自動控制原理 第3版 課件 陶洪峰 05 頻率法

第5章頻率響應法

本章重點研究的內(nèi)容（5個）：頻率特性及圖示法、典型環(huán)節(jié)的頻率特性、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計算。（1）頻率特性具有明確的物理意義，其數(shù)學模型可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實際意義。（2）主要利用開環(huán)頻率特性圖的特點對閉環(huán)系統(tǒng)性能進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。（3）頻率響應法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。頻率特性的特點：5.1頻率特性的基本概念定義：頻率特性又稱頻率響應，它是線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)或元件），在不同頻率的正弦信號作用下，響應到達穩(wěn)態(tài)時，輸出與輸入的復數(shù)比。定義表達式為理解：因為線性定常系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性，因此當其輸入端施加一正弦信號，系統(tǒng)響應到達穩(wěn)態(tài)時必為一與輸入信號同頻率的正弦信號，且輸出響應的幅值和相位均為輸入信號頻率的函數(shù)。3設(shè)系統(tǒng)輸入信號為證明：其中，Cl、B、D均為待定系數(shù)。響應到達穩(wěn)態(tài)時有：（穩(wěn)態(tài)分量）（暫態(tài)分量）其穩(wěn)態(tài)分量為：由于:所以:（歐拉公式）穩(wěn)態(tài)響應的幅值穩(wěn)態(tài)響應的相位設(shè)：則有：用復數(shù)指數(shù)形式表示為：則，系統(tǒng)的頻率特性為：頻率特性的物理意義：反映了系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）對于正弦輸入信號幅值和相位的改變情況。對幅值的改變，變現(xiàn)為放大器的特性；對于相位的改變表現(xiàn)為移相器的特性。定義：

為系統(tǒng)幅頻特性，反映系統(tǒng)輸出與輸入的幅值之比。（1）為系統(tǒng)相頻特性，反映系統(tǒng)輸出與輸入的相位之差。（2）三種數(shù)學模型之間的關(guān)系輸出響應到達穩(wěn)態(tài)時有：

t→∞

s=σ+jω→jω

G(jω)=G(s)|s=jω頻率特性的表示形式

代數(shù)形式：G(jω)=P(ω)+jQ(ω)

幅相(極坐標)式：G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)

指數(shù)式：G(jω)=A(ω)ejφ(ω)實頻特性虛頻特性

正弦式：G(jω)=A(ω)[cosφ(ω)+jsinφ(ω)]四種表達式之間的關(guān)系圖5.1復數(shù)的表示

極坐標圖（幅相頻率特性圖或奈奎斯特圖，簡稱奈氏圖）的幅值和相位也隨之作相應的變化，其端點在復平面上移動的軌跡稱為奈氏曲線，構(gòu)成的圖形稱為奈氏圖。定義：當輸入信號的頻率連續(xù)變化時，向量頻率特性的幾何圖示法★

特點：是一種復平面中的極坐標曲線，因此也稱為極坐標圖。一般為繞坐標原點順時針轉(zhuǎn)動的一條曲線。曲線上面必須表明ω↑的方向。A(ω)φ(ω)ω作用：主要用于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性—乃氏穩(wěn)定判據(jù)圖5.2乃氏曲線的特點特點：乃氏曲線繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)；一般情況下都終止于坐標原點，只有當n=m時終止于實軸上的有限點；

0型系統(tǒng)起始于正實軸上的有限點；Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)分別沿-90°和-180°方向起始于無窮遠處。對數(shù)坐標圖---Bode圖特點：兩條曲線繪在同一對數(shù)坐標系中。

橫坐標ω/s-1：按10倍頻程(dec)即lgω分度，但標注ω的真值?？v坐標：按線性分度L(ω)/dB：0，±20，±40等。φ(ω)：0°，±90°，±180°等。作用：用實驗法求系統(tǒng)傳遞函數(shù)；進行系統(tǒng)的性能校正。ω1ω2ΔL(ω)α0.1110102103ω/s-1(-10123(lgω)

φ(ω)6040200-20-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec圖5.3對數(shù)坐標系的表示L(ω)/dB90°0°-90°-180°0.1110102103ω/s-1(1)橫坐標按lgω刻度，但標的是ω的真值。(2)斜率±20dB/dec表示ω每增加10倍頻程，幅值L(ω)上升或下降20dB。(3)根據(jù)直線斜率的定義有:-40=-tanα=-ΔL(ω)/lg(ω2/ω1)則:ΔL(ω)=40lg(ω2/ω1)注意：L(ω)/dB

φ(ω)00.300.480.700.850.95

0.600.780.901

lgω圖5.410倍頻程的表示1234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0ω/s-1注意：(1)橫坐標按lgω刻度，但標的是ω的真值。(2)每10倍頻程，距離相等，但10倍頻程內(nèi)按lgω分度，所以刻度由稀逐漸到密?！?.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

奈氏圖的繪制——“三點法”

起點：ω→0，[A(0),φ(0)]終點：ω→∞，[A(∞),φ(∞)]與負實軸的交點：令φ(ω)

=-180°→ωx

則交點為[A(ωx)，-180°]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→A(ω)：起止位置φ(ω)

：起止方向相位穿越

(截止、剪切)頻率注意：由φ(0)→φ(∞)的變化范圍可判斷乃氏圖所在的象限。一、頻率特性的概略繪制

Bode圖的繪制——“兩段一點法”

低頻段漸近線：ω→0，L(0)；φ(0)高頻段漸近線：ω→∞，L(∞)；φ(∞)轉(zhuǎn)折點：高低頻段漸近線的交點。令L(0)=L(∞)→ω0→交點[ω0，

L(ω0)]G(jω)=A(ω)ejφ(ω)→L(ω)=20lgA(ω)φ(ω)對于相頻特性就是對稱點二、典型環(huán)節(jié)(8個)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)圖5.5比例環(huán)節(jié)奈氏圖（K，0°）（1）奈氏圖與ω無關(guān)，是正實軸上的一個點（K，0°）。（2）Bode圖L(ω)=20lgKφ(ω)=0°是與ω無關(guān)的兩條水平線。圖5.6比例環(huán)節(jié)的Bode圖作用：比例環(huán)節(jié)只改變原系統(tǒng)的幅值（K＜1，降低；K

＞1，抬高），不改變原系統(tǒng)的相位。2.積分環(huán)節(jié)（1）奈氏圖圖5.7積分環(huán)節(jié)奈氏圖ω起點：[∞,-90°]；終點：[0,-90°]特點：是一條與負虛軸重合并指向坐標原點的直線。（2）Bode圖

L(ω)=-20lgω，是一條斜率為-20dB/dec，過(1,0)點的直線。

φ(ω)=-90°，是一條與ω無關(guān)的-90°直線。圖5.8積分、微分環(huán)節(jié)Bode圖積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)3.純微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為“倒數(shù)”（1）奈氏圖起點:(0,90°);終點:(∞,90°)是一條與正虛軸重合，由坐標原點指向∞的直線。圖5.9微分環(huán)節(jié)奈氏圖3.純微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)注意：傳遞函數(shù)互為倒數(shù)時，其

Bode圖以ω軸為鏡像對稱。（2）Bode圖幅頻：L(ω)=20lgω，是一條斜率為+20dB/dec，并過(1,0)點的直線。相頻：φ(ω)=90°,是一條與ω無關(guān)的+90°直線。積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)4.慣性環(huán)節(jié)（1）奈氏圖

起點：（1,0°）終點：（0,-90°）特點：慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是位于第四象限的半圓。圖5.10

慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖（1,0°）Re0Imω（2）Bode圖聯(lián)立消去ω可以得到實部和虛部的關(guān)系式：故，慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心為點（0.5，j0）上，半徑為0.5的半園（ω=0~∞）。證明：實頻特性和虛頻特性為低頻段：ω→0L(ω)≈0dB，幅頻特性是一條0dB的直線。φ(ω)≈0°，相頻特性是一條0°的直線。高頻段：ω→∞L(ω)≈-20lgωT=-20lgω-20lgT

幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的直線φ(ω)≈-90°

相頻特性是一條-90°的直線轉(zhuǎn)折點：令-20lgωT=0dB或令-arctanωT=-45°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T

轉(zhuǎn)折點的實際幅頻值：L(1/T)=-20lg

≈-3dB

轉(zhuǎn)折點的相位：φ(1/T)≈-45°低頻漸近線

高頻漸近線

精確曲線

Asymptote

Asymptote

Cornerfrequency：ωn=1/T=10Exactcurve精確曲線

Exactcurve圖5.11慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率響應的誤差修正曲線見P121圖5-15。5.一階微分環(huán)節(jié)圖5.13一階微分環(huán)節(jié)奈氏圖（1）奈氏圖

起點：（1,0°）終點：（∞,90°）特點：一階微分環(huán)節(jié)的乃氏圖是位于第Ⅰ象限（0°→90°）的垂線。傳遞函數(shù)與慣性環(huán)節(jié)互為倒數(shù)。（2）Bode圖轉(zhuǎn)折點：令20lgωT=0dB或令arctanωT=45°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=1/T，與慣性環(huán)節(jié)相同，特性曲線與慣性環(huán)節(jié)以ω軸為鏡像對稱。低頻段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低頻段與慣性環(huán)節(jié)相同高頻段：ω→∞L(ω)≈20lgωTφ(ω)≈90°高頻段與慣性環(huán)節(jié)互為相反數(shù)，即以ω軸為鏡像對稱。BodeDiagramofG(jw)=jwT+1)T=0.1Frequency(rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)051015202510010110204590圖5.14一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖

6.振蕩環(huán)節(jié)（1）奈氏圖起點：(1,0°)，終點：(0,-180°)特點：振蕩環(huán)節(jié)的奈氏曲線是位于第Ⅳ、Ⅲ象限(0°→180°)，隨ζ變化的一簇曲線。ω=ωr時有諧振：與負虛軸的交點：令φ(ω)=-90°得：ω=ωn=1/T，A(ωn)=1/2ζ圖5-15振蕩環(huán)節(jié)奈氏圖低頻段：ω→0L(ω)≈0dBφ(ω)≈0°低頻段與一階環(huán)節(jié)相同（2）Bode圖高頻段：ω→∞L(ω)≈-40lgωT

幅頻特性是一條斜率為-40dB/dec的直線。φ(ω)≈-180°相頻特性是一條-180°的直線。

轉(zhuǎn)折點：令-40lgωT=0dB或令arctanωT=-90°

可得轉(zhuǎn)折頻率ω=ωn=1/T，與一階環(huán)節(jié)相同。

L(ωn)=-20lg1/2ζ，φ(ωn)=-90°諧振點：

L(ωr)=-20lgA(ωr)=-20lgMr=特點：振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖是隨ζ變化的一簇曲線。當ζ值在一定范圍內(nèi)時，其相應的精確曲線都有峰值，漸近線誤差隨ζ不同而不同，在轉(zhuǎn)折點附近為最大，并且ζ值越小，誤差越大。圖5.16振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖誤差修正曲線見P124圖5-20所示。ωnωrω7.二階微分環(huán)節(jié)圖5.18二階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖（1）奈氏圖（2）Bode圖—

與振蕩環(huán)節(jié)以ω軸為鏡像對稱。8.延遲環(huán)節(jié)圖5.19延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖Im0Re1-1（1）奈氏圖延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一單位園。（2）Bode圖=-τωω01K

ReIm?ωωωωω1比例2積分3微分4慣性5一階微分6振蕩7二階微分8滯后

結(jié)論：零點環(huán)節(jié)（三種微分環(huán)節(jié)），相位為正，奈氏圖位于上半平面；無零點環(huán)節(jié)（積分、慣性、振蕩）相位為負，奈氏圖位于下半平面；比例環(huán)節(jié)奈氏圖為正實軸上的（K,0°）點；滯后環(huán)節(jié)奈氏圖為單位圓。典型環(huán)節(jié)奈氏圖小結(jié)（1）無轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)：（比例、積分和純微分）對數(shù)幅頻特性是高度為20lgKdB的水平線、過(1,0)點斜率為-20dB/dec和+20dB/dec的直線；對數(shù)相頻特性為0°、-90°和+90°水平線。（2）有轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)（慣性、比例微分、振蕩）：對數(shù)幅頻低頻段均為0dB水平線，高頻段斜率分別為：-20、+20、-40dB/dec；對數(shù)相頻特性低頻段是0°水平線，高頻段是相位分別為-90°、+90°

、-180°的水平線；轉(zhuǎn)折點的頻率為1/T。

系統(tǒng)階次每增加一次，其對數(shù)幅頻特性高頻段斜率增加-20dB/dec；對數(shù)相頻特性高頻段相位增加

-90°。

本節(jié)結(jié)束！典型環(huán)節(jié)Bode圖小結(jié)37一般系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖。

其中，開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)組成，即：則，開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：結(jié)論：系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值之積；相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性相角之和?！?.3控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性…5.3.1概述系統(tǒng)開環(huán)傳函的時間常數(shù)表達式為：

特點：開環(huán)頻率特性的低頻段決定于比例環(huán)節(jié)K和積分環(huán)節(jié)個數(shù)ν。開環(huán)頻率特性的高頻段決定于比例環(huán)節(jié)K、各有限環(huán)節(jié)的時間常數(shù)（T、τ）和開環(huán)極點數(shù)n、開環(huán)零點數(shù)m。其中：低頻段：ω→0G（jω）≈K/（jω）ν=

高頻段：ω→∞，G（jω）≈

5.3.2開環(huán)乃氏圖的繪制——三點法

起點（低頻段ω→0）乃氏圖的起始位置乃氏圖的起始方向ν=0，乃氏圖起始于正實軸上的(K，0°)點；ν=1，乃氏圖起始于(∞，-90°)點，即由無窮遠處沿趨于與負虛軸重合的方向出發(fā)。ν=2，乃氏圖起始于(∞，-180°)點，即由無窮遠處沿著趨于與負實軸重合的方向出發(fā)。n=m，乃氏圖終止于正實軸上的(K′，0°)點；n

＞m

，乃氏圖終止于[0，-90°(n-m)]點，即沿坐標軸的方向終止于坐標原點。2.終點（高頻段ω→∞）乃氏圖終止位置乃氏圖終止方向3.與負實軸的交點

計算方法：令φ(ω)=-180°或令求得相位截止頻率ωx，則交點為[A(ωx),-180°]

（a）乃氏圖終止段（b）乃氏圖起始段圖5.23開環(huán)乃氏圖的起始和終止形狀4.

中頻段的特點(1)無零點系統(tǒng)：如果系統(tǒng)沒有開環(huán)零點，則當ω從0到∞的變化過程中，頻率特性的相位角單調(diào)連續(xù)減小，乃氏圖變化平滑。（2）有零點系統(tǒng)：如果系統(tǒng)有開環(huán)零點，則當ω從0到∞的變化過程中，頻率特性的相位角不呈單調(diào)連續(xù)減小，極坐標圖可能出現(xiàn)凹凸，其程度取決于開環(huán)零點的位置。如圖5.24(b)、(c)所示。圖5.24開環(huán)零點對乃氏圖中頻段的影響ω→0【例5.1】已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函分別如下，試畫出其奈氏圖。繪制方法：典型環(huán)節(jié)疊加法和分段疊加法。5.3.3

開環(huán)Bode圖的繪制分段疊加法——低頻段+中、高頻段

低頻段漸進線：ω→0或ω＜＜ω1低頻段幅頻Bode圖表達式：特點：（1）是一條斜率為-20ν的直線[dL(ω)/dlgω=-20ν

]。（2）該直線過兩個特殊點（1，20lgK）和（K1/ν，0）。（3）K決定了低頻段的高度，ν決定了低頻段的斜率。L(ω)/dB-40ν=2

ν=1

-20Kω/s-11ν=0

20lgK相頻Bode圖表達式：只決定于ν。

中、高段漸進線：

中頻段：ω1

＜ω＜ωn；高頻段：ω→∞或ω＞＞ωn

特點：①中、高頻段漸進線決定于除比例和積分環(huán)節(jié)以外的其它有限環(huán)節(jié)②幅頻特性按照轉(zhuǎn)折頻率分段進行斜率疊加；相頻特性分段進行相位疊加。③高頻漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec；相位為-90°(n-m)。④各有限環(huán)節(jié)對應的斜率和相位分別為：0性系統(tǒng)為0°線，Ⅰ性系統(tǒng)為-90°線，Ⅱ型系統(tǒng)為-180°線。有限環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)斜率（dB/dec）（低頻，高頻）相位（低頻~高頻）慣性0，-200°~-90°一階微分0，+200°~+90°振蕩0，-400°~-180°二階微分0，+400°~+180°有轉(zhuǎn)折的環(huán)節(jié)對應的斜率和相位注意：各環(huán)節(jié)幅頻特性的斜率與相頻特性的相位之間的對應關(guān)系。寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表達式，將其標準化（為了正確求出K和ν值）

；并計算20lgK。計算各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（ωi=1/Ti或τi），由小到大排列并依次標在頻率軸上。

繪低頻段：幅頻：過（1，20lgK）點作-20νdB/dec直線至ω1；或者過（1，20lgK）點和（K1/ν，0）作直線至ω1。相頻：作低頻漸近線至ω1之前。4.繪中、高頻段：從ω1開始依次疊加各對應環(huán)節(jié)高頻段的斜率（相位），并據(jù)此依次改變幅頻（相頻）曲線，直到最后一個環(huán)節(jié)為止，則得到開環(huán)系統(tǒng)的幅頻（相頻）Bode圖。

開環(huán)Bode圖的繪制步驟：

【例題分析】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制其Bode圖。5.3.4

最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)1.定義：

開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面內(nèi)無任何極點和零點（即開環(huán)傳遞函數(shù)沒有正實部的零、極點）的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；開環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面內(nèi)至少有一個極點或或零點的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。2.特點：①幅值相同的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位是最小的。②實際工程應用的系統(tǒng)大部分都是由典型環(huán)節(jié)組成，因此均為最小相位系統(tǒng)。③最小相位系統(tǒng)，其幅頻Bode圖和相頻Bode圖隨ω的變化規(guī)律具有一一對應的關(guān)系，因此其特性可由單一的幅頻曲線唯一確定；非最小相位系統(tǒng)特性由幅頻和相頻共同確定。

顯然，G1(s)為最小相位系統(tǒng)，而G2(s)為非最小相位系統(tǒng)，但它們具有相同的幅頻特性，即:

而相頻特性則不同:

重要結(jié)論：最小相位系統(tǒng)：，而非最小相位系統(tǒng)無此關(guān)系。因此。最小相位系統(tǒng)的特性可由L(ω)單獨確定，而非最小相位系統(tǒng)特性則由共同決定?！纠?/p>

兩系統(tǒng)開環(huán)傳函分別為：和5.3.5傳遞函數(shù)的實驗法確定

依據(jù)：最小相位系統(tǒng)L(ω)G(s)。

思路：先由頻率特性實驗測得系統(tǒng)開環(huán)Bode曲線，然后分別用斜率為0dB/dec、±20dB/dec的直線段逼近確定分段漸近線，最后根據(jù)下列步驟進行。

(1)由低頻段確定ν和K：由圖得：低頻段斜率=-20ν→ν；由圖得：ω=1對應的低頻段或其延長線的高度=20lgK→K或由圖得低頻段或其延長線與ω軸的交點頻率ω0=K1/ν→K。(2)由中、高頻段的轉(zhuǎn)折頻率確定各有限環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T(τ)：幅值抬高，則對應微分環(huán)節(jié)，ωi=1/τi

，抬高+20dB/dec，則為（τis+1），抬高+40dB/dec，則為（τis+1）2。幅值下降，則對應慣性環(huán)節(jié)，ωi=1/Ti。

下降-20dB/dec→，下降-40dB/dec時有兩種情況：若沒有諧振，則為雙慣性，若有諧振，則為振蕩，必須按照已知的諧振頻率和幅值求出對應的ωn和ζ，才能寫出該環(huán)節(jié)的傳函如下。自學例題5-5，5-6作業(yè)：習題5-3(2)(5)(6)5-5(a)(b)(d)本節(jié)結(jié)束！§5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)—奈氏判據(jù)（1）奈氏判據(jù)是根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種幾何判據(jù)。（2）奈氏判據(jù)不需要求解閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，當系統(tǒng)某些環(huán)節(jié)（延遲）無法用分析法寫出時，可以通過實驗法獲得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。（3）奈氏判據(jù)能給出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量（幅值裕量、相位裕量）來描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，能指出提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑，因而這種方法在工程上獲得廣泛的應用。（4）依據(jù)：映射（幅角）原理和系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。5.4.1

引言——奈氏判據(jù)的特點：本節(jié)主要內(nèi)容：奈氏判據(jù)、穩(wěn)定裕量及計算。先看下面對應關(guān)系因此，可稱[GH]中(-1,j0)點為使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的開環(huán)臨界點。5.4.2幅角原理—映射原理(1)輔助函數(shù)F(s)設(shè)則：Dk(s)=N1(s)N2(s)令令引入輔助函數(shù)—復變函數(shù)F(s)的特點：其零點是閉環(huán)極點，其極點是開環(huán)極點，因此F(s)的零、極點個數(shù)（用Z表示）相同。系統(tǒng)穩(wěn)定條件是閉環(huán)所有極點即F(s)的所有零點全部位于[s]左半平面。(2)幅角原理（映射原理）

對于[s]內(nèi)任一封閉曲線Γs

，在[F(s)]內(nèi)都能映射出另一封閉曲線ΓF；當Γs包圍F(s)的Z個零點和P個極點，且Γs不通過F(s)的任何零、極點時，則當s順時針方向沿Γ

s轉(zhuǎn)一圈時，ΓF

逆時針包圍其坐標原點N圈，且N=P-Z。如下圖說明：Γ

sjω[s]σ0ΓFjω[F(s)]σ0z

ip

lF(s)的零點（Z個）極點（P個）N圈(3)奈氏路徑及映射

選取[s]右半平面邊界線為Γs，稱為奈氏路徑。如圖有：ω=-j∞→0-→0+→+j∞→-j∞即：奈氏路徑=虛軸+半徑為∞的半圓而半徑為∞的半圓可表示為：因n≥m，所以此時有：或1+K

可見：[s]內(nèi)的奈氏路徑即Γs曲線在[F(s)]內(nèi)的映射即ΓF曲線只決定于虛軸，即ω=-j∞→0-→0+→+j∞的部分。而此時的ΓF即F(jω)曲線。

特別說明：在奈氏路徑中，ω=-∞→0-和ω=0+→+∞是關(guān)于實軸對稱的，所以一般只需畫出ω=0+→+∞的虛軸及其在[F(s)]平面的映射部分即可，為使奈氏判據(jù)使用起來簡單，下面的討論均指ω=0+→+∞的虛軸及其映射部分。(4)[F(s)]與[GH]的映射關(guān)系F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=-1+F(s)[F(s)]坐標原點[GH]即為（-1,j0）點

所以：當ω=0+→+∞變化時，[F(s)]內(nèi)ΓF逆時針包圍其坐標原點的圈數(shù)N=奈氏曲線G(jω)H(jω)逆時針包圍[GH]內(nèi)（-1，j0）點的圈數(shù)。即有下面對應關(guān)系：Γs

ΓF

ΓGH

ω=0+→+∞[s]第一象限邊界線

奈氏曲線G(jω)H(jω)

F(jω)曲線對應ω=0+→+∞的部分63

由此，幅角原理可以敘述為：如果某系統(tǒng)在[s]右半平面中含其閉環(huán)傳遞的Z個極點和開環(huán)傳函的P個極點時，則[s]右半平面的包絡線在[GH]中的映射就是系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線G(jω)H(jω)，而且當ω=0+→+∞變化時，奈氏曲線G(jω)H(jω)逆時針方向包圍（-1,j0）點的圈數(shù)為：其中：

N

—[F(s)]內(nèi)ΓF逆時針包圍其坐標原點的圈數(shù)，即[GH]內(nèi)奈氏曲線逆時針包圍（-1，j0）點的圈數(shù)。

P

—

Γs內(nèi)[F(s)]的極點數(shù)即[s]右半平面開環(huán)極點數(shù)。

Z

—

Γs內(nèi)[F(s)]的零點數(shù)，即[s]右半平面閉環(huán)極點數(shù)。

顯然Z=0時系統(tǒng)穩(wěn)定。此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：N=P/2。0型系統(tǒng)

特點：系統(tǒng)開環(huán)傳函不含0極點，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。奈氏判據(jù)：當ω=0→∞變化時，開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍（-1,j0）點的圈數(shù)N=P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定，此時不穩(wěn)定閉環(huán)特征根的個數(shù)為Z=P-2N。

設(shè)P為系統(tǒng)開環(huán)傳函右半平面極點數(shù)，N為奈氏曲線逆時針包圍臨界點（-1，j0）的圈數(shù)。則奈氏穩(wěn)定判據(jù)為：5.4.3奈氏穩(wěn)定判據(jù)

非0型系統(tǒng)

特點：系統(tǒng)開環(huán)傳函含有0極點，開環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。說明：開環(huán)傳函含有零極點因子，相當于Γs

經(jīng)過了F(s)的零極點，這不符合幅角原理的要求，因此不能直接應用奈氏判據(jù)，需要做一些數(shù)學處理。

如圖所示，可用半徑為無窮小的1/4圓弧“代替”s=0的極點。這1/4圓弧可表示為：開環(huán)傳函含有0極點因子的數(shù)學處理：

此時，開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：

可見，當s沿半徑為無窮小的圓弧從j0變化到j0+時，奈氏曲線則在無窮遠處由0°變化到-90°ν，即順時針方向變化的角度為90°ν。因此，若開環(huán)系統(tǒng)含有ν個積分環(huán)節(jié)，在應用奈氏判據(jù)時，應先繪出ω=0+→∞的奈氏曲線，再從ω=0+開始逆時針補畫一個半徑為∞，相角為90°ν的大圓弧增補線（至ω=0處），作為奈氏曲線的起始部分，然后再根據(jù)0型系統(tǒng)奈氏判據(jù)的方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

奈氏穩(wěn)定判據(jù)使用說明：(1)奈氏曲線

0型系統(tǒng)奈氏曲線在ω=0點是封閉的（加上實軸的一部分），無需作輔助線；對于非0型系統(tǒng)，奈氏曲線ω=0點不封閉，需做輔助線，方法是從ω=0+開始逆時針作半徑為∞，角度為90°ν的圓弧至ω=0。(2)開環(huán)右半平面極點數(shù)P可根據(jù)已知的開環(huán)傳函確定。(3)奈氏曲線逆時針包圍(-1，j0)點時，N為正；反之N為負。(4)奈氏曲線穿過（-1，j0）點時，閉環(huán)臨界穩(wěn)定，此時N是不定的。奈氏穩(wěn)定判據(jù)中N的簡易判斷方法——

穿越法

因為開環(huán)奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點一圈，則其必然由上向下穿越(-1,j0)左邊負實軸一次，因此可利用ω=0→∞變化時開環(huán)奈氏曲線上、下穿越(-1,j0)點左邊負實軸的次數(shù)來計算N，從而判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。將開環(huán)奈氏曲線從上而下，即逆時針穿越(-1,j0)左邊負實軸稱為正穿越一次，用N+表示，反之稱為負穿越一次，用N-表示。如果奈氏曲線起始或終止于(-1,j0)點以左的負實軸上，則稱為半次穿越，同樣有+0.5次穿越和-0.5次穿越。

則開環(huán)奈氏曲線在ω=0→∞變化時，逆時針方向包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為：N=N+-N-【例題分析】見P138-140例5-7~5-9。練習：P159習題5-7。作業(yè)：P159-160習題5-6，5-8。本節(jié)結(jié)束！§5.5控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性即：穩(wěn)定裕量及計算1.開環(huán)頻率特性圖上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點（線）

復平面上(-1,j0)，即(1,-180°)點為奈氏圖上使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的開環(huán)臨界點。對應Bode圖上為兩條臨界穩(wěn)定線：幅頻臨界線相頻臨界線2.定義兩個重要頻率：幅值截止頻率ω

c：開環(huán)奈氏圖上對應于幅值為臨界值1的點的頻率或幅頻Bode圖與臨界線0dB線（ω軸）的交點頻率。表達式為：A(ωc)=1或L(ωc)=0dB。相位穿越頻率ω

x：開環(huán)奈氏圖上對應于相位為臨界值-180°的點的頻率或相頻Bode圖與-180°臨界線的交點頻率。表達式為：

φ(ω

x)=-180°

。3.

穩(wěn)定裕量定義：穩(wěn)定裕量是指在頻率特性圖中，系統(tǒng)的穩(wěn)定運行點到臨界穩(wěn)定點（臨界穩(wěn)定線）之間的“距離”。在實際工程系統(tǒng)中常用相位裕量γ和幅值裕量h表示。相位裕量又稱相角裕量(PhaseMargin)γ：定義：相位裕量是指在截止頻率ω

c處，使系統(tǒng)達到不穩(wěn)定時所需要附加的相角滯后量。

定義表達式：物理意義：幅值裕量又稱增益裕量(PhaseMargin)h：定義：幅值裕量是指在穿越頻率ωx處，使系統(tǒng)達到不穩(wěn)定時，開環(huán)幅值還可以增加的倍數(shù)。物理意義：γ＞0°h＞1奈氏圖上的相位裕量與幅值裕量（a）穩(wěn)定系統(tǒng)-1ωMN1負相位裕度（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)ωMNγ＜0°h＜1M點N點Bode圖上的相位裕量與幅值裕量0dB20lgh＞0dB（a）穩(wěn)定系統(tǒng)(ωc＜ω

x)0dB20lgh＜0dB（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)(ωc＞ω

x)結(jié)論：

根據(jù)穩(wěn)定裕量指標可判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

γ＞0°且h＞1或20lgh＞0dB時系統(tǒng)穩(wěn)定

γ＝0°且h=1或20lgh=0dB

時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；

γ＜0°且h＜1或20lgh＜0dB

時系統(tǒng)不穩(wěn)定；對最小相位系統(tǒng)，因為γ與h（20lgh）有唯一的對應關(guān)系，因此，可只用相位裕量γ來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一般工程要求：γ=30°~60°；20lgh=6~10dB。相對穩(wěn)定性在奈氏圖與Bode圖中的比較（a）系統(tǒng)穩(wěn)定（b）系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（c）系統(tǒng)不穩(wěn)定γ＞0°h＞120lgh＞0dBΓ=0°h=120lgh=0dBΓ＜0°h＜120lgh＜0dB

兩種特殊情況的處理：（a）曲線與單位圓有三個交點，其相位裕量的值各不相同；（b）曲線與負實軸有三個交點，其幅值裕量的值也各不相同。對以上兩種特殊情況，一般以最壞情況考慮。123123

根據(jù)定義首先計算兩個截止頻率ωc和ωx：

ωc的計算：方法1：根據(jù)開