(hào)通過理想的低通濾波器濾去高頻分量，濾波器的輸出就是原來的連續(xù)信號(hào)。由于理想頻率特性的濾波器是不存在的。工程上只能采用具有低通濾波功能的保持器來代替。保持器是將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)的裝置，可分為零階、一階和二階保持器。零階保持器的作用是把當(dāng)前時(shí)刻的采樣值，保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻到來之前。零階保持器的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)幅值為1、寬度為T的矩形波對(duì)上式取拉氏變換，可求得零階保持器的傳遞函數(shù)為其頻率特性為，代入上式繪出零階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線7.2z變換與z反變換7.2.1z變換采樣信號(hào)對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換令，將記作，就變成了以復(fù)變量z為自變量的函數(shù)。稱此函數(shù)為的z變換。記作采樣函數(shù)z的變換是變量z的冪級(jí)數(shù)

表示采樣脈沖的幅值；z的冪次表示該采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻，包含著量值與時(shí)間的概念。7.2.2變換的性質(zhì)與拉氏變換的性質(zhì)相類似，z變換有線性定理、位移（時(shí)位移、復(fù)位移）定理、初值定理和終值定理等。見書中附表。特別注意終值定理。7.2.3z變換的求法1、級(jí)數(shù)求和法根據(jù)定義求解例7.1己知，求其z變換。解：則它的z變換式為令，則上式所示的等比數(shù)列是收斂的?？梢缘玫疆?dāng)時(shí)a=0，由上式可得到單位階躍函數(shù)的變換為2、部分分式法設(shè)f(t)的拉氏變換F(s)為將上式展開為部分分式和的形式，即則相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為由上例中的結(jié)果求取f(t)的z變換。例7.2求的z變換解：用部分分式法對(duì)上式展開得其原函數(shù)為由式例7.1可求出3、用查表法求若已知函數(shù)的拉氏變換，用部分分式法將其展開，查附錄1對(duì)應(yīng)即可。7.2.4z反變換將變換為采樣信號(hào)的過程為z反變換。z反變換可以記作求z反變換的方法通常有以下兩種：1、長除法把式展開成按升冪排列的冪級(jí)數(shù)后相除

項(xiàng)的系數(shù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻時(shí)值例7.3求的z反變換解：進(jìn)行長除法運(yùn)算得到查表得到2、部分分式展開法此法與用部分分式展開法求拉氏變換的思路類同。即是將通過部分分式分解為低階的分式之和，直接從z變換表中求出各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的z反變換，然后相加得到。例7.4

已知解：將F(z)展成部分分式查表，得到所以7.3采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義采樣控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型是脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的定義為：在零初始條件下，輸出離散時(shí)間信號(hào)的z變換C(z)與輸入離散信號(hào)的z變換R(z)之比，即其中從物理意義來看，離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)采樣值的z變換，即

是單位沖激響應(yīng)的離散表示。若系統(tǒng)的輸入，則輸出信號(hào)的z變換。7.3.2開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，環(huán)節(jié)之間有、無采樣開關(guān)的存在，其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不同的。當(dāng)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)存在，根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義得則脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)存在，根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，脈沖傳遞函數(shù)為由此可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣器隔開時(shí)，則等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積經(jīng)采樣后的變換。當(dāng)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)為例7.7

假設(shè)圖原中，，試求兩種連接形式的脈沖傳遞函數(shù)。解：對(duì)于第一種連接，脈沖傳遞函數(shù)為對(duì)于第二種連接，脈沖傳遞函數(shù)為例7.8

求零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖如圖所示。解：具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為因?yàn)樗圆閦變換表，進(jìn)行z變換，得2、并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)顯然有即n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，等效脈沖傳遞函數(shù)為所有環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的和。7.3.3閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計(jì)算方法

采用按定義計(jì)算，根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)列寫出各變量之間的關(guān)系式，然后消去中間變量，求得系統(tǒng)輸出量的z變換與輸入量的z變換之比。例7.9求出下圖所示系統(tǒng)的C(z)解：對(duì)于連續(xù)環(huán)節(jié)，有對(duì)于連續(xù)環(huán)節(jié)，有代入得到采樣后有取z變換后，整理得因?yàn)椴蓸雍笞詈筮M(jìn)行z變換得到2、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡易計(jì)算方法如果系統(tǒng)從輸入信號(hào)進(jìn)入反饋回路后，至回路輸出節(jié)點(diǎn)前，至少有一個(gè)真實(shí)的采樣開關(guān)，這時(shí)可以用簡易法計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。其步驟為：（1）將離散系統(tǒng)中的采樣開關(guān)去掉，求出對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式；（2）表達(dá)式中各環(huán)節(jié)乘積項(xiàng)需逐個(gè)決定其“*”號(hào)。（3）取變換，把有“*”號(hào)的單項(xiàng)中的變換為，多項(xiàng)相乘后僅有一個(gè)“*”號(hào)的其變換等于各項(xiàng)傳遞函數(shù)乘積的變換。例7.10

系統(tǒng)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)解：去掉采樣開關(guān)后，連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式為對(duì)上式進(jìn)行脈沖變換（加“*”）變量置換得7.4采樣系統(tǒng)性能分析7.4.1采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能無論連續(xù)系統(tǒng)還是采樣系統(tǒng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能都和系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位置有密切關(guān)系。研究采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）在平面上的位置，可以定性地了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響，這對(duì)系統(tǒng)分析和校正均具有指導(dǎo)意義。一般情況下，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以表示為系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)作用下，輸出z變換為取z反變換，求得系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻的離散值式中第一項(xiàng)為的穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)為的暫態(tài)分量。1、實(shí)數(shù)極點(diǎn)（1）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律變化。又當(dāng)①，系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。②，極點(diǎn)在單位圓與正實(shí)軸的交點(diǎn)上，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為等幅序列。系統(tǒng)則處于穩(wěn)定邊界。③，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)軸上，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量按指數(shù)規(guī)律衰減。且極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，其值越小且衰減越快。（2）設(shè)為負(fù)實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量按正負(fù)交替方式振蕩。①，極點(diǎn)在單位圓外的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為正負(fù)交替發(fā)散振蕩形式。②，極點(diǎn)在單位圓與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為正負(fù)交替等幅振蕩形式。③，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為正負(fù)交替收斂振蕩形式。2、復(fù)數(shù)極點(diǎn)當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，則必為共扼復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量為余弦振蕩形式，振蕩角頻率與共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)的幅角有關(guān)。1)，極點(diǎn)在單位圓外的平面上，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為增幅振蕩形式，系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的2)，極點(diǎn)在單位圓上，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為等幅振蕩形式，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。3)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，則對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量為衰減振蕩形式。7.4.2采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于平面單位圓的內(nèi)部。1、z平面與s平面的影射關(guān)系因?yàn)橐虼怂詓平面上的虛軸對(duì)應(yīng)到z平面上，幅角由-π經(jīng)0變化到+π，相應(yīng)的點(diǎn)在平面上逆時(shí)針畫出一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為１的單位圓。當(dāng)幅角由-

時(shí)+

，相應(yīng)的點(diǎn)就沿單位圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)無窮多圈。平面的虛軸映射到平面上，是以原點(diǎn)為圓心、半徑為１的單位圓。s平面左半平面映射到z平面上是單位圓內(nèi)部；s平面右半平面映射到z平面上是單位圓外部區(qū)域。例7.11

圖所示系統(tǒng)中，設(shè)采樣周期T=1秒，試分析當(dāng)K=4和K=5時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為（1）將K=4和T=1代入方程，得解得由于z1、z2均在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）將K=5和T=1代入方程，得解得由于z2在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、勞斯穩(wěn)定判據(jù)使z平面的單位圓內(nèi)映射到一個(gè)新的平面的虛軸之左，此新的平面我們稱為w平面。在此平面上，我們就可直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。作雙線形變換同時(shí)有令、，代入整理，得若有即為z平面中的單位圓方程，若極點(diǎn)在z平面的單位圓內(nèi)，則有，對(duì)應(yīng)于w平面中的，即虛軸以左；若，則為z平面的單位圓外，對(duì)應(yīng)于w平面中的，就是虛軸以右。利用上述變換，可直接應(yīng)用連續(xù)系統(tǒng)中所介紹的勞斯穩(wěn)定判據(jù)來判別離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例7.12已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期秒。試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)