自動(dòng)控制原理 第3版 課件 陶洪峰 05 頻率法

第5章頻率響應(yīng)法

本章重點(diǎn)研究的內(nèi)容（5個(gè)）：頻率特性及圖示法、典型環(huán)節(jié)的頻率特性、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計(jì)算。（1）頻率特性具有明確的物理意義，其數(shù)學(xué)模型可以用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定，這對(duì)于難以列寫(xiě)微分方程式的元部件或系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，具有重要的實(shí)際意義。（2）主要利用開(kāi)環(huán)頻率特性圖的特點(diǎn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。（3）頻率響應(yīng)法不僅適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析。頻率特性的特點(diǎn)：5.1頻率特性的基本概念定義：頻率特性又稱(chēng)頻率響應(yīng)，它是線(xiàn)性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件），在不同頻率的正弦信號(hào)作用下，響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出與輸入的復(fù)數(shù)比。定義表達(dá)式為理解：因?yàn)榫€(xiàn)性定常系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加性和齊次性，因此當(dāng)其輸入端施加一正弦信號(hào)，系統(tǒng)響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)必為一與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，且輸出響應(yīng)的幅值和相位均為輸入信號(hào)頻率的函數(shù)。3設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)為證明：其中，Cl、B、D均為待定系數(shù)。響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)有：（穩(wěn)態(tài)分量）（暫態(tài)分量）其穩(wěn)態(tài)分量為：由于:所以:（歐拉公式）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位設(shè)：則有：用復(fù)數(shù)指數(shù)形式表示為：則，系統(tǒng)的頻率特性為：頻率特性的物理意義：反映了系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）對(duì)于正弦輸入信號(hào)幅值和相位的改變情況。對(duì)幅值的改變，變現(xiàn)為放大器的特性；對(duì)于相位的改變表現(xiàn)為移相器的特性。定義：

為系統(tǒng)幅頻特性，反映系統(tǒng)輸出與輸入的幅值之比。（1）為系統(tǒng)相頻特性，反映系統(tǒng)輸出與輸入的相位之差。（2）三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系輸出響應(yīng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)有：

t→∞

s=σ+jω→jω

G(jω)=G(s)|s=jω頻率特性的表示形式

代數(shù)形式：G(jω)=P(ω)+jQ(ω)

幅相(極坐標(biāo))式：G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)

指數(shù)式：G(jω)=A(ω)ejφ(ω)實(shí)頻特性虛頻特性

正弦式：G(jω)=A(ω)[cosφ(ω)+jsinφ(ω)]四種表達(dá)式之間的關(guān)系圖5.1復(fù)數(shù)的表示

極坐標(biāo)圖（幅相頻率特性圖或奈奎斯特圖，簡(jiǎn)稱(chēng)奈氏圖）的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡稱(chēng)為奈氏曲線(xiàn)，構(gòu)成的圖形稱(chēng)為奈氏圖。定義：當(dāng)輸入信號(hào)的頻率連續(xù)變化時(shí)，向量頻率特性的幾何圖示法★

特點(diǎn)：是一種復(fù)平面中的極坐標(biāo)曲線(xiàn)，因此也稱(chēng)為極坐標(biāo)圖。一般為繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的一條曲線(xiàn)。曲線(xiàn)上面必須表明ω↑的方向。A(ω)φ(ω)ω作用：主要用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性—乃氏穩(wěn)定判據(jù)圖5.2乃氏曲線(xiàn)的特點(diǎn)特點(diǎn)：乃氏曲線(xiàn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；一般情況下都終止于坐標(biāo)原點(diǎn)，只有當(dāng)n=m時(shí)終止于實(shí)軸上的有限點(diǎn)；

0型系統(tǒng)起始于正實(shí)軸上的有限點(diǎn)；Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)分別沿-90°和-180°方向起始于無(wú)窮遠(yuǎn)處。對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖---Bode圖特點(diǎn)：兩條曲線(xiàn)繪在同一對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中。

橫坐標(biāo)ω/s-1：按10倍頻程(dec)即lgω分度，但標(biāo)注ω的真值。縱坐標(biāo)：按線(xiàn)性分度L(ω)/dB：0，±20，±40等。φ(ω)：0°，±90°，±180°等。作用：用實(shí)驗(yàn)法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)；進(jìn)行系統(tǒng)的性能校正。ω1ω2ΔL(ω)α0.1110102103ω/s-1(-10123(lgω)

φ(ω)6040200-20-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec圖5.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)系的表示L(ω)/dB90°0°-90°-180°0.1110102103ω/s-1(1)橫坐標(biāo)按lgω刻度，但標(biāo)的是ω的真值。(2)斜率±20dB/dec表示ω每增加10倍頻程，幅值L(ω)上升或下降20dB。(3)根據(jù)直線(xiàn)斜率的定義有:-40=-tanα=-ΔL(ω)/lg(ω2/ω1)則:ΔL(ω)=40lg(ω2/ω1)注意：L(ω)/dB

φ(ω)00.300.480.700.850.95

0.600.780.901

lgω圖5.410倍頻程的表示1234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0ω/s-1注意：(1)橫坐標(biāo)按lgω刻度，但標(biāo)的是ω的真值。(2)每10倍頻程，距離相等，但10倍頻程內(nèi)按lgω分度，所以刻度由稀逐漸到密。§5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

奈氏圖的繪制——“三點(diǎn)法”

起點(diǎn)：ω→0，[A(0),φ(0)]終點(diǎn)：ω→∞，[A(∞),φ(∞)]與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)：令φ(ω)

=-180°→ωx

則交點(diǎn)為[A(ωx)，-180°]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→A(ω)：起止位置φ(ω)

：起止方向相位穿越

(截止、剪切)頻率注意：由φ(0)→φ(∞)的變化范圍可判斷乃氏圖所在的象限。一、頻率特性的概略繪制

Bode圖的繪制——“兩段一點(diǎn)法”

低頻段漸近線(xiàn)：ω→0，L(0)；φ(0)高頻段漸近線(xiàn)：ω→∞，L(∞)；φ(∞)轉(zhuǎn)折點(diǎn)：高低頻段漸近線(xiàn)的交點(diǎn)。令L(0)=L(∞)→ω0→交點(diǎn)[ω0，

L(ω0)]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→L(ω)=20lgA(ω)φ(ω)對(duì)于相頻特性就是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)二、典型環(huán)節(jié)(8個(gè))的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)圖5.5比例環(huán)節(jié)奈氏圖（K，0°）（1）奈氏圖與ω?zé)o關(guān)，是正實(shí)軸上的一個(gè)點(diǎn)（K，0°）。（2）Bode圖L(ω)=20lgKφ(ω)=0°是與ω?zé)o關(guān)的兩條水平線(xiàn)。圖5.6比例環(huán)節(jié)的Bode圖作用：比例環(huán)節(jié)只改變?cè)到y(tǒng)的幅值（K＜1，降低；K

＞1，抬高），不改變?cè)到y(tǒng)的相位。2.積分環(huán)節(jié)（1）奈氏圖圖5.7積分環(huán)節(jié)奈氏圖ω起點(diǎn)：[∞,-90°]；終點(diǎn)：[0,-90°]特點(diǎn)：是一條與負(fù)虛軸重合并指向坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)。（2）Bode圖

L(ω)=-20lgω，是一條斜率為-20dB/dec，過(guò)(1,0)點(diǎn)的直線(xiàn)。

φ(ω)=-90°，是一條與ω?zé)o關(guān)的-90°直線(xiàn)。圖5.8積分、微分環(huán)節(jié)Bode圖積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)3.純微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為“倒數(shù)”（1）奈氏圖起點(diǎn):(0,90°);終點(diǎn):(∞,90°)是一條與正虛軸重合，由坐標(biāo)原點(diǎn)指向∞的直線(xiàn)。圖5.9微分環(huán)節(jié)奈氏圖3.純微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)注意：傳遞函數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，其

Bode圖以ω軸為鏡像對(duì)稱(chēng)。（2）Bode圖幅頻：L(ω)=20lgω，是一條斜率為+20dB/dec，并過(guò)(1,0)點(diǎn)的直線(xiàn)。相頻：φ(ω)=90°,是一條與ω?zé)o關(guān)的+90°直線(xiàn)。積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)4.慣性環(huán)節(jié)（1）奈氏圖

起點(diǎn)：（1,0°）終點(diǎn)：（0,-90°）特點(diǎn)：慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是位于第四象限的半圓。圖5.10

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖（1,0°）Re0Imω（2）Bode圖聯(lián)立消去ω可以得到實(shí)部和虛部的關(guān)系式：故，慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心為點(diǎn)（0.5，j0）上，半徑為0.5的半園（ω=0~∞）。證明：實(shí)頻特性和虛頻特性為低頻段：ω→0L(ω)≈0dB，幅頻特性是一條0dB的直線(xiàn)。φ(ω)≈0°，相頻特性是一條0°的直線(xiàn)。高頻段：ω→∞L(ω)≈-20lgωT=-20lgω-20lgT

幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的直線(xiàn)φ(ω)≈-90°

相頻特性是一條-90°的直線(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)：令-20lgωT=0dB或令-arctanωT=-45°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T

轉(zhuǎn)折點(diǎn)的實(shí)際幅頻值：L(1/T)=-20lg

≈-3dB

轉(zhuǎn)折點(diǎn)的相位：φ(1/T)≈-45°低頻漸近線(xiàn)

高頻漸近線(xiàn)

精確曲線(xiàn)

Asymptote

Asymptote

Cornerfrequency：ωn=1/T=10Exactcurve精確曲線(xiàn)

Exactcurve圖5.11慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率響應(yīng)的誤差修正曲線(xiàn)見(jiàn)P121圖5-15。5.一階微分環(huán)節(jié)圖5.13一階微分環(huán)節(jié)奈氏圖（1）奈氏圖

起點(diǎn)：（1,0°）終點(diǎn)：（∞,90°）特點(diǎn)：一階微分環(huán)節(jié)的乃氏圖是位于第Ⅰ象限（0°→90°）的垂線(xiàn)。傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)互為倒數(shù)。（2）Bode圖轉(zhuǎn)折點(diǎn)：令20lgωT=0dB或令arctanωT=45°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T，與慣性環(huán)節(jié)相同，特性曲線(xiàn)與慣性環(huán)節(jié)以ω軸為鏡像對(duì)稱(chēng)。低頻段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低頻段與慣性環(huán)節(jié)相同高頻段：ω→∞L(ω)≈20lgωTφ(ω)≈90°高頻段與慣性環(huán)節(jié)互為相反數(shù)，即以ω軸為鏡像對(duì)稱(chēng)。BodeDiagramofG(jw)=jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)051015202510010110204590圖5.14一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖

6.振蕩環(huán)節(jié)（1）奈氏圖起點(diǎn)：(1,0°)，終點(diǎn)：(0,-180°)特點(diǎn)：振蕩環(huán)節(jié)的奈氏曲線(xiàn)是位于第Ⅳ、Ⅲ象限(0°→180°)，隨ζ變化的一簇曲線(xiàn)。ω=ωr時(shí)有諧振：與負(fù)虛軸的交點(diǎn)：令φ(ω)=-90°得：ω=ωn=1/T，A(ωn)=1/2ζ圖5-15振蕩環(huán)節(jié)奈氏圖低頻段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低頻段與一階環(huán)節(jié)相同（2）Bode圖高頻段：ω→∞L(ω)≈-40lgωT

幅頻特性是一條斜率為-40dB/dec的直線(xiàn)。φ(ω)≈-180°相頻特性是一條-180°的直線(xiàn)。

轉(zhuǎn)折點(diǎn)：令-40lgωT=0dB或令arctanωT=-90°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn=1/T，與一階環(huán)節(jié)相同。

L(ωn)=-20lg1/2ζ，φ(ωn)=-90°諧振點(diǎn)：

L(ωr)=-20lgA(ωr)=-20lgMr=特點(diǎn)：振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖是隨ζ變化的一簇曲線(xiàn)。當(dāng)ζ值在一定范圍內(nèi)時(shí)，其相應(yīng)的精確曲線(xiàn)都有峰值，漸近線(xiàn)誤差隨ζ不同而不同，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近為最大，并且ζ值越小，誤差越大。圖5.16振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖誤差修正曲線(xiàn)見(jiàn)P124圖5-20所示。ωnωrω7.二階微分環(huán)節(jié)圖5.18二階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖（1）奈氏圖（2）Bode圖—

與振蕩環(huán)節(jié)以ω軸為鏡像對(duì)稱(chēng)。8.延遲環(huán)節(jié)圖5.19延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖Im0Re1-1（1）奈氏圖延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一單位園。（2）Bode圖=-τωω01K

ReIm?ωωωωω1比例2積分3微分4慣性5一階微分6振蕩7二階微分8滯后

結(jié)論：零點(diǎn)環(huán)節(jié)（三種微分環(huán)節(jié)），相位為正，奈氏圖位于上半平面；無(wú)零點(diǎn)環(huán)節(jié)（積分、慣性、振蕩）相位為負(fù)，奈氏圖位于下半平面；比例環(huán)節(jié)奈氏圖為正實(shí)軸上的（K,0°）點(diǎn)；滯后環(huán)節(jié)奈氏圖為單位圓。典型環(huán)節(jié)奈氏圖小結(jié)（1）無(wú)轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)：（比例、積分和純微分）對(duì)數(shù)幅頻特性是高度為20lgKdB的水平線(xiàn)、過(guò)(1,0)點(diǎn)斜率為-20dB/dec和+20dB/dec的直線(xiàn)；對(duì)數(shù)相頻特性為0°、-90°和+90°水平線(xiàn)。（2）有轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)（慣性、比例微分、振蕩）：對(duì)數(shù)幅頻低頻段均為0dB水平線(xiàn)，高頻段斜率分別為：-20、+20、-40dB/dec；對(duì)數(shù)相頻特性低頻段是0°水平線(xiàn)，高頻段是相位分別為-90°、+90°

、-180°的水平線(xiàn)；轉(zhuǎn)折點(diǎn)的頻率為1/T。

系統(tǒng)階次每增加一次，其對(duì)數(shù)幅頻特性高頻段斜率增加-20dB/dec；對(duì)數(shù)相頻特性高頻段相位增加

-90°。

本節(jié)結(jié)束！典型環(huán)節(jié)Bode圖小結(jié)37一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖。

其中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)組成，即：則，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：結(jié)論：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值之積；相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性相角之和?！?.3控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性…5.3.1概述系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為：

特點(diǎn)：開(kāi)環(huán)頻率特性的低頻段決定于比例環(huán)節(jié)K和積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)ν。開(kāi)環(huán)頻率特性的高頻段決定于比例環(huán)節(jié)K、各有限環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)（T、τ）和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n、開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m。其中：低頻段：ω→0G（jω）≈K/（jω）ν=

高頻段：ω→∞，G（jω）≈

5.3.2開(kāi)環(huán)乃氏圖的繪制——三點(diǎn)法

起點(diǎn)（低頻段ω→0）乃氏圖的起始位置乃氏圖的起始方向ν=0，乃氏圖起始于正實(shí)軸上的(K，0°)點(diǎn)；ν=1，乃氏圖起始于(∞，-90°)點(diǎn)，即由無(wú)窮遠(yuǎn)處沿趨于與負(fù)虛軸重合的方向出發(fā)。ν=2，乃氏圖起始于(∞，-180°)點(diǎn)，即由無(wú)窮遠(yuǎn)處沿著趨于與負(fù)實(shí)軸重合的方向出發(fā)。n=m，乃氏圖終止于正實(shí)軸上的(K′，0°)點(diǎn)；n

＞m

，乃氏圖終止于[0，-90°(n-m)]點(diǎn)，即沿坐標(biāo)軸的方向終止于坐標(biāo)原點(diǎn)。2.終點(diǎn)（高頻段ω→∞）乃氏圖終止位置乃氏圖終止方向3.與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)

計(jì)算方法：令φ(ω)=-180°或令求得相位截止頻率ωx，則交點(diǎn)為[A(ωx),-180°]

（a）乃氏圖終止段（b）乃氏圖起始段圖5.23開(kāi)環(huán)乃氏圖的起始和終止形狀4.

中頻段的特點(diǎn)(1)無(wú)零點(diǎn)系統(tǒng)：如果系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則當(dāng)ω從0到∞的變化過(guò)程中，頻率特性的相位角單調(diào)連續(xù)減小，乃氏圖變化平滑。（2）有零點(diǎn)系統(tǒng)：如果系統(tǒng)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，則當(dāng)ω從0到∞的變化過(guò)程中，頻率特性的相位角不呈單調(diào)連續(xù)減小，極坐標(biāo)圖可能出現(xiàn)凹凸，其程度取決于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的位置。如圖5.24(b)、(c)所示。圖5.24開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)乃氏圖中頻段的影響ω→0【例5.1】已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函分別如下，試畫(huà)出其奈氏圖。繪制方法：典型環(huán)節(jié)疊加法和分段疊加法。5.3.3

開(kāi)環(huán)Bode圖的繪制分段疊加法——低頻段+中、高頻段

低頻段漸進(jìn)線(xiàn)：ω→0或ω＜＜ω1低頻段幅頻Bode圖表達(dá)式：特點(diǎn)：（1）是一條斜率為-20ν的直線(xiàn)[dL(ω)/dlgω=-20ν

]。（2）該直線(xiàn)過(guò)兩個(gè)特殊點(diǎn)（1，20lgK）和（K1/ν，0）。（3）K決定了低頻段的高度，ν決定了低頻段的斜率。L(ω)/dB-40ν=2

ν=1

-20Kω/s-11ν=0

20lgK相頻Bode圖表達(dá)式：只決定于ν。

中、高段漸進(jìn)線(xiàn)：

中頻段：ω1

＜ω＜ωn；高頻段：ω→∞或ω＞＞ωn

特點(diǎn)：①中、高頻段漸進(jìn)線(xiàn)決定于除比例和積分環(huán)節(jié)以外的其它有限環(huán)節(jié)②幅頻特性按照轉(zhuǎn)折頻率分段進(jìn)行斜率疊加；相頻特性分段進(jìn)行相位疊加。③高頻漸近線(xiàn)斜率為-20(n-m)dB/dec；相位為-90°(n-m)。④各有限環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率和相位分別為：0性系統(tǒng)為0°線(xiàn)，Ⅰ性系統(tǒng)為-90°線(xiàn)，Ⅱ型系統(tǒng)為-180°線(xiàn)。有限環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)斜率（dB/dec）（低頻，高頻）相位（低頻~高頻）慣性0，-200°~-90°一階微分0，+200°~+90°振蕩0，-400°~-180°二階微分0，+400°~+180°有轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的斜率和相位注意：各環(huán)節(jié)幅頻特性的斜率與相頻特性的相位之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。寫(xiě)出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式，將其標(biāo)準(zhǔn)化（為了正確求出K和ν值）

；并計(jì)算20lgK。計(jì)算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（ωi=1/Ti或τi），由小到大排列并依次標(biāo)在頻率軸上。

繪低頻段：幅頻：過(guò)（1，20lgK）點(diǎn)作-20νdB/dec直線(xiàn)至ω1；或者過(guò)（1，20lgK）點(diǎn)和（K1/ν，0）作直線(xiàn)至ω1。相頻：作低頻漸近線(xiàn)至ω1之前。4.繪中、高頻段：從ω1開(kāi)始依次疊加各對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)高頻段的斜率（相位），并據(jù)此依次改變幅頻（相頻）曲線(xiàn)，直到最后一個(gè)環(huán)節(jié)為止，則得到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅頻（相頻）Bode圖。

開(kāi)環(huán)Bode圖的繪制步驟：

【例題分析】系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制其Bode圖。5.3.4

最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)1.定義：

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面內(nèi)無(wú)任何極點(diǎn)和零點(diǎn)（即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有正實(shí)部的零、極點(diǎn)）的系統(tǒng)，稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)；開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面內(nèi)至少有一個(gè)極點(diǎn)或或零點(diǎn)的系統(tǒng)，稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)。2.特點(diǎn)：①幅值相同的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位是最小的。②實(shí)際工程應(yīng)用的系統(tǒng)大部分都是由典型環(huán)節(jié)組成，因此均為最小相位系統(tǒng)。③最小相位系統(tǒng)，其幅頻Bode圖和相頻Bode圖隨ω的變化規(guī)律具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此其特性可由單一的幅頻曲線(xiàn)唯一確定；非最小相位系統(tǒng)特性由幅頻和相頻共同確定。

顯然，G1(s)為最小相位系統(tǒng)，而G2(s)為非最小相位系統(tǒng)，但它們具有相同的幅頻特性，即:

而相頻特性則不同:

重要結(jié)論：最小相位系統(tǒng)：，而非最小相位系統(tǒng)無(wú)此關(guān)系。因此。最小相位系統(tǒng)的特性可由L(ω)單獨(dú)確定，而非最小相位系統(tǒng)特性則由共同決定。【例】

兩系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函分別為：和5.3.5傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)法確定

依據(jù)：最小相位系統(tǒng)L(ω)G(s)。

思路：先由頻率特性實(shí)驗(yàn)測(cè)得系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Bode曲線(xiàn)，然后分別用斜率為0dB/dec、±20dB/dec的直線(xiàn)段逼近確定分段漸近線(xiàn)，最后根據(jù)下列步驟進(jìn)行。

(1)由低頻段確定ν和K：由圖得：低頻段斜率=-20ν→ν；由圖得：ω=1對(duì)應(yīng)的低頻段或其延長(zhǎng)線(xiàn)的高度=20lgK→K或由圖得低頻段或其延長(zhǎng)線(xiàn)與ω軸的交點(diǎn)頻率ω0=K1/ν→K。(2)由中、高頻段的轉(zhuǎn)折頻率確定各有限環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T(τ)：幅值抬高，則對(duì)應(yīng)微分環(huán)節(jié)，ωi=1/τi

，抬高+20dB/dec，則為（τis+1），抬高+40dB/dec，則為（τis+1）2。幅值下降，則對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)，ωi=1/Ti。

下降-20dB/dec→，下降-40dB/dec時(shí)有兩種情況：若沒(méi)有諧振，則為雙慣性，若有諧振，則為振蕩，必須按照已知的諧振頻率和幅值求出對(duì)應(yīng)的ωn和ζ，才能寫(xiě)出該環(huán)節(jié)的傳函如下。自學(xué)例題5-5，5-6作業(yè)：習(xí)題5-3(2)(5)(6)5-5(a)(b)(d)本節(jié)結(jié)束！§5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—奈氏判據(jù)（1）奈氏判據(jù)是根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種幾何判據(jù)。（2）奈氏判據(jù)不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，當(dāng)系統(tǒng)某些環(huán)節(jié)（延遲）無(wú)法用分析法寫(xiě)出時(shí)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)法獲得系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）奈氏判據(jù)能給出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（幅值裕量、相位裕量）來(lái)描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，能指出提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的途徑，因而這種方法在工程上獲得廣泛的應(yīng)用。（4）依據(jù)：映射（幅角）原理和系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。5.4.1

引言——奈氏判據(jù)的特點(diǎn)：本節(jié)主要內(nèi)容：奈氏判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計(jì)算。先看下面對(duì)應(yīng)關(guān)系因此，可稱(chēng)[GH]中(-1,j0)點(diǎn)為使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)臨界點(diǎn)。5.4.2幅角原理—映射原理(1)輔助函數(shù)F(s)設(shè)則：Dk(s)=N1(s)N2(s)令令引入輔助函數(shù)—復(fù)變函數(shù)F(s)的特點(diǎn)：其零點(diǎn)是閉環(huán)極點(diǎn)，其極點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，因此F(s)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)（用Z表示）相同。系統(tǒng)穩(wěn)定條件是閉環(huán)所有極點(diǎn)即F(s)的所有零點(diǎn)全部位于[s]左半平面。(2)幅角原理（映射原理）

對(duì)于[s]內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)Γs

，在[F(s)]內(nèi)都能映射出另一封閉曲線(xiàn)ΓF；當(dāng)Γs包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，且Γs不通過(guò)F(s)的任何零、極點(diǎn)時(shí)，則當(dāng)s順時(shí)針?lè)较蜓卅?/p>

s轉(zhuǎn)一圈時(shí)，ΓF

逆時(shí)針包圍其坐標(biāo)原點(diǎn)N圈，且N=P-Z。如下圖說(shuō)明：Γ

sjω[s]σ0ΓFjω[F(s)]σ0z

ip

lF(s)的零點(diǎn)（Z個(gè)）極點(diǎn)（P個(gè)）N圈(3)奈氏路徑及映射

選取[s]右半平面邊界線(xiàn)為Γs，稱(chēng)為奈氏路徑。如圖有：ω=-j∞→0-→0+→+j∞→-j∞即：奈氏路徑=虛軸+半徑為∞的半圓而半徑為∞的半圓可表示為：因n≥m，所以此時(shí)有：或1+K

可見(jiàn)：[s]內(nèi)的奈氏路徑即Γs曲線(xiàn)在[F(s)]內(nèi)的映射即ΓF曲線(xiàn)只決定于虛軸，即ω=-j∞→0-→0+→+j∞的部分。而此時(shí)的ΓF即F(jω)曲線(xiàn)。

特別說(shuō)明：在奈氏路徑中，ω=-∞→0-和ω=0+→+∞是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的，所以一般只需畫(huà)出ω=0+→+∞的虛軸及其在[F(s)]平面的映射部分即可，為使奈氏判據(jù)使用起來(lái)簡(jiǎn)單，下面的討論均指ω=0+→+∞的虛軸及其映射部分。(4)[F(s)]與[GH]的映射關(guān)系F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=-1+F(s)[F(s)]坐標(biāo)原點(diǎn)[GH]即為（-1,j0）點(diǎn)

所以：當(dāng)ω=0+→+∞變化時(shí)，[F(s)]內(nèi)ΓF逆時(shí)針包圍其坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)N=奈氏曲線(xiàn)G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍[GH]內(nèi)（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。即有下面對(duì)應(yīng)關(guān)系：Γs

ΓF

ΓGH

ω=0+→+∞[s]第一象限邊界線(xiàn)

奈氏曲線(xiàn)G(jω)H(jω)

F(jω)曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)ω=0+→+∞的部分63

由此，幅角原理可以敘述為：如果某系統(tǒng)在[s]右半平面中含其閉環(huán)傳遞的Z個(gè)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)傳函的P個(gè)極點(diǎn)時(shí)，則[s]右半平面的包絡(luò)線(xiàn)在[GH]中的映射就是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)G(jω)H(jω)，而且當(dāng)ω=0+→+∞變化時(shí)，奈氏曲線(xiàn)G(jω)H(jω)逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1,j0）點(diǎn)的圈數(shù)為：其中：

N

—[F(s)]內(nèi)ΓF逆時(shí)針包圍其坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)，即[GH]內(nèi)奈氏曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。

P

—

Γs內(nèi)[F(s)]的極點(diǎn)數(shù)即[s]右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。

Z

—

Γs內(nèi)[F(s)]的零點(diǎn)數(shù)，即[s]右半平面閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。

顯然Z=0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：N=P/2。0型系統(tǒng)

特點(diǎn)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函不含0極點(diǎn)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。奈氏判據(jù)：當(dāng)ω=0→∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍（-1,j0）點(diǎn)的圈數(shù)N=P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定，此時(shí)不穩(wěn)定閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)為Z=P-2N。

設(shè)P為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函右半平面極點(diǎn)數(shù)，N為奈氏曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)（-1，j0）的圈數(shù)。則奈氏穩(wěn)定判據(jù)為：5.4.3奈氏穩(wěn)定判據(jù)

非0型系統(tǒng)

特點(diǎn)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函含有0極點(diǎn)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。說(shuō)明：開(kāi)環(huán)傳函含有零極點(diǎn)因子，相當(dāng)于Γs

經(jīng)過(guò)了F(s)的零極點(diǎn)，這不符合幅角原理的要求，因此不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)，需要做一些數(shù)學(xué)處理。

如圖所示，可用半徑為無(wú)窮小的1/4圓弧“代替”s=0的極點(diǎn)。這1/4圓弧可表示為：開(kāi)環(huán)傳函含有0極點(diǎn)因子的數(shù)學(xué)處理：

此時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：

可見(jiàn)，當(dāng)s沿半徑為無(wú)窮小的圓弧從j0變化到j(luò)0+時(shí)，奈氏曲線(xiàn)則在無(wú)窮遠(yuǎn)處由0°變化到-90°ν，即順時(shí)針?lè)较蜃兓慕嵌葹?0°ν。因此，若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)含有ν個(gè)積分環(huán)節(jié)，在應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，應(yīng)先繪出ω=0+→∞的奈氏曲線(xiàn)，再?gòu)摩?0+開(kāi)始逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà)一個(gè)半徑為∞，相角為90°ν的大圓弧增補(bǔ)線(xiàn)（至ω=0處），作為奈氏曲線(xiàn)的起始部分，然后再根據(jù)0型系統(tǒng)奈氏判據(jù)的方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

奈氏穩(wěn)定判據(jù)使用說(shuō)明：(1)奈氏曲線(xiàn)

0型系統(tǒng)奈氏曲線(xiàn)在ω=0點(diǎn)是封閉的（加上實(shí)軸的一部分），無(wú)需作輔助線(xiàn)；對(duì)于非0型系統(tǒng)，奈氏曲線(xiàn)ω=0點(diǎn)不封閉，需做輔助線(xiàn)，方法是從ω=0+開(kāi)始逆時(shí)針作半徑為∞，角度為90°ν的圓弧至ω=0。(2)開(kāi)環(huán)右半平面極點(diǎn)數(shù)P可根據(jù)已知的開(kāi)環(huán)傳函確定。(3)奈氏曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，N為正；反之N為負(fù)。(4)奈氏曲線(xiàn)穿過(guò)（-1，j0）點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)臨界穩(wěn)定，此時(shí)N是不定的。奈氏穩(wěn)定判據(jù)中N的簡(jiǎn)易判斷方法——

穿越法

因?yàn)殚_(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，則其必然由上向下穿越(-1,j0)左邊負(fù)實(shí)軸一次，因此可利用ω=0→∞變化時(shí)開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)上、下穿越(-1,j0)點(diǎn)左邊負(fù)實(shí)軸的次數(shù)來(lái)計(jì)算N，從而判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。將開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)從上而下，即逆時(shí)針穿越(-1,j0)左邊負(fù)實(shí)軸稱(chēng)為正穿越一次，用N+表示，反之稱(chēng)為負(fù)穿越一次，用N-表示。如果奈氏曲線(xiàn)起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上，則稱(chēng)為半次穿越，同樣有+0.5次穿越和-0.5次穿越。

則開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)在ω=0→∞變化時(shí)，逆時(shí)針?lè)较虬鼑?-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為：N=N+-N-【例題分析】見(jiàn)P138-140例5-7~5-9。練習(xí)：P159習(xí)題5-7。作業(yè)：P159-160習(xí)題5-6，5-8。本節(jié)結(jié)束！§5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性即：穩(wěn)定裕量及計(jì)算1.開(kāi)環(huán)頻率特性圖上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)（線(xiàn)）

復(fù)平面上(-1,j0)，即(1,-180°)點(diǎn)為奈氏圖上使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)臨界點(diǎn)。對(duì)應(yīng)Bode圖上為兩條臨界穩(wěn)定線(xiàn)：幅頻臨界線(xiàn)相頻臨界線(xiàn)2.定義兩個(gè)重要頻率：幅值截止頻率ω

c：開(kāi)環(huán)奈氏圖上對(duì)應(yīng)于幅值為臨界值1的點(diǎn)的頻率或幅頻Bode圖與臨界線(xiàn)0dB線(xiàn)（ω軸）的交點(diǎn)頻率。表達(dá)式為：A(ωc)=1或L(ωc)=0dB。相位穿越頻率ω

x：開(kāi)環(huán)奈氏圖上對(duì)應(yīng)于相位為臨界值-180°的點(diǎn)的頻率或相頻Bode圖與-180°臨界線(xiàn)的交點(diǎn)頻率。表達(dá)式為：

φ(ω

x)=-180°

。3.

穩(wěn)定裕量定義：穩(wěn)定裕量是指在頻率特性圖中，系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn)到臨界穩(wěn)定點(diǎn)（臨界穩(wěn)定線(xiàn)）之間的“距離”。在實(shí)際工程系統(tǒng)中常用相位裕量γ和幅值裕量h表示。相位裕量又稱(chēng)相角裕量(PhaseMargin)γ：定義：相位裕量是指在截止頻率ω

c處，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定時(shí)所需要附加的相角滯后量。

定義表達(dá)式：物理意義：幅值裕量又稱(chēng)增益裕量(PhaseMargin)h：定義：幅值裕量是指在穿越頻率ωx處，使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定時(shí)，開(kāi)環(huán)幅值還可以增加的倍數(shù)。物理意義：γ＞0°h＞1奈氏圖上的相位裕量與幅值裕量（a）穩(wěn)定系統(tǒng)-1ωMN1負(fù)相位裕度（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)ωMNγ＜0°h＜1M點(diǎn)N點(diǎn)Bode圖上的相位裕量與幅值裕量0dB20lgh＞0dB（a）穩(wěn)定系統(tǒng)(ωc＜ω

x)0dB20lgh＜0dB（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)(ωc＞ω

x)結(jié)論：

根據(jù)穩(wěn)定裕量指標(biāo)可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

γ＞0°且h＞1或20lgh＞0dB時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定

γ＝0°且h=1或20lgh=0dB

時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；

γ＜0°且h＜1或20lgh＜0dB

時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定；對(duì)最小相位系統(tǒng)，因?yàn)棣门ch（20lgh）有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，可只用相位裕量γ來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一般工程要求：γ=30°~60°；20lgh=6~10dB。相對(duì)穩(wěn)定性在奈氏圖與Bode圖中的比較（a）系統(tǒng)穩(wěn)定（b）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（c）系統(tǒng)不穩(wěn)定γ＞0°h＞120lgh＞0dBΓ=0°h=120lgh=0dBΓ＜0°h＜120lgh＜0dB

兩種特殊情況的處理：（a）曲線(xiàn)與單位圓有三個(gè)交點(diǎn)，其相位裕量的值各不相同；（b）曲線(xiàn)與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn)，其幅值裕量的值也各不相同。對(duì)以上兩種特殊情況，一般以最壞情況考慮。123123

根據(jù)定義首先計(jì)算兩個(gè)截止頻率ωc和ωx：

ωc的計(jì)算：方法1：根據(jù)開(kāi)